% staex2.tex Maerz 2002 \documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty} \usepackage{german} \usepackage{amssymb} \hoffset -5mm \textwidth 16.4cm \voffset -4cm \textheight 27cm \parindent 0pt \parskip 3mm \input def \def\no#1{\hspace*{-7.7mm} #1)~} \def\nno#1{\hspace*{-9.3mm} #1)~} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% das 'Deckblatt' $ $ \vskip 4.5cm \begin{center} {\Large\bf Staatsexamensklausur Lehramt Gymnasium} \vskip 2cm {\Large\bf PHYSIK} \vskip 3cm M\"arz 2002 \vskip 2cm Es ist eines der drei Themen \\ ({\bf A} oder {\bf B} oder {\bf C}) \\ auszuw\"ahlen und in vier Stunden zu bearbeiten. \end{center} \vskip 1cm Da gleichgewichtig bewertet, sollte {\sl jeder} der drei Teile I., II., III. des gew\"ahlten \\ Themas bearbeitet werden. \\[2mm] Teil I ~~~\parbox[t]{13cm}{ist der experimentelle Teil. Anschauliches Verst\"andnis und Beziehungsreichtum eines Ausschnitts Natur, experimentelles Einf\"uhlungsverm\"ogen und Fantasie auch ggf. bei einer Liste von Fehlerquellen. Grundlagen der beteiligten Physik~?} \\[2mm] Teil II ~~\parbox[t]{13cm}{ist wie Ausschnitt aus einer m\"undlicher Pr\"ufung. ~K~u~r~z~e~ (und vorzugsweise formelm\"a\ss ige) Antworten. Lassen Sie ~k~e~i~n~e~ Frage ~a~u~s~! (zur Not Frage wenigstens einordnen, Stichworte?)} \\[2mm] Teil III ~\parbox[t]{13cm}{ist wie ein Ausschnitt aus einer Klausur zum Theorie-Kurs.} \newpage %%% A %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rl{M\"arz 2002} \vskip 3mm \ct{\large Thema ~{\Large\bf A :} \ Oszillationen} \small \vskip 3mm \leftskip 1cm \hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Wie funktioniert (Worte) die skizzierte Schaltung~? \\[1mm] \parbox[t]{12.4cm}{ Skizze der Amplitude $I_0$ der Stromst\"arke im Kreis als Funktion der Frequenz $\o$ der angelegten Spannung~?! ~Schaltet man die letztere ab, so sind zwei Schwingungstypen denkbar, welche~? \\ Wie macht man (einer Schulklasse) das Geschehen sichtbar~? ~Welche Me\ss ger\"ate empfehlen Sie und wie funktionieren diese~? } \ \ \parbox[t]{2.6cm}{\vskip 3mm \unitlength 1cm \begin{picture}(2,1) \put(2,.86){\ft $L$} \put(1.13,.62){\ft $C$} \put(2,.34){\ft $R$} \put(1.34,2.1){$\sim$} \put(1.04,1.77){\Large [} \put(1.81,1.77){\Large ]} \multiput(1.17,1.6)(.129,0){5}{\ft $\ell$} \multiput(.7,1.2)(.129,0){17}{\ft $\ell$} \put(.7,1.29){\line(0,-1){.5}} \put(.7,.68){\line(0,-1){.6}} \put(.7,.09){\line(1,0){.36}} \put(2.54,.09){\line(1,0){.36}} \put(2.89,.09){\line(0,1){1.2}} \put(1.07,.06){\fbox{\rule{0pt}{.8mm}\,\quad\qquad}} \thicklines \put(.4,.8){\line(1,0){.6}} \put(.4,.7){\line(1,0){.6}} \end{picture} } \\[1mm] Wie funktioniert der Transformator~? ~Rolle eines Eisenkerns~? ~Wie kann man aus obigen Schaltelementen Frequenzfilter (Hochpa\ss , Tiefpa\ss ) aufbauen und wie funktionieren sie~? %----------------------------- \vfill \hspace*{-1cm} {\bf II.} 1)~ Die Ladung $Q(t)$ auf obigem Kondensator folgt der Dgl $\;L \pp Q + \;?\; + \;?