
%  ed1.tex         Elektrodynamik SS 1991
%  
%  P = 2 P - P

%  def.tex  erforderlich

%%%%%  T E X  %%%%%
%
\magnification=\magstep1
\nopagenumbers 
\voffset -1.8cm  \vsize 24cm  
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\input def
\def\ps{\epsilon_0}  \def\gl#1{\eqno (#1)}
\def\under#1{$\lower 0.2pt\hbox{$\;
    \underline{\vphantom{\int}\hbox{#1}}\;$}$}
\def\rahmen#1#2#3{\lower 
    2pt\vbox{\hrule\hbox{\vrule\hskip#1\vbox{\vskip#1{}
    \hsize=#2 \noindent #3 \vskip#1}\hskip#1\vrule}\hrule}}
% #1=Randabstand, #2=hsize der box, #3=einzrahmender Text

\rightline{ \mt Elektrodynamik \enskip SS 1989}  
\vskip .6cm 
\ct { \hskip 3cm {\gr P$\,$ 
= $\,$2 P \vrule depth -4pt height 5.3pt width .45cm \ P}}
%%
\vskip -.9cm \nz  \vbox{\hbox{\hskip
.61cm $I \, \uparrow \hskip 1.06cm I \, \uparrow$}
  \vskip .4cm \hbox{\hskip
.4cm {\gr 1} \hskip 1.16cm {\gr 2}} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
2.7cm $\longrightarrow \, \vc u $}  \vskip .2cm \hbox{\hskip
.3cm -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- } \vskip -.25cm \hbox{\hskip
3.2cm $\uparrow$} \vskip .2cm \hbox{\hskip
3.2cm $h$} \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.05cm $\longleftarrow\, a \,\longrightarrow$} 
   \vskip -.2cm \hbox{\hskip
3.2cm $\downarrow$} \vskip -.25cm \hbox{\hskip
.3cm -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- } \vskip -0cm \hbox{\hskip
2.3cm $\to \hskip .3cm \leftarrow$}  \vskip -.1cm \hbox{\hskip 
2.65cm $ da $}  \vskip -3.8cm \hbox{\hskip
1cm \vrule depth 0pt height 3.5cm width 2pt \hskip 1.6cm
    \vrule depth 0pt height 3.5cm width 2pt \hskip .2cm
    \vrule depth 0pt height 3.5cm width .05pt} }
%%
\vskip -2.6cm \nz \leftskip=4.4cm \nz
Parallel stromdurchflossene Dr\"ahte ziehen sich an
(Lorentz--Kraft). Dr\"uckt man sie (um $da$) auseinander,
wird Arbeit ($dE_1$) am System verrichtet. Diese mu\ss\
nachtr\"aglich irgendwo aufgesammelt werden k\"onnen.
Also starrt man auf die Feldenergie
\smallskip \nz
$$ \hskip 4cm  E_2 = 
   \int \! d^3r \; {\ps c^2 \02} \, \vc B^2 \;  = \,
   {1\02} \int \! d^3r \int \! d^3r^\prime \; 
   { \vc j (\vc r ) \cdot \vc j (\vc r^\prime ) 
  \0  4\pi\ps c^2 \;\vert \vc r - \vc r^\prime \vert }
$$
\nz \leftskip=0pt \nz
und auf deren effektiv anwachsenden Nenner 
$\vert \vc r - \vc r^\prime \vert$. Sie nimmt $\,${\bf ab}$\,$
($dE_2 <0$), und das tut weh. Etwas, was physikalisch 
\anfu weh tut\anfo, nennt man gern ein $\,${\bf Paradoxon}$\,$.
\medskip \nz
Was war falsch$\,$? Eigentlich nichts. Es war soweit richtig 
gedacht -- nur arg {\sl unvollst\"andig}. Mit obiger
Feldenergie-Abnahme haben wir nur eine von drei 
Energie--Portionen erwischt, n\"amlich jene, die in der 
\"Uberschrift ganz rechts steht.
\medskip \nz
Nachdenken. W\"ahrend man Draht {\bf 2} mit Geschwindigkeit 
$u$ in der Zeit $dt=da / u$ um $da$ verschiebt, wirkt eine 
(zus\"atzliche) Lorentz--Kraft $q \vc u \times \vc B$
auf jede Ladung $q$ in {\bf 2} ($dE_3$). Es passiert noch 
mehr. Z.B. im Raumbereich links von Draht {\bf 1} \"andert
sich das (von {\bf 2} verursachte) Magnetfeld. Somit ist
rot$\vc E \neq 0$. Und dieses elektrische Feld beschleunigt
mit Kraft $q \vc E$ die Ladungen in {\bf 1} ($dE_4$).
Es fehlten also zwei Portionen mechanischer kinetischer 
Energie, die man sich am besten (um $I$ konstant zu halten)
