%   breit.tex

\documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty}
\usepackage{amssymb} \usepackage{german}
\hoffset -7mm \textwidth 16cm
\voffset -3.6cm \textheight 27cm
\parskip 4mm \parindent 0pt
\input def 
\def\ep{\epsilon}

\begin{document} 
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{W.\dq}

\rl{\small Hannover, 22. 12. 2008} \vskip 7mm

\ct{\large\bf Weiter Wurf nahe Erdoberfl\"ache \qquad }

\vskip 3mm
In geringer H\"ohe $h$ \"uber dem Erdboden wird
eine Gewehrkugel ($m$) mit gro\ss er Geschwindigkeit
($v_0$) horizontal abgeschossen. Es interessiert,
welchen Einflu\ss\ die Richtungs\"anderung der
Erdanziehung hat.

\unitlength .9cm \hspace*{1.4cm}
\begin{picture}(12,.7)
  \put(-.1,.5){\line(1,0){.18}}
  \put(0,.8){\line(0,-1){3.8}}
  \qbezier[100](0,.5)(5.3,.5)(10,-1.117)
  \qbezier(0,0)(5.5,0)(13,-1.8)
  \put(10.23,-.3){\line(-1,-5){.5}}
  \put(-.45,.39){$h$}
  \put(.8,-1.4){$\a =\;$Winkel zwischen Fahrstrahlen}
  \put(.8,-2.0){$0<\a<\a_0$}
  \put(.8,-2.6){$R=\;$Erdradius}
\end{picture}

\vskip 2.4cm
$m$ l\"auft auf einer Kepler--Ellipse, beginnend
am Erdmitte--fernsten Punkt (Aphel). In der \"ublichen
Perihel--bezogenen Polarkoordinaten--Darstellung f\"ur 
$r(\ph)$ setzen wir darum $\ph = \pi - \a\;$:
\be{1}  r = R + y = { p \0 1 - \ep\,\cos(\a ) } 
   \qquad , \qquad  \p \a = {L \0 m\, r^2} \quad . \quad
\ee % 1
Ersichtlich ist $y$ die momentane H\"ohe \"uber der
Erdoberfl\"ache (keine kartesische Koordinate also).
({\ft \"Ubrigens l\"a\ss t sich auch $\6_\a t = r^2 m/L$ 
integrieren, dann allerdings nicht nach $\a$ aufl\"osen.})

Vorgegeben seien die H\"ohe $h$ bei Abschu\ss\ und
der Winkel $\a_0$ bei Aufschlag. Durch diese beiden
Daten lassen sich die Parameter $p$ und $\ep$ ausdr\"ucken\,:
\be{2} \ep = {h \0 R\,(1-c_0) + h}  \quad , \quad 
        p = {(R+h)\,R\,(1-c_0) \0 R\,(1-c_0) + h }
       \qquad \hbox{wobei \,\,$c_0 \gll \cos(\a_0)$} 
       \quad . \quad
\ee % 2
Damit, sowie mit $c \gll \cos(\a)\,$, bekommt (W.1) die Gestalt
\be{3}
   y = -R + { (R+h)\,R (1-c_0) \0 
                 R\,(1-c_0) + h\,(1-c) } 
   \;=\;  h \lk 1 - { (R+h)\, (1-c) \0 
          R\,(1-c_0) + h\,(1-c) } \rk \quad . \quad
\ee % 3
Beide Ausdr\"ucke zeigen sch\"on, da\ss\ $\a=0$ auf
$y=h$ f\"uhrt und $\a=\a_0$ auf $y=0\,$. Wie sich
$1-c_0$ durch $v_0$ festlegt, ergibt sich per Gleichsetzen
von $p$ aus (W.2) mit der beim (W.1)--Herleiten 
erfolgten Abk\"urzung $p \gll L^2/(\g m^2 M)$,
wobei hier $L = m (R+h) v_0$ ist.

Bis hierher waren keine N\"aherungen im Spiel. Erst jetzt
kommen wir zum eigentlichen Problem: $h$ sei winzig,
$h\!\lll\! R\,$. \,Nichts spricht dagegen, in der eckigen 
Klammer in (W.3)\, sowie in (W.1)$_{\rm rechte\; Gleichung}$ schlicht 
$\,h=0$ zu setzen\,,\, {\bf ohne}\, dabei den $\a$--Bereich 
einzuengen\,:
\be{4}
   y \,=\, h \lk 1 - { (1-c) \0 (1-c_0)} \rk 
   \qquad , \qquad \p \a = {L\0 m\,R^2} = {v_0 \0 R}
   \quad . \quad
\ee % 4
Sogar $\a_0=\pi/2$ scheint noch Sinn zu machen.
Erst wenn wir \"uberdies \glqq in Hannover\grqq\
bleiben und auch noch $\a\!\ll\! 1$ betrachten, landen wir mit
$y=h \lk 1 - \a^2 / \a_0^2 \rk = h \lk 1 - t^2 / 
t_{\rm end}^2 \rk$ bei der gew\"ohnlichen Wurfparabel. 

Das Resultat (W.4) ist jedoch viel besser\,! \,Effekte der
Erde--Rundheit und der Kraft--Richtungs\"anderung sind 
in (W.4) enthalten. Setzen wir ruhig mal 
$\a_0=\pi/2\,$ (und schaufeln unten, d.h. in Amerika einen 
Graben), dann wird $y=h\,\cos(\a)\,$ und 
$m$ kommt beim Gewehr wieder an. Es ist alles in Ordnung. 

\vskip -2mm
\hspace*{-1.4cm}{\tiny (hschulz@itp.uni-hannover.de)}

\end{document}    



