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WS1415 Differentialgeometrische Strukturen auf Raumzeiten und Singularitätentheorie

Homepage zur Vorlesung im WS 2014-15 Differentialgeometrische Strukturen auf Raumzeiten und Singularitätentheorie

Allgemeines

Die Vorlesung ist (4+2)-stündig, das heißt, dass zusätzlich zu den wöchentlich 4 Vorlesungsstunden auch 2 Übunsstunden angeboten werden. Die regelmäßige Anwesenheit in den Übungen, die selbständige Bearbeitung der Übungsaufgaben, sowie das Vorrechnen-Können an der Tafel sind Voraussetzungen für die Vergabe der Studienleistung. Die Prüfungsleistung wird nach bestandener Klausur bzw. mündlicher Prüfung attestiert.

Vorlesungen (Beginn 16.10.2014)
Donnerstags 08:15-10:45 Uhr, ITP Raum 268
Freitags 10:15-12:45 Uhr, ITP Raum 267

Übungen (Beginn 20.10.2014)
Mittwochs 16:15-17:45 Uhr, ITP Raum 269
Die Aufgabenzettel für die Übungen werden eine Woche zuvor hier bereitgestellt. Dort finden Sie auch einführende und/oder vertiefende Ergänzungsliteratur.

Beschreibung

Die Vorlesung richtet sich an Studierende, die mit der Allgemeinen Relativitätstheorie auf dem Niveau einer Einführungsvorlesung vertraut sind und ein Interesse für mathematische und grundsäatzliche Fragestellungen mitbringen. Behandelt werden soll die Frage nach Allgemeinheitsgrad und Struktur von Singularitäten im Raum-Zeiten, die Lösungen der Einstein'schen Feldgleichungen sind. Dazu gibt es eine Reihe von mitlerweile klassischen Resultaten, die wesentlich auf Arbeiten von Roger Penrose, Stephen Hawking und Robert Geroch zurück gehen. Interessant ist die Frage nach der Unvermeidbarkeit von Singularitäten nicht nur für die Astrophysik (was ist der generische Endzustand eines Gravitationskollapses?), sondern auch für die Frage nach einer übergeordenten Theorie unter Einbezug möglicher Quanteneigenschaften des Gravitationsfeldes ("Quantengravitation"). Von Letzterer erwartet man eine Korrektur der Dynamik in Richtung weniger singulären Verhaltens, was sich in einigen konkreten Modellen auch bewahrheitet hat. Ob Raum-Zeit-Singularitäten gänzlich vermieden werden können ist aber völlig unklar, zumal die Antwort auf die Frage empfindlich davon abhängen wird, was überhaupt unter einer "Singularität" verstanden werden soll. Auch darauf werden wir in der Vorlesung gebührend eingehen.

Themeliste

  1. Wiederholung: Diffenetialgeometrischer Konzepte und Strukturen auf Lorentzmannigfaltigkeiten.
  2. Wiederholung: Die Einstein'schen Feldgleichungen und die Energiebedingungen an den Energie-Impulstensor.
  3. Beispiele singulärer Raumzeiten und Charakterisierungen von "singulär".
  4. Die Fermi-Walker-Ableitung und die Charakterisierung zeitartiger Weltlinien-Kongruenzen durch Rotation, Scherung und Expansion.
  5. Die Raychaudhuri-Gleichung für zeitartige Kongruenzen.
  6. Zeit- und lichtartige Geodätische als stationäre Punkte des "Energiefunktionals"; die Jacobi-Gleichung.
  7. Erste und zweite Variation des Energiefunktionals für zeitartige Kurven; konjugierte Punkte.
  8. Die ersten Hawking'schen Theoreme.
  9. Charakterisierung lichtartiger geodätischer Weltlinien-Kongruenzen durch Rotation, volumentreue Scherung und Expansion. Die Raychaudhuri-Gleichung für lichtartige geodätische Kongruenzen.
  10. Komplexifizierung des Tangentialbündels und ein kurzer Ausblick auf den Newman-Penrose-Formalismus.
  11. Die ersten Penrose'schen Theoreme.

Lehrbücher zum Thema oder mit starkem thematischem Bezug

  1. Gregory L. Naber: Spacetime and Singularities. An Introduction. London Mathematical Society Student texts, Band 11. Cambridge University Press 2008. 192 Seiten, 36,79 Euro.

  2. Chris J.S. Clarke: The Analysis of Space-Time Singularities. Cambridge Lecture Notes in Physics, Band 1. Cambridge University Press 1994. 190 Seiten, 40,60 Euro.

  3. Pankaj S. Joshi: Global Aspects in Gravitation and Cosmology. International Series of Monographs on Physics, Band 87. Oxford University Press 1999. 392 Seiten, 52,43 Euro.

  4. Barrett O'Neill: Semi-Riemannian Geometry - with Applications to Relativity. Academic Press, Pure and Applied Mathematics, San Diego 1983. 468 Seiten, 55,59 Euro. Kommentar: In Kapitel 14 "Causality in Lorentz Manifolds" werden auf 30 Seiten golbale Eigenschaften abgehandelt und die einfachsten Theoreme von Hawking und Penrose bewiesen.

  5. Stephen W. Hawking und George F.R. Ellis: The large scale structure of space-time. Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press 1975 (paperback). 404 Seiten, 65,55 Euro. Komentar: Der Klassiker auf dem Gebiet der mathematischen Relativitätstheorie und trotz seines Alters noch immer unverzichtbar für alle, die auch die Details verstehen wollen. (Enthält -- wie alle guten Bücher -- auch Irrtümer.)

  6. John K. Beem, Paul E. Ehrlich und Kevon L. Easly: Global Lorentzian Geometry (Second Edition). Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 202. CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton (Florida USA) 1996. Komentare: Ein umfassendes (656 Seiten) Standardwerk über globale Lorentzgeometrie. Mit derzeit 232,57 Euro (amazon) leider sehr teuer.

  7. John Earman: Bangs, Crunches, Whimpers, and Shrieks: Singularities and Acausalities in Relativistic Spacetimes. Oxford University Press 1995. 272 Seiten, 71,73 Euro. Bemerkung: John Earman ist ein bekannter Philosopher of Science der hier neben den mathematischen Aspekten vor Allem auch philosophische Aspekte des Problems der Singularitäten diskutiert.

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Prof. Dr. Domenico Giulini
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