unverz\"uglich in W\"arme umgewandelt denkt.
\medskip \nz
Damit dies jemand glaubt, bleibt zu zeigen, da\ss\ die
Bilanz auch quantitativ stimmt. Dazu nehmen wir
die vier Energien pro H\"ohe und pro $da$
\hskip 2cm \lower 7pt\hbox{
        $ dE_i \; = \; P_i \,\; h \, da  $}  
\vskip -.15cm \nz
und berechnen die vier \anfu Portionen\anfo 
$\, P_1$ bis $P_4\,$.
\medskip \smallskip \nz
%
\under{{\mg P\lower 3pt\hbox{{\bf 1}} :}}
In {\bf 2} erf\"ahrt $q$ die Kraft $qvB_1$ mit $B_1=2\l I / a$
($\l \gll 1 / ( 4\pi \ps c^2 )$). $q \to d^3r \rho$, $\rho v=j$.
$\perp$ auf Segment $h$ wirkt die Kraft 
$\int_{(h)}\! d^3r j_2 B_1 \glr F\,$; 
$dE_1 = F da = da \, h\, I \, B_1$, $2\l I^2 / a \glr P$.
Dies war die l.h.s. von $P=2P-P$, d.h. die am System pro 
$h\, da$ verrichtete Arbeit$\;$: 
     \hfill \hfill \rahmen{.07cm}{1.2cm}{$P_1=P$} 
\medskip \nz
%
\under{{\mg P\lower 3pt\hbox{{\bf 2}} :}}
$dE_2 = da \, \6_a {1\02}\l \int_{(h)}\! d^3r \, 
d^3r^\prime \vert \vc r - \vc r^\prime \vert^{-1} 
(j_1 + j_2 )_{\vcsm r} (j_1 + j_2 )_{\vcsm r^\prime}$,
worin Produkte gleicher Str\"ome entfallen (Selbestenergie 
\"andert sich nicht mit $a$).
$dE_2 = da \, \6_a \l \int\! \int \ldots j_1 j_2\,$,
$P_2 = {1\0h} \6_a \l I^2 \int_{(h)}\! dz \int\! dz^\prime
(z^2+a^2)^{-1/2} = - \l I^2 \int\! dz a (z^2+a^2)^{-3/2}$
Stammfkt. $z (z^2+a^2)^{-1/2}/a$. Dies war der letzte Term 
in $P=2P-P$, d.h. die Feldenergie$/h\, da$--Abnahme$\,$:  
     \hfill \hfill \rahmen{.07cm}{1.5cm}{$P_2=-P$}
\medskip \nz
%
\under{{\mg P\lower 3pt\hbox{{\bf 3}} :}}
$\vc u \times \vc B_1 \sim \vc e_3$. W\"ahrend $dt$ wird
$q$ in {\bf 2} von Kraft $quB_1$ nach oben beschleunigt.
Seine kinetische Energie erh\"oht sich um 
${1\02}m \lk (v+dv)^2 -v^2 \rk = mvdv =  v m \p v dt = v q u 
B_1 dt = qv B_1 da\,$. $qv \to \int_{(h)} \! d^3r j = h I\,$,
$dE_3 = hIB_1 da\,$, $P_3 = I B_1$. Dies war die erste, 
nur in {\bf 2} auftretende, mechanische Portion$\,$: 
     \hfill \hfill \rahmen{.07cm}{1.2cm}{$P_3=P$}
\medskip \nz
%
\under{{\mg P\lower 3pt\hbox{{\bf 4}} :}}
Nach harmloser Galilei--Transformation 
($u<\!< c, \approx$keine Strahlung) ruht {\bf 2} und man 
sieht {\bf 1} nach links rutschen$\,$: $P_4=P_3\,$, 
elegant$\,$!
Aber wie kommt auch ein biederer Labor--Mensch dahinter,
da\ss\ in {\bf 1} ebenfalls die Kraft $quB_1$ wirkt, d.h.
das elektrische Feld $\vc e_3 2 u \l I /a \;$?
\vskip -.15cm \nz
Nur Mut. W\"ahrend $dt$ verursacht Draht {\bf 2} 
$\vc B = 2\l I (-y,x,0)/(x^2+y^2)\vert_{x \to x-ut}$, ergo
$- \pvc B = u \6_x \vc B$, wonach wir die infinitesimale
$x$-Ab\"anderung wieder vergessen d\"urfen. Pfeile--Bilder
malen $\ldots$ Ansatz $\vc E = (0,0,f(x,y))$ mit $f\to 0$ 
f\"ur $x$, $y \to \infty\,$. In der folgenden Gl.
$f$ ablesen$\,$! \nz
$\;\;$ 
rot$\vc E = (f^{\prime y} , - f^{\prime x}\, ,\, 0\, ) 
  \; {\buildrel ! \over =} - \pvc B = u 2\l I 
  \( \,\6_x { -y \0 x^2+y^2 } \, , 
     \,\6_x { x \0 x^2+y^2 } \, ,\, 0\, \) \;\;\; 
   \Rightarrow \; \vc E
   = \vc e_3 { -2\l Iu \, x \0 x^2 + y^2 } \; .$ \nz
Auf {\bf 1} ist $x=-a$ und $y=0$, d.h. 
$\vc E_{\rm auf \, {\bf 1}} = \vc e_3 u B_1\;$, qed. 
\hfill \hfill \rahmen{.07cm}{1.2cm}{$P_4=P$} 
\smallskip \nz
Man mu\ss\ nur Vertrauen haben -- zu grundlegenden 
Gleichungen und sich selbst.

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
