%  le4.tex        Lehrer II  99/00
%   
%  vorlaeufiges SB  ''Drehimpuls-Gymnastik''

\documentclass[12pt]{article}   \pagestyle{empty}
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\input def
\def\folg{\curvearrowright} 
\def\ket#1{\,|\, #1 \,\rangle}
\def\bra#1{\,\langle \, #1 \,|\,}
\def\kommu#1#2{\big[\, #1\, , \, #2 \,\big]}
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{J.\dq}

\begin{document}

\vskip -14mm \noindent
\rl{\parbox[t]{5.6cm}{\ft\sl 
       Januar 00 , \ vorl\"aufiges Sonderblatt \\
       zum Theorie--Kurs Lehrer II }}

\vskip .5mm
\hspace*{1.2cm}{\large\bf Drehimpuls--Algebra \qquad}

\vskip 1mm
{\boldmath
\be{1} 
  \ell=1,2,3\quad , \quad J_\ell^\dagger=J_\ell \quad , \quad 
\kommu{J_1}{J_2} = i \hbar J_3 \quad \hbox{und zyklisch}
\qquad \quad
\ee}

\vskip -3mm
weiter nichts~! \qquad {\Huge \boldmath$\folg$} \qquad\qquad 
zun\"achst, da\ss\ \\[1mm]
\ct{$\kommu{\vc J^2}{J_3} = J_1 \kommu{J_1}{J_3}+ \kommu{J_1}{J_3}J_1
+ J_2 \kommu{J_2}{J_3}+ \kommu{J_2}{J_3}J_2 = 0$ \qquad } \\
ist und folglich $\vc J^2$ und $J_3$ ein simultanes System
$\ket{ \l, m } $ von orthonormierten Eigenzust\"anden 
haben. Wegen Hermitezit\"at sind die Zahlen $\l$ und $m$ reell~:
\be{2}
  \vc J^2 \ket{\l, m} = \hbar^2 \l \ket{\l, m} \qquad , \qquad 
      J_3 \ket{\l, m} = \hbar m  \ket{\l, m}  
  \quad . \qquad
\ee
Die linke Gleichung nehmen wir im Skalarprodukt mit $\ket{\l,m}$.
Auf die rechte wenden wir zuvor $J_3$ an. Also ist
$\dis \hbar^2 \l = \bra{\l,m} \vc J^2 \ket{\l,m} =
\bra{\;} J_1^2 \ket{\;} +
\bra{\;} J_2^2 \ket{\;} +
\bra{\;} J_3^2 \ket{\;} \; \geqslant \, 0 \;$,
und auch $\;\dis \hbar^2 \(\l - m^2 \) = \bra{\l,m} \vc J^2 - J_3^2 
\ket{\l,m} = \bra{\;} J_1^2 \ket{\;} + \bra{\;} J_2^2 \ket{\;} 
 \; \geqslant \, 0 \;$. Ergo~:
\be{3}
  0 \; \leqslant \; \l \qquad , \qquad - \wu \l \;
        \leqslant \; m \; \leqslant \; \wu \l 
  \quad . \qquad
\ee % 3
Jetzt definieren wir zwei Operatoren $J_+$ und $J_-\,$, 
schreiben ihre (leicht verifizierbaren) Eigenschaften gleich 
daneben,
\be{4}
  J_1 \pm i J_2 \glr J_\pm \qquad , \qquad
  \matrix{ J_\pm^\dagger = J_\mp \;\; , 
          \;\; \kommu{\vc J^2}{J_\pm} = 0 \rule[-3mm]{0pt}{0pt} \cr
  \kommu{J_3}{J_\pm}= \pm \hbar J_\pm  \;\; , \;\;
  J_\mp J_\pm = J^2- J_3^2 \mp \hbar J_3 \cr } \quad , \quad
\ee
und nennen sie sinnigerweise Auf-- und Absteigeoperatoren, denn
\bea{5}
 J^2 \;\Big(\, J_\pm \ket{\l,m}  \,\Big) &=& \hbar^2 \l \;
           \Big(\, J_\pm \ket{\l,m}  \,\Big)  
           \ \ \ \qquad \hbox{und} \\
