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Algebren, Gruppen und Symmetrien in der Physik

Auf dieser Seite werden die Materialien zu zahlreichen Vorlesungen bereitgestellt, die unter dem Thema Algebren, Gruppen und Symmetrien in der Physik zusammengefasst werden können.

Inhalt

  1. Die Lorentzgruppe
  2. Lie-Algebren in der QCD
  3. Auswahlregeln und Tensorprodukte
  4. Tensorprodukte und Young-Tableaux
  5. Das Standardmodell und Darstellungstheorie
  6. Vereinheitlichte Theorien und Lie-Unteralgebren
  7. Supersymmetrische Erweiterungen des Standardmodells
  8. Auslick auf unendlich dimensionale Lie-Algebren und String-Theorie
  9. Lie-Gruppen in der Festkörperphysik, z.B. in der Hochtemperatur-Supraleitung

Downloads

Datum   Vortragsthema Sprecher
22.11.2010 Standardmodell und Darstellungstheorie Torsten Hartmann
06.12.2010 Auswahlregeln und Tensorprodukte Sergej Pugach
03.01.2011 Tensorprodukte und Young-Tableaux Sarah Paczkowski
17.01.2011 Vereinheitlichte Theorien und Lie-Unteralgebren Roman Avramenko
31.01.2011 Lie-Gruppen in der Festkörperphysik Lars Prelle
14.02.2011 Supersymmetrie und MSSM Matthias Freise

Literatur

  • Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, Gauge Theory of elementary particle physics, Oxford University Press (1988)
  • Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
  • Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
  • Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
  • Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

Inhalt

  1. Die Lorentzgruppe
  2. Lie-Algebren in der QCD
  3. Auswahlregeln und Tensorprodukte
  4. Tensorprodukte und Young-Tableaux
  5. Das Standardmodell und Darstellungstheorie
  6. Vereinheitlichte Theorien und Lie-Unteralgebren
  7. Supersymmetrische Erweiterungen des Standardmodells
  8. Auslick auf unendlich dimensionale Lie-Algebren und String-Theorie
  9. Lie-Gruppen in der Festkörperphysik, z.B. in der Hochtemperatur-Supraleitung

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Datum   Vortragsthema Sprecher
22.11.2010 Standardmodell und Darstellungstheorie Torsten Hartmann
06.12.2010 Auswahlregeln und Tensorprodukte Sergej Pugach
03.01.2011 Tensorprodukte und Young-Tableaux Sarah Paczkowski
17.01.2011 Vereinheitlichte Theorien und Lie-Unteralgebren Roman Avramenko
31.01.2011 Lie-Gruppen in der Festkörperphysik Lars Prelle
14.02.2011 Supersymmetrie und MSSM Matthias Freise

Literatur

  • Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, Gauge Theory of elementary particle physics, Oxford University Press (1988)
  • Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
  • Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
  • Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
  • Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

 

 

Inhalt

Symmetrien spielen in der modernen Physik eine entscheidende Rolle. Die einem oft verstreut begegnenden Beispiele wie das Noether-Theorem in der theoretischen Mechanik, die Eichinvarianz in der Elektrodynamik, und Darstellungen der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik sollen in dieser Vorlesung in ihren gemeinsamen Aspekten betrachtet und in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt allerdings auf der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und besonders Lie-Algebren.
    Ein Ziel ist die Klassifikation der komplexen einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelschen Eichfeldtheorien, auftreten können. Die Erarbeitung der notwendigen Mathematik soll Hand in Hand mit der ausführlichen Betrachtung von Beispielen gehen.
    Das zweite wichtige Ziel dieser Vorlesung ist die Heranführung an modernere Methoden der theoretischen Physik, bei denen der algebraische Zugang im Vordergrund steht. Wenn es die Zeit erlaubt, werden am Ende der Vorlesung auch kurz unendlich-dimensionale Algebren vorgestellt, die z.B. in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.

Voraussetzungen

Ab 6. Semester, Schwerpunkt Master. Quantenmechanik (z.B. Drehimpulsalgebra), Elektrodynamik (z.B.Eichinvarianz), Mechanik (z.B. Noether-Theorem). Außerdem eine gute Portion Spaß an mathematischen und abstrakten Strukturen.

