% staex2.tex    Maerz 2002

\documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty}
\usepackage{german}  \usepackage{amssymb}
\hoffset -5mm   \textwidth 16.4cm   
\voffset -4cm   \textheight 27cm 
\parindent 0pt
\parskip 3mm
\input def
\def\no#1{\hspace*{-7.7mm} #1)~} 
\def\nno#1{\hspace*{-9.3mm} #1)~} 

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  das 'Deckblatt'
$ $ \vskip 4.5cm
\begin{center}
{\Large\bf Staatsexamensklausur Lehramt Gymnasium}  \vskip 2cm

{\Large\bf PHYSIK}  \vskip 3cm

M\"arz 2002    \vskip 2cm

Es ist eines der drei Themen \\
({\bf A} oder {\bf B} oder {\bf C}) \\
auszuw\"ahlen und in vier Stunden zu bearbeiten.
\end{center} \vskip 1cm
Da gleichgewichtig bewertet, sollte {\sl jeder} der drei Teile 
I., II., III. des gew\"ahlten \\ Themas bearbeitet werden. \\[2mm]
Teil I ~~~\parbox[t]{13cm}{ist der experimentelle Teil. Anschauliches
       Verst\"andnis und Beziehungsreichtum eines Ausschnitts Natur,
       experimentelles Einf\"uhlungsverm\"ogen und Fantasie 
       auch ggf. bei einer Liste von Fehlerquellen. Grundlagen der 
       beteiligten Physik~?} \\[2mm]
Teil II ~~\parbox[t]{13cm}{ist wie Ausschnitt aus einer
        m\"undlicher Pr\"ufung. ~K~u~r~z~e~ (und vorzugsweise 
        formelm\"a\ss ige) Antworten. Lassen Sie ~k~e~i~n~e~ 
        Frage ~a~u~s~! (zur Not Frage wenigstens einordnen, 
        Stichworte?)} \\[2mm]
Teil III ~\parbox[t]{13cm}{ist wie ein Ausschnitt aus einer 
        Klausur zum Theorie-Kurs.}
\newpage 

%%%   A   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rl{M\"arz 2002}

\vskip 3mm
\ct{\large Thema ~{\Large\bf A :} \ Oszillationen}
\small

\vskip 3mm
\leftskip 1cm
\hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Wie funktioniert (Worte) die 
skizzierte Schaltung~? \\[1mm]
\parbox[t]{12.4cm}{
Skizze der Amplitude $I_0$ der Stromst\"arke im Kreis als 
Funktion der Frequenz $\o$ der angelegten Spannung~?! 
~Schaltet man die letztere ab, so sind zwei Schwingungstypen 
denkbar, welche~? \\
Wie macht man (einer Schulklasse) das Geschehen 
sichtbar~? ~Welche Me\ss ger\"ate empfehlen Sie und wie funktionieren
diese~? }
\ \ \parbox[t]{2.6cm}{\vskip 3mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(2,1)
\put(2,.86){\ft $L$} \put(1.13,.62){\ft $C$} \put(2,.34){\ft $R$}
\put(1.34,2.1){$\sim$} 
\put(1.04,1.77){\Large [} \put(1.81,1.77){\Large ]}
\multiput(1.17,1.6)(.129,0){5}{\ft $\ell$}
\multiput(.7,1.2)(.129,0){17}{\ft $\ell$}
\put(.7,1.29){\line(0,-1){.5}} \put(.7,.68){\line(0,-1){.6}}
\put(.7,.09){\line(1,0){.36}}
\put(2.54,.09){\line(1,0){.36}}
\put(2.89,.09){\line(0,1){1.2}}
\put(1.07,.06){\fbox{\rule{0pt}{.8mm}\,\quad\qquad}}
\thicklines
\put(.4,.8){\line(1,0){.6}} \put(.4,.7){\line(1,0){.6}} 
\end{picture}
}
\\[1mm]
Wie funktioniert der Transformator~? ~Rolle eines Eisenkerns~? 
~Wie kann man aus obigen Schaltelementen Frequenzfilter
(Hochpa\ss , Tiefpa\ss ) aufbauen und wie funktionieren sie~?

%-----------------------------

\vfill
\hspace*{-1cm} {\bf II.} 
1)~ Die Ladung $Q(t)$ auf obigem Kondensator folgt
    der Dgl $\;L \pp Q + \;?\; + \;?\; = U_{\rm angelegt}(t)\,$.
    Welcher Term steht (warum) f\"ur welchen Schaltungsteil~? 
    ~L\"osungs--Trick im Falle ~$L=0\,$~? 

