% staex1.tex

\documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty}
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\parindent 0pt
\parskip 3mm
\input def
\def\no#1{\hspace*{-7.7mm} #1)~} 

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  das ist nur das 'Deckblatt'
$ $ \vskip 4.5cm
\begin{center}
{\Large\bf Staatsexamensklausur Lehramt Gymnasium}  \vskip 2cm

{\Large\bf PHYSIK}  \vskip 3cm

September 2001    \vskip 2cm

Es ist eines der drei Themen \\
({\bf A} oder {\bf B} oder {\bf C}) \\
auszuw\"ahlen und in vier Stunden zu bearbeiten.
\end{center} \vskip 1cm
Da gleichgewichtig bewertet, sollte {\sl jeder} der drei Teile 
I., II., III. des gew\"ahlten \\ Themas bearbeitet werden. \\[2mm]
Teil I ~~~\parbox[t]{13cm}{ist der experimentelle Teil. Anschauliches
       Verst\"andnis und Beziehungsreichtum eines Ausschnitts Natur,
       experimentelles Einf\"uhlungsverm\"ogen und Fantasie 
       auch ggf. bei einer Liste von Fehlerquellen. Grundlagen der 
       beteiligten Physik~?} \\[2mm]
Teil II ~~\parbox[t]{13cm}{ist wie Ausschnitt aus einer
        m\"undlicher Pr\"ufung. ~K~u~r~z~e~ (und vorzugsweise 
        formelm\"a\ss ige) Antworten. Keine Frage auslassen 
       (zur Not Frage wenigstens einordnen, Stichworte?)} \\[2mm]
Teil III ~\parbox[t]{13cm}{ist wie ein Ausschnitt aus einer 
        Klausur zum Theorie-Kurs.}
\newpage 

%%%   A   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

                                          \rl{September 2001}

\vskip 1cm
\ct{\large Thema ~{\Large\bf A :} \ Stromdichten}
\small

\vskip 1mm
\leftskip 1cm
\hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Hall--Effekt \\[1mm]
\parbox[t]{11.3cm}{Im Schulversuch wird mittels Hall--Effekt die 
Elektronendichte $\;\varrho\;$ \\ einer Silberfolie bestimmt.
Erkl\"arungen zur Skizze / mehr Details zur Me\ss anordnung /
Fehlerquellen / Auswertung bis hin zu $\varrho\;$. 
} \quad \parbox[t]{3cm}{\vskip -19mm
\unitlength 1cm \begin{picture}(2,2)
\put(0,0){\line(3,2){2}} \put(.1,0){\line(3,2){2}}
\put(0,0){\line(0,-1){1}} \put(.1,0){\line(0,-1){1}}
\put(2.1,1.34){\line(0,-1){.84}} \put(.1,-1){\line(4,3){2}} 
\put(1,.2){\vector(1,0){1.5}} \put(2.6,.1){\ft $x\, , \, \vc B$}
\put(1,.2){\vector(0,1){1}} \put(.93,1.3){\ft $z$}
\put(2.1,1){\vector(4,3){.4}} \put(2.6,1.3){\ft $y\, , \, I$}
\end{picture}} \\[2mm]
Was passiert in der Folie unmittelbar nach Einschalten des 
Stromes~? Warum ist die Hall--Spannung in Halbleitern (wie z.B.
InSb) um einige Zehnerpotenzen gr\"o\ss er als in Metallen~?
\"Anderung der Hall--Spannung bei Erw\"armen des Metalls
bzw. des Halbleiters~? 

%-----------------------------

\vskip 5mm
\hspace*{-1cm} {\bf II.} 
~1) Wie sieht Ohms Beziehung zwischen Strom $I$, Spannung $U$
und Widerstand $R$ aus~? Wie folgt sie aus $\vc j = \s \vc E$~?
Wie h\"angen also $\s$ und $R$ miteinander zusammen~?

\no 2 Die Kontinuit\"atsgleichung (f\"ur z.B. Teilchendichte 
$\varrho$ und Teilchenstromdichte $\vc j$ eines Gases) soll 
aufgeschrieben werden und im 1D Falle auf Sch\"ulerniveau erkl\"art 
werden. Welche Gestalt nimmt sie in Kugelkoordinaten an~?

