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SS18 Differentialgeometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten

Homepage zur Vorlesung im SS 2018 Differentialgeometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten mit Anwendungen in der ART

Allgemeines

Raum und Zeit

Gebäude 3701, Donnerstags 16:15-17:45 Uhr, Raum 267

Beginn/Ende der Vorlesungen:

12.04.2018

Module im Bachelorstudiengang Physik

Wahlbereich, Moderne Aspekte der Physik.

Module im Masterstudiengang Physik

Fortgeschrittene Vertiefungsphase. Leistungspunkte 2.

Beschreibung

Moderne differentialgeometrische Methoden sind mitlerweile in fast allen Teildisziplinen der theoretischen Physik etabliert, ausgehend von der analytischen Mechanik über die Thermodynamik, die Hydrodynamik und Theorie der deformierbaren Medien, bis hin zur den Theorien fundamentaler Wechselwirkungen (Eichtheorien vom Yang-Mills Typ) und natürlich der Gravitationstheorie (Allgemeine Relativitätstheorie). Im ersten Teil dieser Vorlesung soll der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit entwickelt und die für die Physik relevanten Zusatzstrukturen auf Mannigfaltigkeiten in Detail erklärt und diskutiert werden. Dabei soll die geometrische Anschauung nicht zu kurz kommen, aber auch Wert auf mathematische Strenge gelegt werden. Insbesondere werden wir auf Semi-Riemannsche Strukturen (nicht positiv-definite Metriken) und ihre charakteristischen Unterschiede im Vergleich zu Riemannschen Strukturen (positiv-definite Metriken) eingehen. Die Vorlesung ist 2-stündig konzipiert und kann eigenständig gehört also auch als mathematische Ergänzungsvorlesung zur parallel im SS 2018 angebotenen Vorlesung über Allgemeine Relativitätstheorie verstanden werden. Unabhängige Übungen werden nicht angeboten, wohl aber Aufgabenblätter zur Selbstkontrolle, die hier heruntergeladen werden können. Zu dieser Vorlesung gibt es auch ein ausführliches Skript, das ebenfalls dort heruntergeladen werden kann.

Vorläufige Themeliste

  1. Kurven und Flächen im Raum (wird je nach Vorkenntnissen angeboten)
  2.  
  3. Topologische Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Strukturen auf ihnen
  4.  
  5. Tangential- Kontangential- und Tensorbündel über differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
  6.  
  7. Die äußere und die Lie-Ableitung
  8.  
  9. Riemannsche und Semi-Riemannsche Strukturen
  10.  
  11. Zusammenhänge und kovariante Ableitung
  12.  
  13. Torsion und Krümmung. Verschiedenen Krümmungsbegriffe (Riemann, Ricci, skalar, konform, projektiv)
  14.  
  15. Die Cartan'schen Strukturgleichungen und ihr Nutzen für die Berechnung von Zusammenhang und Krümmung
  16.  
  17. Affine, projektive und konforme Strukturen; der Satz von H. Weyl
  18.  
  19. Fermi-Walker Ableitung und ihre physikalische Relevanz
  20.  
  21. Verallgemeinerte metrische Strukturen (Finsler) und die Charakterisierung der Riemannschen und semi-Riemannschen durch Helmholtz bzw. Weyl

 
 

Literatur

Wie schon oben gesagt: Das Skript zur Vorlesung gibts hier.

Klassiker

  1. Ivan Kolář, Peter W. Michor und Jan Slovák: Natural Operations in Differential Geometry (Springer Verlag, Berlin, 1993). Sehr gute und vollständige Referenz hinsichtlich der allgemeinen Strukturtheorie. Sehr steile Herangehensweise und kaum Anwendungen.
  2. Shoshichi Kobayashi und Katsumi Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Band I und II (John Wiley and Sons)
  3. Barrett O'Niel: Semi-Riemannian Geometry - with applications to Relativity Academic Press 1983
  4. Detlev Laugwitz: Differentialgeometrie, B.G. Teubner (Struttgart 1977). Altmodische aber sehr verständliche Präsentation der Kurven- und Flächentheorie. Ich finde die Diskussion der Helmtoltz-Weylschen Sätze in § 15 sehr nützlich (wenngleich hier der Weylsche Satz nur für den positiv-definiten Fall bewiesen wird).
  5. Michael Spivak: Differential Geometry, Vol. I-V, Publish or Perish, Inc., Wilmington Delaware, 1970. 5-Bändiges Werk in dem so manches Lesenswerte zu finden ist, was in moderne Texten übereifrig wegrationalieriert wurde. Knappheit ist hier wahrlich kein Kriterium, dafür aber Verständlichkeit!

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Prof. Dr. Domenico Giulini
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