\no 2 Eine stehende Schallwelle ($\,[\6_t^2-c^2\6_x^2]\, n=0\,$ 
      erf\"ullend) soll notiert werden ({\scriptsize Kundtsches Rohr}).

\no 3 Eine ebene, in y-Richtung polarisierte e.m. Welle fliegt 
      in negative z-Richtung. Welche Kraft $\vc K(t)$ erf\"ahrt eine
      am Ursprung festgenagelte Ladung $q$~? 

\vskip -2mm
\no 4 Wenn man mit $\,\vc E = \vc E_0 \cos(\vc k \vc r - \o t)\,$
      die Maxwell--Gleichung $\;\rot \vc E = - \pvc B\;$ be\-st\"uckt,
      dann erh\"alt man das begleitende Magnetfeld 
       $\vc B\,$: ~wirklich~? ~inwieweit~? ~welches $\vc B$~?

\no 5 $\pp x + \o^2 x = a\,\sin(\O t), \; \o\neq\O\;$.
      Welche allgemeine L\"osung $x(t)$ hat diese Dgl~? 

\no 6 Die Bewegungsgleichung einer Ladung $q$ im homogenen 
      Magnetfeld $(0,0,B)$ kann auf zwei Oszillator--Dgln 
      r\"uckgef\"uhrt werden, n\"amlich wie~? 

\no 7 Welchen Hamilton--Operator $H$ hat ein 1D harmonischer
      Oszillator ($m,\o$)~? ~Wenn $\psi \sim e^{-\kappa x^2}$ 
      die $H$--Eigenwertgleichung l\"ost, wie mu\ss\ dann
      $\,\kappa\,$ mit $\,\o\,$ zusammenh\"angen~?

\no 8 Spin--Pr\"azession~: ~$H=\hbar \o \s^x = \hbar \o
      $\raise 1pt\hbox{\scriptsize $\( \matrix{ 0 & 1\cr 1 & 0 \cr 
      }\)$} , ~$\psi(t\!=\!0) =$\raise 1pt\hbox{\scriptsize $\( \matrix{ 
      0 \cr 1 \cr }\)$} , ~~$\psi(t)=\;?$ ~ (Normierung OK~?)

\no 9 $m\, \6_t^2 \lw x \rw = \lw\, K(x)\,\rw\;$:
      wie kommt das (in groben Z\"ugen) heraus~? ~Inwiefern spielt 
      eine Oszillator--Kraft hierin eine besondere Rolle~?

\nno {10} Wie ist die kanonische Zustandssumme eines 1D 
         harmonischen Oszillators aufzuschreiben~?
         ~Und wie kann man sie auswerten~? 

\nno {11} Drei Fragen zur Auswahl~: ~notieren Sie das Wesentlichste 
         (a) zur Fermi--Verteilung, oder
         (b) zur Dirac--Gleichung, oder 
         (c) zur Hohlraumstrahlung.

\nno {12} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder 
         auch zusammengesezte). ~Welche Aussage macht das 
         Pauli--Prin\-zip~? ~Was ist das, eine 
         Slater--Determinante~?

%-----------------------------

\vfill
\hspace*{-1cm} {\bf III.} 1) 
~Ein 1D harmonischer Oszillator befinde sich im Zustand
$\;\dis\,\psi (x) = A \,e^{- \a^2 {m\o \0 2\hbar} x^2}\,$,
{\scriptsize $\;\a$ positiv.} \\
Zu $\,\a=1\,$ w\"are dies genau die Grundzustandsfunktion, aber es 
sei $\,\a\neq 1\,$. \\ Welchen Normierungsfaktor $A$ hat $\,\psi$~? 
$(\!(${\ft $\,\int \! dx\; e^{-x^2} = \wu \pi \,$.$)\!)\,$}
~~Mit welcher Wahrschein\-lich\-keit $P_0(\a)$ gibt eine Energie--Messung
den Wert $\,E_0={1\02}\hbar \o$~? ~Die Funktion $\,P_0(\a )\,$
(~Skizze~!~) hat ein Maximun, n\"amlich bei welchem Wert von $\,\a$~?