Downloads

Wintersemester 2000/01

H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7
Handouts pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf

Sommersemester 2001 (Seminar)

Datum   Vortragsthema Sprecher
23.04.2001 Das Haar-Maß:
Ein invariantes Integrations-Maß auf Gruppenmannigfaltigkeiten
Marco Krohn
30.04.2001 WZNW Modelle:
Gruppen-wertige Felder und klassische WZW Modelle
Temo Vekua
07.05.2001 WZNW Modelle:
Topologischer Term und erhöhte Symmetrie
Temo Vekua
14.05.2001 Geometrischer Zugang zur klassischen Stringtheorie Jacob Nielsen
21.05.2001 Bosonischer String und die Liouville Gleichung Jacob Nielsen
25.06.2001 Doppelt supersymmetische Strings und Super-Einbettungen Oleksiy Maznytsya
02.07.2001 Drei-dimensionaler N=2 Superstring und das reduzierte SL(2,R) WZW Modell Oleksiy Maznytsya  

Sommersemester 2010


N I II III IIIa IV V VI VII VIII IX X Exam
Handouts pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf
Übungen pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf

Literatur

  • Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin/Cummings (1984)
  • J. Fuchs and C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
  • William Fulton and Joe Harris, Representation Theory, Springer-Verlag (1991) GTM vol. 129
  • Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
  • Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
  • Brian C. Hall, An Elementary Introduction to Groups and Representations, arXiv:math-ph/0005032
  • Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press (1978)
  • James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1970) GTM vol. 9
  • H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
  • Hans Samelson, Note on Lie Algebras, Springer-Verlag (1980) Universitext
  • Nils-Peter Skoruppa, A Crash Course in Lie Algebras, Université Bordeaux (1997)
  • Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
  • Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

Inhalt

Symmetrien spielen in der modernen Physik eine entscheidende Rolle. Die einem oft verstreut begegnenden Beispiele wie das Noether-Theorem in der theoretischen Mechanik, die Eichinvarianz in der Elektrodynamik, und Darstellungen der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik sollen in dieser Vorlesung in ihren gemeinsamen Aspekten betrachtet und in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt allerdings auf der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und besonders Lie-Algebren.
    Ein Ziel ist die Klassifikation der komplexen einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelschen Eichfeldtheorien, auftreten können. Die Erarbeitung der notwendigen Mathematik soll Hand in Hand mit der ausführlichen Betrachtung von Beispielen gehen.
    Das zweite wichtige Ziel dieser Vorlesung ist die Heranführung an modernere Methoden der theoretischen Physik, bei denen der algebraische Zugang im Vordergrund steht. Wenn es die Zeit erlaubt, werden am Ende der Vorlesung auch kurz unendlich-dimensionale Algebren vorgestellt, die z.B. in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.

Voraussetzungen

Ab 6. Semester, Schwerpunkt Master. Quantenmechanik (z.B. Drehimpulsalgebra), Elektrodynamik (z.B.Eichinvarianz), Mechanik (z.B. Noether-Theorem). Außerdem eine gute Portion Spaß an mathematischen und abstrakten Strukturen.

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Wintersemester 2000/01

H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7
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Sommersemester 2001 (Seminar)

Datum   Vortragsthema Sprecher
23.04.2001 Das Haar-Maß:
Ein invariantes Integrations-Maß auf Gruppenmannigfaltigkeiten
Marco Krohn
30.04.2001 WZNW Modelle:
Gruppen-wertige Felder und klassische WZW Modelle
Temo Vekua
07.05.2001 WZNW Modelle:
Topologischer Term und erhöhte Symmetrie
Temo Vekua
14.05.2001 Geometrischer Zugang zur klassischen Stringtheorie Jacob Nielsen
21.05.2001 Bosonischer String und die Liouville Gleichung Jacob Nielsen
25.06.2001 Doppelt supersymmetische Strings und Super-Einbettungen Oleksiy Maznytsya
02.07.2001 Drei-dimensionaler N=2 Superstring und das reduzierte SL(2,R) WZW Modell Oleksiy Maznytsya  

Sommersemester 2010


N I II III IIIa IV V VI VII VIII IX X Exam
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Übungen pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf

Literatur

  • Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin/Cummings (1984)
  • J. Fuchs and C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
  • William Fulton and Joe Harris, Representation Theory, Springer-Verlag (1991) GTM vol. 129
  • Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
  • Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
  • Brian C. Hall, An Elementary Introduction to Groups and Representations, arXiv:math-ph/0005032
  • Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press (1978)
  • James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1970) GTM vol. 9
  • H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
  • Hans Samelson, Note on Lie Algebras, Springer-Verlag (1980) Universitext
  • Nils-Peter Skoruppa, A Crash Course in Lie Algebras, Université Bordeaux (1997)
  • Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
  • Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

 

 

