% staex1.tex \documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty} \usepackage{german} \usepackage{amssymb} \hoffset -5mm \textwidth 16.4cm \voffset -4cm \textheight 27cm \parindent 0pt \parskip 3mm \input def \def\no#1{\hspace*{-7.7mm} #1)~} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% das ist nur das 'Deckblatt' $ $ \vskip 4.5cm \begin{center} {\Large\bf Staatsexamensklausur Lehramt Gymnasium} \vskip 2cm {\Large\bf PHYSIK} \vskip 3cm September 2001 \vskip 2cm Es ist eines der drei Themen \\ ({\bf A} oder {\bf B} oder {\bf C}) \\ auszuw\"ahlen und in vier Stunden zu bearbeiten. \end{center} \vskip 1cm Da gleichgewichtig bewertet, sollte {\sl jeder} der drei Teile I., II., III. des gew\"ahlten \\ Themas bearbeitet werden. \\[2mm] Teil I ~~~\parbox[t]{13cm}{ist der experimentelle Teil. Anschauliches Verst\"andnis und Beziehungsreichtum eines Ausschnitts Natur, experimentelles Einf\"uhlungsverm\"ogen und Fantasie auch ggf. bei einer Liste von Fehlerquellen. Grundlagen der beteiligten Physik~?} \\[2mm] Teil II ~~\parbox[t]{13cm}{ist wie Ausschnitt aus einer m\"undlicher Pr\"ufung. ~K~u~r~z~e~ (und vorzugsweise formelm\"a\ss ige) Antworten. Keine Frage auslassen (zur Not Frage wenigstens einordnen, Stichworte?)} \\[2mm] Teil III ~\parbox[t]{13cm}{ist wie ein Ausschnitt aus einer Klausur zum Theorie-Kurs.} \newpage %%% A %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rl{September 2001} \vskip 1cm \ct{\large Thema ~{\Large\bf A :} \ Stromdichten} \small \vskip 1mm \leftskip 1cm \hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Hall--Effekt \\[1mm] \parbox[t]{11.3cm}{Im Schulversuch wird mittels Hall--Effekt die Elektronendichte $\;\varrho\;$ \\ einer Silberfolie bestimmt. Erkl\"arungen zur Skizze / mehr Details zur Me\ss anordnung / Fehlerquellen / Auswertung bis hin zu $\varrho\;$. } \quad \parbox[t]{3cm}{\vskip -19mm \unitlength 1cm \begin{picture}(2,2) \put(0,0){\line(3,2){2}} \put(.1,0){\line(3,2){2}} \put(0,0){\line(0,-1){1}} \put(.1,0){\line(0,-1){1}} \put(2.1,1.34){\line(0,-1){.84}} \put(.1,-1){\line(4,3){2}} \put(1,.2){\vector(1,0){1.5}} \put(2.6,.1){\ft $x\, , \, \vc B$} \put(1,.2){\vector(0,1){1}} \put(.93,1.3){\ft $z$} \put(2.1,1){\vector(4,3){.4}} \put(2.6,1.3){\ft $y\, , \, I$} \end{picture}} \\[2mm] Was passiert in der Folie unmittelbar nach Einschalten des Stromes~? Warum ist die Hall--Spannung in Halbleitern (wie z.B. InSb) um einige Zehnerpotenzen gr\"o\ss er als in Metallen~? \"Anderung der Hall--Spannung bei Erw\"armen des Metalls bzw. des Halbleiters~? %----------------------------- \vskip 5mm \hspace*{-1cm} {\bf II.