Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie Sommersemester 2016

Übungen

• Blatt 1 (13.04.2016) (pdf):
   
  
  1. Galileis Gedankenexperiment zum Äquivalenzprinzip.
  2. Träge, aktive und passive schwere Masse im Newton'schen Gravitationsgesetz.
  3. Spannungstensor des Newton'schen Gravitationsfeldes.
  4. Nichtlineare Modifikation der Newton'schen Gravitationsfeldgleichungen.
   
  
• Blatt 2 (20.04.2016) (pdf):
   
  
  1. Wiederholung des Kepler-Problems und Ableitung einer allgemeinen Formel für die Periastronpräzession durch Störterme ∝ r^-2 und ∝ r^-3 zum Kepler-Potential.
  2. Wie groß müsste das Quabdrupolmoment der Sonne sein, wenn es die anomale (d.h. nach Abzug der durch die übrigen Planeten verursachte) Perihelpräzession des Planeten Merkur erklären sollte?
   
  
• Blatt 3 (27.04.2016) (pdf):
   
  
  1. Ableitung von Ausdrücken für Krümmung und Torsion allgemein parametrisierter Raumkurven. (2 Aufgaben)
  2. Die Schmiegkugel an eine Raumkurve. Berührung dritter Ordung. Vergleich von Krümmungsebene und Krümmungsradius mit Schmiegebene bzw. Schmiegradius. (2 Aufgaben)
   
  
• Blatt 4 (04.04.2016) (pdf):
   
  
  1. Geometrie der im R³ eingebetteten Torusfläche: Einbettung, begleitendes 3-Bein, Weingarten-Abbildung, Gauß'sche Krümmung, Volumen und totale Krümmung (versteckter Hinweis auf Gauß-Bonnet).
  2. Transformationsverhalten der tangentialen Vektorfelder und der Metrik unter Reparametrisierung; Invarianz des Skalarproduktes.
  3. Transformationsverhalten der Komponenten der äußeren Krümmung (zweite Fundamentalform) und des Zusammenhangs (Christoffel-Symbole). Existenz lokaler Koordinaten in denen Christoffel-Symbole an einem Punkt verschwinden.
  4. Definition der kovarianten Ableitung von Tangentialvektorfeldern in Komponenten; Nachweis der Tensoreigenschaft.
  5. Definition der kovarianten Ableitung alllgemeiner Tensorfelder in Komponenten; Nachweis der Tensoreigenschaft.
   
  
• Blatt 5 (11.04.2016) (pdf):
   
  
  1. Geodätengleichung auf der 2-Sphäre und Ablesen der Christoffel-Symbole.
  2. Parallelverschiebung und Bestimmung der Holonomie entlang von Breitenkreisen auf der 2-Sphäre. Geometrische Interpretation durch berührende Kegel.
  3. Geodätische auf der 2-Sphäre sind Segmente von Großkreisen. Parallelverschiebung um geodätische Dreiecke. Zusammenhang von Holonomie und sphärischem Exzess.
   
  
• Blatt 6 (01.06.2016) (pdf):
   
  
  1. Viererstromdichte und Energie-Impulstensor eines Punktteilchens. Unterschiedlichkeit der Konsequenzen ihrer Divergenzfreiheit.
  2. Diagonalisierung von linearen Abbildungen, die bezüglich einer Lorentz-Metrik symmetrisch sind.
  3. Energiebedingungen (schwache, starke und energiedominanz) und ihre Auswirkungen auf den Energie-Impulstensor einer idealen Flüssigkeit.
  4. Alternative Formulierung des Energiedominanzbedingung im Allgemeinen.
  5. Auswertung der kovarianten Divergenzfreiheit des Energie-Impulstensors für eine ideale Flüssigkeit.
   
