% le5.tex KLAUSUR Lehrer II 99/00 \documentclass[12pt]{article} \usepackage{german,a4} \voffset -3.4cm \textheight 28.6cm \hoffset 0cm \textwidth 17cm \pagestyle{empty} \baselineskip=17pt \parindent=0pt \input def \def\pn{\par\noindent} \def\vn{\vskip 4mm} \def\pu#1{\\[-5mm]\makebox[1mm][r]{}\hfill \ffall #1} \def\pblatt{\rl{\vbox{ \hbox{\bf Theoretische Physik II f\"ur Lehrer} \hbox{Universit\"at Hannover, WS 1999/2000}} \hspace*{-.4cm}} \vspace*{1.5cm} \pn} \def\no#1#2{\vn #1) \ \parbox[t]{15.6cm}{#2}} \def\ffall#1{\unitlength 1cm \begin{picture}(.6,.5) \put(.3,.14){\circle{.6}} \put(.2,0){{\bf #1}} \end{picture}} \begin{document} \pblatt \vskip -15mm {\LARGE\bf KLAUSUR } \ am 28. Januar 2000~, \ Zeit~: zwei volle Stunden~, \ limit~: {\bf 10} Punkte~. \vskip 2mm \hrule \vskip 3mm \no{1}{ Ein punktf\"ormiges Ufo hat 0 Uhr die Erde ($=$Ursprung von $\Sigma$) passiert. Zur Zeit $t_0=a/c$ ({\ft $a\!=$eine astronomische L\"angeneinheit}) schicken wir ihm einen Lichtblitz hinterher. Ankunftszeit $t_1 =\;?\,$ ({\ft noch die Unbekannte $x_1$ enthaltend}). Sp\"ater teilen uns die Ufonaken \"uber Funk mit, der Blitz sei zur Zeit $t_1^\prime = 3a/c$ bei ihnen eingetroffen. Welche Geschwindigkeit hatte das Ufo ($\b=\;?\,$) und wo $x_1=\;?\,$ traf es der Blitz~? }\pu 4 \no{2}{ Wenn in $\Sigma$ die Felder $\vc E = (0,0,E)\,$, $c\vc B = (0,b,0)\,$ den Raum erf\"ullen (z.B. jene einer ebenen em.~Welle), welche Felder $\vc E^\prime\,$, $c\vc B^\prime\,$ liegen dann in $\Sigma^\prime\,$ vor~? ({\ft $\Sigma^\prime$ fliegt mit $v$ nach rechts.}) \ Welchen Wert (ausgedr\"uckt durch $E$, $b$) hat die Bildung $\vc E^{\prime\,2} - c^2 \vc B^{\prime\,2} \;\;?$ }\pu 2 \vskip -1mm \hspace*{-3cm} -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- \vskip -3mm \no{3}{ $H=T+V$ in 3D mit $V=\a\,\(x^2+y^2\)$ und ${\hbar^2\02m} = 1\,$. \ Auf welches Restproblem \\ {\bf [} \ \ \ ? \ \ \ {\bf ]}$\,\ph (\rho ) = E\,\ph (\rho)\,$ f\"uhrt Separation in Zylinderkoordinaten~? }\pu 2 \no{4}{ \parbox[t]{8.7cm}{ Die Wand--Position $b$ des skizzierten 1D Kastens ($a$, $V_0 \glr \hbar^2 \kappa^2/(2m)$ gegeben, $2\kappa a<\pi$) soll so bestimmt werden, da\ss\ die Grundzustandsenergie des Systems (mit 1 Teilchen:~$m$) bei Null liegt.} \hspace{7mm} \parbox[t]{6cm}{\vskip 1mm \unitlength 1mm \begin{picture}(60,4) \multiput(-1.2,-.7)(0,.4){17}{-} \put(0 ,0 ){\line(1,0){16}} \put(16,0 ){\line(0,-1){6}} \put(16,-6){\line(1,0){16}} \put(24,-7){\vector(0,1){15}} \put(32,-6){\line(0,1){6}} \put(32,0 ){\line(1,0){16}} \put(50,0 ){\vector(1,0){6}} \multiput(48,-.7)(0,.4){17}{-} \put(57.4,-.8 ){\ft $x$} \put(25,7){\scriptsize $V, E$} \put(-3.2,-3.4 ){\ft $-b$} \put(12.6,1.4 ){\ft $-a$} \put(25.8,-1.2 ){\ft $0$} \put(31.6,1.4 ){\ft $a$} \put(33,-6.8 ){\ft $-V_0$} \put(47.4,-3.4 ){\ft $b$} \thicklines \put(0 ,0 ){\line(0,1){7}} \put(48,0 ){\line(0,1){7}} \put(23,-.2){\line(1,0){2}} \end{picture} } \\[2mm] $\ph_0(x)$--Skizze / Dgl / Ans\"atze f\"ur $\ph_{\rm innen}$ und $\ph_{\rm rechts}$ / Anschl\"usse / $b = \,${\large\bf ... } . }\pu 4 \no{5}{ Zu der bekannten Formel f\"ur den Streuquerschnitt in Bornscher N\"aherung soll \\ sonnenklar gemacht werden, da\ss\ sie dimensionsm\"a\ss ig stimmt. }\pu 1 \no{6}{ F\"ur ein Streuproblem wird die Fourier--Transformierte $\schl V (\vc k )=\,\;?