%  stx02b.tex       LG-Staatsexamen September 2002

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\input def

\def\hor{\vrule depth -1mm height 1.2mm width 3cm}
\def\no#1{\vskip 3.7mm \noindent 
          \hor \qquad {\bf #1.~)} \qquad \hor$\!$\hor \hfill }

\begin{document}

$\phantom{a}$ \vskip -6mm
\ct{\Huge\bf PHYSIK} \vskip 4mm
\ct{\large Staatsexamensklausur Lehramt Gymnasium
im September 2002}

\vskip 4mm 

Die nachstehenden 12 Themen bilden ein reichliches \"Uberangebot.
Jedes ist 10 Punkte wert. ~Sie k\"onnen 6 Themen ausw\"ahlen und 
bei sehr guter Bearbeitung derselben die H\"ochstnote erreichen. 
~Es ist aber auch m\"oglich, sich an Punkten zu orientieren, 
d.h. mehr als sechs Themen zu bearbeiten. ~In beiden F\"allen 
entspricht ein \glqq sehr gut\grqq\ dem Erreichen von 
$\,\ge 50\,$ Punkten.

\vskip 2mm  % \vskip 6mm

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\no 1

{\bf Beugung.} ~Bei Beugung koh\"arenten Lichts ($\l$)
am Einfachspalt (Breite $d$) erscheint das erste Nebenmaximum 
im Winkel $\ta$. ~Welche Konstruktion (\,Skizze mit Spalt, 
optischer Achse, . . . \,)\, k\"onnte auf 
$\,\sin(\ta ) \approx 3\,\l/(2\,d)\,$ gef\"uhrt haben~?

Schulversuch: ~skizzieren Sie einen Aufbau mit 50W-Lampe, 
Spalt, weiterer Spalt als Beugungsobjekt und Schirm. 
Welche Abst\"ande m\"ussen Sie einhalten, damit der Versuch
gelingt~? ~Begr\"unden Sie die Koh\"arenzbedingung, die 
Sie dabei ausnutzten. 

Mit einem He-Ne-Laser und einem 0,2 mm Spalt geht alles viel 
einfacher. Wie l\"a\ss t sich die Intensit\"atsverteilung 
berechnen~? ~In welchem Verh\"altnis stehen die Intensit\"aten 
von erstem Nebenmaximum und Hauptmaximum. Welchen Abstand
haben die beiden~?

% Wie sieht das $\vc E$--Feld einer ebenen elektromagnetischen
% Welle in x--Richtung aus~? ~Welche Gr\"o\ss en darin sind 
% frei w\"ahlbar~? Wie liest man den Zusammenhang zwischen
% Wellenzahl $k$ und Wellenl\"ange $\l$ daraus ab~?

Eine ebene, in z--Richtung polarisierte e.m. Welle fliegt 
in negative y--Richtung. Welche Kraft $\vc K(t)$ erf\"ahrt 
eine am Ursprung festgenagelte Ladung $q$~? 

%-------------------------------------------------

\no 2

\parbox[t]{12.6cm}{{\bf Schwingkreis.} ~Wie funktioniert 
(Worte) die skizzierte Schaltung~? ~Skizze der Amplitude 
$I_0$ der Stromst\"arke im Kreis als Funktion der Frequenz 
$\o$ der angelegten Spannung~? ~Schaltet man die letztere 
ab, so sind zwei Schwingungstypen denkbar, welche~? }
\ \ \parbox[t]{2.4cm}{\vskip 4mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(2,1)
\put(2,.86){\ft $L$} \put(1.13,.62){\ft $C$} \put(2,.34){\ft $R$}
\put(1.34,2.1){$\sim$} 
\put(1.04,1.77){\Large [} \put(1.81,1.77){\Large ]}
\multiput(1.17,1.6)(.129,0){5}{\ft $\ell$}
\multiput(.7,1.2)(.129,0){17}{\ft $\ell$}
\put(.7,1.29){\line(0,-1){.5}} \put(.7,.68){\line(0,-1){.6}}
\put(.7,.09){\line(1,0){.36}}
\put(2.54,.09){\line(1,0){.36}}
\put(2.89,.09){\line(0,1){1.2}}
\put(1.07,.06){\fbox{\rule{0pt}{.8mm}\,\quad\qquad}}
\thicklines
\put(.4,.8){\line(1,0){.6}} \put(.4,.7){\line(1,0){.6}} 
\end{picture} }

Die Kapazit\"at $C$ eines gro\ss en ebenen Plattenkondensators
(Fl\"ache $F$, Abstand $d$) soll ausgerechnet werden.