} ~1) Wie sieht Ohms Beziehung zwischen Strom $I$, Spannung $U$ und Widerstand $R$ aus~? Wie folgt sie aus $\vc j = \s \vc E$~? Wie h\"angen also $\s$ und $R$ miteinander zusammen~? \no 2 Die Kontinuit\"atsgleichung (f\"ur z.B. Teilchendichte $\varrho$ und Teilchenstromdichte $\vc j$ eines Gases) soll aufgeschrieben werden und im 1D Falle auf Sch\"ulerniveau erkl\"art werden. Welche Gestalt nimmt sie in Kugelkoordinaten an~? \no 3 \parbox[t]{13.5cm}{Ein Kolben (zu $t=0$ bei $x=a$) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $v_0$ nach rechts und dehnt dabei ein Gas (seine Dichte bleibe $x$--unabh\"angig). $\vc j=\;?$} \ \ \ \parbox[t]{1cm}{\vskip -3mm \unitlength .6cm \begin{picture}(.9,1) \put(0,0){\line(0,1){.6}} \put(0,0){\line(1,0){3}} \put(0,.6){\line(1,0){3}} \put(2,0){\line(0,1){.6}}\put(2.2,0){\line(0,1){.6}} \put(2.2,.3){\vector(1,0){.6}} \end{picture}} \no 4 Linear im elektrischen Feld gilt $ \vcts \jmath (\vc k, \o ) = \schl \s (\vc k, \o ) \vctl E (\vc k, \o )$ in Strenge (f\"ur Fourier--Transformierte also). Wie leitet man dies her~? \no 5 Die elektromagnetische Feldenergie--Stromdichte ist $\vc S = c^2 \e_0 \vc E \times \vc B$. Wie leitet man dies her~? \no 6 In der Quantenmechanik ist $\vc j = {\hbar \0 2mi} ( \psi^* \nabla \psi + c.c. )$ die Wahrscheinlichkeitsstromdichte eines Teilchens. Wie leitet man das her~? \no 7 \glqq Eichinvarianz\grqq\ -- was ist das~? Der $\vc j$--Ausdruck in 6) soll eichinvariant werden, zu welcher Modifikation (vorf\"uhren~?!) ist man gezwungen~? \no 8 Wie definiert man den quantenmechanischen Streuquerschnitt $\s$~? Welche Gestalt hat die auslaufende Wellenfunktion in gro\ss er Entfernung vom kugelsymmetrischen Zentrum~? Wie folgt hiermit, da\ss\ $\s = |\hbox{\ft Streuamplitude}|^2$ ist~? \no 9 Das 1D Wellenpaket $\psi (x,0)= \a e^{-\b |x|}$ zerflie\ss t. Wie ist das zu rechnen~? ~$\psi(x,t)=\;?\;$ darf noch Integrale enthalten. \no {10} Wie sieht die Kontinuit\"atsgleichung in relativistischer Formulierung aus~? Notieren Sie so viel wie m\"oglich andere Vierervektoren. Welche elementaren Fermionen kennen Sie~? Wie sieht die Dirac--Gleichung aus~? %----------------------------- \vskip 4mm \hspace*{-1cm} {\bf III.} ~1) Reflexion an Delta--Mulde \\[1mm] Reflexionskoeffizient $R$ und Durchgangskoeffizient $D$ sind einfache Quotienten aus $j$'s. Zum Delta--Potential $V(x)=-\l\delta(x)$ sollen $R$ und $D$ bestimmt und beide als Funktion der Strahlenergie $E$ skizziert werden. Ist auch $R+D=1$ erf"ullt~? Was passiert mit $R$ und $D$ in den F"allen $\l\to 0$ und $\l\to\infty$~? \ \ \qquad {\small (Ganz langsam: Skizze, Ans\"atze rechts/links, $E=\;?\;$, zwei Anschlu\ss bedn. aus Schr\"odinger-Gl., welches $j$ hat ein $\psi= C e^{ikx}$~? $D$ bilden, ...)} \hspace*{-7mm} 2)~ F\"ur ein Streuproblem wird die Fourier--Transformierte $\schl V (\vc k )=\,\;?