%  st7.tex      Klausur St.WS 01/02 und Loesungen    

\documentclass[12pt]{article}  \pagestyle{empty}
\usepackage{german,amssymb} 

\hoffset -3mm    \textwidth 16.6cm   
\voffset -3.8cm  \textheight 28.2cm 

\font\mt=cmsl10 \font\gr=cmbx12 scaled \magstep5  
\input def  
\def\ep{\epsilon}
\def\rz{\vskip 1.4mm \noindent \rightskip=8mm} 

\def\pu#1{\vspace{-1mm} \nz \rightskip=0pt  \phantom{a} \hfill 
   \unitlength 1cm \begin{picture}(.8,.3) \put(.4,.4){\circle{.7}} 
   \put(.28,.24){{\large #1}} \end{picture}}
\def\ovpu#1{\vspace{-1mm} \nz \rightskip=0pt  \phantom{a} \hfill 
   \unitlength 1cm \begin{picture}(.8,.3) \put(.4,.4){\oval(1.1,.7)} 
   \put(.1,.24){{\large #1}} \end{picture}}

\begin{document}

\noindent
{\mt Universit\"at Hannover \hspace*{2.2cm} 
\lower 2mm\hbox{\LARGE\bf KLAUSUR}
\hfill am 2. Februar 2002 \\[-1mm]
\phantom{WS 2001/02} \hfill zur Statistischen Physik}
\vskip 3mm
\hrule

\vskip .2mm \rz
1) ~\lower 1mm\hbox{\unitlength 1cm \begin{picture}(2.6,1)
    \put(.2,0){\circle{.4}}    \put(.75,0){\circle{.4}}    
    \put(1.3,0){\circle{.4}}    \put(1.85,0){\circle{.4}}
    \put(-.04,-.6){\tiny G\,e\,s\,a\,m\,t\,s\,y\,s\,t\,e\,m} 
    \end{picture}} 
   \parbox[t]{12cm}{
   An jeden von 4 separaten Kreisringen ($R$) ist ein
   spinloses Teilchen ($m_0$, $m_0R^2\glr\theta$) gebunden.
   Welchen Entartungsgrad $\,g\,$ hat das Gesamtsystem
   bei Energie $\,E=\hbar^2/\theta\;$~?}
\vskip -1mm
\pu{2}
\vskip 1mm

\rz
2) ~\parbox[t]{13cm}{
   $N$ Protonen auf $\,2\,M\,$ Gitterpl\"atzen. Von diesen
   sind $M$ Pl\"atze (rechte H\"alfte) energetisch um $\,\ep\,$
   angehoben. ~$\,n\gll E/\ep\;$. ~Welchen extensiven} \   
\parbox[t]{.9cm}{\vskip .8mm \unitlength .5cm \begin{picture}(1,1)
\put(0,0){\line(1,0){4}} \put(0,2){\line(1,0){4}}
\put(0,0){\line(0,1){2}} \put(4,0){\line(0,1){2}}
\put(.6,.4){\tiny $M$} \put(2.7,.4){\tiny $M$}
\put(.34,1.3){\tiny $V\!=\!0$} 
\put(2.34,1.3){\tiny $V\!=\hbox{\scriptsize $\ep$}$}
\linethickness{.1pt} 
\multiput(2,0)(0,.56){4}{\line(0,1){.3}} \end{picture}} \\[1mm]
Anteil $\,S^{\rm ex}(E,N)\,$ 
hat die Entropie~? ~Wie h\"angt die Temperatur $\,T\,$ mit 
$\,n\,$, $\,N\,$ und \\
$\,M\,$ zusammen~? ~$\;n\!\to\!0\;\!: \; T\to\,\;?\;$ ~Und bei 
welchem $\,n\,$ geht $\,T\to + \infty\,$~?
\vskip -1mm
\pu{6}
\vskip 1mm

\rz
3) ~\parbox[t]{15.01cm}{
   {\sl Ein} Kreisring ($R$): ~mit wievielen ($N\!\!=?$) 
   nicht--ww.~Elektronen ist sein Zust\"andedia-- \\
gramm {(\ft malen?)} zu \glqq f\"ullen\grqq ,
   damit die Grundzustandsenergie bei $\,E_0=6 \hbar^2/\theta\,$ 
   liegt~? }
\pu{1}

