% stx02b.tex LG-Staatsexamen September 2002 \documentclass[12pt]{article} \usepackage{german} \usepackage{amssymb} \hoffset -5mm \textwidth 16cm \voffset -3.3cm \textheight 27.4cm \parindent 0pt \parskip 2mm \setlength{\footskip}{6mm} \input def \def\hor{\vrule depth -1mm height 1.2mm width 3cm} \def\no#1{\vskip 3.7mm \noindent \hor \qquad {\bf #1.~)} \qquad \hor$\!$\hor \hfill } \begin{document} $\phantom{a}$ \vskip -6mm \ct{\Huge\bf PHYSIK} \vskip 4mm \ct{\large Staatsexamensklausur Lehramt Gymnasium im September 2002} \vskip 4mm Die nachstehenden 12 Themen bilden ein reichliches \"Uberangebot. Jedes ist 10 Punkte wert. ~Sie k\"onnen 6 Themen ausw\"ahlen und bei sehr guter Bearbeitung derselben die H\"ochstnote erreichen. ~Es ist aber auch m\"oglich, sich an Punkten zu orientieren, d.h. mehr als sechs Themen zu bearbeiten. ~In beiden F\"allen entspricht ein \glqq sehr gut\grqq\ dem Erreichen von $\,\ge 50\,$ Punkten. \vskip 2mm % \vskip 6mm %------------------------------------------------- \no 1 {\bf Beugung.} ~Bei Beugung koh\"arenten Lichts ($\l$) am Einfachspalt (Breite $d$) erscheint das erste Nebenmaximum im Winkel $\ta$. ~Welche Konstruktion (\,Skizze mit Spalt, optischer Achse, . . . \,)\, k\"onnte auf $\,\sin(\ta ) \approx 3\,\l/(2\,d)\,$ gef\"uhrt haben~? Schulversuch: ~skizzieren Sie einen Aufbau mit 50W-Lampe, Spalt, weiterer Spalt als Beugungsobjekt und Schirm. Welche Abst\"ande m\"ussen Sie einhalten, damit der Versuch gelingt~? ~Begr\"unden Sie die Koh\"arenzbedingung, die Sie dabei ausnutzten. Mit einem He-Ne-Laser und einem 0,2 mm Spalt geht alles viel einfacher. Wie l\"a\ss t sich die Intensit\"atsverteilung berechnen~? ~In welchem Verh\"altnis stehen die Intensit\"aten von erstem Nebenmaximum und Hauptmaximum. Welchen Abstand haben die beiden~? % Wie sieht das $\vc E$--Feld einer ebenen elektromagnetischen % Welle in x--Richtung aus~? ~Welche Gr\"o\ss en darin sind % frei w\"ahlbar~? Wie liest man den Zusammenhang zwischen % Wellenzahl $k$ und Wellenl\"ange $\l$ daraus ab~? Eine ebene, in z--Richtung polarisierte e.m. Welle fliegt in negative y--Richtung. Welche Kraft $\vc K(t)$ erf\"ahrt eine am Ursprung festgenagelte Ladung $q$~? %------------------------------------------------- \no 2 \parbox[t]{12.6cm}{{\bf Schwingkreis.} ~Wie funktioniert (Worte) die skizzierte Schaltung~? ~Skizze der Amplitude $I_0$ der Stromst\"arke im Kreis als Funktion der Frequenz $\o$ der angelegten Spannung~? ~Schaltet man die letztere ab, so sind zwei Schwingungstypen denkbar, welche~? } \ \ \parbox[t]{2.4cm}{\vskip 4mm \unitlength 1cm \begin{picture}(2,1) \put(2,.86){\ft $L$} \put(1.13,.62){\ft $C$} \put(2,.34){\ft $R$} \put(1.34,2.1){$\sim$} \put(1.04,1.77){\Large [} \put(1.81,1.77){\Large ]} \multiput(1.17,1.6)(.129,0){5}{\ft $\ell$} \multiput(.7,1.2)(.129,0){17}{\ft $\ell$} \put(.7,1.29){\line(0,-1){.5}} \put(.7,.68){\line(0,-1){.6}} \put(.7,.09){\line(1,0){.36}} \put(2.54,.09){\line(1,0){.36}} \put(2.89,.09){\line(0,1){1.2}} \put(1.07,.06){\fbox{\rule{0pt}{.8mm}\,\quad\qquad}} \thicklines \put(.4,.8){\line(1,0){.6}} \put(.4,.7){\line(1,0){.6}} \end{picture} } Die Kapazit\"at $C$ eines gro\ss en ebenen Plattenkondensators (Fl\"ache $F$, Abstand $d$) soll ausgerechnet werden. Die Ladung $Q(t)$ auf obigem Kondensator folgt der Differentialgleichung \\ $\;L \pp Q + \;?\; + \;?\; = U_{\rm angelegt}(t)\,$. Welcher Term steht (warum) f\"ur welchen Schaltungsteil~? Im Falle $\,L=0\,$ k\"onnen Sie die Dgl l\"osen, ohne $U_{\rm angelegt}(t)$ spezifizieren zu m\"ussen, tun! %------------------------------------------------- \no 3 {\bf Stromdichten.} ~Aus den Maxwellgleichungen (den mikroskopischen $=$ lokalen $=$ grund\-s\"atzlichen \ -- \ aufschreiben!) folgt die Kontinuit\"atsgleichung, n\"amlich wie~? \ -- \ und wie (grob) gelangt man zur Felder--Energie--Stromdichte $\vc S = \e_0 c^2 \vc E \times \vc B\,$~? Wie erh\"alt man (zu $H=p^2/2m + V(x)$) den Ausdruck $\vc j = {1\02m}\( \psi^* \vc p \psi + {\rm c.c.} \)$ f\"ur die Wahrscheinlichkeits--Stromdichte der Quantenmechanik~? \parbox[t]{13.4cm}{ Wie setzen Sie $\,\psi\,$ rechts bzw. links an, wenn station\"ar Teilchen mit \\ $\,E>V_0\,$ an der skizzierten Potentialschwelle (H\"ohe $V_0$) gestreut werden~? \\ Welche Stromdichten ordnen Sie Ihren Ans\"atzen zu~? } \hspace*{-4mm} \parbox[t]{2cm}{\vskip -11mm \unitlength 1cm \begin{picture}(.1,2) \thicklines \put(.4,0){\line(1,0){1}} \put(1.4,0){\line(0,1){.2}} \put(1.4,.2){\line(1,0){1}} \linethickness{.2pt} \put(.6,.34){\vector(1,0){.6}} \put(1.2,.6){\vector(-1,0){.4}} \put(1.6,.6){\vector(1,0){.4}} \linethickness{.2pt} \put(-.1,-.01){\line(1,0){2.7} $\;_x$} \end{picture}} (~Noch Zeit~? ~Def. des Durchgangskoeffizienten~? Anschlu\ss bedingungen an der Schwelle~?~) %------------------------------------------------- \no 4 {\bf Me\ss wert--Wahrscheinlichkeit.} ~Zum 1D Kasten, ein Teilchen $m$ enthaltend, mit $\infty$--hohen W\"anden bei $\,x=0\,$ und $\,x=a\,$ kann man die station\"aren Zust\"ande $\ph_n(x)$ unverz\"uglich niederschreiben, normieren und die zugeh\"origen Energie--Eigenwerte $\,E_n\,$ angeben. ~Tun~! Sei nun das System zum Zeitpunkt einer Energie--Messung im Zustand \\ $\psi(x) = A\,\sin^2({\pi\0a}x) = A\, {1\02} \( 1 - \cos ({2\pi\0a}x)\)\,$ und Null au\ss erhalb $(0,a)\,$. ~Normierung gibt $\,A= \wu {{8\03a}}$ \ -- \ stimmt das~? ~Mit welcher Wahrscheinlichkeit $P$ wird die Grundzustands--Energie erhalten~? ~Nat\"urlich mu\ss\ $\,P<1\,$ herausgekommen sein~: ~gen\"ugt die Weisheit $\,3 \wu{3}\pi>16\,$, um dies einzusehen~? \hfill %\qquad $(\!