\no 2 Wiederkehrzeiten~: \\
(a) Teilchen im 1D Kasten\footnote{~siehe auch Thema C II. 5). Auch
    die $E_n$ kann man eigentlich (Dimension?!) gleich hinschreiben.}
, und zur Zeit $t=0$
in einem Nicht--Eigenzustand $\psi(x,0)\,$. ~Nach welcher Zeit 
$t_1$ hat sich $\psi$ (sp\"atestens) perfekt reproduziert~? \\
(b) Teilchen im 1D Oszillator--Potential~: ~$t_1=\;?$ \\
(c) Teilchen, gebunden an eine Kugeloberfl\"ache ($R$)~: ~$t_1=\;?$
\\ (~Hierbei k\"onnte die Fu\ss note zu Thema C helfen~:
 ~radiale Kinetik entf\"allt, und $r$ ist $R\,$.~)
\\[-1mm] \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa}

\newpage 

%%%   B   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rl{M\"arz 2002}

\vskip 3mm
\ct{\large Thema ~{\Large\bf B :} \ Physik nahe $\,c$}
\small

\vskip 1mm \leftskip 1cm
\hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Relativistischer Doppler--Effekt. \\
\parbox[t]{13.4cm}{
Bei Betrachtung der Sonne mit hochaufl\"osendem Spektralapparat
wird die Wasserstoff--Balmer--alpha--Linie am linken und rechten
Rand des \"Aquators der Son\-ne bei leicht unterschiedlichen
Wellenl\"angen gesehen. }
\quad\qquad \parbox[t]{.4cm}{
\vskip -8mm \unitlength 8mm \begin{picture}(.2,1)
\put(-.5,-2){\line(1,0){1.1}}
\multiput(-.55,-2.2)(.08,0){13}{\tiny /}
\put(-.58,-1){\ft $\downarrow$}\put(.36,-1){\ft $\downarrow$}
\linethickness{.4pt}
\qbezier(0,.5)(.207,.5)(.353,.353)  \qbezier(.353,.353)(.5,.207)(.5,0)
\qbezier(0,-.5)(.207,-.5)(.353,-.353) \qbezier(.353,-.353)(.5,-.207)(.5,0)
\qbezier(0,.5)(-.207,.5)(-.353,.353)  \qbezier(-.353,.353)(-.5,.207)(-.5,0)
\qbezier(0,-.5)(-.207,-.5)(-.353,-.353) 
\qbezier(-.353,-.353)(-.5,-.207)(-.5,0)
\put(-.1,.434){\tiny $>$}
\put(-.04,-.02){\tiny $_{^\bullet}$} 
\linethickness{.1pt}
\put(0,.01){\line(1,0){.5}}
\put(.16,.12){\tiny $_R$}
\end{picture}} 
\\[1mm]
Warum ist das so~? ~Woher (rechts/links in der Skizze) kommt das r\"otere 
Licht~? \\ 
Wie k\"onnte ein Spektralapparat aufgebaut sein, mit 
dem man das sieht~? \\
Mittels allgemein $\o = \o_{\rm ruh} \wu {{1+\b \0 1-\b}}$ 
~(~linear n\"ahern~!~) kann man die Rotations--Periode $T$ der
Sonne als Fkt.~von $\D\o$ erhalten, n\"amlich wie~? 
~Nur $R\,$ bekannt: mit Sicherheit ist $\,T > T_0=\;?$

\vfill
\hspace*{-1cm} {\bf II.} 
1)~ Nach Aufschreiben einer ebenen elektromagnetischen Welle 
    werde (einem Sch\"uler) der Zusammenhang von $\o$ mit $\l$ 
    erkl\"art. ~Wie dr\"uckt sich $\D\o$ (in $T$ aus Teil~I)
    durch $\D\l$ aus~?

\no 2 Zahlenwerte zu Teil I~: ~Sonnen--Durchmesser = 1.4 Mio km.~,
  ~$\l_{\rm Balmer-alpha}= 656*10^{-9}$m~, 
  ~Rechts--links--Unterschied $\D \l=9*10^{-12}$m~ 
  ~$\folg\;\;T\approx\;?$ ~({\scriptsize in Sekunden und 
   z.B. ohne Kommastellen}) 
% ~Geben Sie grob eine Periode $T_c$ an, oberhalb 
%  welcher die lineare N\"aherung zusammenbrechen w\"urde.