Inhalt

Symmetrien spielen in der modernen Physik eine entscheidende Rolle. Die einem oft verstreut begegnenden Beispiele wie das Noether-Theorem in der theoretischen Mechanik, die Eichinvarianz in der Elektrodynamik, und Darstellungen der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik sollen in dieser Vorlesung in ihren gemeinsamen Aspekten betrachtet und in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt allerdings auf der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und besonders Lie-Algebren.
    Ein Ziel ist die Klassifikation der komplexen einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelschen Eichfeldtheorien, auftreten können. Die Erarbeitung der notwendigen Mathematik soll Hand in Hand mit der ausführlichen Betrachtung von Beispielen gehen.
    Das zweite wichtige Ziel dieser Vorlesung ist die Heranführung an modernere Methoden der theoretischen Physik, bei denen der algebraische Zugang im Vordergrund steht. Wenn es die Zeit erlaubt, werden am Ende der Vorlesung auch kurz unendlich-dimensionale Algebren vorgestellt, die z.B. in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.

Voraussetzungen

Ab 5. Semester. Quantenmechanik (z.B. Drehimpulsalgebra), Elektrodynamik (z.B. Eichinvarianz), Mechanik (z.B. Noether-Theorem). Außerdem eine gute Portion Spaß an mathematischen und abstrakten Strukturen.

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Wintersemester 2005/06

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
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Übungen pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf

Wintersemester 2004/05


I II III IV V VI VII VIII
Handouts pdf pdf pdf pdf pdf pdf pdf
Seminars pdf pdf pdf pdf
Extras pdf pdf pdf pdf

Literatur

  • Gordon Baym and Leo P. Kadanoff, Quantum Statistical Mechanics, W. A. Benjamin 1962
  • Richard P. Faynman, Statistical Mechanics: A Set of Lectures, W. A. Benjamin 1972
  • R.K. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon Press 1982
  • F. Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics, McGraw-Hill 1965
  • H. Schulz, Statistische Physik, Harri Deutsch 2005
  • Franz Schwabl, Advanced quantum mechanics, Springer 1999

Inhalt

Symmetrien spielen in der modernen Physik eine entscheidende Rolle. Die einem oft verstreut begegnenden Beispiele wie das Noether-Theorem in der theoretischen Mechanik, die Eichinvarianz in der Elektrodynamik, und Darstellungen der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik sollen in dieser Vorlesung in ihren gemeinsamen Aspekten betrachtet und in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt allerdings auf der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und besonders Lie-Algebren.
    Ein Ziel ist die Klassifikation der komplexen einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelschen Eichfeldtheorien, auftreten können. Die Erarbeitung der notwendigen Mathematik soll Hand in Hand mit der ausführlichen Betrachtung von Beispielen gehen.
    Das zweite wichtige Ziel dieser Vorlesung ist die Heranführung an modernere Methoden der theoretischen Physik, bei denen der algebraische Zugang im Vordergrund steht. Wenn es die Zeit erlaubt, werden am Ende der Vorlesung auch kurz unendlich-dimensionale Algebren vorgestellt, die z.B. in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.

Voraussetzungen

Ab 5. Semester. Quantenmechanik (z.B. Drehimpulsalgebra), Elektrodynamik (z.B. Eichinvarianz), Mechanik (z.B. Noether-Theorem). Außerdem eine gute Portion Spaß an mathematischen und abstrakten Strukturen.

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Wintersemester 2005/06

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
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Wintersemester 2004/05


I II III IV V VI VII VIII
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Seminars pdf pdf pdf pdf
Extras pdf pdf pdf pdf

Literatur

  • Gordon Baym and Leo P. Kadanoff, Quantum Statistical Mechanics, W. A. Benjamin 1962
  • Richard P. Faynman, Statistical Mechanics: A Set of Lectures, W. A. Benjamin 1972
  • R.K. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon Press 1982
  • F. Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics, McGraw-Hill 1965
  • H. Schulz, Statistische Physik, Harri Deutsch 2005
  • Franz Schwabl, Advanced quantum mechanics, Springer 1999

 

 

Inhalt

Das Seminar richtet sich zwar in erster Linie an die Mitglieder meiner Arbeitsgruppe, steht aber natürlich fortgeschrittenen mathematisch interessierten Studenten, die sich in Richtung der theoretischen Hochenergie-Physik spezialisieren wollen, offen.
    Ziel ist es, den Ansatz von Nathan Seiberg und Edward Witten für effektive Niederenergie-Feldtheorien zu N=2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorien (nicht-abelsche Eichtheorien) nachzuvollziehen und zu verstehen, wie diese effektiven Theorien vollständig und exakt gelöst werden können.
    Der erste Teil des Seminars widmet sich den Grundlagen wie Monopole und Supersymmetrie. Der zweite Teil des Seminars widmet sich der Konstruktion der effektiven Nieder-Energie-Theorien, der Berechnung ihrer BPS-Spektren und der Analyse ihrer Phasen.