(\, \sin^3(\a ) = \6_\a \lk {1\03} \cos^3(\a) - \cos(\a ) \rk \,)\!)$ %------------------------------------------------- \no 5 {\bf Zerflie\ss en.} ~Die beiden Dgln, $\,i\hbar \p \psi = H\psi\,$ und Diffusionsgleichung $\,\p T = D \D T\,$, haben f\"ur ihr Anfangswertproblem eine bekannte (je welche$\,$?!) formale L\"osung. Wie \glqq zerflie\ss t\grqq\ das Temperatur--Gebirge $\,T(x,0)= T_0 \sin(\kappa x)\,$ im Laufe der Zeit~? Aber zu $H={p^2/2m}$ zerflie\ss t $\,\psi(x,0) = A\, e^{ikx}\,$ gar nicht, sondern entwickelt sich wie~? \ -- \ woraus die (welche$\,$?) Phasengeschwindigkeit einer Materiewelle folgt. Wie entwickelt sich (zu $H={p^2/2m}\,$) das Wellenpaket $\psi(x,0) = A\, e^{-\kappa |x|}$ ($A=\,?$) im Laufe der Zeit~? \quad $(\!(\,$das Resultat darf ruhig noch zwei gew\"ohnliche Integrale enthalten$\,)\!)$ Nach welcher Zeit $t_1$ reproduziert sich jeder Zustand eines an einen Kreisring ($R$) gebundenen Teilchens (Tr\"agheitsmoment $\theta$)~? \quad $(\!(\, H=-{\hbar^2\0 2\theta}\6_\ph^2 \,)\!)$ %------------------------------------------------- \no 6 {\bf Ehrenfest.} ~$m \lw x \rw^{\!\bullet\!\>\bullet} = \lw\, K(x)\,\rw\;$: wie kommt das heraus~? (dabei darf \\ $H=p^2/2m + V(x)$ unterstellt werden.) \parbox[t]{13.4cm}{ Die Grundzustandsfunktion $\ph_0(x)$ zum skizzierten 1D Kasten (H\"ohe $V_0$) sei bekannt. Zur Zeit $t=0$ wird der rechte Sockel pl\"otzlich entfernt. Mit welcher Beschleunigung beginnt sich die Mitte $\lw x \rw$ des Pakets zu bewegen~? } \parbox[t]{2cm}{\vskip -12mm \unitlength 1cm \begin{picture}(.1,2) \thicklines \put(1,0){\line(0,1){.5}} \put(2,0){\line(0,1){.5}} \put(1,0){\line(1,0){1}} \put(1,.5){\line(-1,0){.4}} \put(2,.5){\line(1,0){.4}} \linethickness{.2pt} \qbezier(.6,.01)(.9,.02)(1,.2) \qbezier(2.4,.01)(2.1,.02)(2,.2) \qbezier(1,.2)(1.5,1.1)(2,.2) \put(.4,-.01){\vector(1,0){2.4} {\ft $_x$}} \put(.95,-.16){\ft $_0$} \end{picture}} Ein bei $x=a$ zentrierter 1D harmonischer Oszillator befindet sich im Grundzustand~: $\ph_0(x) = \const\,\cdot \; ?? \;$ ~Zu $t=0$ wird das Parabelpotential ruckartig nach Zentrum Null verschoben. Wie ver\"andert sich nun die Mitte $\lw x \rw$ des Paketes als Funktion der Zeit~? %------------------------------------------------- \no 7 {\bf \glqq Atom\grqq .} ~W\"are der Kern eine gro\ss e, homogen geladene Kugel ($R$, Ladung $e$, Thomson--Modell) und ein Elektron ($q=-e$) h\"atte sich tief im Inneren zurechtzufinden, dann k\"onnte man gut rechnen. Welches Potential $V=q\phi$ l\"age im Inneren vor~? (das ist Elektrostatik: mit Ansatz gehts am schnellsten). Sofern das Elektron vom Kugelrand nichts bemerkt, welcher Hamilton--Operator regiert es dann~? Welche station\"aren Zust\"ande und zugeh\"orige $E$--Eigenwerte hat es~? Auch der Kreisring (siehe Ende von Thema 5) ist eine Art Atom. Welche Eigenzust\"ande $\chi_m(\ph)$ und zugeh\"origen Energien hat er~? ~Welche Entartungsgrade haben diese~? %------------------------------------------------- \no 8 {\bf Elektron im Magnetfeld.