\; = U_{\rm angelegt}(t)\,$. Welcher Term steht (warum) f\"ur welchen Schaltungsteil~? ~L\"osungs--Trick im Falle ~$L=0\,$~? \no 2 Eine stehende Schallwelle ($\,[\6_t^2-c^2\6_x^2]\, n=0\,$ erf\"ullend) soll notiert werden ({\scriptsize Kundtsches Rohr}). \no 3 Eine ebene, in y-Richtung polarisierte e.m. Welle fliegt in negative z-Richtung. Welche Kraft $\vc K(t)$ erf\"ahrt eine am Ursprung festgenagelte Ladung $q$~? \vskip -2mm \no 4 Wenn man mit $\,\vc E = \vc E_0 \cos(\vc k \vc r - \o t)\,$ die Maxwell--Gleichung $\;\rot \vc E = - \pvc B\;$ be\-st\"uckt, dann erh\"alt man das begleitende Magnetfeld $\vc B\,$: ~wirklich~? ~inwieweit~? ~welches $\vc B$~? \no 5 $\pp x + \o^2 x = a\,\sin(\O t), \; \o\neq\O\;$. Welche allgemeine L\"osung $x(t)$ hat diese Dgl~? \no 6 Die Bewegungsgleichung einer Ladung $q$ im homogenen Magnetfeld $(0,0,B)$ kann auf zwei Oszillator--Dgln r\"uckgef\"uhrt werden, n\"amlich wie~? \no 7 Welchen Hamilton--Operator $H$ hat ein 1D harmonischer Oszillator ($m,\o$)~? ~Wenn $\psi \sim e^{-\kappa x^2}$ die $H$--Eigenwertgleichung l\"ost, wie mu\ss\ dann $\,\kappa\,$ mit $\,\o\,$ zusammenh\"angen~? \no 8 Spin--Pr\"azession~: ~$H=\hbar \o \s^x = \hbar \o $\raise 1pt\hbox{\scriptsize $\( \matrix{ 0 & 1\cr 1 & 0 \cr }\)$} , ~$\psi(t\!=\!0) =$\raise 1pt\hbox{\scriptsize $\( \matrix{ 0 \cr 1 \cr }\)$} , ~~$\psi(t)=\;?$ ~ (Normierung OK~?) \no 9 $m\, \6_t^2 \lw x \rw = \lw\, K(x)\,\rw\;$: wie kommt das (in groben Z\"ugen) heraus~? ~Inwiefern spielt eine Oszillator--Kraft hierin eine besondere Rolle~? \nno {10} Wie ist die kanonische Zustandssumme eines 1D harmonischen Oszillators aufzuschreiben~? ~Und wie kann man sie auswerten~? \nno {11} Drei Fragen zur Auswahl~: ~notieren Sie das Wesentlichste (a) zur Fermi--Verteilung, oder (b) zur Dirac--Gleichung, oder (c) zur Hohlraumstrahlung. \nno {12} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder auch zusammengesezte). ~Welche Aussage macht das Pauli--Prin\-zip~? ~Was ist das, eine Slater--Determinante~? %----------------------------- \vfill \hspace*{-1cm} {\bf III.} 1) ~Ein 1D harmonischer Oszillator befinde sich im Zustand $\;\dis\,\psi (x) = A \,e^{- \a^2 {m\o \0 2\hbar} x^2}\,$, {\scriptsize $\;\a$ positiv.} \\ Zu $\,\a=1\,$ w\"are dies genau die Grundzustandsfunktion, aber es sei $\,\a\neq 1\,$. \\ Welchen Normierungsfaktor $A$ hat $\,\psi$~? $(\!(${\ft $\,\int \! dx\; e^{-x^2} = \wu \pi \,$.$)\!)\,$} ~~Mit welcher Wahrschein\-lich\-keit $P_0(\a)$ gibt eine Energie--Messung den Wert $\,E_0={1\02}\hbar \o$~? ~Die Funktion $\,P_0(\a )\,$ (~Skizze~!~) hat ein Maximun, n\"amlich bei welchem Wert von $\,\a$~? \no 2 Wiederkehrzeiten~: \\ (a) Teilchen im 1D Kasten\footnote{~siehe auch Thema C II. 5). Auch die $E_n$ kann man eigentlich (Dimension?!) gleich hinschreiben.} , und zur Zeit $t=0$ in einem Nicht--Eigenzustand $\psi(x,0)\,$. ~Nach welcher Zeit $t_1$ hat sich $\psi$ (sp\"atestens) perfekt reproduziert~? \\ (b) Teilchen im 1D Oszillator--Potential~: ~$t_1=\;?$ \\ (c) Teilchen, gebunden an eine Kugeloberfl\"ache ($R$)~: ~$t_1=\;?$ \\ (~Hierbei k\"onnte die Fu\ss note zu Thema C helfen~: ~radiale Kinetik entf\"allt, und $r$ ist $R\,$.