 J_3 \;\Big(\, J_\pm \ket{\l,m}  \,\Big)    \label{6}
  &=& \( \pm \hbar J_\pm + J_\pm  \hbar m \) \ket{\l,m}
  \, = \, \hbar (m \pm 1 ) \, 
  \Big(\, J_\pm \ket{\l,m}  \,\Big) \quad . \qquad              
\eea % 5, 6
Der eingeklammerte Zustand ist also ein $\ket{\l, m\pm1}$
\ --- \ bis auf Vorfaktor~:
\be{7}
  J_\pm \ket{\l,m} = \a_\pm \ket{\l,m\pm 1} \;\; , \;\;
  |\a_\pm |^2 = \bra{\l,m} J_\pm^\dagger J_\pm \ket{\l,m}
  = \hbar^2 \, \big( \, \l - m^2 \mp m \, \big) \;\; , \;\; 
\ee % 7
wobei die letzte Beziehung aus \eq{4} von Nutzen war.
Wenden wir wiederholt $J_-$ an ($\l$ fest), so mu\ss\
\ --- \ weil \eq{3} beliebig tiefe $m$'s verbietet \ --- \
 genau der Wert $\a_-=0$ getroffen werden.
Das minimale $m$, bei dem das passiert, nennen
wir 'min'. Analog kann man $J_+$ wiederholt anwenden und
mu\ss\ $\a_+=0$ treffen. Das maximale $m$ nennen \hbox{wir $j$~,}
\be{8}
 \matrix{ 0=\l - {\rm min}^2 + {\rm min} \hfill \cr
   0 = \l - \, j^2 \, - \, j \hfill \cr}
  \quad \folg \quad j^2 + j - {\rm min}^2  + {\rm min}
  = 0 \quad , \quad
\ee % 8
mit den beiden L\"osungen $j=$min$-1$ (unzutreffend) und
$j=-$min~. Also m\"ussen die $m$--Werte in ganzzahligen
Schritten von $-j$ bis $j$ laufen \ --- \ egal ob dabei der
Ursprung betreten oder \"ubersprungen wird~: \\[-4mm]
\hspace*{2cm}
\unitlength 1cm \begin{picture}(13,2)
\put(0,1){\vector(1,0){8}}
\put(8.4,.9){$m$ \qquad ($\l$ fest)}
\put(1,.8){\line(0,1){.4}}
\put(2,.8){\line(0,1){.4}}
\put(3,.8){\line(0,1){.4}}
\put(4,.8){\line(0,1){.4}}
\put(5,.8){\line(0,1){.4}}
\put(6,.8){\line(0,1){.4}}
\put(7,.8){\line(0,1){.4}}
\put(.5,.4){$-j$}
\put(3.4,.4){\ft Einerschritte}
\put(6.9,.4){$j$}
\end{picture} \\[-2mm]
Aus den beiden linken Gleichungen \eq{8} hatten wir $\l$
eliminiert. Jetzt k\"onnen wir es mittels der unteren
durch $j$ ausdr\"ucken~: \ $\l = j^2 + j = j(j+1)\,$. 
Das tiefstm\"ogliche $m_{\rm max}$ ist $j=0$ ($\folg\, m=0$). 
Nur zu $j=0$ gilt in den Ungleichungen \eq{3} das 
Gleichheitszeichen. 

Fazit~: \ jene Zahlen $\l$ und $m$ in den Eigenwerten
$\hbar^2 \l$ (von $\vc J^2$) und $\hbar m$ (von $J_3$)
nehmen die diskreten Werte
\be{9}
  \l = j(j+1) \quad , \quad m=-j, \ldots \ldots , j-1,j
  \quad \hbox{mit} \quad 
  j= \, 0 \, , \, {1\02} \, , \, 1 \, , \, 
     {3\02} \, , \, 2 \, , \; \ldots \qquad
\ee % 9
an. Die Algebra hat \ m e h r \ M\"oglichkeiten (n\"amlich
auch halbzahlige $j$--Werte) als der lahme Bahndrehimpuls
$\vc L\,$. \ Ob wohl die Natur davon Gebrauch macht~? \ Spin~!

\end{document}