Downloads

Teil I

Datum   Vortragsthema Sprecher
11.11.2004 Monopole I Nils Carqueville
18.11.2004 Monopole II Magnus Engenhorst
25.11.2004
Diskussion
Charakteristische Klassen Magnus Engenhorst
09.12.2004 Supersymmetrie I Johannes Meisig
05.01.2005 Supersymmetrie II Annekathrin Müller-Lohmann
27.01.2005 Die Lösung der SU(2)-Theorie
nach Seiberg-Witten
Holger Eberle

Teil II

Im zweiten Teil wurden die Vorträge mit Tafel und Kreide gehalten, es gibt daher keine pdf Versionen ;-) 

Literatur

Inhalt

Das Seminar richtet sich zwar in erster Linie an die Mitglieder meiner Arbeitsgruppe, steht aber natürlich fortgeschrittenen mathematisch interessierten Studenten, die sich in Richtung der theoretischen Hochenergie-Physik spezialisieren wollen, offen.
    Ziel ist es, den Ansatz von Nathan Seiberg und Edward Witten für effektive Niederenergie-Feldtheorien zu N=2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorien (nicht-abelsche Eichtheorien) nachzuvollziehen und zu verstehen, wie diese effektiven Theorien vollständig und exakt gelöst werden können.
    Der erste Teil des Seminars widmet sich den Grundlagen wie Monopole und Supersymmetrie. Der zweite Teil des Seminars widmet sich der Konstruktion der effektiven Nieder-Energie-Theorien, der Berechnung ihrer BPS-Spektren und der Analyse ihrer Phasen.

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Teil I

Datum   Vortragsthema Sprecher
11.11.2004 Monopole I Nils Carqueville
18.11.2004 Monopole II Magnus Engenhorst
25.11.2004
Diskussion
Charakteristische Klassen Magnus Engenhorst
09.12.2004 Supersymmetrie I Johannes Meisig
05.01.2005 Supersymmetrie II Annekathrin Müller-Lohmann
27.01.2005 Die Lösung der SU(2)-Theorie
nach Seiberg-Witten
Holger Eberle

Teil II

Im zweiten Teil wurden die Vorträge mit Tafel und Kreide gehalten, es gibt daher keine pdf Versionen ;-) 

Literatur

 

 

Inhalt

Wir erarbeiten zusammen das kleine Büchlein “Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras” von Victor Kac und Ashok Raina. Das Buch ist in 12 Vorträge gegliedert. Folgende Themen werden wir behandeln bzw. anreißen:

  • Virasoro Algebra und ihre Darstellungen (Verma Module, irreduzible Module, unitäre Darstellungen);
  • Lie-Algebren unendlich-dimensionaler Matrizen, deren Darstellungen und die zugehörigen bosonischen und fermionischen Fockräume;
  • Bosonen-Fermionen-Korrespondenz (ein in der modernen Festkörperphysik sehr wichtiges Konzept);
  • Vertex-Operatoren (ein in der Stringtheorie und der konformen Feldtheorie wichtiges Konzept);
  • Schur-Polynome (mögen Mathematiker und Kombinatoriker auch sehr gern);
  • Solitonen am Beispiel der KP-Hierarchie von partiellen Differentialgleichungen;
  • Kac-Determinante, Sugawara-Konstruktion und Goddard-Kent-Olive-Konstruktion (diese Konzepte sind in der konformen Feldtheorie sehr wichtig);
  • Weyl-Kac Charakterformel und Theta-Funktionen;

Dieses Seminar stellt damit mathematische Grundlagen und Konzepte zur Verfügung, die in modernen Zweigen der theoretischen Physik wie der Stringtheorie, aber auch in Bereichen der Festkörperphysik, eine zentrale Rolle spielen. Konkrete Anwendungsbeispiele werden wir, sofern es die Zeit zuläßt, hin und wieder ansprechen.

Voraussetzungen

7. Semester, ggf. auch 5. Semester. Quantenmechanik ist essentiell. Grundkenntnisse in Lie-Algebren sind sehr hilfreich. Etwas Gruppentheorie und statistische Physik schaden nicht. Wirklich wichtig ist aber Spaß an mathematischen Strukturen in der Physik.

