%  me4.tex         Mechanik ,  Winter 95 / 96
%  
%  Geladenes  Teilchen in  E , B  

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
\magnification=\magstep1
\nopagenumbers  % \raggedright
\hoffset 1.1cm   \hsize 13.2cm
\voffset -1.6cm \vsize 23cm
% \baselineskip 14pt
\font\gr=cmbx10
\font\mt=cmsl9

\input def    
\def\eq#1{\eqno{(\, {\rm E} \; . \; #1 \, )}}
\def\e#1{$\, (\, {\rm E} \; . \; $#1$\, )\;$}

% verbundene Gleichheitszeichen
\def\glo{ = \hskip -7pt \raise 1pt\hbox{\vrule depth .2cm}
    \hskip 7pt}
\def\glu{ = \hskip -7pt \raise 0.63cm\hbox{\vrule depth 0.5cm}
   \hskip 7pt}

\rightline{ \mt Elektrodynamik \enskip SS 1991}
\rightline{ \mt Mechanik \enskip WS 1995 / 96}
\vskip .3cm 
\nz \hskip 2.5cm {\bf Geladenes Teilchen in} $\,\vc E \, ,\; \vc B$
\bigskip \smallskip
Dies ist ein Problem der Mechanik$\,$: $ \; m \,\ppvc r = q \;
( \vc E + \; \vc v \times \vc B ) $ . Innerhalb der
elektromagnetisch--mechanischen Welt allerdings das einzige.
Die zugeh\"orige La\-gran\-ge--Funk\-tion hat somit den Rang eines
{\sl First Principle} $\,$(oder eines Teiles eines solchen).
Im nicht--relativistischen Grenzfall lautet sie
$$ L = {m \over 2} \vc v ^2 - q \, \phi + q \, \vc v \!\vc A
   \eq 1 $$
(einzige relativistische Modifikation$\,$: ${m \over 2}
\vc v ^2 \rightarrow \, - m c^2 \wu {1 - {v^2 \over c^2}})\,$.
Um diese Behauptung nachzupr\"ufen, stellen wir die Lagrangeschen
Bewegungsgleichungen $\; d_t (\nabla _v L) = \nabla_r L \;$
auf
$\, ( \, q_i \, : \, \vc r \; ; \; \pvc r \glr \vc v \,$)
und rechnen aus$\,$:
\nz \leftskip 1.2cm \nz
$ \hskip 1.24cm d_t (m \vc v + q \vc A ) \glo -q \nabla \phi 
  + q \apf \nabla (\vc v \!\!\apf {\vc A} ) $ \nz
\vskip -.2cm \nz
$ m \pvc v + q \, (\vc v  \nabla ) \vc A + \, q \pvc A \glu 
    \phantom{- q \nabla \phi + q \nabla ( \vc v  \vc A )} \;\;\; $
 , d.h. \nz
$  m \pvc v \glo q \, (- \nabla \phi - \pvc A ) + q \,
   [ \apf \nabla ( \vc v \!\!\apf {\vc A} ) - (\vc v \nabla ) \vc A ]
   \;\;\; , \;\;\, [ \;\;\; ] 
   = \vc v \times ( \nabla \times \vc A ) $ \nz 
\vskip -.16cm \nz
$ \hskip .67cm  \glu q \, ( \, \vc E + \; \vc v \times \vc B ) 
  $ \qquad , qed . 
\nz \leftskip 0pt \nz
Obacht$\,$: in obiger Rechnung (wie auch sonst in der 
Elektrodynamik) ist mit $\pvc A = \6_t \vc A (\vc r , t )$ 
die partielle Ableitung gemeint$\,$; $\vc A$ ist Feld (ebenso
$\chi$ in der nachfolgenden Passage) und nicht Koordinate 
eines Teilchens.
\medskip \smallskip
Geht man per \ $\phi \rightarrow \phi - \p \chi \; , \; \vc A
\rightarrow \vc A + \nabla \vc \chi $ \ zu anderen Potentialen
\"uber, dann reflektiert \ $L \rightarrow L + q \p \chi + q
\pvc r \nabla \chi = L + q d_t \chi $ \ die Eichinvarianz der
Realit\"at.
\bigskip\smallskip
Mit den verallgemeinerten Impulsen \ $ \vc p _V \gll
\nabla _v L = m \vc v + q \vc A $ \ k\"onnen wir die
Hamilton--Funktion
\ $\, H \gll \lk \vc v \vc p _V - L \rki_{{\rm eliminiere}\; 
\vcsm v \;{\rm zugunsten\; von} \; \vcsm p_V \;!\;}$ 
\ bilden, d.h. $\;\vc v = {1\over m}(\vc p _V -q\vc A)\;$ in 
\ $[ \;\;\;\; ] = m \vc v ^2 + q\,\vc v \vc A - {1 \over 2}
   m \vc v ^2 + q \, \phi - q\,\vc v \vc A = {1\over2}m \vc v^2 
+ q \phi\; $ \ einsetzen$\,$:
\vskip -4mm
$$ H = {1 \over 2 m } \(\vc p _V - q\vc A \)^{\!\lower 1mm\hbox{2}} 
+ q \,\phi \quad . \eq 2 $$
Es ist {\sl diese} Hamilton--Funktion, welche in der 
Quantenmechanik ben\"otigt wird, und zwar in Kombination mit 
der Regel, wonach der kartesische (!) verallgemeinerte Impuls 
(n\"am\-lich $\vc p _V$) durch \ $ {\hbar \over i} \nabla \glr 
\vc p $ \ zu ersetzen ist. Mehr noch$\,$: die gesamte 
nicht--relativistische Quantenmechanik (Spin ist relativistischer 
Effekt) kommt aus mit einem einzigen Hamilton--Operator, 
\ welcher ? \ --- \ \e 2 !$\,$.
\bigskip
{\sl Mu\ss ten} wir $L\;$ "raten" und sodann als "Behauptung"
nachpr\"ufen ? Keineswegs. $\,$Aus $\; - m \pvc v + \, q \vc E
+ \, q \vc v \times \vc B = 0$ \ folgt
\nz
$$ \int_{t_1}^{t_2} \! dt \biggl( - \vc \eta \cdot m 
  \ppvc r - q \vc \eta \nabla \phi - q \vc \eta \pvc A 
  + q \,\vc \eta \cdot [ \apf \nabla ( \vc v \!\!\apf {\vc A}) ]
  - q \,\vc \eta \cdot [ (\vc v \nabla  ) \vc A]  \biggr) = 0
  \quad , $$ 
\vskip -.05cm \nz
und mit $\; \pvc A = d_t \vc A - (\vc v \nabla ) \vc A \;$
sowie den partiellen Integrationen
\ $ \vc \eta \ppvc r \rightarrow - \pvc \eta \pvc r$ \ und
\ $ \vc \eta d_t \vc A \rightarrow - \pvc \eta \vc A$ \ entsteht
\ $ \int_{t_1}^{t_2} \! dt \biggl( \; \delta ( {m \over 2}
  \pvc r ^2 ) - q \delta \phi + q \delta (\vc v \vc A ) \biggr) 
  = \delta \int_{t_1}^{t_2} \! dt L = 0 \;\; ,\; {\rm qed}\; .$

\vskip 2mm
\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end