\no 3 
\parbox[t]{13.5cm}{Ein Kolben (zu $t=0$ bei $x=a$) bewegt sich mit 
konstanter Geschwindigkeit $v_0$ nach rechts und dehnt dabei ein Gas
(seine Dichte bleibe $x$--unabh\"angig). $\vc j=\;?$}
\ \ \ \parbox[t]{1cm}{\vskip -3mm
\unitlength .6cm \begin{picture}(.9,1)
\put(0,0){\line(0,1){.6}} \put(0,0){\line(1,0){3}}
\put(0,.6){\line(1,0){3}}
\put(2,0){\line(0,1){.6}}\put(2.2,0){\line(0,1){.6}}
\put(2.2,.3){\vector(1,0){.6}}
\end{picture}} 

\no 4  Linear im elektrischen Feld gilt  $ \vcts \jmath  
      (\vc k, \o ) = \schl \s  (\vc k, \o ) \vctl E (\vc k, \o )$ 
in Strenge (f\"ur Fourier--Transformierte also). Wie leitet
man dies her~?
 
\no 5 Die elektromagnetische Feldenergie--Stromdichte ist
      $\vc S = c^2 \e_0 \vc E \times \vc B$. Wie leitet man dies
      her~?

\no 6 In der Quantenmechanik ist $\vc j = {\hbar \0 2mi}
( \psi^* \nabla \psi + c.c. )$ die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
eines Teilchens. Wie leitet man das her~? 

\no 7 \glqq Eichinvarianz\grqq\ -- was ist das~? Der 
$\vc j$--Ausdruck in 6) soll eichinvariant werden, zu welcher 
Modifikation (vorf\"uhren~?!) ist man gezwungen~? 

\no 8 Wie definiert man den quantenmechanischen Streuquerschnitt
      $\s$~? Welche Gestalt hat die auslaufende Wellenfunktion
      in gro\ss er Entfernung vom kugelsymmetrischen Zentrum~?
      Wie folgt hiermit, da\ss\ $\s = |\hbox{\ft Streuamplitude}|^2$
      ist~?

\no 9 Das 1D Wellenpaket $\psi (x,0)= \a e^{-\b |x|}$ zerflie\ss t.
      Wie ist das zu rechnen~? ~$\psi(x,t)=\;?\;$ darf noch
      Integrale enthalten.

\no {10} Wie sieht die Kontinuit\"atsgleichung in relativistischer
Formulierung aus~? Notieren Sie so viel wie m\"oglich andere 
Vierervektoren. Welche elementaren Fermionen kennen Sie~?
Wie sieht die Dirac--Gleichung aus~? 

%-----------------------------

\vskip 4mm
\hspace*{-1cm} {\bf III.} ~1) 
Reflexion an Delta--Mulde  \\[1mm]
Reflexionskoeffizient $R$ und Durchgangskoeffizient $D$
sind einfache Quotienten aus $j$'s. Zum Delta--Potential 
$V(x)=-\l\delta(x)$ sollen $R$ und $D$ bestimmt und beide 
als Funktion der Strahlenergie $E$ skizziert werden. Ist 
auch $R+D=1$ erf"ullt~? Was passiert mit $R$ und $D$ in 
den F"allen $\l\to 0$ und $\l\to\infty$~? \ \ \qquad
{\small (Ganz langsam: Skizze, Ans\"atze rechts/links,
$E=\;?\;$, zwei Anschlu\ss bedn. aus Schr\"odinger-Gl., 
welches $j$ hat ein $\psi= C e^{ikx}$~? $D$ bilden, ...)}

\hspace*{-7mm} 2)~ 
F\"ur ein Streuproblem wird die Fourier--Transformierte
$\schl V (\vc k )=\,\;?\,$ des Zentralpotentials 
$V(r)= \a \,\d(r-R)$ ben\"otigt. Setzt man nun $\vc k\!=\!0$
einmal im Resultat und zum anderen im urspr\"unglichen
Fourier--Integral, dann sollte die gleiche Zahl herauskommen.
Ist es so~?
\newpage 