Die Ladung $Q(t)$ auf obigem Kondensator folgt der 
Differentialgleichung \\
$\;L \pp Q + \;?\; + \;?\; = U_{\rm angelegt}(t)\,$.
Welcher Term steht (warum) f\"ur welchen Schaltungsteil~? 
Im Falle $\,L=0\,$ k\"onnen Sie die Dgl l\"osen, ohne
$U_{\rm angelegt}(t)$ spezifizieren zu m\"ussen, tun!

%-------------------------------------------------

\no 3

{\bf Stromdichten.} ~Aus den Maxwellgleichungen (den
mikroskopischen $=$ lokalen $=$ grund\-s\"atzlichen \ -- \ 
aufschreiben!) folgt die Kontinuit\"atsgleichung, n\"amlich
wie~? \ -- \ und wie (grob) gelangt man zur 
Felder--Energie--Stromdichte 
$\vc S = \e_0 c^2 \vc E \times \vc B\,$~?

Wie erh\"alt man (zu $H=p^2/2m + V(x)$) den Ausdruck
$\vc j = {1\02m}\( \psi^* \vc p \psi + {\rm c.c.} \)$
f\"ur die Wahrscheinlichkeits--Stromdichte der 
Quantenmechanik~?

\parbox[t]{13.4cm}{
Wie setzen Sie $\,\psi\,$ rechts bzw. links an, wenn 
station\"ar Teilchen mit \\
$\,E>V_0\,$ an der skizzierten Potentialschwelle 
(H\"ohe $V_0$) gestreut werden~? \\ 
Welche Stromdichten ordnen Sie Ihren Ans\"atzen zu~? }
\hspace*{-4mm}
\parbox[t]{2cm}{\vskip -11mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(.1,2) \thicklines
\put(.4,0){\line(1,0){1}} \put(1.4,0){\line(0,1){.2}}
\put(1.4,.2){\line(1,0){1}} \linethickness{.2pt}
\put(.6,.34){\vector(1,0){.6}} \put(1.2,.6){\vector(-1,0){.4}}
\put(1.6,.6){\vector(1,0){.4}} 
\linethickness{.2pt} \put(-.1,-.01){\line(1,0){2.7} $\;_x$}
\end{picture}} 

(~Noch Zeit~? ~Def. des Durchgangskoeffizienten~?
Anschlu\ss bedingungen an der Schwelle~?~)

%-------------------------------------------------

\no 4

{\bf Me\ss wert--Wahrscheinlichkeit.} ~Zum 1D Kasten, ein Teilchen $m$
enthaltend, mit $\infty$--hohen W\"anden bei $\,x=0\,$ und $\,x=a\,$ 
kann man die station\"aren Zust\"ande $\ph_n(x)$ unverz\"uglich 
niederschreiben, normieren und die zugeh\"origen 
Energie--Eigenwerte $\,E_n\,$ angeben. ~Tun~!

Sei nun das System zum Zeitpunkt einer Energie--Messung
im Zustand \\
$\psi(x) = A\,\sin^2({\pi\0a}x) = A\, {1\02} \( 1 - \cos ({2\pi\0a}x)\)\,$
und Null au\ss erhalb $(0,a)\,$. ~Normierung gibt $\,A= \wu {{8\03a}}$
\ -- \ stimmt das~? 
~Mit welcher Wahrscheinlichkeit $P$ wird die Grundzustands--Energie
erhalten~?  ~Nat\"urlich mu\ss\ $\,P<1\,$ herausgekommen sein~:
~gen\"ugt die Weisheit $\,3 \wu{3}\pi>16\,$, um dies einzusehen~?
\hfill %\qquad 
$(\!(\, \sin^3(\a ) = \6_\a \lk {1\03} \cos^3(\a) - \cos(\a ) \rk \,)\!)$


%-------------------------------------------------

\no 5

{\bf Zerflie\ss en.} ~Die beiden Dgln, 
$\,i\hbar \p \psi = H\psi\,$ und Diffusionsgleichung 
$\,\p T = D \D T\,$, haben f\"ur ihr Anfangswertproblem 
eine bekannte (je welche$\,$?!) formale L\"osung. 