  
• Blatt 7 (08.06.2016) (pdf):
   
  
  1. Eichfixierung des linearisierten Einstein Feldes im Vakuum.
  2. In statischen Metriken sind die räumlichen Projektionen lichartiger Geodätischer selbst Geodätische bezüglich der optischen Metrik.
  3. Ableitung der 1. und 2. Bianchi Identität für den Riemanntensor in Normalkoordinaten.
  4. Das Kulkarni-Nomizu-Produkt und die Weyl-Projektion.
  5. Eigenschaften des Riemann- und Weyl-Tensors unter konformen Transformationen.
  6. Sphärisch-symmetrische Riemann'sche Metriken sind konform flach.
   
  
• Blatt 8 (15.06.2016) (pdf):
   
  
  1. Verhalten der zwei Polarisationsfreiheitsgrade freier Gravitationswellen unter Drehungen.
  2. Zur Definition der Schnittkrümmung
  3. Definition des Begriffs konstante Krümmung und die Form des Riemann'schen Tensors in diesem Fall.
  4. Die Schnitkrümmung als Gauß'sche Krümmung einer von Geodäten aufgespannten 2-dimensionalen. Untermannigfaltigkeit.
  5. Interpretation des Einstein-Tensors als Mittel paarweise orthogonaler Schnittkrümmungen.
   
  
• Blatt 9 (22.06.2016) (pdf):
   
  
  1. Beschleunigung stationärer Beobachter.
  2. Energie-Impulserhaltung für ideale Flüssigkeiten in statischen, sphärisch-symmetrischen Raumzeiten.
  3. Raumwinkelausdehnung des "Schattens" eines sphärisch-symmetrischen schwarzen Lochs als Funktion des Abstands.
   
  
• Blatt 10 (29.06.2016) (pdf):
   
  
  1. Relativ-Beschleunigung benachbarter Geodätischer (Jacobi-Gleichung).
  2. Längs- und Querspannungen beim Sprung durch den Horizont eines Schwarzen Lochs.
   
  

Ergänzungen

1. Mathematischer Hintergrund
   • D. Giulini: Differentialgeometrie für Physiker, Teil I: Riemann'sche und Semi-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten (pdf)
 

2. Über die ART und ihren experimentellen Status
   • D. Giulini: Einsteins Kunstwerk. Die Allgemeine Relativitätstheorie -- aus mittlerer Entfernung betrachtet. (Physik Journal 10 (2005) 27-33) (pdf)
 

3. Zum Gravitomagnetismus
   • D. Giulini: Kosmische Kreisel: Inertialsysteme und Gravitomagnetismus. (Physik in unserer Zeit 35 (2004) 160-167) (pdf)
 

4. Allgemeine Grundlagen
   • Kip Thorne, David Lee und Alan Lightman: Foundations for a Theory of Gravitation Theories. (Physical Review D, Vol. 7, Nr. 12 (1973) 3563-3577) (pdf)
 

5. Zur Periheldrehung des Merkur
   • Anna Nobili & Clifford Will (Nature 320 (1986) 39-40): The real value of Mercury's perihelion advance. (pdf)
   • Sophie Pireaux und Jean-Pierre Rozelot (Astrophysics and Space Science 284 (2003) 1159-1194): Solar quadrupole moment and purely relativistic gravitation contributions to Mercury's perihelion advance. (pdf)
   • Frank Pijpers (Mon. Not. R. Astron. Soc. 297 (1998) L76-L80): Helioseismic determination of the solar gravitational quadrupole moment (pdf)
    
   
6. Erste direkte Nachweise von Gravitationswellen
   • B.P. Abbott et al.: Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger (Physical Review Letters Vol. 116 (2016) 061102) (pdf)
   • B.P. Abbott et al.: GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence (Physical Review Letters Vol. 116 (2016) 241103) (pdf)
 

7. Historisches
   • F.W. Dyson, A.S. Eddington und C. Davidson: A Determination of the Defelction of Light by the Sun's Gravitational Field, from Observations made at the Total Eclipse of May 29, 1919. (Philosophical Transactions of the Royal Societey A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Volume 220, Issues 571-581, 1920) (pdf)