%%%   B   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%  lsb.tex

\rl{September 2001}

\vskip 1cm
\ct{\large Thema ~{\Large\bf B :} \ Interferenzen}

\small

\leftskip 1cm
\hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Interferometer \\[1mm]
Erkl\"aren Sie anhand von Skizzen
die Interferenz von Licht zweier (Doppelspalt) bzw.
vieler (Einfachspalt) Teilstrahlen. Quantitative
Zusammenh\"ange~? \\
Nachweism\"oglichkeiten des Interferenzbildes~?
Physikalische Hintergr\"unde~? (Falls Sie Huygens'
Prinzip benutzten, woraus w\"are es herzuleiten~? \\
Erkl\"aren Sie z.B. zwei der folgenden Ger\"ate:
Michelson--Interferometer, Gitter--Spektral\-apparat, 
Fabry--Perot--Interferometer, Stern--Gerlach--Apparatur. 
Erz\"ahlen Sie etwas zur Abstrahlung von e.m. Wellen
von einer vertikalen Sendeantenne. Wovon ausgehend
(und grob wie) erh\"alt man das Strahlungsfeld per 
Rechnung~?   

\hspace*{-1cm} {\bf II.} 
~1) Wie sehen die Felder $\vc E$, $\vc B$ einer
ebenen e.m. Welle explizit aus~? Welche Gr\"o\ss en darin
sind frei w\"ahlbar~? Zeigen Sie (anhand einer Maxwell-Gl. 
Ihrer Wahl), da\ss\ $\vc E$ senkrecht auf der 
Ausbreitungsrichtung stehen mu\ss .

\no 2 Superponieren Sie zwei laufende Schallwellen zu
      einer stehenden.

\no 3 Wie sehen die Maxwell--Gleichungen in Fourier--transformierter 
Form aus~? Benutzen Sie diese zur Herleitung (a) der 
Kontinuit\"atsgleichung, (b) der Wellengleichung, (c) der
Darstellbarkeit $\vc E = -\pvc A - \nabla \ph$. 

\no 4 Die elektromagnetische Feldenergie--Stromdichte ist
      $\vc S = c^2 \e_0 \vc E \times \vc B$. Wie kommt man hierauf~?
      Und welches $\vc S$ hat eine ebene e.m. Welle im Zeitmittel~?

\no 5 Wie folgt der Dopplereffekt aus dem Umstand, da\ss\
      $(|k|, \vc k)$ ein Vierervektor ist~? Notieren Sie so viel 
      wie m\"oglich andere Vierervektoren.

\no 6 Zum H--Atom (Proton $m_1$, Elektron $m_2$) sollen
      Relativ-- und Schwerpunkt--Problem separiert werden.  

\no 7 Ein Hamilton--Operator $H$ h\"ange nicht von der Zeit 
      ab. Ein Zustand  $\psi(\vc r , t)$ ver\"andert sich
      mit der Zeit. Aber (zeige~!) seine Norm beh\"alt er bei.

\no 8 Das 1D Wellenpaket $\psi (x,0)= \a e^{-\b |x|}$ zerflie\ss t.
      Wie ist das zu rechnen~? ~$\psi(x,t)=\;?\;$ darf noch
      Integrale enthalten.

\no 9 Welche Aussage macht das Pauli--Prin\-zip allgemein~?
      Und welche im Falle nicht--wechsel\-wirkender, 
      iden\-tischer Fermionen~? Die Fermiverteilung steht 
      bei Thema C~: Idee der Herleitung~?

\no {10} Wie sieht die Dirac--Gleichung aus~? Was kommt
heraus, wenn man sie mit Wellen $\sim e^{i\vcsm k \vcsm r}$
best\"uckt~? Welche (der Dirac-Gl. gen\"ugenden) Teilchen
kennen Sie~? (elementare oder auch zusammengesetzte).