Wie \glqq zerflie\ss t\grqq\ das Temperatur--Gebirge
$\,T(x,0)= T_0 \sin(\kappa x)\,$ im Laufe der Zeit~?

Aber zu $H={p^2/2m}$ zerflie\ss t $\,\psi(x,0) = A\, e^{ikx}\,$
gar nicht, sondern entwickelt sich wie~? \ -- \ woraus
die (welche$\,$?) Phasengeschwindigkeit einer Materiewelle folgt.

Wie entwickelt sich (zu $H={p^2/2m}\,$) das Wellenpaket 
$\psi(x,0) = A\, e^{-\kappa |x|}$ ($A=\,?$)
im Laufe der Zeit~?  \quad 
$(\!(\,$das Resultat darf ruhig noch zwei gew\"ohnliche 
Integrale enthalten$\,)\!)$

Nach welcher Zeit $t_1$ reproduziert sich jeder Zustand
eines an einen Kreisring ($R$) gebundenen Teilchens
(Tr\"agheitsmoment $\theta$)~?  
\quad $(\!(\, H=-{\hbar^2\0 2\theta}\6_\ph^2 \,)\!)$

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\no 6

{\bf Ehrenfest.} ~$m \lw x \rw^{\!\bullet\!\>\bullet} 
= \lw\, K(x)\,\rw\;$: wie kommt das heraus~? (dabei darf \\ 
$H=p^2/2m + V(x)$ unterstellt werden.)

\parbox[t]{13.4cm}{
Die Grundzustandsfunktion $\ph_0(x)$ zum skizzierten 1D Kasten
(H\"ohe $V_0$) sei bekannt. Zur Zeit $t=0$ wird der rechte
Sockel pl\"otzlich entfernt. Mit welcher Beschleunigung beginnt
sich die Mitte $\lw x \rw$ des Pakets zu bewegen~? }
\parbox[t]{2cm}{\vskip -12mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(.1,2) \thicklines
\put(1,0){\line(0,1){.5}} \put(2,0){\line(0,1){.5}}
\put(1,0){\line(1,0){1}}
\put(1,.5){\line(-1,0){.4}} \put(2,.5){\line(1,0){.4}}
\linethickness{.2pt}
\qbezier(.6,.01)(.9,.02)(1,.2) \qbezier(2.4,.01)(2.1,.02)(2,.2)
\qbezier(1,.2)(1.5,1.1)(2,.2) \put(.4,-.01){\vector(1,0){2.4} 
{\ft $_x$}} \put(.95,-.16){\ft $_0$}
\end{picture}}

Ein bei $x=a$ zentrierter 1D harmonischer Oszillator befindet
sich im Grundzustand~: $\ph_0(x) = \const\,\cdot \; ?? \;$ 
~Zu $t=0$ wird das Parabelpotential ruckartig nach Zentrum Null 
verschoben. Wie ver\"andert sich nun die Mitte $\lw x \rw$ des 
Paketes als Funktion der Zeit~?

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\no 7

{\bf \glqq Atom\grqq .}  ~W\"are der Kern eine gro\ss e,
homogen geladene Kugel ($R$, Ladung $e$, Thomson--Modell) 
und ein Elektron ($q=-e$) h\"atte sich tief im Inneren 
zurechtzufinden, dann k\"onnte man gut rechnen. Welches 
Potential $V=q\phi$ l\"age im Inneren vor~? (das ist 
Elektrostatik: mit Ansatz gehts am schnellsten). 

Sofern das Elektron vom Kugelrand nichts bemerkt, welcher
Hamilton--Operator regiert es dann~? Welche station\"aren
Zust\"ande und zugeh\"orige $E$--Eigenwerte hat es~?

