%  ed2.tex         Elektrodynamik SS 1991
%  
%  Feynmans Scheibe

%  def.tex  erforderlich

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  L A T E X  %%%
\documentstyle[12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\voffset -4.5cm  \textheight=28cm  
\hoffset -.5cm   \textwidth=16.6cm
   \font\kl=cmr8  \font\kll=cmbx6
   \font\gr=cmbx10 scaled \magstep2
   \font\mt=cmsl9  
\input def
   \def\ps{\epsilon_0}
   \def\gl#1{\eqno (#1)}
\def\figur{\unitlength1cm \begin{picture}(2,2)
  % Achse
\put(-.05,0){\line(0,1){1.6}}     \put(.05,0){\line(0,1){1.6}}
\put(-.05,-1.2){\line(0,-1){.5}}  \put(.05,-1.2){\line(0,-1){.5}}
\put(-.09,1.64){$_\wedge$}   \put(-.099,-1.77){$_\vee$}
\put(-.18,1.478){\LARGE $\widehat{\phantom{a}}$}
\put(-.18,1.445){\LARGE $\widehat{\phantom{a}}$}
\put(-.18,1.42){\LARGE $\widehat{\phantom{a}}$}
\put(-.18,1.39){\LARGE $\widehat{\phantom{a}}$}
\put(-.18,1.36){\LARGE $\widehat{\phantom{a}}$}
\put(-.18,1.33){\LARGE $\widehat{\phantom{a}}$}
\put(-.293,-1.96){\Large $\smile$} \put(-.293,-1.99){\Large $\smile$}
\put(-.293,-2.02){\Large $\smile$} \put(-.293,-2.05){\Large $\smile$}
\put(-.293,-2.08){\Large $\smile$}
  % charged metal spheres
\put(-1.8,-.07){$\bullet$}  \put(1.6,-.07){$\bullet$}
\put(-1.5,.33){$\bullet$}   \put(-1.5,-.47){$\bullet$}
\put(1.3,.33){$\bullet$}    \put(1.3,-.47){$\bullet$}
\put(-1,.56){$\bullet$}     \put(-1,-.7){$\bullet$}
\put(.8,.56){$\bullet$}     \put(.8,-.7){$\bullet$}
\put(-.4,.67){$\bullet$}    \put(-.4,-.81){$\bullet$}
\put(.2,.67){$\bullet$}     \put(.2,-.81){$\bullet$}
  %  Beschriftungen
\put(.66,.04){\fbox{\hskip -.08cm {\tiny battery}\hskip -.1cm}}
\put(-2,1.4){{\tiny charged metal}} \put(-2,1.14){{\tiny spheres}}
\put(-1.04,1.16){\line(2,-1){.8}} \put(.7,-1.4){{\tiny plastic disc}}
\put(.86,1.4){\vector(-1,-3){.3}} \put(.5,1.46){{\tiny coil of wire}}
\put(-2,-2){{\tiny Will the disc \hskip 1.2cm Fig. 17--5}}
\put(-2,-2.26){{\tiny rotate if the current is stopped?}}
  % disc
\linethickness{.4pt}
\bezier{200}(-2,0)(-2,.577)(-1,.866)
\bezier{200}(-1,.866)(-.5,.99)(-.051,1)
\bezier{200}(1,.866)(.5,.99)(.051,1)
\bezier{200}(2,0)(2,.577)(1,.866)
\bezier{200}(-2,0)(-2,-.577)(-1,-.866)
\bezier{200}(-1,-.866)(0,-1.155)(1,-.866)
\bezier{200}(2,0)(2,-.577)(1,-.866)      % unterer Scheibenrand :
\bezier{200}(-2,-.2)(-2,-.777)(-1,-1.066)
\bezier{200}(-1,-1.066)(0,-1.355)(1,-1.066)
\bezier{200}(2,-.2)(2,-.777)(1,-1.066)   % Maserung der Scheibe :
\put(-2,-.2){\line(0,1){.2}}    \put(2.01,-.2){\line(0,1){.2}} 
\put(-1.6,-.8){\line(0,1){.2}}  \put(-1.1,-1.04){\line(0,1){.2}} 
\put(-.2,-1.2){\line(0,1){.2}}  \put(.8,-1.12){\line(0,1){.2}} 
\put(1.6,-.82){\line(0,1){.2}}  \put(1.9,-.54){\line(0,1){.2}} 
  % coil of wire
\linethickness{.7pt}       % unten herum :       1.
\bezier{100}(-.667,0)(-.667,-.192)(-.333,-.289)
\bezier{100}(-.333,-.289)(0,-.385)(.333,-.289)
\bezier{100}(.667,0)(.667,-.192)(.333,-.289)   % 2. 
\bezier{100}(-.667,.1)(-.667,-.092)(-.333,-.189)
\bezier{100}(-.333,-.189)(0,-.285)(.333,-.189)
\bezier{100}(.667,.1)(.667,-.092)(.333,-.189)  % 3.