\vskip 4mm
\hspace*{-1cm} {\bf III.} ~1) Ob auch station\"are Materiewellen
interferieren~? Geben Sie den Vektoren $\vc k_1,\, \vc k_2$
konkrete Komponenten, so da\ss\ $e^{i\vcsm k_{\!1} \vcsm r}$ und 
$e^{i\vcsm k_{\!2} \vcsm r}$ von einem Doppelspalt (Ebene $x=0$)
ausgegangen sein k\"onnten. Welche Rechnung enth\"ullt
die Welligkeit von $|\psi|^2$ am Schirm bei $x=a$~?

\no 2
Dem Spinor $\vc \chi (0) =\a ${\ft $\(\matrix{2+2i \cr 
1 \cr}\)$} sei der Einheitsvektor $\vc e = \(\, 
{4\09}\, , \, {-4\09} \, , \, {7\09} \,\)$ zugeordnet. 
Wie l\"a\ss t sich diese Behauptung nachpr\"ufen~? \\ 
Normierung von $\vc \chi$ gibt $\a =\;?$ \ 
Wie entwickelt sich $\vc \chi$ unter Magnetfeldeinflu\ss 
$\; H = \hbar\o\, \s_3\;$ zeitlich weiter~: 
$\,\vc \chi (t)=\;?\;$ und mit welchen 
Wahrscheinlichkeiten $P_+$, $P_-$ gibt $\s_3$--Messung ({\ft zu 
irgendeinem Zeitpunkt}) $\;+1$ bzw. $-1$~? 
\newpage 

%%%   C   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%  lsc.tex

\rl{September 2001}

\vskip 1cm
\ct{\large Thema ~{\Large\bf C :} \ Zust\"ande}
\small

\leftskip 1cm
\hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Spektralapparat \\[1mm]
\parbox[t]{12cm}{Die Spektrallinien des H--Atoms sollen mit einem
Prismen--Spektral\-appa\-rat vermessen werden. \qquad\ \ \ 
Erg\"anzen Sie den hier nur d\"urftig} 
\quad \parbox[t]{2cm}{\vskip -1mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,.1)
\put(0,0){\circle{.2}}   \put(.3,.06){\vector(4,1){.4}}
\put(.86,-.04){\Large $\triangle$} \put(1.6,.12){\vector(4,-1){.4}} 
\put(2.4,-.2){\line(1,4){.14}} \end{picture}} \\[1mm]
skizzierten Versuchsaufbau m\"oglichst detailliert. Welche 
experimentellen Schwierigkeiten und Fehlerquellen sind zu 
erwarten~? Wodurch wird das Aufl\"osungsverm\"ogen begrenzt~? 
Welche Korrekturen am \glqq simplen H--Atom\grqq\ ($H=T-{\const\0r}$, 
$\const =\,?\,$) kennen Sie~? Deren physikalische Ursachen~? Welche 
Ursachen hat die Linienbreite~?

%------------------------

\vskip 4mm
\hspace*{-1cm} {\bf II.} 
~1) Wie folgt die station\"are Schr\"odinger--Gleichung
aus der zeitabh\"angigen~? Warum m\"ussen 
Me\ss gr\"o\ss en--Operatoren hermitesch sein~?  
~Inwiefern helfen $H$--Eigenfunktionen dabei, ein 
Anfangswertproblem zu l\"osen~?

\no 2 Welche $H$--Eigenzust\"ande hat ein 1D bewegliches
      Teilchen in einem Kasten (Breite $a$) mit $\infty$ 
      hohen W\"anden~? (ein wenig raten und gleich hinschreiben)
      K\"onnen Sie auch zum 1D harmonischen Oszillator einiges
      gleich hinschreiben~?

\no 3 Quantenmechanisch zu beschreibende Teilchen laufen
      schr\"ag gegen einen Halbraum mit negativ konstantem Potential.
Was geschieht~? Was hat dies mit Separation zu tun~?
Wie erh\"alt man die Richtung des Strahls im Potentialbereich~?

\no 4 L\"osen Sie (stichwortartig, markante Formeln) das
      H--Atom--Problem (Kern festgehalten).

\no 5 Ein H--Atom fliegt durch die Gegend (Proton $m_1$, 
      Elektron $m_2$). Wie separieren sich Relativ-- und 
      Schwerpunkt--Problem~?

