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SS11 Differentialgeometrische Methoden der Physik I

Homepage zur Vorlesung im SS 2011 Differentialgeometrische Methoden der Physik I

Module: Schwerpunktbereich Master Physik (5 LP)

Raum und Zeit

Gebäude 3701, Donnerstags 14-16 Uhr Raum 267, Freitags 14-16 Uhr Raum 268

Beginn/Ende der Vorlesungen

07.04./16.07.2011

Beschreibung

Moderne differentialgeometrische Methoden sind mitlerweile in fast allen Teildisziplinen der theoretischen Physik etabliert, ausgehend von der analytischen Mechanik über die Thermodynamik, die Hydrodynamik und Theorie der deformierbaren Medien, bis hin zur den Theorien fundamentaler Wechselwirkungen (Eichtheorien vom Yang-Mills Typ) und natürlich der Gravitationstheorie (Allgemeine Relativitätstheorie). Im ersten Teil dieser Vorlesung soll der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit entwickelt und die für die Physik relevanten Zusatzstrukturen auf Mannigfaltigkeiten in Detail erklärt und diskutiert werden. Dabei soll die geometrische Anschauung nicht zu kurz kommen, aber auch Wert auf mathematische Strenge gelegt werden. Insbesondere werden wir auf Semi-Riemannsche Strukturen (nicht positiv-definite Metriken) und ihre charakteristischen Unterschiede im Vergleich zu Riemannschen Strukturen (positiv-definite Metriken) eingehen. Die Vorlesung ist 3+1-stündig Konzipiert. Das bedeutet, dass in der Regel jeder zweite Freitagstermin für 2-stüngige Übungen genutzt wird. An diesen Übungsterminen werden Aufgaben besprochen, die eine Woche zuvor hier heruntergeladen werden können. Dort findet man auch das Skript zur Vorlesung. Weitere Literaturangaben findet man unten.

Vorläufige Themeliste

  1. Kurven und Flächen im Raum (wird je nach Vorkenntnissen angeboten)
  2.  
  3. Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Strukturen
  4.  
  5. Tensoren, Tensorbündel und Tensorfelder
  6.  
  7. Die äußere und die Lie-Ableitung
  8.  
  9. Riemannsche und Semi-Riemannsche Strukturen
  10.  
  11. Zusammenhänge und kovariante Ableitung
  12.  
  13. Die verschiedenen Krümmungsbegriffe (Riemann, Ricci, skalar, konform, projektiv)
  14.  
  15. Affine, projektive und konforme Strukturen; der Satz von H. Weyl
  16.  
  17. Fermi-Walker Ableitung und ihre physikalische Relevanz
  18.  
  19. Verallgemeinerte metrische Strukturen (Finsler) und die Charakterisierung der Riemannschen und semi-Riemannschen durch Helmholtz bzw. Weyl.

Literatur

Das Skript zur Vorlesung gibts hier.

Klassiker

  1. Ivan Kolář, Peter W. Michor und Jan Slovák: Natural Operations in Differential Geometry (Springer Verlag, Berlin, 1993). Sehr gute und vollständige Referenz hinsichtlich der allgemeinen Strukturtheorie. Sehr steile Herangehensweise und kaum Anwendungen.
  2. Shoshichi Kobayashi und Katsumi Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Band I und II (John Wiley and Sons)
  3. Barrett O'Niel: Semi-Riemannian Geometry - with applications to Relativity Academic Press 1983
  4. Detlev Laugwitz: Differentialgeometrie, B.G. Teubner (Struttgart 1977). Altmodische aber sehr verständliche Präsentation der Kurven- und Flächentheorie. Ich finde die Diskussion der Helmtoltz-Weylschen Sätze in § 15 sehr nützlich (wenngleich hier der Weylsche Satz nur für den positiv-definiten Fall bewiesen wird).
  5. Michael Spivak: Differential Geometry, Vol. I-V, Publish or Perish, Inc., Wilmington Delaware, 1970. 5-Bändiges Werk in dem so manches Lesenswerte zu finden ist, was in moderne Texten übereifrig wegrationalieriert wurde. Knappheit ist hier wahrlich kein Kriterium, dafür aber Verständlichkeit!

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Prof. Dr. Domenico Giulini
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