Auch der Kreisring (siehe Ende von Thema 5)
ist eine Art Atom. Welche Eigenzust\"ande $\chi_m(\ph)$
und zugeh\"origen Energien hat er~? ~Welche Entartungsgrade
haben diese~?

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\no 8

{\bf Elektron im Magnetfeld.} ~Newtons Bewegungsgleichung
f\"ur eine Ladung $q$ mit Masse $m$ im homogenen, konstanten
Magnetfeld $\vc B = (0,0,B)$ l\"ost man am besten direkt
mit Kreisbahn--Ansatz $\vc r(t) = (\, ...\,,\, ...\,,\, 0\,)$,
und erh\"alt welchen Zusammenhang von Kreisfrequenz mit $B$~? 
~Welchen Radius $R$ hat der Kreis zu gegebener 
Startgeschw. $v_0$~?

In linearer Eichung $\,\vc A = (0,Bx,0)\,$ wird die Frage
nach station\"aren Zust\"anden (von $\,H=\,?\,$) mittels
Separation beantwortet. Tun! ~(Das Restproblem eines
verschobenen 1D harmonischen Oszillators brauchen Sie 
hier nat\"urlich nicht auch noch zu l\"osen.)

Wie bekommen die Atom--Leute (jetzt auch $V(r)$ in $H$ enthalten)
einen $\vc L\cdot\vc B$--Term zu Papier~? ~~Eichinvarianz der 
Quantenmechenik~: ~was hei\ss t das~?

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\no 9

{\bf Spin {\boldmath${1\02}$}.} ~ 
Wie ist $\,\psi =$ {\ft $\(\matrix{i \cr 2 \cr}\)$} zu normieren~?
~Sei $\,H=\hbar\o\s^y\,$ mit $\,\s^y =$
{\ft $\(\matrix{0 & -i \cr i & 0\cr}\)\,$}.
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten $\,P_\pm\,$ gibt Energie--Messung
die Werte $\pm \hbar \o$~? ~Hat die Summe der beiden $P$'s
den gew\"unschten Wert~?

Spin--Pr\"azession: wie entwickelt sich obiges $\psi$ im
Laufe der Zeit weiter~? \ $(\!(\,$hatten Sie nicht gewisse
Koeffizienten bei $P_\pm$ soeben schon bestimmt?$\,)\!)$
~Wie sieht $\psi$ zur \glqq Halbzeit\grqq\ $t={\pi\0\o}$ aus~?

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\no {10}

{\bf Lorentz--Transformation.} ~Wenn man das Vorzeichen von $v$
in der $2\times 2$--Lorentz--Matrix umkehrt, entsteht dann
wirklich ihr Inverses~? \hfill \lower 2mm\vbox{
\hbox{\ft $v \gll\,$Inertialsystem--Relativgeschwindigkeit}
\vskip -2mm
\hbox{\ft $\vcsm u \gll\,$Geschwindigkeit eines Teilchens}}

Wie schnell mu\ss\ eine Rakete ($\Sigma'$, zu $t=t'=0$ die 
Erde passierend, Erde und Rakete punktf\"ormig) fliegen, um 
$t'= 4\; Uhr$ am Mond zu sein, wenn es dort gerade 
$t=5\; Uhr$ ist~? ~\glqq $Uhr$\grqq\ ist hier eine {\sl science 
fiction}--Zeiteinheit, n\"amlich $Uhr \gll {4\09}\,$s$\,$. 
Die Erde sitzt bei $x\!=\!0\,$, aber wo auf der x--Achse 
($a=\,?\;$ in km) ist dann der Mond~? 

Wie kann man die Energie--Wurzel $\,T=\wu {m^2c^4 + p^2c^2}\,$
rasch aufgrund der Invarianz eines Skalarproduktes erhalten~?
(falls Sie das so nicht k\"onnen~: ~wie sonst~?~) 
\\ Wie geht diese Wurzel bei $c\to\infty$ in bekannte 
   Nichtrelativistik \"uber~? 
\\ Und was wird in diesem limes aus 
   $\,T={m \, c^2\0 \wu {1-\vcsm u^2/c^2}}\,$~?