~) \\[-1mm] \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa} \newpage %%% B %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rl{M\"arz 2002} \vskip 3mm \ct{\large Thema ~{\Large\bf B :} \ Physik nahe $\,c$} \small \vskip 1mm \leftskip 1cm \hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Relativistischer Doppler--Effekt. \\ \parbox[t]{13.4cm}{ Bei Betrachtung der Sonne mit hochaufl\"osendem Spektralapparat wird die Wasserstoff--Balmer--alpha--Linie am linken und rechten Rand des \"Aquators der Son\-ne bei leicht unterschiedlichen Wellenl\"angen gesehen. } \quad\qquad \parbox[t]{.4cm}{ \vskip -8mm \unitlength 8mm \begin{picture}(.2,1) \put(-.5,-2){\line(1,0){1.1}} \multiput(-.55,-2.2)(.08,0){13}{\tiny /} \put(-.58,-1){\ft $\downarrow$}\put(.36,-1){\ft $\downarrow$} \linethickness{.4pt} \qbezier(0,.5)(.207,.5)(.353,.353) \qbezier(.353,.353)(.5,.207)(.5,0) \qbezier(0,-.5)(.207,-.5)(.353,-.353) \qbezier(.353,-.353)(.5,-.207)(.5,0) \qbezier(0,.5)(-.207,.5)(-.353,.353) \qbezier(-.353,.353)(-.5,.207)(-.5,0) \qbezier(0,-.5)(-.207,-.5)(-.353,-.353) \qbezier(-.353,-.353)(-.5,-.207)(-.5,0) \put(-.1,.434){\tiny $>$} \put(-.04,-.02){\tiny $_{^\bullet}$} \linethickness{.1pt} \put(0,.01){\line(1,0){.5}} \put(.16,.12){\tiny $_R$} \end{picture}} \\[1mm] Warum ist das so~? ~Woher (rechts/links in der Skizze) kommt das r\"otere Licht~? \\ Wie k\"onnte ein Spektralapparat aufgebaut sein, mit dem man das sieht~? \\ Mittels allgemein $\o = \o_{\rm ruh} \wu {{1+\b \0 1-\b}}$ ~(~linear n\"ahern~!~) kann man die Rotations--Periode $T$ der Sonne als Fkt.~von $\D\o$ erhalten, n\"amlich wie~? ~Nur $R\,$ bekannt: mit Sicherheit ist $\,T > T_0=\;?$ \vfill \hspace*{-1cm} {\bf II.} 1)~ Nach Aufschreiben einer ebenen elektromagnetischen Welle werde (einem Sch\"uler) der Zusammenhang von $\o$ mit $\l$ erkl\"art. ~Wie dr\"uckt sich $\D\o$ (in $T$ aus Teil~I) durch $\D\l$ aus~? \no 2 Zahlenwerte zu Teil I~: ~Sonnen--Durchmesser = 1.4 Mio km.~, ~$\l_{\rm Balmer-alpha}= 656*10^{-9}$m~, ~Rechts--links--Unterschied $\D \l=9*10^{-12}$m~ ~$\folg\;\;T\approx\;?$ ~({\scriptsize in Sekunden und z.B. ohne Kommastellen}) % ~Geben Sie grob eine Periode $T_c$ an, oberhalb % welcher die lineare N\"aherung zusammenbrechen w\"urde. \no 3 Wie kommt die $\o$--Wurzel--Formel von Teil I heraus~? (n\"amlich indem man welchen Vierervektor Lorentz--transformiert, tun~!~) \no 4 Wie folgt (zu bekannter Lorentz--Tr. als als $2\times2$--Matrix) die L\"angen--Kontraktion~? \no 5 Wie sieht die Lorentz--Transformation als $4\times4$--Matrix aus, wenn $\Sigma'$ mit $v$ in y--Richtung (statt in x--Richtung) fliegt~? \no 6 Welche (mechanischen und elektrodynamischen) Vierervektoren kennen Sie~? ~Wie folgt die Energie--Impuls--Beziehung aus der Invarianz des Vierer--Impuls--Quadrates~? \no 7 Welche Energiedichte $U$ haben elektromagnetische Felder generell, und wieviel Energie $E_V$ ist folglich in einem gro\ss en (darum r\"aumliche Mittelung erlaubenden) Volumen $V$ einer ebenen e.m. Welle enthalten~? \no 8 Wie sieht die kausale L\"osung der Maxwell--Gleichungen aus (retardierte Potentiale)~? ~Angenommen, sie waren schon z.B. um 1880 bekannt, welche Hinweise auf Relativistik konnte man entnehmen~? \no 9 Nicht--relativistisches freies Teilchen (d.h. kein Potential). Wie entwickelt sich ein Zustand $e^{i \vcsm k \vcsm r}$ aufgrund der zeitabh\"angigen Schr\"odinger--Gleichung weiter~? ~$\;\folg\;\;\o(k)=\;?