\no 3 Wie kommt die $\o$--Wurzel--Formel von Teil I heraus~? (n\"amlich 
      indem man welchen Vierervektor Lorentz--transformiert, tun~!~)

\no 4 Wie folgt (zu bekannter Lorentz--Tr. als 
      als $2\times2$--Matrix) die L\"angen--Kontraktion~?

\no 5 Wie sieht die Lorentz--Transformation als $4\times4$--Matrix
      aus, wenn $\Sigma'$ mit $v$ in y--Richtung (statt in 
      x--Richtung) fliegt~?

\no 6 Welche (mechanischen und elektrodynamischen) Vierervektoren
      kennen Sie~? ~Wie folgt die Energie--Impuls--Beziehung
      aus der Invarianz des Vierer--Impuls--Quadrates~?  


\no 7 Welche Energiedichte $U$ haben elektromagnetische Felder
      generell, und wieviel Energie $E_V$ ist folglich in einem
      gro\ss en (darum r\"aumliche Mittelung erlaubenden) Volumen
      $V$ einer ebenen e.m. Welle enthalten~?

\no 8 Wie sieht die kausale L\"osung der Maxwell--Gleichungen 
      aus (retardierte Potentiale)~? ~Angenommen, sie waren
      schon z.B. um 1880 bekannt, welche Hinweise auf Relativistik
      konnte man entnehmen~?  

\no 9 Nicht--relativistisches freies Teilchen (d.h. kein Potential). 
      Wie entwickelt sich ein Zustand $e^{i \vcsm k \vcsm r}$ 
      aufgrund der zeitabh\"angigen Schr\"odinger--Gleichung 
      weiter~? ~$\;\folg\;\;\o(k)=\;?$

\nno {10} Welchen Impuls--Erwartungswert hat ein Teilchen in 1D
      im Zustand $\,\psi= A\, e^{ikx}e^{-\a |x|}\,$~?

\nno {11} Drei Fragen zur Auswahl~: ~notieren Sie das Wesentlichste 
         (a) zur Fermi--Verteilung, oder
         (b) zur Dirac--Gleichung, oder 
         (c) zur Hohlraumstrahlung.

\nno {12} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder 
         auch zusammengesezte). ~Welche Aussage macht 
         das Pauli--Prin\-zip~? ~Was ist das, eine 
         Slater--Determinante~?

\vfill
\hspace*{-1cm} {\bf III.} 1)~ Zur Zeit $t_1'={a\0c}$ wird
am Heck einer Rakete ($=\Sigma'$--Ursprung, welcher
zu $t\!=\!t'\!=\!0$ mit $\Sigma$--Ursprung koinzidierte; 
Standardsituation) ein Lichtblitz nach links gestartet. 
$a=x_1$ ist der (bekannte) Ort des Start--Ereignisses 1 auf der 
$\Sigma$--Achse. ~Wie schnell ($\b=?$) fliegt die Rakete~? 
~Wann ($ct_2=?$) trifft der Blitz am $\Sigma$--Ursprung ein~? 

\no 2 In einer eindimensionalen, ultra--relativistischen Welt       
      sei ~~$\;H = c\,p\;$ \\ der Hamilton--Operator eines 
freien Teilchens ($\;p={\hbar\0i}\6_x\;$)~. \\
Welche Eigenfunktionen hat $H$~? ~Welche Gestalt nimmt die
zeitabh\"angige Schr\"odinger--Gleichung an~? ~Wie entwickelt 
sich ein (auf--1--normierbarer) Zustand $\psi(x,0)$ im Laufe
der Zeit weiter~? ~~Wie gelangt man (auf Ehrenfests Spuren) zu
$\,\,\6_t \lw A \rw = -c\int\! dx\; A\, \6_x \psi^* \psi\,$~? \\
Folglich ist $\,\6_t \lw x \rw = \;?\,$ ~~Schlie\ss lich
wird auch die Herleitung der Wahrscheinlichkeits--Strom\-dich\-te
recht einfach und f\"uhrt auf $\,\vc j = \; ?$