\no 6 Wie sieht der Hamilton--Operator eines Teilchens
      aus, wenn auch ein Magnetfeld anliegt~? Wie gewinnt
      man daraus einen $\vc L\!\cdot\!\vc B$--Term~?

\no 7 $\psi = {1\0\wu 5}${\scriptsize $\(\matrix{ 2 \cr 1 \cr}\)\,$}:
      ~Mit welcher Wahrscheinlichkeit $P_-$ erh\"alt man
bei Messung der y--Komponente \hspace*{2.16cm}
des Spins welchen negativen Wert~?

\no 8 Newton gilt (fast) auch quantenmechanisch, n\"amlich f\"ur
      Erwartungswerte. Wie geht man vor, um dies zu zeigen~?

\no 9 Fermi--Verteilung $p_\l=${\large ${1\0 e^{\b (\e_\l 
      - \mu)}+1}\,$}. Bedeutung von $p_\l$ und der rechts 
enthaltenen Gr\"o\ss en~? Voraussetzungen f\"ur ihre 
G\"ultigkeit~? Idee der Herleitung~?

\no {10} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder auch 
zusammengesezte). Welche Aussage macht das Pauli--Prin\-zip~?
Was ist das, eine Slater--Determinante~?
Wie sieht die Dirac--Gleichung aus~? 

%------------------------

\vskip 4mm
\hspace*{-1cm} {\bf III.} ~1) 
Die Wand--Position $b$ des skizzierten 1D Kastens ($a$, $V_0 \glr 
\hbar^2 \kappa^2/(2m)$ gegeben, $2\kappa a<\pi$) 
\hspace*{5mm} soll so bestimmt werden, da\ss\ die Grundzustands-- \\
energie des Systems (mit 1 Teilchen:~$m$) bei Null liegt. 
\hspace{5mm} \parbox[t]{5.6cm}{\vskip -1mm
\unitlength 1mm \begin{picture}(50,4)
 \multiput(-1.2,-.7)(0,.4){17}{-}  \put(0 ,0 ){\line(1,0){16}}
 \put(16,0 ){\line(0,-1){6}}       \put(16,-6){\line(1,0){16}}
 \put(24,-7){\vector(0,1){15}}     \put(32,-6){\line(0,1){6}}
 \put(32,0 ){\line(1,0){16}}       \put(50,0 ){\vector(1,0){6}}
 \multiput(48,-.7)(0,.4){17}{-}    \put(57.4,-.8 ){\ft $x$}
 \put(25,7){\scriptsize $V, E$}  \put(-3.2,-3.4 ){\ft $-b$}
 \put(12.6,1.4 ){\ft $-a$}         \put(25.8,-1.2 ){\ft $0$}
 \put(31.6,1.4 ){\ft $a$}          \put(33,-6.8 ){\ft $-V_0$}
 \put(47.4,-3.4 ){\ft $b$}    \thicklines
 \put(0 ,0 ){\line(0,1){7}}   \put(48,0 ){\line(0,1){7}}
 \put(23,-.2){\line(1,0){2}}  \end{picture} }  \\[-1mm]
$\ph_0(x)$--Skizze / Dgl / Ans\"atze f\"ur
$\ph_{\rm innen}$ und \\ $\ph_{\rm rechts}$ 
/ Anschl\"usse / $b = \,${\large\bf ... }  .

\no 2
~Im Kontakt mit einem W\"armebad ($T$) steht ein Kreisring ($R$), 
an welchen ein spinloses Teilchen gebunden ist: 
$H=-{\hbar^2\02\theta}\6_\ph^2\,$. Welche Eigenzust\"ande hat 
$H$~? Und welches $E$--Spektrum~? Entartungsgrade~? Welche 
zwei Terme der kanonischen Zustandssumme $Z$ sind bei 
$T\to0$ die asymptotisch f\"uhrenden~? \ Wie l\"a\ss t 
sich $Z$ bei $T\to\infty$ vereinfachen und welche Energie 
$E(T)$ hat dann das System~?

\end{document}