\bezier{100}(-.667,.2)(-.667,.008)(-.333,-.089)
\bezier{100}(-.333,-.089)(0,-.185)(.333,-.089)
\bezier{100}(.667,.2)(.667,.008)(.333,-.089)   % 4.
\bezier{100}(-.667,.3)(-.667,.108)(-.333,.011)
\bezier{100}(-.333,.011)(0,-.085)(.333,.011)
\bezier{100}(.667,.3)(.667,.108)(.333,.011)  %  oben herueber
\bezier{100}(-.667,0)(-.667,.192)(-.333,.289)
\bezier{100}(-.333,.289)(-.2,.333)(-.08,.333)
\bezier{100}(.333,.289)(.2,.333)(.05,.333)
\bezier{100}(.667,0)(.667,.192)(.333,.289)   % 2.
\bezier{100}(-.667,.1)(-.667,.292)(-.333,.389)
\bezier{100}(-.333,.389)(-.2,.433)(-.08,.433)
\bezier{100}(.333,.389)(.2,.433)(.05,.433)
\bezier{100}(.667,.1)(.667,.292)(.333,.389)  % 3.
\bezier{100}(-.667,.2)(-.667,.392)(-.333,.489)
\bezier{100}(-.333,.489)(-.2,.533)(-.08,.533)
\bezier{100}(.333,.489)(.2,.533)(.05,.533)
\bezier{100}(.667,.2)(.667,.392)(.333,.489)  % 4.
\bezier{100}(-.667,.3)(-.667,.492)(-.333,.589)
\bezier{100}(-.333,.589)(-.2,.633)(-.08,.633)
\bezier{100}(.333,.589)(.2,.633)(.05,.633)
\bezier{100}(.667,.3)(.667,.492)(.333,.589)
\end{picture} }

\begin{document}

\rightline{ \mt Elektrodynamik \enskip SS 1991}
\vskip .5cm 
\rightline{{\gr Feynmans Scheibe} \hskip 2.5cm
\lower 6pt \vbox{\hbox{\scriptsize\bf [ The Feynman Lectures on Physics}
           \vskip -.05cm 
           \hbox{\scriptsize\bf \ \ Addison--Wesley 1989,
            Vol. II, \S 17.4 ]} } \quad }
\vskip .3cm \nz \hskip 14.2cm \figur \nz 
\rightskip=5.2cm \vskip -2cm 
\nz
Wir denken richtig. W\"ahrend die Batterie altert, nimmt das
\anfu Blumenstrau\ss\anfo--Magnetfeld $\vc B = \nabla \times 
\l \,{\vc m \times \vc r \0 r^3 }$ zeitlich ab$\,$: $\vc B 
\cdot f(t)\,$. Hierbei haben wir uns die Spule als 
\hbox{\anfu punktf\"ormig\anfo} idealisiert$\,$: $\vc m\,$.
Zus\"atzlich zum $\vc E$-Feld der festgeklebten 
Punkt\-la\-dun\-gen gibt es vor\"ubergehend das aus \ 
rot$\vc E_\D = - \vc B \,\p f\,$ folgende Feld $\,\vc E_\D 
= - \l \,{\vc m \times \vc r \0 r^3 } \p f\;$. Und dieses 
dreh--beschleunigt die Scheibe. Sie rotiert. Der 
entsprechende Dreh\-im\-puls war auch schon vorher da, 
n\"amlich im Feld. Haben wir nun alles verra--
\nz \rightskip=0pt
ten$\,$? Eine Frage bleibt offen. {\bf Wie}$\,$, in drei 
Teufels Namen, kann man diese Vermutung $\;${\bf 
quan\-ti\-ta\-tiv}$\,$ nachpr\"ufen$\,$?
\medskip \nz
Die \"Ubungsaufgabe ist haarig. Wir formulieren sie erst einmal 
etwas allgemeiner. Ein starrer K\"orper ruht. Eine vertikale 
Achse ragt aus ihm heraus und ist gelagert. Ladungen sind 
irgendwie in ihm festgemacht $\rho (\vc r)\,$.
Supraleitende Dr\"ahte durchziehen ihn und er\-zeugen ein
statisches Magnetfeld $\vc B (\vc r)$. Zur Zeit $t\! =\! 0$ 
werde die Sprungtemperatur des Supraleiters \"uberschritten, 
und der Strom klingt auf Null ab$\,$: 
$\vc B (\vc r) \, f(t)\,$. Wir vernachl\"as\-si\-gen 
Strahlungsverluste (sie w\"aren andernfalls in die 
Drehimpuls--Bilanz einzubeziehen). Wenn sich der K\"orper 
am Ende dreht, gibt es einen (winzigen) restlichen 
Felddrehimpuls aufgrund der in ihm festgeklebten Ladungen. 