Downloads

Datum   Vortragsthema Sprecher
12.11.03 Lie-Algebra d komplexer Vektorfelder auf dem Kreis
Darstellungen von d
Zentrale Erweiterung von d: Die Virasoro-Algebra
Ingmar Kanitscheider
19.11.03 Darstellungen positiver Energie der Virasoro-Algebra
Die Oszillator-Algebra A
Oszillator-Darstellung der Virasoro-Algebra
Daniel Krefl
26.11.03 Vollständige Reduzibilität der Oszillator-Darstellung
Höchstgewichtsdarstellungen der Virasoro-Algebra
Verma- und irreduzible Darstellungen
Julia Voelskow
03.12.03 Lie-Algebren unendlich-dimensionaler Matrizen
Der Raum unendlicher Dach-Produkte F und der Dirac-See
Darstellungen unendlich-dimensionaler Lie-Algebren in F
Nils Carqueville
10.12.03 Die Bosonen-Fermionen Korrespondenz (Teil 1)
Dach- und Kontraktions-Operatoren
Vertex-Operatoren
Peter Henseler
17.12.03 Einführung in Solitonen Christian Lenk
07.01.04 Schur-Polynome
Bosonen-Fermionen Korrespondenz (Teil 2)
Struktur der c=1 Darstellungen der Virasoro-Algebra
Annekathrin Müller-Lohmann
14.01.04 Der Orbit des Vakuum-Zustandes |0> unter GLoo
Definierende und Differential-Gleichungen für |0>
Die Hirota Bilinear-Gleichung, die KP-Hierarchie und Solitonen
Jörg Pohle
21.01.04 Degenerierte Darstellungen der Virasoro-Algebra
Die Kac-Determinante und eine Formel für sie
Konsequenzen der Kac-Determinante für Unitarität
Michael Flohr ;)
28.01.04 Kac-Moody-Algebren zu gl(n) und sl(n)
Darstellungen von Kac-Moody-Algebren
Steffen Stern
03.02.04 Nicht-Abelsche Verallgemeinerung der Virasoro-Algebra
Die Sugawara-Konstruktion
Die Goddard-Kent-Olive-Konstruktion
Beate Griepernau

Literatur

<map id="lie_ws_03_tlk" name="lie_ws_03_lit">

  • V.G. Kac, A.K. Raina, Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras, Adv. Series Math. Phys., Vol. 2, World Scientific (1987)
  • J. Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press (1992)
  • P. Goddard, D. Olive (eds.), Kac-Moody and Virasoro Algebras, World Scientific (1988)
  • V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras (2nd ed.), Cambridge University Press (1990)
  • Eine schöne Zusammenfassung vor allem der ersten Lectures findet sich, neben anderem, in einem Auszug aus der Masters-Thesis von Jonas T. Hartwig, Highest weight representations of the Virasoro algebra.

</map>

Inhalt

Wir erarbeiten zusammen das kleine Büchlein “Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras” von Victor Kac und Ashok Raina. Das Buch ist in 12 Vorträge gegliedert. Folgende Themen werden wir behandeln bzw. anreißen:

  • Virasoro Algebra und ihre Darstellungen (Verma Module, irreduzible Module, unitäre Darstellungen);
  • Lie-Algebren unendlich-dimensionaler Matrizen, deren Darstellungen und die zugehörigen bosonischen und fermionischen Fockräume;
  • Bosonen-Fermionen-Korrespondenz (ein in der modernen Festkörperphysik sehr wichtiges Konzept);
  • Vertex-Operatoren (ein in der Stringtheorie und der konformen Feldtheorie wichtiges Konzept);
  • Schur-Polynome (mögen Mathematiker und Kombinatoriker auch sehr gern);
  • Solitonen am Beispiel der KP-Hierarchie von partiellen Differentialgleichungen;
  • Kac-Determinante, Sugawara-Konstruktion und Goddard-Kent-Olive-Konstruktion (diese Konzepte sind in der konformen Feldtheorie sehr wichtig);
  • Weyl-Kac Charakterformel und Theta-Funktionen;

Dieses Seminar stellt damit mathematische Grundlagen und Konzepte zur Verfügung, die in modernen Zweigen der theoretischen Physik wie der Stringtheorie, aber auch in Bereichen der Festkörperphysik, eine zentrale Rolle spielen. Konkrete Anwendungsbeispiele werden wir, sofern es die Zeit zuläßt, hin und wieder ansprechen.

Voraussetzungen

7. Semester, ggf. auch 5. Semester. Quantenmechanik ist essentiell. Grundkenntnisse in Lie-Algebren sind sehr hilfreich. Etwas Gruppentheorie und statistische Physik schaden nicht. Wirklich wichtig ist aber Spaß an mathematischen Strukturen in der Physik.