\rz
4) ~\parbox[t]{11.2cm}{
  Ein \glqq Halbleiter\grqq\ mit dem skizzierten Zust\"andediagramm 
  enthalte (im Mittel) $\,N=4\,$ Elektronen ~({\ft in $\,g(0)=6\,,\,\; 
  g(\ep)=4\;\; {\rm ist}$}} \ \quad \lower 4mm\hbox{\unitlength 1cm 
   \begin{picture}(3,1)
     \put(0,0){\tiny $0$}  \put(0,.35){\ft $\ep$}
     \multiput(.33,-.04)(.5,0){6}{$-$}
     \multiput(.33,.34)(.5,0){4}{$-$}
  \end{picture}}
\\[1mm]
  {\ft die Spinfreiheit bereits verarbeitet}). ~Bei welcher
Temperatur $T_1$ ($T_1\!>\!0$) durchl\"auft das
chemische Potential den Wert $\,\mu=0\,$~? ~Und wie
(f\"uhrender Term) verh\"alt sich \\
$\,\mu(T)\,$ bei $\,T\to\infty$~?
\vskip -3mm
\pu{3}
\vskip 3mm

\rz
5) ~\parbox[t]{15cm}{
   Wei\ss er Zwerg in 4D (bei $T\!=\!0\,$). ~$\vc k$ hat 4 
   Komponenten, aber weiterhin ist $\,{\hbar^2 k^2\02m}\,$ die 
   Einteilchen--Energie. Wie h\"angen $N$ und $E$ mit dem 
   Fermi--Impuls $\,k_F\,$ zusammen} \\[1mm]
   ($\,\O_4=2\pi^2\,$) ~und wie folglich die Energiedichte 
   $\,\e\,$ mit der Teilchendichte $\,n\,$~? \\
   $\folg\;\;(\hbox{\ft Elektronen--Beitrag zur Sternenergie }
   E_{\rm el} \sim (\hbox{\ft Sternradius }R)^{\rm \,welche\, 
   Potenz~?}$ 
\pu{3}

\rz 
6) ~\parbox[t]{15cm}{
   Mit welcher $T$-Potenz ({\it nur} diese$\,$!$\,$) 
   w\"achst die spezifische W\"arme $c_{_V}$ eines \\
   Strahlungshohlraums in 25 (r\"aumlichen) Dimensionen? \\
   $T$--Potenz von $c_V$ eines ultra--relativistischen
   $\,e^+$--$e^-$--Plasmas in 25D~? }
\pu{2}

\rz
7) ~\parbox[t]{15cm}{
   BE--Kondensation. Ideale massive Bosonen m\"ogen der
   Einteilchen--Zustandsdichte $\,z(\e)=\a\,\theta(\e) \( 1 - 
   e^{-\g \e} \)\,$ folgen ({\ft $\a$, $\g$ positive Konstante}). 
   ~Welche Gleichung legt die} \\[1mm] 
Einstein--Temperatur $T_E$ fest~? ~Dabei st\"ort ein Integral. 
Wir f\"uhren es auf eine numerische Reihe ($\,\sum_{n=1}^\infty ...\,$) 
zur\"uck. Aber erst nach Beschr\"ankung derselben auf den \\ 
f\"uhrenden Term bez\"uglich $\,\g\to 0\,$ kommen wir an bei
$\,T_E=\;?$ 
\vskip -1mm
\pu{4}
\vskip 1mm

\rz
8) ~\parbox[t]{15cm}{
   Aus dem Potential $\; \cl H (S,p,N) = a {S^2\0N}\,\ln \big(
   {p\0p_0}\big)\,$ ({\ft $a,\;p_0$ positive Konstante}) soll die
  Freie Enthalpie $\,G(T,p,N)\,$ erhalten werden, und zwar 
  mittels expliziter Durchf\"uhrung} \\[1mm]
 der entsprechenden  Legendre--Transformation. ~Welche 
 (eigenwillig implizite) \\
 Zustandsgleichung l\"a\ss t sich aus 
 dem $\,G$--Resultat gewinnen~? 
\vskip -1mm
\pu{4}
\vskip 1mm