\newpage 

%%%   C   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rl{M\"arz 2002}

\vskip 4mm
\ct{\large Thema ~{\Large\bf C :} \ Gebundene Teilchen}
\small

\vskip 4mm
\leftskip 1cm
\hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Eine Gasentladungsr\"ohre ist
mit Wasserstoff gef\"ullt. \\[1mm] 
\parbox[t]{13.5cm}{
Wie funktioniert die R\"ohre im Detail~? ~Was f\"ur ein
Spektrum beobachten Sie~?  
~Aufbau und Ger\"ate, um die Strahlung zu analysieren~? 
~Welche Interferometer kennen Sie~? ~Termschema des H--Atoms~?
~Ursachen f\"ur Linienbreite~? 
~Kennen Sie Feinstrukturen des Spektrums~? ~Welche Effekte
macht ein Magnetfeld~? } 
\qquad 
\parbox[t]{1cm}{\vskip -5mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(.6,1)
\put(0,0){\line(0,1){1}} \put(.34,0){\line(0,1){1}}
\put(-.01,-.12){$\smile$} \put(-.01,.96){$\frown$}
\put(.12,-.2){$|$} \put(.12,1){$|$}
\put(.8,-.2){\line(0,1){.6}} \put(.8,.5){\line(0,1){.6}}
\put(1.1,.33){?} \put(1.4,.33){?}
\end{picture} } \\[1mm]
Wenn Licht durchstimmbarer Frequenz auf H--Gas trifft, 
was/wo sieht man dann~?  

%------------------------

\vfill
\hspace*{-1cm} {\bf II.} 
1) ~Wie kommt in klassischer Mechanik bei Bewegung eines Teilchens 
($m$) im Zentralpotential $V(r)$ das effektive Potential 
$\;V_{\rm eff}(r) =\;?\;$ zu Papier~? 

\no 2 Wie kann man anhand einer Skizze des effektiven Potentials
      die Kepler--Bahn--Typen (welche?) qualitativ unterscheiden~?
      ~~Keplers drei Spr\"uche zur Planetenbewegung~?
%      ~Welche drei Spr\"uche sind von Kepler bekannt~?
%\no 2  $ \vc L \gll \vc r \times \vc p \quad\folg\quad [L_1,L_2] = \; 
%         \ldots \; ? \; \ldots \; = i \hbar L_3 $  

\no 3  L\"osen Sie (stichwortartig, markante Formeln) das
       H--Atom--Problem (Kern fest). ~Siehe auch die  
  Fu\ss zeile\,\footnote{
         $\;\;\D= {1\0r}\6_r^2 r - {\vc L^2\0
          \hbar^2 r^2}\;$, \ $\vc L^2 Y_{\ell m}(\ta,\ph) 
          = \hbar^2 \ell(\ell+1) Y_{\ell m}(\ta,\ph)\;$,
          \ $n=1+\ell+\;\vbox{\hbox{\tiny Anzahl} \vskip -2mm
                      \hbox{\tiny radialer Knoten}}\;$, 
          $m=0,\pm1, \ldots $\hbox{\tiny bis ??} }       
 dieses Blattes. ~Wie wird die Radial-- zu einer 1D
 Schr\"odinger--Gleichung~?

\no 4 Ein H--Atom--Eigenwert $\,E_n = -{\a \0 n^2}\,$ ist 
      $\,n^2$--fach entartet\,$^2$. ~Wie kommt das heraus~?

\no 5 Welche $H$--Eigenzust\"ande $\ph_n(x)$ hat ein 1D bewegliches
      Teilchen in einem Kasten mit $\infty$ 
      hohen W\"anden bei $x\!=\!0$ und $x\!=\!a$~? (malen, 
      raten und gleich hinschreiben).
      K\"onnen Sie auch zur Delta--Mulde $V(x)=-\l\,\d(x)$ einiges
      gleich hinschreiben und skizzieren~?

\no 6  Ist der Translations--Operator hermitesch~? ~Ist es
       der Parit\"atsoperator~? ~(je: warum~?)

\no 7 In 3D befindet sich ein Teilchen ($m$) im Potential 
      $\;\;V(x,y,z) =\,$\hbox{\scriptsize $\big\{\matrix{ 
            \a \,x^2 & \hbox{\scriptsize f\"ur}\;\; 0<x \cr
            \infty  & \hbox{\scriptsize f\"ur}\;\; x<0 \cr}\,$} 
     \qquad \parbox[t]{1cm}{\vskip 1mm \unitlength .9cm 
     \begin{picture}(.8,.2)
     \multiput(-.16,-.08)(0,.06){10}{\scriptsize --}
     \put(0,0){\line(0,1){.6}}
     \put(-.2,0){\vector(1,0){.9}} \put(.8,-.04){\scriptsize $x$}
     \qbezier(-.01,.01)(.4,0)(.5,.6) \end{picture}}   \\
      Wie f\"uhrt Separation 
      auf seine (welche) station\"aren Zust\"ande~?