$ \nno {10} Welchen Impuls--Erwartungswert hat ein Teilchen in 1D im Zustand $\,\psi= A\, e^{ikx}e^{-\a |x|}\,$~? \nno {11} Drei Fragen zur Auswahl~: ~notieren Sie das Wesentlichste (a) zur Fermi--Verteilung, oder (b) zur Dirac--Gleichung, oder (c) zur Hohlraumstrahlung. \nno {12} Welche Fermionen kennen Sie~? (elementare oder auch zusammengesezte). ~Welche Aussage macht das Pauli--Prin\-zip~? ~Was ist das, eine Slater--Determinante~? \vfill \hspace*{-1cm} {\bf III.} 1)~ Zur Zeit $t_1'={a\0c}$ wird am Heck einer Rakete ($=\Sigma'$--Ursprung, welcher zu $t\!=\!t'\!=\!0$ mit $\Sigma$--Ursprung koinzidierte; Standardsituation) ein Lichtblitz nach links gestartet. $a=x_1$ ist der (bekannte) Ort des Start--Ereignisses 1 auf der $\Sigma$--Achse. ~Wie schnell ($\b=?$) fliegt die Rakete~? ~Wann ($ct_2=?$) trifft der Blitz am $\Sigma$--Ursprung ein~? \no 2 In einer eindimensionalen, ultra--relativistischen Welt sei ~~$\;H = c\,p\;$ \\ der Hamilton--Operator eines freien Teilchens ($\;p={\hbar\0i}\6_x\;$)~. \\ Welche Eigenfunktionen hat $H$~? ~Welche Gestalt nimmt die zeitabh\"angige Schr\"odinger--Gleichung an~? ~Wie entwickelt sich ein (auf--1--normierbarer) Zustand $\psi(x,0)$ im Laufe der Zeit weiter~? ~~Wie gelangt man (auf Ehrenfests Spuren) zu $\,\,\6_t \lw A \rw = -c\int\! dx\; A\, \6_x \psi^* \psi\,$~? \\ Folglich ist $\,\6_t \lw x \rw = \;?\,$ ~~Schlie\ss lich wird auch die Herleitung der Wahrscheinlichkeits--Strom\-dich\-te recht einfach und f\"uhrt auf $\,\vc j = \; ?$ \newpage %%% C %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rl{M\"arz 2002} \vskip 4mm \ct{\large Thema ~{\Large\bf C :} \ Gebundene Teilchen} \small \vskip 4mm \leftskip 1cm \hspace*{-1cm} {\bf I.} \ \ \ Eine Gasentladungsr\"ohre ist mit Wasserstoff gef\"ullt. \\[1mm] \parbox[t]{13.5cm}{ Wie funktioniert die R\"ohre im Detail~? ~Was f\"ur ein Spektrum beobachten Sie~? ~Aufbau und Ger\"ate, um die Strahlung zu analysieren~? ~Welche Interferometer kennen Sie~? ~Termschema des H--Atoms~? ~Ursachen f\"ur Linienbreite~? ~Kennen Sie Feinstrukturen des Spektrums~? ~Welche Effekte macht ein Magnetfeld~? } \qquad \parbox[t]{1cm}{\vskip -5mm \unitlength 1cm \begin{picture}(.6,1) \put(0,0){\line(0,1){1}} \put(.34,0){\line(0,1){1}} \put(-.01,-.12){$\smile$} \put(-.01,.96){$\frown$} \put(.12,-.2){$|$} \put(.12,1){$|$} \put(.8,-.2){\line(0,1){.6}} \put(.8,.5){\line(0,1){.6}} \put(1.1,.33){?} \put(1.4,.33){?} \end{picture} } \\[1mm] Wenn Licht durchstimmbarer Frequenz auf H--Gas trifft, was/wo sieht man dann~? %------------------------ \vfill \hspace*{-1cm} {\bf II.