%  delta.tex      Rech SS 2003 : DELTA-Sonderblatt

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{german,amssymb} \pagestyle{empty}
\hoffset 4mm     \textwidth 15.6cm   
\voffset -3.2cm    \textheight 26.8cm 

\input def  \def\scr{\scriptsize}
%%%%%  Verbundene Gleichheitszeichen
%
% oberes =
\def\glo#1{ & = \hspace{-.17cm}
            \vrule width 0.12pt height .06cm depth #1mm 
            \hspace{.12cm} & }
% unteres =
\def\glu#1{ \nonu \\[-.5cm] & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% mittleres =
\def\gluo#1#2{ \nonu \\[-.5cm] & \hspace{.005cm} 
            = \hspace{-.177cm}
           \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{-.003cm}
           \vrule width 0.12pt height .06cm depth #2mm 
           \hspace{.12cm} & }
% unteres = , wenn Gl.Nummer darueber stehen soll
\def\glum#1{ \\[-.5cm] & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% unteres = , falls es einen linken Formelteil #2 gibt
\def\gllu#1#2{ \nonu \\[-.5cm] #2 & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% unteres ist approx ( fuer Gl. (3.4) )
\def\gluapprox#1{ \nonu \\[-.5cm] & \approx \hspace{-.176cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% unteres ist sim ( fuer Gl. (3.4) )
\def\glusim#1{ \nonu \\[-.5cm] & \sim \hspace{-.176cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.1cm 
           \hspace{.12cm} & }
% unteres ist \glr ( fuer Gl. (4.1) )
\def\gluglr#1{ \nonu \\[-.5cm] & \!\!\;\glr \hspace{-3.95mm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% unteres ist \to
\def\gluto#1{ \nonu \\[-.5cm] & \,\to \hspace{-.26cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.1cm 
          \hspace{.18cm} & }
% unteres ist \leqslant ( fuer Gl. (14.12) )
\def\glule#1{ \nonu \\[-.5cm] & \leqslant \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.2cm 
           \hspace{.12cm} & }
% oberes ist \gll
\def\glogll#1{ &\hspace*{-.24cm}\gll \hspace{-.17cm}
            \vrule width 0.12pt height .06cm depth #1mm 
            \hspace{.12cm} & }
% oberes ist = mit ? darueber  ( fuer (12.1) )
\def\glofra#1{ & \ueb{?}{=} \hspace{-.23cm}
              \vrule width 0.12pt height .06cm depth #1mm 
              \hspace{.24cm} & }
% oberes ist \leqslant
\def\glole#1{ & \leqslant \hspace{-.176cm}
            \vrule width 0.12pt height -.02cm depth #1mm 
            \hspace{.12cm} & }
% mittleres mit linkem Formelteil
\def\glluo#1#2#3{ \nonu \\[-.5cm] #3 & \hspace{.005cm} 
            = \hspace{-.174cm}
           \vrule width 0.12pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{-.004cm}
           \vrule width 0.12pt height .06cm depth #2mm 
           \hspace{.12cm} & }