\rz
9) ~\parbox[t]{15cm}{
   Kenne $\,T=T(p,V,N)\,$ eines Systems, will 
   $\,\kappa_T =  - {1\0V} \6_p V\big)_{T,N}\,$ ausrechnen. ~Wie
   geht das~? ~Verwenden wir nun speziell $\,T(p,V,N)\,$ ($=?$)
   des Idealgases, so sollte \\ unsere allgmeine Formel auf
    $\,\kappa_T = 1/p\,$ f\"uhren. ~Tut sie's~? }
\vskip -2mm
\pu{2}
\vskip 2mm

\rz
10) ~\parbox[t]{15cm}{
     Linearisierte, relaxationszeitgen\"aherte 
Boltzmann--Gleichung ohne $\,\vc E,\;\nabla\mu,\;\nabla T,\,$ 
aber  {\sl mit} $\,\vc B$-- und $\ueb{_\bullet\;\!}{\phi_k}$--Term. 
Anfangswertproblem. ~Bei Start liege die ({\ft via $f_k=f_k^0-$}} \\
{\ft $f_k^{0\prime\e}\phi_k$ definierte}) Funktion $\,\phi_k(t\!=\!0)
=\vc a \vc k\,$ vor. ~Wie k\"onnte sich $\,\phi_k\,$ im Laufe 
der Zeit ver\"andern~? ~Welche Identifikation \"uberf\"uhrt die 
zu l\"osende Dgl auf welches bekann-- \\ 
te Problem der Mechanik~? ~({\ft Genug, nicht l\"osen, denn 
\"uber M. sind wir schon weit hinaus.})
\vskip -1mm
\pu{3}

\vskip 3mm
\hrule
\vskip 2.6mm \noindent
{\ft $1 + {1\02^2} + {1\03^2}+ \ldots = {\pi^2\06}$ \hfill
Zeit: 2 volle Stunden \hfill
{\bf limit~: ~9} ~Punkte \hfill erreichbar~: ~30 \phantom{a}} 
\\[-1.4mm]
\hspace*{3.6cm} {\tiny ( Vorlesungsmitschrift, \"Ubungsbl\"atter 
und deren eigene Bearbeitungen waren erlaubte Hilfsmittel. )}

\newpage  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\font\mt=cmsl10 \font\gr=cmbx12 scaled \magstep5  
\def\ep{\epsilon} \def\ln{\,{\rm ln}}
\def\k{~,~~}

\def\vm{\unitlength .7cm \begin{picture}(.7,.2) 
\put(.3,.2){\circle*{.4}}  \end{picture}}

\def\hm{\unitlength .7cm \begin{picture}(.7,.2) 
\put(.3,.2){\circle{.4}} \thicklines
\put(.33,.01){\line(0,1){.38}} \put(.36,.016){\line(0,1){.37}}
\put(.4,.026){\line(0,1){.35}} \put(.44,.07){\line(0,1){.27}}
\put(.37,.12){\tiny\bf )} \end{picture}}

\font\mt=cmsl10 
\def\rz{\vskip 5.5mm \noindent \rightskip=5mm} 

\noindent
{\mt Universit\"at Hannover \hspace*{2.2cm} 
\lower 2mm\hbox{\LARGE\bf L\"OSUNGEN}
\hfill zur Statistik--Klausur\\[-1mm]
\phantom{WS 2001/02} \hfill am 2. Februar 2002}
\vskip 3mm
\hrule

\vskip 2mm \rz
1) ~\parbox[t]{15.5cm}{
$\,E={\hbar^2\02\theta} ( m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 ) 
 \ueb{!}{=} {\hbar^2\02\theta}\cdot 2\,$. ~Also sind zwei 
der vier $m^2$ Null, und zwei sind Eins~\vm.
~Es gibt \raise .4mm\hbox{{\scriptsize 
$\(\matrix{4\cr 2\cr}\)$}}$=6\,$ M\"oglichkeiten, die beiden
Nullen auf 4 Pl\"atze zu verteilen~\hm. \\
Zu jedem $\,m^2=1\,$ geh\"oren die beiden Zust\"ande 
$m=\pm 1\;\,\;\folg \,\; g=6*2*2=24\,$~\hm. }