} ~Newtons Bewegungsgleichung f\"ur eine Ladung $q$ mit Masse $m$ im homogenen, konstanten Magnetfeld $\vc B = (0,0,B)$ l\"ost man am besten direkt mit Kreisbahn--Ansatz $\vc r(t) = (\, ...\,,\, ...\,,\, 0\,)$, und erh\"alt welchen Zusammenhang von Kreisfrequenz mit $B$~? ~Welchen Radius $R$ hat der Kreis zu gegebener Startgeschw. $v_0$~? In linearer Eichung $\,\vc A = (0,Bx,0)\,$ wird die Frage nach station\"aren Zust\"anden (von $\,H=\,?\,$) mittels Separation beantwortet. Tun! ~(Das Restproblem eines verschobenen 1D harmonischen Oszillators brauchen Sie hier nat\"urlich nicht auch noch zu l\"osen.) Wie bekommen die Atom--Leute (jetzt auch $V(r)$ in $H$ enthalten) einen $\vc L\cdot\vc B$--Term zu Papier~? ~~Eichinvarianz der Quantenmechenik~: ~was hei\ss t das~? %------------------------------------------------- \no 9 {\bf Spin {\boldmath${1\02}$}.} ~ Wie ist $\,\psi =$ {\ft $\(\matrix{i \cr 2 \cr}\)$} zu normieren~? ~Sei $\,H=\hbar\o\s^y\,$ mit $\,\s^y =$ {\ft $\(\matrix{0 & -i \cr i & 0\cr}\)\,$}. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten $\,P_\pm\,$ gibt Energie--Messung die Werte $\pm \hbar \o$~? ~Hat die Summe der beiden $P$'s den gew\"unschten Wert~? Spin--Pr\"azession: wie entwickelt sich obiges $\psi$ im Laufe der Zeit weiter~? \ $(\!(\,$hatten Sie nicht gewisse Koeffizienten bei $P_\pm$ soeben schon bestimmt?$\,)\!)$ ~Wie sieht $\psi$ zur \glqq Halbzeit\grqq\ $t={\pi\0\o}$ aus~? %------------------------------------------------- \no {10} {\bf Lorentz--Transformation.} ~Wenn man das Vorzeichen von $v$ in der $2\times 2$--Lorentz--Matrix umkehrt, entsteht dann wirklich ihr Inverses~? \hfill \lower 2mm\vbox{ \hbox{\ft $v \gll\,$Inertialsystem--Relativgeschwindigkeit} \vskip -2mm \hbox{\ft $\vcsm u \gll\,$Geschwindigkeit eines Teilchens}} Wie schnell mu\ss\ eine Rakete ($\Sigma'$, zu $t=t'=0$ die Erde passierend, Erde und Rakete punktf\"ormig) fliegen, um $t'= 4\; Uhr$ am Mond zu sein, wenn es dort gerade $t=5\; Uhr$ ist~? ~\glqq $Uhr$\grqq\ ist hier eine {\sl science fiction}--Zeiteinheit, n\"amlich $Uhr \gll {4\09}\,$s$\,$. Die Erde sitzt bei $x\!=\!0\,$, aber wo auf der x--Achse ($a=\,?\;$ in km) ist dann der Mond~? Wie kann man die Energie--Wurzel $\,T=\wu {m^2c^4 + p^2c^2}\,$ rasch aufgrund der Invarianz eines Skalarproduktes erhalten~? (falls Sie das so nicht k\"onnen~: ~wie sonst~?