\,$ des Zentralpotentials \\ $V(r)= \a \,\d(r-R)$ ben\"otigt. Man teste, ob $\schl V(\vc k=0)|_{\rm Resultat} \;\ueb{?}{=}\; \schl V(\vc k=0)|_{\rm bei\; Start}$ ist. }\pu 3 \no{7}{ Dem Spinor $\vc \chi (0) =\a ${\ft $\(\matrix{2+2i \cr 1 \cr}\)$} sei der Einheitsvektor $\vc e = \(\, {4\09}\, , \, {-4\09} \, , \, {7\09} \,\)$ zugeordnet. Wie l\"a\ss t sich diese Behauptung \glqq mal schnell\grqq\ nachpr\"ufen~? \ $\a =\;?$ \ Wie entwickelt sich $\vc \chi$ unter Magnetfeldeinflu\ss $\; H = \hbar\o\, \s_3\;$ zeitlich weiter~: $\,\vc \chi (t)=\;?\;$ und mit welchen Wahrscheinlichkeiten $P_+$, $P_-$ gibt $\s_3$--Messung ({\ft zu irgendeinem Zeitpunkt}) $\;+1$ bzw. $-1$~? }\pu 5 \no{8}{ Sieben nicht--wechselwirkende Elektronen ($m$) sind an einen Kreisring ($R\, , \, mR^2\glr \theta\,$) gebunden. Zust\"andediagramm~?! \ Welchen Entartungsgrad $\eta\,$ hat der Grundzustand, welche Fermi--Energie $\e_F\,$ und welche Gesamtenergie $E_0$ ? }\pu 3 \vskip -1mm \hspace*{-3cm} -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- \vskip -3mm \no{9}{\vskip -2mm \unitlength .5mm \begin{picture}(11,4) \put(0,-1){\line(1,0){10}} \put(0,9){\line(1,0){10}} \put(0,-1){\line(0,1){10}} \put(10,-1){\line(0,1){10}} \put(2.5,1.5){\circle*{2}} \put(5,4){\circle*{2}} \put(7.5,6.5){\circle*{2}} \end{picture} und\, \unitlength .5mm \begin{picture}(11,4) \put(0,-1){\line(1,0){10}} \put(0,9){\line(1,0){10}} \put(0,-1){\line(0,1){10}} \put(10,-1){\line(0,1){10}} \put(2.5,1.5){\circle*{2}} \put(7.5,1.5){\circle*{2}} \put(5,4){\circle*{2}} \put(2.5,6.5){\circle*{2}} \put(7.5,6.5){\circle*{2}} \end{picture} wurden zu\, \unitlength .5mm \begin{picture}(11,4) \put(0,-1){\line(1,0){10}} \put(0,9){\line(1,0){10}} \put(0,-1){\line(0,1){10}} \put(10,-1){\line(0,1){10}} \put(5,4){\circle*{2}} \end{picture} \"ubermalt~: \ welche Entropie $\;S=\;?\;$ hat ein Ensemble \\ solcher gezinkter W\"urfel und welche mittlere Augenzahl $\;\lw \,\nu\, \rw =\; ?$ }\pu 2 \no{10}{ Am W\"armebad ($T$) h\"angt ein Kreisring ($R$), an welchen {\bf ein} Spin--${1\02}$--Teilchen gebunden ist ({\ft Zust\"andediagramm wie in Aufg.8}). Welche zwei Terme der kanonischen Zustandssumme $Z$ sind bei $T\to0$ die asymptotisch f\"uhrenden~? \ Wie l\"a\ss t sich $Z$ bei $T\to\infty$ vereinfachen und welche Energie $E(T)$ hat dann das System~? }\pu 4 \no{11}{ Jemand hat irgendwie die kanonische Zustandssumme $Z$ eines Systems erhalten, n\"amlich $\;Z = \( \a {V\0N} T^3 \)^N\;$. \ Aus dieser ergibt sich nun $E=\;?\,$ $F=\;?\,$ der Druck $p=\;?\,$ und der Faktor $\,\xi=\;?\,$ in der Zustandsgleichung $\;p\,V = \xi\, E\;$. }\pu 3 \vskip 5mm \hrule \vskip 3mm \hfill $\sum\,$ \lower 1pt\hbox{\large 33\,} \end{document} Verhaeltnis 1) 4 2) 2 ____ 6 P. Rel 2 3) 2 4) 4 5) 1 zu 6) 3 7) 5 8) 3 ____ 18 P. Qua 6 9) 2 10) 4 zu 11) 3 ____ 9 P. Sta 3 ------- 33 %---------------------------------------------------------