Er wird im folgenden (als Bestandteil von
$\vc L _{\!\rm nach}$) einbezogen.
\smallskip \nz
$\hskip -.46cm \bullet\;$ 
Vorher, d.h. zu $t<0\,$, l\"a\ss t sich der folgende 
Feld--Drehimpuls im Raum aufsammeln$\,$:
\vskip .2cm \nz
\ben 
  {\vc L}_{\!\rm vor} = \int \! d^3r \;\, \vc r \times 
  \( \ps \vc E \times \vc B \) \quad ,
\ee  
\vskip -.14cm \nz
wobei $\vc E$ die L\"osung von div$\vc E = \rho / \ps \,$, 
rot$\vc E = 0$ ist.
\smallskip \nz
$\hskip -.46cm \bullet\;$ 
Nachher, d.h. zu $t> \D\,$, dominiert mechanischer Drehimpuls. 
Um ihn zu ermitteln, setzen wir $\vc B = {\rm rot} \vc A$ 
(mit div$\vc A = 0$) in die Gleichungen rot$\vc E_\D = - \vc B 
\, \p f\,$, div$\vc E_\D = 0$ ein und erhalten
$\vc E_\D = - \vc A \6_t f(t)\,$: W\"ahrend der Zeit $\D$ 
erf\"ahrt also der starre K\"orper das Drehmoment $\6_t \vc L
= - \p f(t) \int \! d^3r \; \vc r \times \rho \vc A\,$.
Mit $\vc L (0)=0\,$, $\vc L (\D ) = \vc L _{\!\rm nach}\,$,
$f(0)=1\,$, $f(\D ) = 0\;$ folgt
\vskip .2cm \nz
\ben {\vc L}_{\!\rm nach} = \int \! d^3r \; \vc r
     \times \rho \vc A \quad .
\ee
\vskip -.14cm \nz
$\hskip -.46cm \bullet\;$ 
Zeige, da\ss\ (1)$\; = \;$(2). Dazu verwenden wir die 
$\vc E$-$\vc A$-Eigenschaften $\nabla \vc E = \rho / \ps\,$, 
$\nabla \times \vc E = 0\,$, $\nabla \vc A = 0\,$, $\nabla 
\times \vc A =  \vc B$ sowie $\nabla \times \vc r = 0\,$:
%---% %---% %---% %---% %---% %---% %---% %---% %---%
\nz
\bean
   {\vc L}_{\!\rm vor} 
   &=& \dis \ps \int \! d^3r \; \vc r \times 
       \( \vc E \times \lk \nabla \times \vc A \rk +
       \vc A \times \lk \nabla \times \vc E \rk \) 
       \nonu \\[-.68cm]
   & \!\!\;\vrule width 0.23pt height 0pt depth 2.6cm & 
       \nonu \\[-2.3cm]
   & & \hskip 2.5cm \big( \qquad \big)\, =\;\;\apf \nabla ( \vc E 
        \apf {\vc A} ) - ( \vc E \nabla ) \vc A + \apf 
        \nabla (\apf {\vc E}\vc A ) - (\vc A \nabla )\vc E
        \nonu \\ 
   & & \hbox{\hskip 4.3cm  und partielle Integration 
              in allen vier Termen$\;$:}  \nonu \\[.16cm]
   &=& \hbox{$\dis 
       - \ps \int \! d^3r \, \( \vc A \times ( \nabla \vc E 
       ) \vc r +  \vc E \times ( \nabla \vc A ) \vc r \) $}
       \nonu \\[-.67cm]
   & \!\!\;\vrule width 0.23pt height 0pt depth 1cm & 
       \nonu \\[-.53cm]
   &=&  \hbox{$\dis - \int \! d^3r \, \( \vc A \times \rho \vc r 
        - \ps \vc A \times \vc E - \ps \vc E \times \vc A \) \; 
        = \;{\vc L}_{\!\rm nach} \qquad {\rm qed.} $}  
\eea
%---% %---% %---% %---% %---% %---% %---% %---% %---%
\vskip -.14cm \nz
Bis hierher haben wir (entgegen den Vorgaben, bemerkt{\bf ?})
einen frei im Raum schwebenden K\"orper behandelt (Ursprung
irgendwo). Die Achsenlager (nun Ursprung auf Achse $\vc e\,$)
kompensieren Drehmoment--Querkomponenten, haben aber keinen
Einflu\ss\ auf die Projektion $\vc e \cdot \vc L\,$. Damit
reduziert sich obige Erkenntnis tats\"achlich auf 
$\;\vc e \cdot \vc L_{\!\rm vor} = \vc e \cdot 
\vc L_{\!\rm nach}\;$. \ Hurra$\,$.
\vskip .2cm
\nz \hspace*{7cm} \vrule depth -3pt width 3cm height 3.1pt 
                 \hskip -1.55cm $\bullet$ \vskip -.2cm \nz 
{\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}