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Datum   Vortragsthema Sprecher
12.11.03 Lie-Algebra d komplexer Vektorfelder auf dem Kreis
Darstellungen von d
Zentrale Erweiterung von d: Die Virasoro-Algebra
Ingmar Kanitscheider
19.11.03 Darstellungen positiver Energie der Virasoro-Algebra
Die Oszillator-Algebra A
Oszillator-Darstellung der Virasoro-Algebra
Daniel Krefl
26.11.03 Vollständige Reduzibilität der Oszillator-Darstellung
Höchstgewichtsdarstellungen der Virasoro-Algebra
Verma- und irreduzible Darstellungen
Julia Voelskow
03.12.03 Lie-Algebren unendlich-dimensionaler Matrizen
Der Raum unendlicher Dach-Produkte F und der Dirac-See
Darstellungen unendlich-dimensionaler Lie-Algebren in F
Nils Carqueville
10.12.03 Die Bosonen-Fermionen Korrespondenz (Teil 1)
Dach- und Kontraktions-Operatoren
Vertex-Operatoren
Peter Henseler
17.12.03 Einführung in Solitonen Christian Lenk
07.01.04 Schur-Polynome
Bosonen-Fermionen Korrespondenz (Teil 2)
Struktur der c=1 Darstellungen der Virasoro-Algebra
Annekathrin Müller-Lohmann
14.01.04 Der Orbit des Vakuum-Zustandes |0> unter GLoo
Definierende und Differential-Gleichungen für |0>
Die Hirota Bilinear-Gleichung, die KP-Hierarchie und Solitonen
Jörg Pohle
21.01.04 Degenerierte Darstellungen der Virasoro-Algebra
Die Kac-Determinante und eine Formel für sie
Konsequenzen der Kac-Determinante für Unitarität
Michael Flohr ;)
28.01.04 Kac-Moody-Algebren zu gl(n) und sl(n)
Darstellungen von Kac-Moody-Algebren
Steffen Stern
03.02.04 Nicht-Abelsche Verallgemeinerung der Virasoro-Algebra
Die Sugawara-Konstruktion
Die Goddard-Kent-Olive-Konstruktion
Beate Griepernau

Literatur

<map id="lie_ws_03_tlk" name="lie_ws_03_lit">

  • V.G. Kac, A.K. Raina, Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras, Adv. Series Math. Phys., Vol. 2, World Scientific (1987)
  • J. Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press (1992)
  • P. Goddard, D. Olive (eds.), Kac-Moody and Virasoro Algebras, World Scientific (1988)
  • V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras (2nd ed.), Cambridge University Press (1990)
  • Eine schöne Zusammenfassung vor allem der ersten Lectures findet sich, neben anderem, in einem Auszug aus der Masters-Thesis von Jonas T. Hartwig, Highest weight representations of the Virasoro algebra.

</map>

 

 

Inhalt

Beginnend mit einer Diskussion von Lorentztransformationen und speziell von Spinoren, führen wir die Supersymmetriealgebra ein. Das mathematische Konzept soll dann kurz anhand gradierter Lie-Algebren diskutiert werden. An einfachen Modellen werde ich das Wess-Zumino-Modell, Supersymmetrische QED und Supersymmetrische Eichtheorien in der Wess-Zumino-Eichung durchnehmen. Ferner möchte ich diskutieren, wie die Supersymmetrie, die bei unseren niedrigen Alltagsenergien nicht beobachtet wird, gebrochen wird. Anschließend sollen die Grundzüge der minimalen supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) erarbeitet werden. Wenn es die Zeit erlaubt, will ich noch die exakte Lösung von N=2 Super-Yang-Mills-Theorien a la Seiberg und Witten besprechen.

Voraussetzungen

7. Semester, ggf. auch 5. Semester. Quantenmechanik ist essentiell. Grundkenntnisse in Lie-Algebren und deren Darstellungstheorie, wie sie z.B. in meiner Vorlesung vom SS 2003 erarbeitet wurden, sind sehr hilfreich, ebenso wie ein Grundwissen zu Feldtheorien. Wichtig ist, Spaß an mathematischen Strukturen in der Physik zu haben.

Downloads


I II III IV Extrablatt V VI VII
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Literatur

  • Jonathan Bagger, Julius Wess, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press (1990)
  • Stephen Weinberg, The quantum theory of fields, insbesondere Volume 3 Supersymmetry, Cambridge University Press (1999)
  • M.F. Sohnius, Introducing Supersymmetry, Phys.Rept. 128 (1985) 39-204
  • H.P. Nilles, Supersymmetry, Supergravity and Particle Physics, Phys.Rept. 110 (1984) 1
  • S. Martin, A Supersymmetry primer, arXiv:hep-ph/9709356
  • J.M. Figueroa-O'Farrill, Busstepp Lectures on Supersymmetry, BUSSTEPP 2000 (Oxford) and 2001 (Manchester)
  • Ioseph L.Buchbinder, Sergei M. Kuzenko, Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or A Walk Through Superspace, Institute of Physics Publishing, Bristol (1995)
  • Peter West, Introduction to Supersymmetry and Supergravity, World Scientific (1986)
  • Peter Freund, Introduction to Supersymmetry, Cambridge University Press (1986)