%%%%  Unterklammern von Formelteilen : \unt{}{}{}{}  
   %
   %  #1  =  Breite in cm (nur Anzahl der cm als Zahl angeben!) 
   %  #2  =  Tiefe (der vertikalen Linie in cm )
   %  #3  =  Rechtsrueckung der Vertkikalen (in cm)
   %  #4  =  Formelteil unten rechts vom =
\def\unt#1#2#3#4{\hbox{
     \vrule height .2cm width 0.4pt  depth -.5pt
     \vrule height .5pt width #1cm   depth 0pt
     \vrule height .2cm width 0.3pt  depth -.5pt
     \hskip -#1cm \hskip #3cm 
     \vrule width 0.3pt height 0pt depth #2cm
     \lower #2cm\hbox{\lower .14cm\hbox{$\!\!\!\,\dis = #4$}}} \nonu }
%  \unt mit \glr   
\def\untglr#1#2#3#4{\hbox{
     \vrule height .2cm width 0.4pt  depth -.5pt
     \vrule height .5pt width #1cm   depth 0pt
     \vrule height .2cm width 0.3pt  depth -.5pt
      \hskip -#1cm \hskip #3cm 
     \vrule width 0.3pt height 0pt depth #2cm
     \lower #2cm\hbox{\lower .13cm\hbox{$\!\!\!\,\dis \glr #4$}}} \nonu }
%  \unt mit \to      ( fuer (6.39) )
\def\untto#1#2#3#4{\hbox{
     \vrule height .2cm width 0.4pt  depth -.5pt
     \vrule height .5pt width #1cm   depth 0pt
     \vrule height .2cm width 0.3pt  depth -.5pt
      \hskip -#1cm \hskip #3cm 
     \vrule width 0.3pt height 0pt depth #2cm
     \lower #2cm\hbox{\lower .1cm\hbox{$\!\!\dis \to #4$}}} \nonu }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\rl{\unitlength 1cm \begin{picture}(7.4,.1)
\put(0,.9){\scr\sl Uni Hannover, Rechenmethoden der Physik, SS 2003}
\end{picture}}

\ct{\huge\bf Delta--Funktion ~ \qquad } 

\vskip 8mm \noindent 
Definierende Eigenschaft~: \quad  
$\dis \int\! dx\; \d (x-x_0 ) \, f(x)\;= \;f(x_0 )$

\vskip -1mm \noindent
\bean   \hspace*{-4mm}\hbox{Darstellungen~: ~ ~ }
  \d (x) &=& {1\02\,\e} \quad\hbox{f\"ur }\, -\e < x < \e 
            \;\;\hbox{ und 0 sonst}  
             \nonu \\
  \d (x) &=& \6_x \, {1 \0 1 + {\rm e}^{-x/\e}} 
       = - \6_x \, {1 \0 {\rm e}^{x/\e} + 1} 
             \nonu \\
  \d (x) &=& {\e \0 \pi x^2 }\, \sin^2\( {x\0\e}\) \quad , \quad
  \d (x) \,=\, {1\0 \e \wu \pi } {\rm e}^{- x^2 / \e^2 }
               \nonu \\
  \d (x) &=& {1\0 \pi x} \, \sin \( {x\0\e} \)
          = {1\0 2\pi } \int_{-1/\e}^{1/\e} \! dk\; \cos(kx)
          = {1\0 2\pi } \int_{-1/\e}^{1/\e} \! dk\; 
             {\rm e}^{ikx}
             \nonu \\
  \d (x) &=& {1\0\pi} \, {\e\0x^2 + \e^2 }
        = {1\02\pi} \int \! dk \; {\rm e}^{ikx-\e |k|}
        = {1\02\pi} \int \!\! dk \; {\rm e}^{ikx}
              \( {\rm e}^{- \e|k|} \) \;\; \quad 
             \nonu \\
  {\rm allgemein~:}\;\;\; \d (x) &=& 
    \, {1\0 \e J} \, g\( {x\0 \e } \) \;\; \hbox{mit}
     \;\; J \gll \int\! dx\; g(x) \quad  \nonu
     \hspace*{3cm}
\eea % 6.84 bis 6.89