\,$ des Zentralpotentials $V(r)= \a \,\d(r-R)$ ben\"otigt. Setzt man nun $\vc k\!=\!0$ einmal im Resultat und zum anderen im urspr\"unglichen Fourier--Integral, dann sollte die gleiche Zahl herauskommen. Ist es so~? \newpage %%% B %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % lsb.tex \rl{September 2001} \vskip 1cm \ct{\large Thema ~{\Large\bf B :} \ Interferenzen} \small \leftskip 1cm \hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Interferometer \\[1mm] Erkl\"aren Sie anhand von Skizzen die Interferenz von Licht zweier (Doppelspalt) bzw. vieler (Einfachspalt) Teilstrahlen. Quantitative Zusammenh\"ange~? \\ Nachweism\"oglichkeiten des Interferenzbildes~? Physikalische Hintergr\"unde~? (Falls Sie Huygens' Prinzip benutzten, woraus w\"are es herzuleiten~? \\ Erkl\"aren Sie z.B. zwei der folgenden Ger\"ate: Michelson--Interferometer, Gitter--Spektral\-apparat, Fabry--Perot--Interferometer, Stern--Gerlach--Apparatur. Erz\"ahlen Sie etwas zur Abstrahlung von e.m. Wellen von einer vertikalen Sendeantenne. Wovon ausgehend (und grob wie) erh\"alt man das Strahlungsfeld per Rechnung~? \hspace*{-1cm} {\bf II.} ~1) Wie sehen die Felder $\vc E$, $\vc B$ einer ebenen e.m. Welle explizit aus~? Welche Gr\"o\ss en darin sind frei w\"ahlbar~? Zeigen Sie (anhand einer Maxwell-Gl. Ihrer Wahl), da\ss\ $\vc E$ senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung stehen mu\ss . \no 2 Superponieren Sie zwei laufende Schallwellen zu einer stehenden. \no 3 Wie sehen die Maxwell--Gleichungen in Fourier--transformierter Form aus~? Benutzen Sie diese zur Herleitung (a) der Kontinuit\"atsgleichung, (b) der Wellengleichung, (c) der Darstellbarkeit $\vc E = -\pvc A - \nabla \ph$. \no 4 Die elektromagnetische Feldenergie--Stromdichte ist $\vc S = c^2 \e_0 \vc E \times \vc B$. Wie kommt man hierauf~? Und welches $\vc S$ hat eine ebene e.m. Welle im Zeitmittel~? \no 5 Wie folgt der Dopplereffekt aus dem Umstand, da\ss\ $(|k|, \vc k)$ ein Vierervektor ist~? Notieren Sie so viel wie m\"oglich andere Vierervektoren. \no 6 Zum H--Atom (Proton $m_1$, Elektron $m_2$) sollen Relativ-- und Schwerpunkt--Problem separiert werden. \no 7 Ein Hamilton--Operator $H$ h\"ange nicht von der Zeit ab. Ein Zustand $\psi(\vc r , t)$ ver\"andert sich mit der Zeit. Aber (zeige~!) seine Norm beh\"alt er bei. \no 8 Das 1D Wellenpaket $\psi (x,0)= \a e^{-\b |x|}$ zerflie\ss t. Wie ist das zu rechnen~? ~$\psi(x,t)=\;?\;$ darf noch Integrale enthalten. \no 9 Welche Aussage macht das Pauli--Prin\-zip allgemein~? Und welche im Falle nicht--wechsel\-wirkender, iden\-tischer Fermionen~? Die Fermiverteilung steht bei Thema C~: Idee der Herleitung~? \no {10} Wie sieht die Dirac--Gleichung aus~? Was kommt heraus, wenn man sie mit Wellen $\sim e^{i\vcsm k \vcsm r}$ best\"uckt~? Welche (der Dirac-Gl. gen\"ugenden) Teilchen kennen Sie~? (elementare oder auch zusammengesetzte). \vskip 4mm \hspace*{-1cm} {\bf III.