Gleichsetzen obiger zwei $T$--Ausdr\"ucke mu\ss\ auf den 
bekannten Zusammenhang von $\vc p$ mit Teilchengeschwindigkeit 
$\vc u$ f\"uhren. Ist es so~?
\quad Na gut: welche 4--Vektoren kennen Sie~? 

%-------------------------------------------------

\no {11}

\def\Dsl{D\!\!\!\!/} \def\dsl{\6\!\!\!/}
{\bf Dirac--Gleichung$\,$:}  ~$(i\hbar\Dsl - mc)\psi = 0\;$. 
~Ohne elektromagnetische Felder wird $\,\Dsl\,$ zu 
$\,\dsl = \gamma^\mu\,\6_\mu\,= \g^0 \6_{ct} + \vc \g \cdot \nabla$. 
~Wie folgt nun hieraus $\,\Big(\,$mittels Dirac--Basis
$\;\;\g^0=${\ft $\(\matrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr }\)\;\;$}, 
$\;\;\vc\g=${\ft $\(\matrix{ 0 & \vc \s \cr - \vc \s & 0 \cr }\)$}
und $\,(\vc a \vc \s)(\vc b \vc \s) = \vc a \vc b 
+ i(\vc a \times \vc b )\vc \s\,\Big)\,$
das Spektrum $\,\pm \wu{\quad ? \; ? \quad}\,$ freier Teilchen~? 

Mit Feldern $\phi,\,\vc A$ und Aufteilung von $\psi$ in
obere zwei ($\ph$) und untere zwei Komponenten ($\chi$)
erh\"alt man (glauben wir das mal): 
\ \ \ \ \parbox[t]{8cm}{
$ \( i \hbar \6_t - q \phi - m c^2 \) \ph
     = c \, ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \; \chi $ \\
$ \( i \hbar \6_t - q \phi + m c^2 \) \chi 
   = c \, ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \; \ph  $ } \\[1mm]
Aber wie f\"uhrt man nun hiermit den limes $c\to\infty$ aus,
um zu nicht--relativistscher Quantenmechanik 
(Schr\"odinger--Gleichung mit Spin) zur\"uck zu gelangen~?


%-------------------------------------------------

\no {12}

{\bf Fermiverteilung~:} ~$\;p_\l=${\large ${1\0 
\,e^{\b (\e_\l - \mu)}+1\,}\;$}. ~Welche Bedeutung haben hierin
all diese Buch-  \linebreak
$\vphantom{\int^\int}$staben (einschlie\ss lich $p_\l$ selbst)~? 
~Unter welchen Umst\"anden gilt die Fermiverteilung
in Strenge~? ~Herleitung~? ~Eine Slater--Determinante, was 
ist das~?

\parbox[t]{14.5cm}{
Ein ideales Fermi--System habe nur zwei Einteilchenzust\"ande 
bei Energie $\,\e_0=0\,$ bzw. bei $\,\e_1=\e\,$. ~Damit die 
mittlere Teilchenzahl $\,N=1\,$ ist, wo mu\ss\ dann das
chemische Potential liegen~? ~Welche mittlere Energie $\,E\,$
hat dann das System~? ~Welche Werte nimmt $\,E\,$ bei 
Temperatur $\to \infty\,$ bzw. $\to 0\,$ an~? } 
\ \ \ \parbox[t]{1cm}{\vskip -2mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(1,1) \put(.5,-.4){\vector(0,1){1.2}} 
\put(.63,.76){\ft $\e_\l$} \linethickness{1.2pt}
\put(.2,-.28){\line(1,0){.6}} \put(.2,.05){\line(1,0){.6}} 
\end{picture}} \\[1mm]

%-------------------------------------------------

\vskip -14mm
\unitlength 1cm \begin{picture}(16,1) \linethickness{.2pt}
\qbezier(0,-1)(3.5,-.7)(7,-1) \qbezier(7,-1)(10.5,-1.3)(14,-1)
\qbezier(14,-1)(17.6,-.85)(14,-.7) \qbezier(14,-.7)(7.9,-.6)(7.5,-1.2)
\qbezier(7.5,-1.2)(6.84,-1.8)(8.8,-1.56) \end{picture}

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

