%  qm1.tex         Quantenmechanik WS 90/91
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%  GRUNDLAGEN 

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
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% \magnification=\magstep1
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\nopagenumbers  \raggedright      
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\input def

\rightline {Hannover}
 {\gr \hskip 3cm Grundlagen} \qquad der nichtrelativistischen 
  Quantenmechanik \hskip 1.2cm 1.12.1990 \par
\bigskip
In der erstmals vollst\"andigen Theorie Mechanik+Elektrodynamik
steht die Massenpunkt-Unterstellung im Widerspruch zu (letztlich)
allen Experimenten. Teilchen sind r\"aumlich ausgedehnt. Ein
physikalisches System ist zum Zeitpunkt $t$ in einem Zustand
$(\Psi)$, und "Frage" (= Me\ss apparatur = Observable = $A$)
ist im allgemeinen etwas anderes als "Antwort" (= Me\ss wert
= $a$). Bei bez\"uglich System-Zustand $\Psi$ unp\"a\ss licher
Frage $A$ kann die Me\ss wert-$a$-Antwort nur noch mit einer
(sowohl me\ss baren als auch vorherzusagenden) Wahrscheinlichkeit
$P_a$ gegeben werden. Die M\"oglichkeit, $A$ sowohl seine
p\"a\ss lichen Zust\"ande als auch die dann mit Sicherheit
erh\"altlichen Werte $a$ zuzuordnen, bietet das Eigenwertproblem
$-$ zu \"ubertragen in den Hilbert-Raum (HR) der normierbaren
Funktionen. Da der HR alle essentials des
Mathematiker-Vektorraumes \"ubernimmt, hat {\it jeder} Operator
seinen Kern:
$A \Psi(x) \! \glr \!\! \int \!\! dy K(x,y) \Psi(y)$.
$A^\dagger$ hat Kern $K^*(y,x)$. $A^\dagger = A \gdw a$ reell
und $\varphi_{a \nu}$ VONS. Vollst\"andigkeitsrelation:
$\sum_{a,\nu} \varphi _{a \nu}(x) \!\>\varphi_{a \nu}^\ast (y)
= \delta (x-y) .$ Via Langlebigkeit aller Energie-Eigenzust\"ande
gelingt eine Quasiherleitung der zeitabh\"angigen
Schr\"odinger-Gleichung $-$ und man "erfindet" somit die ersten 6
der folgenden {\mt Postulate der
Quantenmechanik :} \hskip 7.6cm $\hbar = 10^{-34}Js$ \smallskip
\settabs\+ \hskip .8cm & \enskip &  \cr
\+ \hfill I. & & Alle Information \"uber Zustand ist enth. in
     einwertiger Funktion  $\Psi$( Variable pro Freiheitsgrad
     $ , t \,) \, \in$ HR  \cr
\+ \hfill II. & & Jede Me\ss gr\"o\ss e $ \rightarrow $ linearer
    hermitescher Operator $A$ (insbes. Energie $\rightarrow $
    Hamiltonoperator) $\,$ Tabelle! s.u. \cr
\+ \hfill III. & & Spektrum der Me\ss werte $a$ aus L\"osung
     von \enskip $A \> \varphi_{a \nu} = a \; \varphi_{a \nu}
     \,$ (+ Normierbarkeit + Einwertigkeit)  \cr
\+ \hfill IV. & & Orthonormiere \enskip
      $\int \varphi_{a \nu}^\ast \> \varphi_{b \mu}
      =  \delta_{\nu,\mu} \cdot [ \delta_{a,b}$ bzw.
      $\delta(a-b) ] \, $ ; und Systemzust\"ande gem\"a\ss\
      $\int \vert \Psi \vert ^2 = 1 $ \cr
\+ \hfill V. & & Wahrscheinlichkeit ($a$ diskret) bzw. 
      W.dichte ($a$ kont.) f\"ur $a$-Erhalt $\; =
      P(a,t) = \sum_\nu \vert \int \varphi_{a \nu }^\ast (x)
      \, \Psi (x,t) \vert ^2 $ \cr
\+ \hfill VI. & & System-Zukunft: $ i \hbar \p \Psi \;
      = H \Psi \> , \;\, H \gll \>$Hamiltonoperator (s.II.)