} 1) ~Wie kommt in klassischer Mechanik bei Bewegung eines Teilchens ($m$) im Zentralpotential $V(r)$ das effektive Potential $\;V_{\rm eff}(r) =\;?\;$ zu Papier~? \no 2 Wie kann man anhand einer Skizze des effektiven Potentials die Kepler--Bahn--Typen (welche?) qualitativ unterscheiden~? ~~Keplers drei Spr\"uche zur Planetenbewegung~? % ~Welche drei Spr\"uche sind von Kepler bekannt~? %\no 2 $ \vc L \gll \vc r \times \vc p \quad\folg\quad [L_1,L_2] = \; % \ldots \; ? \; \ldots \; = i \hbar L_3 $ \no 3 L\"osen Sie (stichwortartig, markante Formeln) das H--Atom--Problem (Kern fest). ~Siehe auch die Fu\ss zeile\,\footnote{ $\;\;\D= {1\0r}\6_r^2 r - {\vc L^2\0 \hbar^2 r^2}\;$, \ $\vc L^2 Y_{\ell m}(\ta,\ph) = \hbar^2 \ell(\ell+1) Y_{\ell m}(\ta,\ph)\;$, \ $n=1+\ell+\;\vbox{\hbox{\tiny Anzahl} \vskip -2mm \hbox{\tiny radialer Knoten}}\;$, $m=0,\pm1, \ldots $\hbox{\tiny bis ??} } dieses Blattes. ~Wie wird die Radial-- zu einer 1D Schr\"odinger--Gleichung~? \no 4 Ein H--Atom--Eigenwert $\,E_n = -{\a \0 n^2}\,$ ist $\,n^2$--fach entartet\,$^2$. ~Wie kommt das heraus~? \no 5 Welche $H$--Eigenzust\"ande $\ph_n(x)$ hat ein 1D bewegliches Teilchen in einem Kasten mit $\infty$ hohen W\"anden bei $x\!=\!0$ und $x\!=\!a$~? (malen, raten und gleich hinschreiben). K\"onnen Sie auch zur Delta--Mulde $V(x)=-\l\,\d(x)$ einiges gleich hinschreiben und skizzieren~? \no 6 Ist der Translations--Operator hermitesch~? ~Ist es der Parit\"atsoperator~? ~(je: warum~?) \no 7 In 3D befindet sich ein Teilchen ($m$) im Potential $\;\;V(x,y,z) =\,$\hbox{\scriptsize $\big\{\matrix{ \a \,x^2 & \hbox{\scriptsize f\"ur}\;\; 0\!a$ ($\,V\!=\!\infty$ bei $x\!<\!0\,$)~. ~Die Kastenbreite $a$ wurde so eingestellt, da\ss\ $\;\tan(ka)=-1\;$ ist. ~Wie hoch ($\,v_0=\;?\,$) ist der Wall~? } \qquad \ \parbox[t]{3cm}{\vskip 3mm \unitlength 1cm \begin{picture}(2,1) \put(0,0){\vector(1,0){2.5}} \put(2.6,-.1){\ft $x$} \put(0.01,0){\vector(0,1){1.7}} \put(.55,.5){\ft $V_0$} \put(0.1,1.5){\ft $V(x)$} \put(-.06,-.26){\scriptsize $0$}\put(.92,-.26){\ft $a$} \linethickness{1pt} \put(0,0){\line(0,1){1.4}} \put(0,0){\line(1,0){1}} \put(1,0){\line(0,1){.6}} \put(1,.6){\line(1,0){1.4}} \multiput(-.16,-.08)(0,.06){24}{\scriptsize --} \end{picture} } \\[1mm] \hspace*{-11mm} (\,{\ft $\ph_0 (x)$--Verlauf skizzieren, Ans\"atze rechts/links von $a$, Anschlu\ss bedingungen, L\"osbarkeitsbedingung $\,\folg\, v_0\;$}) \hspace*{-7mm} 2)~ In einer 2D Welt ($\,\D_2 = \6_x^2+\6_y^2 = \6_\varrho^2 + {1\0\varrho} \6_\varrho + {1\0\varrho^2}\6_\ph^2\,$) befindet sich ein Teilchen im Oszillatorpotential $x^2+y^2=\varrho^2\glr V\;$. ~In dimensionslosen Variablen ist also $H=-\D_2 + V\;$. \\[1mm] (a) Da\ss\ $\psi = xy e^{-\varrho^2/2}$ eine $H$--Eigenfunktion ist, soll in Polarkoordinaten verifiziert werden. \\[1mm] (b) Wie kann man generell das Eigenwertproblem von $H$ mittels Separation behandeln~? \\ \hspace*{4mm} (~bis zur Radialgleichung, d.h. dem Teilproblem in der Variablen $\varrho\;$). \\[-1mm] \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \end{document}