} ~1) Ob auch station\"are Materiewellen interferieren~? Geben Sie den Vektoren $\vc k_1,\, \vc k_2$ konkrete Komponenten, so da\ss\ $e^{i\vcsm k_{\!1} \vcsm r}$ und $e^{i\vcsm k_{\!2} \vcsm r}$ von einem Doppelspalt (Ebene $x=0$) ausgegangen sein k\"onnten. Welche Rechnung enth\"ullt die Welligkeit von $|\psi|^2$ am Schirm bei $x=a$~? \no 2 Dem Spinor $\vc \chi (0) =\a ${\ft $\(\matrix{2+2i \cr 1 \cr}\)$} sei der Einheitsvektor $\vc e = \(\, {4\09}\, , \, {-4\09} \, , \, {7\09} \,\)$ zugeordnet. Wie l\"a\ss t sich diese Behauptung nachpr\"ufen~? \\ Normierung von $\vc \chi$ gibt $\a =\;?$ \ Wie entwickelt sich $\vc \chi$ unter Magnetfeldeinflu\ss $\; H = \hbar\o\, \s_3\;$ zeitlich weiter~: $\,\vc \chi (t)=\;?\;$ und mit welchen Wahrscheinlichkeiten $P_+$, $P_-$ gibt $\s_3$--Messung ({\ft zu irgendeinem Zeitpunkt}) $\;+1$ bzw. $-1$~? \newpage %%% C %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % lsc.tex \rl{September 2001} \vskip 1cm \ct{\large Thema ~{\Large\bf C :} \ Zust\"ande} \small \leftskip 1cm \hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Spektralapparat \\[1mm] \parbox[t]{12cm}{Die Spektrallinien des H--Atoms sollen mit einem Prismen--Spektral\-appa\-rat vermessen werden. \qquad\ \ \ Erg\"anzen Sie den hier nur d\"urftig} \quad \parbox[t]{2cm}{\vskip -1mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,.1) \put(0,0){\circle{.2}} \put(.3,.06){\vector(4,1){.4}} \put(.86,-.04){\Large $\triangle$} \put(1.6,.12){\vector(4,-1){.4}} \put(2.4,-.2){\line(1,4){.14}} \end{picture}} \\[1mm] skizzierten Versuchsaufbau m\"oglichst detailliert. Welche experimentellen Schwierigkeiten und Fehlerquellen sind zu erwarten~? Wodurch wird das Aufl\"osungsverm\"ogen begrenzt~? Welche Korrekturen am \glqq simplen H--Atom\grqq\ ($H=T-{\const\0r}$, $\const =\,?\,$) kennen Sie~? Deren physikalische Ursachen~? Welche Ursachen hat die Linienbreite~? %------------------------ \vskip 4mm \hspace*{-1cm} {\bf II.} ~1) Wie folgt die station\"are Schr\"odinger--Gleichung aus der zeitabh\"angigen~? Warum m\"ussen Me\ss gr\"o\ss en--Operatoren hermitesch sein~? ~Inwiefern helfen $H$--Eigenfunktionen dabei, ein Anfangswertproblem zu l\"osen~? \no 2 Welche $H$--Eigenzust\"ande hat ein 1D bewegliches Teilchen in einem Kasten (Breite $a$) mit $\infty$ hohen W\"anden~? (ein wenig raten und gleich hinschreiben) K\"onnen Sie auch zum 1D harmonischen Oszillator einiges gleich hinschreiben~? \no 3 Quantenmechanisch zu beschreibende Teilchen laufen schr\"ag gegen einen Halbraum mit negativ konstantem Potential. Was geschieht~? Was hat dies mit Separation zu tun~? Wie