\rz
2) ~\parbox[t]{15.5cm}{
Zu gegebener Energie $\,E=n\ep\,$ befinden sich $\,n\,$ 
Protonen rechts~\hm. ~Entartungsgrad \\[.6mm]
von $\,E\,$: 
$\,g=$
\raise .4mm\hbox{{\scriptsize $\(\matrix{M\cr N-n\cr}\)$}}
\raise .4mm\hbox{{\scriptsize $\(\matrix{M\cr n\cr}\)$}} 
$= {M! \0 (N-n)!(M-N+n)!}\;{M! \0 n!(M-n)!}\;$\vm.  ~~~Stirling~: \\[1mm]
$\, S=\ln(g) = M\ln(M) - (N-n)\ln(N-n)$ $-(M-N+n)\ln(M-N+n)$ \\
\hspace*{17.2mm}  $+\;M\ln(M)-n\ln(n)-(M-n)\ln(M-n) + \lb 
\;\;\;\;\rb\;$~\vm  \\[1mm]  
mit $\,\lb \;\;\;\; \rb\,\gll -M + (N-n) + (M-N+n)
    - M + n + (M-n) = 0\;$~\hm. \\[1mm]
${1\0T}=\6_E S = {1\0\ep}\6_n S\,$~\hm \k
${\ep \0 T} = \ln(N-n) - \ln(M-N+n)-\ln(n) + \ln(M-n)\;$, d.h.\\
${\ep \0 T} = \ln\( (N-n)\,(M-n) \0 n\, (M-N+n)\)\,$\vm.
~~$\,n\to0\,$: ~rhs.$\to\infty\,$, $\,T\to 0\;$~\hm. 
~$\;T\to\infty\,$: ~ln--Argument \\     $\,=1\;$, d.h. 
$\,(N-n)\,(M-n) = n\,(M-N+n)$ \k $N-n=n$ \k $n=N/2\;$~\vm. }

\rz
3) ~\parbox[t]{15.5cm}{
\parbox[t]{2cm}{\vskip 2mm
\unitlength 12mm \begin{picture}(1,.2)
\linethickness{.4pt} 
   \multiput(.2,0)(.8,0){2}{\line(1,0){.2}}
   \multiput(.24,0)(.8,0){2}{\ft $_\bullet$}
 \multiput(.2,.2)(.4,0){4}{\line(1,0){.2}}
 \multiput(.24,.2)(.4,0){4}{\ft $_\bullet$}
   \multiput(.2,.8)(.4,0){4}{\line(1,0){.2}}
   \multiput(.24,.8)(.4,0){2}{\ft $_\bullet$}
\put(-.05,-.06){\tiny 0} \put(-.05,.14){\scriptsize 1} 
\put(-.05,.72){\scriptsize 4} \end{picture}} , ~denn diese 
$\,N=8\,$ bringen $\,E_0 = {\,\hbar^2\02\theta}\,
(2*0 + 4*1 + 2*4)\,$ auf $\,6\hbar^2/\theta\;$\vm. }

\vskip 1mm\rz
4) ~\parbox[t]{15.5cm}{
$\,4 = {6\0 e^{-\b \mu} + 1} + {4\0 e^{\b \ep} e^{-\b \mu} + 1}\,$~\vm.
~~$T_1$~: ~$\;e^{-\b\mu}=1\,$ gibt $\,1 = {4\0 e^{\b \ep} + 1}
\;\;\folg\;\; T_1= \ep / \ln(3)\,$~\vm. \\[1mm] 
$T\to\infty\,$: ~$\;e^{\b\ep} \to 1$ \k
$\,e^{-\b \mu} + 1\to 10/4$ \k $\mu \to -T \ln(3/2)\,$~\vm.}

\rz
5) ~\parbox[t]{15.5cm}{
$ N = 2\,{V\0 (2\pi)^4} \, \O_4 \int_0^{k_F}\!dk\; k^3 
    = {V\04\pi^2}\, k_F^4/4\,$~\vm, 
$\;E = {\hbar^2\0 2m}\, {V\0 4\pi^2}\; k_F^6/6\;$~\hm, \\
$\; \e = {\hbar^2\0 2m}\, {1\0 4\pi^2}\; {1\06}\,
    (16\pi^2\,n\,)^{3/2}\,$\hm. 
~$\,E_{\rm el} \sim V \cdot V^{-3/2} = V^{-1/2} \sim (R^4)^{-1/2}
\sim 1/R^2\,$~\vm. \\ ({\scriptsize Weil aber vermutlich in 4D
auch die Graviationsanziehung mit $-1/R^2$ geht, existiert der
4D--Wei\ss zwerg gar nicht.}) }