Inhalt

Beginnend mit einer Diskussion von Lorentztransformationen und speziell von Spinoren, führen wir die Supersymmetriealgebra ein. Das mathematische Konzept soll dann kurz anhand gradierter Lie-Algebren diskutiert werden. An einfachen Modellen werde ich das Wess-Zumino-Modell, Supersymmetrische QED und Supersymmetrische Eichtheorien in der Wess-Zumino-Eichung durchnehmen. Ferner möchte ich diskutieren, wie die Supersymmetrie, die bei unseren niedrigen Alltagsenergien nicht beobachtet wird, gebrochen wird. Anschließend sollen die Grundzüge der minimalen supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) erarbeitet werden. Wenn es die Zeit erlaubt, will ich noch die exakte Lösung von N=2 Super-Yang-Mills-Theorien a la Seiberg und Witten besprechen.

Voraussetzungen

7. Semester, ggf. auch 5. Semester. Quantenmechanik ist essentiell. Grundkenntnisse in Lie-Algebren und deren Darstellungstheorie, wie sie z.B. in meiner Vorlesung vom SS 2003 erarbeitet wurden, sind sehr hilfreich, ebenso wie ein Grundwissen zu Feldtheorien. Wichtig ist, Spaß an mathematischen Strukturen in der Physik zu haben.

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Literatur

  • Jonathan Bagger, Julius Wess, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press (1990)
  • Stephen Weinberg, The quantum theory of fields, insbesondere Volume 3 Supersymmetry, Cambridge University Press (1999)
  • M.F. Sohnius, Introducing Supersymmetry, Phys.Rept. 128 (1985) 39-204
  • H.P. Nilles, Supersymmetry, Supergravity and Particle Physics, Phys.Rept. 110 (1984) 1
  • S. Martin, A Supersymmetry primer, arXiv:hep-ph/9709356
  • J.M. Figueroa-O'Farrill, Busstepp Lectures on Supersymmetry, BUSSTEPP 2000 (Oxford) and 2001 (Manchester)
  • Ioseph L.Buchbinder, Sergei M. Kuzenko, Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or A Walk Through Superspace, Institute of Physics Publishing, Bristol (1995)
  • Peter West, Introduction to Supersymmetry and Supergravity, World Scientific (1986)
  • Peter Freund, Introduction to Supersymmetry, Cambridge University Press (1986)

 

 

Inhalt

Lie-Gruppen und ihre Darstellungen sind ein wichtiges Werkzeug der modernen theoretischen Physik. Ausgehend vom Operator-Zugang zum Drehimpuls in der Quantenmechanik wird die Theorie der Lie-Algebren entwickelt und ihre unitären Darstellungen studiert. Am Ende steht eine Klassifikation der halb-einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelsche Eichfeldtheorien, auftreten können. Auf dem Weg dorthin werden die notwendigen Techniken und mathematischen Konzepte, z.B. Wurzeln und Gewichte, Young-Tableaux und Tensorprodukte, entwickelt und an Beispielen aus der Elementarteilchenphysik illustriert. Die Vorlesung wird sich vor allem nach dem Buch Lie Algebras in Particle Physics von Howard Georgi richten. Sie ist für Hörer des sechsten Fachsemesters geeignet.

Voraussetzungen

6. Semester, Quantenmechanik I

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I II III IV V VI VII VIII
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Seminars pdf pdf pdf pdf
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Literatur

  • Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin/Cummings (1984)
  • J. Fuchs, C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
  • William Fulton and Joe Harris, Representation Theory, Springer-Verlag (1991) GTM vol. 129
  • Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
  • Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
  • Brian C. Hall, "An Elementary Introduction to Groups and Representations", arXiv:math-ph/0005032
  • Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press (1978)
  • James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1970) GTM vol. 9
  • H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
  • Hans Samelson, Note on Lie Algebras, Springer-Verlag (1980) Universitext
  • Nils-Peter Skoruppa, "A Crash Course in Lie Algebras", Université Bordeaux (1997)
  • Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
  • Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

Inhalt

Lie-Gruppen und ihre Darstellungen sind ein wichtiges Werkzeug der modernen theoretischen Physik. Ausgehend vom Operator-Zugang zum Drehimpuls in der Quantenmechanik wird die Theorie der Lie-Algebren entwickelt und ihre unitären Darstellungen studiert. Am Ende steht eine Klassifikation der halb-einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelsche Eichfeldtheorien, auftreten können. Auf dem Weg dorthin werden die notwendigen Techniken und mathematischen Konzepte, z.B. Wurzeln und Gewichte, Young-Tableaux und Tensorprodukte, entwickelt und an Beispielen aus der Elementarteilchenphysik illustriert. Die Vorlesung wird sich vor allem nach dem Buch Lie Algebras in Particle Physics von Howard Georgi richten. Sie ist für Hörer des sechsten Fachsemesters geeignet.