~) \\ Wie geht diese Wurzel bei $c\to\infty$ in bekannte Nichtrelativistik \"uber~? \\ Und was wird in diesem limes aus $\,T={m \, c^2\0 \wu {1-\vcsm u^2/c^2}}\,$~? Gleichsetzen obiger zwei $T$--Ausdr\"ucke mu\ss\ auf den bekannten Zusammenhang von $\vc p$ mit Teilchengeschwindigkeit $\vc u$ f\"uhren. Ist es so~? \quad Na gut: welche 4--Vektoren kennen Sie~? %------------------------------------------------- \no {11} \def\Dsl{D\!\!\!\!/} \def\dsl{\6\!\!\!/} {\bf Dirac--Gleichung$\,$:} ~$(i\hbar\Dsl - mc)\psi = 0\;$. ~Ohne elektromagnetische Felder wird $\,\Dsl\,$ zu $\,\dsl = \gamma^\mu\,\6_\mu\,= \g^0 \6_{ct} + \vc \g \cdot \nabla$. ~Wie folgt nun hieraus $\,\Big(\,$mittels Dirac--Basis $\;\;\g^0=${\ft $\(\matrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr }\)\;\;$}, $\;\;\vc\g=${\ft $\(\matrix{ 0 & \vc \s \cr - \vc \s & 0 \cr }\)$} und $\,(\vc a \vc \s)(\vc b \vc \s) = \vc a \vc b + i(\vc a \times \vc b )\vc \s\,\Big)\,$ das Spektrum $\,\pm \wu{\quad ? \; ? \quad}\,$ freier Teilchen~? Mit Feldern $\phi,\,\vc A$ und Aufteilung von $\psi$ in obere zwei ($\ph$) und untere zwei Komponenten ($\chi$) erh\"alt man (glauben wir das mal): \ \ \ \ \parbox[t]{8cm}{ $ \( i \hbar \6_t - q \phi - m c^2 \) \ph = c \, ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \; \chi $ \\ $ \( i \hbar \6_t - q \phi + m c^2 \) \chi = c \, ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \; \ph $ } \\[1mm] Aber wie f\"uhrt man nun hiermit den limes $c\to\infty$ aus, um zu nicht--relativistscher Quantenmechanik (Schr\"odinger--Gleichung mit Spin) zur\"uck zu gelangen~? %------------------------------------------------- \no {12} {\bf Fermiverteilung~:} ~$\;p_\l=${\large ${1\0 \,e^{\b (\e_\l - \mu)}+1\,}\;$}. ~Welche Bedeutung haben hierin all diese Buch- \linebreak $\vphantom{\int^\int}$staben (einschlie\ss lich $p_\l$ selbst)~? ~Unter welchen Umst\"anden gilt die Fermiverteilung in Strenge~? ~Herleitung~? ~Eine Slater--Determinante, was ist das~? \parbox[t]{14.5cm}{ Ein ideales Fermi--System habe nur zwei Einteilchenzust\"ande bei Energie $\,\e_0=0\,$ bzw. bei $\,\e_1=\e\,$. ~Damit die mittlere Teilchenzahl $\,N=1\,$ ist, wo mu\ss\ dann das chemische Potential liegen~? ~Welche mittlere Energie $\,E\,$ hat dann das System~? ~Welche Werte nimmt $\,E\,$ bei Temperatur $\to \infty\,$ bzw. $\to 0\,$ an~? } \ \ \ \parbox[t]{1cm}{\vskip -2mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,1) \put(.5,-.4){\vector(0,1){1.2}} \put(.63,.76){\ft $\e_\l$} \linethickness{1.2pt} \put(.2,-.28){\line(1,0){.6}} \put(.2,.05){\line(1,0){.6}} \end{picture}} \\[1mm] %------------------------------------------------- \vskip -14mm \unitlength 1cm \begin{picture}(16,1) \linethickness{.2pt} \qbezier(0,-1)(3.5,-.7)(7,-1) \qbezier(7,-1)(10.5,-1.3)(14,-1) \qbezier(14,-1)(17.6,-.85)(14,-.7) \qbezier(14,-.7)(7.9,-.6)(7.5,-1.2) \qbezier(7.5,-1.2)(6.84,-1.8)(8.8,-1.56) \end{picture} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%