      $\;$ ($H$ kann von $t$ abh\"angen) \cr
\+ \hfill VII. & & Pauli-Prinzip: $\Psi (1,2,...) = \mp
      \Psi (2,1,...) $ \quad
      $[ -$ f. Fermionen-Variablens\"atze-Vertauschungen,
      $+$ f. bosonische $]$ \cr \smallskip \nz
Diese Postulate $\gdw$jene in Literatur (es sei denn letztere
postuliert {\mt zu viel}, wie z.B. "Idealmessungen"). Man pr\"ufe
nach, da\ss\ die in V. postulierte W.(dichte) aufgrund von IV.
auf 1 normiert ist. $\Psi$ gegeben $\, \Rightarrow \,$ zu
s\"amt\-li\-chen Messungen $A$ (operierend im $\Psi$-HR)
die je zugeh\"orige W.verteilung \"uber $a$-Achse. Woher 
$\Psi$ ? $-$ warten, bis Grundzustand erreicht, und sodann
$i \hbar \p \Psi = H \Psi$ gezielt ausnutzen. Der Anfang der
{\mt Tabelle :} \medskip \nz
$X \delta (x-a) \; {\buildrel ! \over = } \; a \delta (x-a) \; 
\Rightarrow \; X = x\cdot \, , \, \vert \Psi (x) \vert ^2 = $ 
W.dichte f\"ur $x$-Me\ss werte
("Aufenthaltswahrscheinlichkeit") ; \nz
Exp.: $p$-EWe=$\hbar k , \, p e^{ikx} \; {\buildrel !
\over = } \; \hbar k e^{ikx} \; \Rightarrow \;
p={\hbar \over i} \partial _x , \;$ normierte EFn zu EWn $q$ : 
$ \wu {1 \over 2 \pi \hbar} e^{i {q \over \hbar} x} , \; P(q)
= \vert \widetilde{\Psi} ({q \over \hbar}) \vert ^2 / 2\pi
\hbar \,$ ; \nz
$P \Psi (x) \gll \Psi (-x) : $ EWe $\pm 1$ ;
$\, \vc L = \vc r \times \vc p , L_3 = {\hbar \over i}
\partial _\varphi \;$ ( EFn ${1 \over \sqrt{2\pi}} e^{im\varphi}
$ zu EWn $\hbar m , m=0, \pm 1, \pm 2 ,... ) \, , \,
[L_1,L_2]=i\hbar L_3 \, , \, \vc L ^2 = - \hbar ^2r^2
\Delta _{\vartheta \varphi} = - \hbar ^2
( {1 \over s} \partial_\vartheta s \partial _\vartheta \,
+ \, {1 \over s^2} \partial_\varphi ^2) \, , \, s \gll
sin(\vartheta ) \,$ ( EFn $ Y_{l m} $ zu EWn $\hbar ^2 l(l+1)
\, , \,l = 0, 1, 2, ... \, ; \, \eta_l = 2l+1\, ) \, ;
 \; T = \vc p ^2 /2m = - {\hbar ^2 \over 2m} \Delta \, ,
 \, \Delta = {1 \over r} \partial_r ^2 r - {\vc L ^2 \over
 \hbar ^2 r^2}$ . \enskip
{\mt Der} f\"ur die gesamte nichtrelativistische Q.
ausreichende Hamiltonoperator ist \hskip 2.8cm
$ \;\, {1 \over 2m} ( \vc p - q \vc A )^2 + q \Phi \; . $
\hskip 2.8cm ("Jedes $V$ als $q \Phi$ herstellbar.")
\smallskip \nz
Andere $H$'s sind aus diesem zu kombinieren bzw. herzuleiten
(Beispiel: Binden an Linie)! \nz
Statik: $\Psi (x,t) \; {\buildrel ! \over =} \; e^{-{i
\over \hbar} E t} \varphi _{E,\nu} (x) \Rightarrow \,
H \varphi = E \varphi \, .\;$
Dynamik: $\Psi (x,0)$ gegeben, $\Psi (x,t) = U(t)
\Psi (x,0)$ mit im allg. $U(t) =$ {\mt T} $ e^{- {i \over
\hbar} \! \int_0^t \! dt' H(t') }$ .