\no 8 Wie sieht der Hamilton--Operator eines Teilchens
      aus, wenn auch ein Magnetfeld anliegt~? Wie gewinnt
      man daraus einen $\vc L\!\cdot\!\vc B$--Term~?

\no 9 Spin--Pr\"azession~: ~$H=\hbar \o \s^x = \hbar \o
      $\raise 1pt\hbox{\scriptsize $\( \matrix{ 0 & 1\cr 1 & 0 \cr 
      }\)$} , ~$\psi(t\!=\!0) =$\raise 1pt\hbox{\scriptsize $\( \matrix{ 
      0 \cr 1 \cr }\)$} , ~~$\psi(t)=\;?$ ~ (Normierung OK~?)

\nno {10} Newton gilt (fast) auch quantenmechanisch, n\"amlich 
          f\"ur Erwartungswerte. Wie geht man vor, um dies 
          zu zeigen~? \ \ ~(~{\scriptsize siehe auch Thema A II. 9)}~)

\nno {11} Drei Fragen zur Auswahl~: ~notieren Sie das Wesentlichste 
         (a) zur Fermi--Verteilung, oder
         (b) zur Dirac--Gleichung, oder 
         (c) zur Hohlraumstrahlung.

\nno {12} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder 
         auch zusammengesezte). ~Welche Aussage macht 
         das Pauli--Prin\-zip~? ~Was ist das, eine 
         Slater--Determinante~?

%------------------------

\vfill
\hspace*{-1cm} {\bf III.} 1)~
\parbox[t]{10.5cm}{ 
Die Grundzustandsenergie $\,E_0\glr {\hbar^2 k^2\02m}\,$ 
des skizzierten 1D Sys\-tems liege tiefer als der Potentialwert 
$\,V_0\glr{\hbar^2 \02m}v_0\,$ bei $x\!>\!a$ 
($\,V\!=\!\infty$ bei $x\!<\!0\,$)~. 
~Die Kastenbreite $a$ wurde so eingestellt, da\ss\ 
$\;\tan(ka)=-1\;$ ist. ~Wie hoch ($\,v_0=\;?\,$) ist der Wall~? 
} \qquad \
\parbox[t]{3cm}{\vskip 3mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(2,1)
\put(0,0){\vector(1,0){2.5}} \put(2.6,-.1){\ft $x$}
\put(0.01,0){\vector(0,1){1.7}}
\put(.55,.5){\ft $V_0$} \put(0.1,1.5){\ft $V(x)$}
\put(-.06,-.26){\scriptsize $0$}\put(.92,-.26){\ft $a$} 
\linethickness{1pt}
  \put(0,0){\line(0,1){1.4}}   \put(0,0){\line(1,0){1}} 
   \put(1,0){\line(0,1){.6}}  \put(1,.6){\line(1,0){1.4}} 
   \multiput(-.16,-.08)(0,.06){24}{\scriptsize --}
\end{picture} }
\\[1mm] \hspace*{-11mm}
(\,{\ft $\ph_0 (x)$--Verlauf skizzieren, Ans\"atze rechts/links
von $a$, Anschlu\ss bedingungen, L\"osbarkeitsbedingung $\,\folg\, v_0\;$})

\hspace*{-7mm} 2)~
In einer 2D Welt ($\,\D_2 = \6_x^2+\6_y^2 = \6_\varrho^2 + {1\0\varrho}
\6_\varrho + {1\0\varrho^2}\6_\ph^2\,$) befindet sich ein Teilchen
im Oszillatorpotential $x^2+y^2=\varrho^2\glr V\;$. ~In dimensionslosen
Variablen ist also $H=-\D_2 + V\;$. \\[1mm]
(a) Da\ss\ $\psi = xy e^{-\varrho^2/2}$ eine $H$--Eigenfunktion ist,
    soll in Polarkoordinaten verifiziert werden. \\[1mm]
(b) Wie kann man generell das Eigenwertproblem von $H$ mittels
    Separation behandeln~? \\
    \hspace*{4mm} (~bis zur Radialgleichung, d.h.
    dem Teilproblem in der Variablen $\varrho\;$).
\\[-1mm] \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}

\end{document}