\rz
6) ~\parbox[t]{15.5cm}{
$E \sim \int \!\! dk\; k^{24} {k\0e^{\b \hbar c k}-1}\,$~\vm 
$\;\sim T^{26} \, , \;c_V \sim T^{25}\,$~\hm. \\
~$e^+$--$e^-\,$--Plasma hat nur $\,+$ statt $-$ im Nenner, 
also w\"achst sein $\,c_V\,$ ebenfalls $\,\sim T^{25}\,$~\hm.}

\rz
7) ~\parbox[t]{15.5cm}{
$N=\a \int_0^\infty \! d\e \; {\, 1 - e^{-\g\e}\, \0 
e^{\b\e} - 1}\,$\vm   $\; = \a T \int_0^\infty \! dx\; 
(1-e^{-\g T x })\, e^{-x} \sum_{n=0}^\infty e^{-nx}\,$\vm \\
$N = \a T \sum_{n=1}^\infty \({1\0n} 
    - {1\0 n+\g T} \)\,$~\hm. \quad
~~$ {1\0 n+\g T} = {1\0 n}(1-{\g T\0n})\,$~\hm \\
\phantom{a} \hfill $\folg\;\;
N=\a T\,\g T \sum_{n=1}^\infty {1\0n^2}= {\a\g \pi^2\06}\,T^2$ 
\k $T_E= \wu {{6 N\0 \a \g \pi^2}}\;$~\vm. }

\rz
8) ~\parbox[t]{15.5cm}{ {\ft Tabelle~:}
$G=\lk \cl H - TS \rki_{\hbox{\ft ~eliminiere $S$ mittels 
                                $T=\6_S \cl H\,)_{p,N}$}}\,$~\vm,
$\;T= {2aS\0N}\ln({p\0p_0})$ \k \\
$ S= {TN\02a \ln(\ldots)}\,$~\hm,
$\;G= {a\0N} {T^2N^2\04a^2 \ln^2} \cdot \ln - T {TN\0 2a \ln }
  = - {T^2N\0 4a \ln(\ldots)}\,$~\vm. ~~{\ft Tabelle~:}
    ~$\,V=\6_p G\,)_{T,N}\,$~\hm \\
$\,V = {T^2 N\04a}\,{1\0\ln^2}\,{1\0p}$ \k
  {\ft $ p \ln^2({p\0p_0}) \, v = {T^2 \04a}\,$~\vm.} }

\rz
9) ~\parbox[t]{15.5cm}{
$\dis \kappa_T = - {1\0V}\,{ \6(V,T) \0 \6(V,p) }\,
{ \6(V,p) \0 \6(p,T) }  =  
{1\0V}\, {\6_p T)_V \0 \6_V T)_p }\,$~\vm. \\ 
\phantom{a} \hfill Idealgas~: 
~$\; T= {pV\0N}\;$, $\,\6_p T)_V ={V\0N}\;$, 
$\,\6_V T)_p= {p\0N}\;$, $\,\kappa_T 
= {1\0V} \, {V\0N}\, {N\0p}\;$~\vm.
}

\rz
10) ~\parbox[t]{15.34cm}{
$ - \p \phi_k = q \big({\hbar \vcsm k \0 m} \times \vc B \big) 
{1\0\hbar} \nabla_k \phi_k + {1\0\tau} \phi_k\;$~\hm. 
~~DIE Idee ist $\;\phi_k = \vc a (t) \vc k\,$~\vm \\
und f\"uhrt auf $\;-\pvc a \vc k 
= {q\0m} \vc k (\vc B \times \vc a) + {1\0\tau} \vc a \vc k\,$~\hm
\ \ --- \ zu erf\"ullen $\,\forall\; \vc k$ \\ 
$\folg \;\; m \pvc a 
= q \vc a \times \vc B - {m\0\tau} \vc a\;$. ~Also lese man 
$\,\vc a\,$ als Geschwindigkeit einer Ladung $q$ im homogenen
Magnetfeld (mit $\,\vc v$--proportionaler Reibung)~\vm. }

\vskip 8mm 
\hspace*{1cm} \hbox{\ende}

\end{document}