Ebene Materiewelle: $e^{i (\vcsm k \vcsm r - \omega t)}$ mit 
$\omega \! = \! {\hbar k^2 \over 2m}$. \enskip 5 statische,
5 dynamische {\mt Theoreme :}
\def\kr#1{ \bigcirc \!\!\!\! \lower3.2pt\hbox{\hss $^{#1}$
\hss} \;\,} \bigskip \nz
$\kr 1 < a >_\psi = \int \!\! da P(a) a = \int \! da
 \sum _\nu \int \! dy \varphi _{a \nu}(y) \Psi ^\ast (y)
 \int \! dx \varphi_{a \nu}^\ast (x) A \Psi (x) =
 \int \! dx \Psi ^\ast (x) A \Psi (x) \glr < A >  $ \nz
$\kr 2 (\Delta A)_\psi \cdot (\Delta B)_\psi \geq {1 \over 2}
 \vert < i [A,B] >_\psi \vert \quad [ \; (\Delta x) \cdot
 (\Delta p) \geq \hbar /2 \, ;  \, = \,$ f\"ur Gau\ss\ -Fktn.
 ; $ \Delta A \gll  \wu { < (A-< \! A \! >)^2 >} ]$ \nz
$\kr 3 [A,B]=0 \; \Rightarrow \;$ es existiert ein simultanes
 EF-System (B schafft Ordnung im A-Entartungsunterraum.) \nz
$\kr 4  H=f(H_1,H_2), [H_1,H_2]=0 \; \Rightarrow \; H
 \varphi_{a b} = f(a,b) \varphi _{a b} \; ; \,$ Falls 1, 2
 verschiedene Variable, dann \nz
 \qquad $ \varphi_{a b} = \phi_a(1) \cdot \chi_b(2) \,$
 (Separation . \quad $-$ \quad  auch noch,
 wenn $H=f(H_1^\prime , H_1^{\prime \prime} , H_2) \; )$ \nz
$\kr 5  \, E \,$entartet $\, \Rightarrow$ es gibt (mindestens
 einen) nichttrivialen mit $H$ vertauschbaren Operator. \nz
\qquad $[H,A]=[H,B]=0 \, ,\, [A,B] \ne 0 \; \Rightarrow \; H$
{\mt hat} Entartung. \hskip 2cm Bloch-, Virial-, optisches Theorem,
... \medskip \nz
$\kr 6 \partial_t \int \! \vert \Psi \vert ^2 = \, ... \,
  =  0 , \, \Psi (x,t) \glr U(t) \> \Psi (x,0) \;\, \Rightarrow
  \;\, U$  ist unit\"ar :  $ U ^\dagger U = 1$ . \nz
$\kr 7 \vert \Psi \vert ^2 \glr \rho \, , \, \p \rho +$ div
 $\vc j = 0 , H = {1 \over 2m} (\vc p - q \vc A )^2 + q\Phi \;
 \Rightarrow \; \vc j = {1 \over 2m } [\Psi ^\ast (\vc p - q
 \vc A) \Psi + c.c.] $ \smallskip \nz
$\kr 8 \, H = {\rm const}_t \, , \, [H,A]=0 \;\,
 \Rightarrow \; \partial_t P(a,t) = 0  \, $ ; insbesondere
 {\mt bleibt} $\Psi \, H$-EF, falls solche bei $t=0$. \nz
$\kr 9 \, \partial_t < A(t) >_\psi = {i \over \hbar}
 <[H,A]>_\psi + < \p A >_\psi $. \qquad (Ehrenfest.
 \qquad "$\p x \, = \, ?$ "$ \; - \;$ Null !!)  \nz
$\kr {\!\! 10} \, m \partial_t^2 < x >_\psi = ... = < K(x)
 >_\psi \;\; = \, K(<x>) + {1 \over 2} K^{\prime \prime}
 (<x>) \cdot (\Delta x)^2 \, .... \;\;\, $ (exakt,
 wenn $K^{\prime \prime} \equiv 0$) \bigskip \nz
All dies ist untrennbar verbunden mit einem gesunden
Repertoire an streng l\"osbaren Beispielen: Kasten, Delta,
Kreisring, harmon.Oszillator, Relativ- und Schwerpunkt,
harmon.Molek\"ul, Blochwellen, Dirac-Kamm, Rotator, $V(r),
V_{eff}(r)$, H-Atom, $q$ in$\vc B$ (Landau-Niveaus), R und
D bzw. in 3D : $\sigma = i_{\rm aus}/j_{\rm ein}$ ,
$i_{\rm aus}$ mit $f(\vartheta , \varphi) \cdot e^{ikr} /r$ ,
zerflie\ss endes Gau\ss -Paket, $q$ in $\vc E$, Spin
${1 \over 2}$ und ideales Fermi- und Bose-System.

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