\vskip 3mm \noindent
Formelsammlung~:  \vskip -6mm
\bean   \hspace*{-5mm}
   & &  \d(-x)=\d(x) \quad , 
         \quad \d(ax)={1\0|a|} \d(x) \quad , \quad 
         \6_x \, \theta (x) = \d (x) 
        \nonu \\  \hspace*{-5mm}
   & & \d(x^2-a^2) = {1\02|a|} 
         \Big(\,\d(x-a) + \d(x+a)\,\Big) 
        \quad , \quad
        \d \big( f(x) \big) \,=\, \sum_n {1\0 \left| f^\prime(x_n) 
       \right|}\,\d(x-x_n) \nonu \\[-.8mm] \hspace*{-5mm}
   & & \hspace*{10.2cm} \hbox{\ft $x_n$ sind die
               Nullstellen von $f$} 
        \nonu \\[-2mm]  \hspace*{-5mm}
   & & {1\0i} \int_0^\infty \!\! dk \; {\rm e}^{ikx - \e k}
        = {1\0 x+i\e} = {x-i\e \0 x^2+ \e^2} = \cl P {1\0 x}
          - i\pi \d(x)  
        \nonu \\  \hspace*{-5mm}
   & & \int\! dx \; f(x) \, \d^\prime (x)  = - f^\prime 
       (0) \,\;\; , \;\; -x\, \d^\prime (x) = \d(x) 
        \;\; , \;\;
      \int\! dx \; \d(x-a)\, \d(x-b)\, =\,\d (a-b)   
       \nonu \\  \hspace*{-5mm}
   & & \theta (x) = 1 - \theta(-x) \;\; , \;\;
       {\rm sign}\,(x) = {x\0|x|} = 2\,\theta (x) - 1 
     \;\; , \;\;   
      \6_x \,\Big(\,\theta (x)\hbox{--Darst.}
          \Big) \, = \, \d (x)\hbox{--Darst.}
        \nonu 
\eea

\vskip 3mm \noindent
\parbox[t]{4cm}{Punktladung $q$ \\ 
\hspace*{9mm} bei $\vc r_0(t)\,$:} \quad $\dis \varrho (\vc r , t ) 
   = q\;\d\Big(\vc r  - \vc r_{\!0} (t) \Big)  $ \\[-4mm]
\hspace*{4.3cm}
$\dis \vc j (\vc r , t ) = \pvc r _{\!0}(t) \,\; q\; \d 
 \Big(\vc r - \vc r_{\!0} (t) \Big)   $

\vskip 2mm \noindent
\parbox[t]{8.1cm}{
Geladener \\[-1.6mm] 
Kreisring~: $\;\;\dis  \varrho (\vc r ) 
  = {Q\0 2\pi R } \; \d (\varrho - R)\, \d (z) $} 
\parbox[t]{7cm}{
Geladene \\[-1.6mm]
Metallkugel~: $\;\;\dis \varrho( \vc r )
  = {Q \0 4\pi R^2} \; \d(r-R) $}

\vskip 5mm \noindent
Der Ortsoperator $X$ (Wirkungsweise $x\cdot\,$) hat gem\"a\ss\
$\;\dis x \, \d(x-a) = a \,\d (x-a )\,$ \\ 
die kontinuierlich mit $\,a\,$ numerierten 
Eigenfunktionen $\;\d(x-a)\;$.

\vskip 8mm \noindent
$\,L\,y(x) = f(x)\;$ und $\,L\,$ ein (auf $x$--Abh. wirkender) 
linearer Operator. Gesucht $\,y(x)\,$. \\[1mm]
Wenn man dieses Problem f\"ur \glqq Punktquelle\grqq , d.h. 
das Hilfsproblem 
$$  L\; G (x,a) = \d(x-a) \qquad\qquad (*)  $$
l\"osen kann und somit eine \glqq Greensche Funktion\grqq\ 
$\,G(x,a)\,$ kennt,
dann erh\"alt man ein $\,y(x)\,$ durch Anwenden des Operators
$\,\int\! da\; f(a)\,$ auf beide Seiten von $(*)$~: 
\bean
   \int \! da\; f(a) \,L\, G(x,a) 
    \glo{6} \int \! da\; f(a)\,\d (x-a)
    \gllu{6}{L\,\int\! da\; f(a)\, G(x,a)}  
    f(x) \qquad \folg \qquad y(x) = \int\!da\; f(a)\,G(x,a) \quad .
   \nonu
\eea

\end{document}