erh\"alt man die Richtung des Strahls im Potentialbereich~? \no 4 L\"osen Sie (stichwortartig, markante Formeln) das H--Atom--Problem (Kern festgehalten). \no 5 Ein H--Atom fliegt durch die Gegend (Proton $m_1$, Elektron $m_2$). Wie separieren sich Relativ-- und Schwerpunkt--Problem~? \no 6 Wie sieht der Hamilton--Operator eines Teilchens aus, wenn auch ein Magnetfeld anliegt~? Wie gewinnt man daraus einen $\vc L\!\cdot\!\vc B$--Term~? \no 7 $\psi = {1\0\wu 5}${\scriptsize $\(\matrix{ 2 \cr 1 \cr}\)\,$}: ~Mit welcher Wahrscheinlichkeit $P_-$ erh\"alt man bei Messung der y--Komponente \hspace*{2.16cm} des Spins welchen negativen Wert~? \no 8 Newton gilt (fast) auch quantenmechanisch, n\"amlich f\"ur Erwartungswerte. Wie geht man vor, um dies zu zeigen~? \no 9 Fermi--Verteilung $p_\l=${\large ${1\0 e^{\b (\e_\l - \mu)}+1}\,$}. Bedeutung von $p_\l$ und der rechts enthaltenen Gr\"o\ss en~? Voraussetzungen f\"ur ihre G\"ultigkeit~? Idee der Herleitung~? \no {10} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder auch zusammengesezte). Welche Aussage macht das Pauli--Prin\-zip~? Was ist das, eine Slater--Determinante~? Wie sieht die Dirac--Gleichung aus~? %------------------------ \vskip 4mm \hspace*{-1cm} {\bf III.} ~1) Die Wand--Position $b$ des skizzierten 1D Kastens ($a$, $V_0 \glr \hbar^2 \kappa^2/(2m)$ gegeben, $2\kappa a<\pi$) \hspace*{5mm} soll so bestimmt werden, da\ss\ die Grundzustands-- \\ energie des Systems (mit 1 Teilchen:~$m$) bei Null liegt. \hspace{5mm} \parbox[t]{5.6cm}{\vskip -1mm \unitlength 1mm \begin{picture}(50,4) \multiput(-1.2,-.7)(0,.4){17}{-} \put(0 ,0 ){\line(1,0){16}} \put(16,0 ){\line(0,-1){6}} \put(16,-6){\line(1,0){16}} \put(24,-7){\vector(0,1){15}} \put(32,-6){\line(0,1){6}} \put(32,0 ){\line(1,0){16}} \put(50,0 ){\vector(1,0){6}} \multiput(48,-.7)(0,.4){17}{-} \put(57.4,-.8 ){\ft $x$} \put(25,7){\scriptsize $V, E$} \put(-3.2,-3.4 ){\ft $-b$} \put(12.6,1.4 ){\ft $-a$} \put(25.8,-1.2 ){\ft $0$} \put(31.6,1.4 ){\ft $a$} \put(33,-6.8 ){\ft $-V_0$} \put(47.4,-3.4 ){\ft $b$} \thicklines \put(0 ,0 ){\line(0,1){7}} \put(48,0 ){\line(0,1){7}} \put(23,-.2){\line(1,0){2}} \end{picture} } \\[-1mm] $\ph_0(x)$--Skizze / Dgl / Ans\"atze f\"ur $\ph_{\rm innen}$ und \\ $\ph_{\rm rechts}$ / Anschl\"usse / $b = \,${\large\bf ... } . \no 2 ~Im Kontakt mit einem W\"armebad ($T$) steht ein Kreisring ($R$), an welchen ein spinloses Teilchen gebunden ist: $H=-{\hbar^2\02\theta}\6_\ph^2\,$. Welche Eigenzust\"ande hat $H$~? Und welches $E$--Spektrum~? Entartungsgrade~? Welche zwei Terme der kanonischen Zustandssumme $Z$ sind bei $T\to0$ die asymptotisch f\"uhrenden~? \ Wie l\"a\ss t sich $Z$ bei $T\to\infty$ vereinfachen und welche Energie $E(T)$ hat dann das System~? \end{document}