Voraussetzungen

6. Semester, Quantenmechanik I

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I II III IV V VI VII VIII
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Literatur

  • Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin/Cummings (1984)
  • J. Fuchs, C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
  • William Fulton and Joe Harris, Representation Theory, Springer-Verlag (1991) GTM vol. 129
  • Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
  • Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
  • Brian C. Hall, "An Elementary Introduction to Groups and Representations", arXiv:math-ph/0005032
  • Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press (1978)
  • James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1970) GTM vol. 9
  • H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
  • Hans Samelson, Note on Lie Algebras, Springer-Verlag (1980) Universitext
  • Nils-Peter Skoruppa, "A Crash Course in Lie Algebras", Université Bordeaux (1997)
  • Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
  • Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

 

 

Inhalt

Gegenstand dieses Seminars sind die grundlegenden Konzepte und wichtigsten Beispiele von Lie-Gruppen und Lie-Algebren, soweit sie Symmetrien und Invarianzen in der theoretischen Physik beschreiben. Hierunter fallen sowohl Raumzeit- als auch innere Symmetrien. Behandelt werden das Noether-Theorem, die Wurzel-Zerlegung und Klassifikation einfacher Lie-Algebren, Gewichtsdiagramme und Tensorprodukte ihrer Darstellungen, die Geometrie von Lie-Gruppen, sowie konkreter die Dreh-, Lorentz- und Poincaré-Gruppe.

Voraussetzungen

Vordiplom, zumindest jedoch theoretische Mechanik und Quantenmechanik I

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Datum   Vortragsthema Sprecher
04.04.2002 Das Noether-Theorem
11.04.2002 Lie-Gruppen: Grundlagen Tako Mattik
18.04.2002 Lie-Algebren: Grundlagen Rodion Neigovzen
25.04.2002 Geometrie von Lie-Gruppen Tako Mattik
02.05.2002 Drehgruppe und SL(2,R)
16.05.2002 Die Lorentz-Gruppe Stefan Pfalz
30.05.2002 Die Poincaré-Gruppe Stefan Pfalz
06.06.2002 Die Wurzel-Zerlegung Rodion Neigovzen
13.06.2002 Klassifikation einfacher Lie-Algebren Matthias Ihl
20.06.2002 Darstellungen: einfache Lie-Algebren Matthias Ihl
27.06.2002 Gewichtsdiagramme Matthias Ihl
04.07.2002 Tensorprodukte und Young-Tableaux Ivan Szendro-Teran

Literatur

Inhalt

Gegenstand dieses Seminars sind die grundlegenden Konzepte und wichtigsten Beispiele von Lie-Gruppen und Lie-Algebren, soweit sie Symmetrien und Invarianzen in der theoretischen Physik beschreiben. Hierunter fallen sowohl Raumzeit- als auch innere Symmetrien. Behandelt werden das Noether-Theorem, die Wurzel-Zerlegung und Klassifikation einfacher Lie-Algebren, Gewichtsdiagramme und Tensorprodukte ihrer Darstellungen, die Geometrie von Lie-Gruppen, sowie konkreter die Dreh-, Lorentz- und Poincaré-Gruppe.

Voraussetzungen

Vordiplom, zumindest jedoch theoretische Mechanik und Quantenmechanik I

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Datum   Vortragsthema Sprecher
04.04.2002 Das Noether-Theorem
11.04.2002 Lie-Gruppen: Grundlagen Tako Mattik
18.04.2002 Lie-Algebren: Grundlagen Rodion Neigovzen
25.04.2002 Geometrie von Lie-Gruppen Tako Mattik
02.05.2002 Drehgruppe und SL(2,R)
16.05.2002 Die Lorentz-Gruppe Stefan Pfalz
30.05.2002 Die Poincaré-Gruppe Stefan Pfalz
06.06.2002 Die Wurzel-Zerlegung Rodion Neigovzen
13.06.2002 Klassifikation einfacher Lie-Algebren Matthias Ihl
20.06.2002 Darstellungen: einfache Lie-Algebren Matthias Ihl
27.06.2002 Gewichtsdiagramme Matthias Ihl
04.07.2002 Tensorprodukte und Young-Tableaux Ivan Szendro-Teran

Literatur