% ed6.tex Juli 1998 % % Das Felder - Anfangswertproblem % def.tex erforderlich %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% L A T E X %%% \documentstyle[12pt]{article} \parskip 1pt \footskip .7cm \renewcommand{\baselinestretch}{.98} \voffset -3.6cm \textheight=26.7cm \hoffset -1cm \textwidth=16cm \font\gr=cmbxsl10 scaled \magstep2 \font\mtt=cmsl9 \input def \def\ep{\e_0} \def\es{\vcts e} \def\bs{\vcts b} \def\ik{\({1\02\pi}\)^3 \int \! d^3k \,\;} \begin{document} \vspace*{-.3cm} \rightline{Juli 1998} \ct{\gr Das Felder--Anfangswertproblem \ \ } \medskip \nz Elektrodynamik. Vakuum. Zur Zeit $t=0$ seien die Felder $\vc E(\vc r , 0)$ und $\vc B(\vc r , 0)$ bekannt. Die Maxwell--Gleichungen sind Dgln erster Ordnung, insbesondere in der Zeitableitung \ --- \ wie in der Quantenmechnik. Also liegt die Zukunft der beiden Felder fest. Wie sieht sie aus$\,$? Diese Frage scheint sich bei realen Problemen nicht zu stellen. Wohl darum kommt sie in Lehrb\"uchern zur Elektrodynamik nicht vor (oder etwa doch irgendwo$\,$?). Daf\"ur, das Anfangswertproblem zu l\"osen, gibt aber drei gute Gr\"unde$\,$: \smallskip \nz 1. \vskip -.5cm \nz \leftskip .6cm Die Frage ist {\sl philosophisch} interessant. {\rm K\"onnte} man die Platten eines Kondensators wegrei\ss en, hinge also ein $\vc E$--Feld im Raum, was passiert dann$\,$? Vielleicht ist die Absurdit\"at hinter \hbox{\anfu k\"onnte\anfo} zu gro\ss . Aber man kann den Strom einer Spule anhalten. Das bekannte \anfu Blumen\-\hbox{strau\ss \anfo$\!\!$}--Magnetfeld h\"angt dann im Raum. Wie fliegt es davon$\,$? \smallskip \nz \leftskip 0pt \nz \nz 2. \vskip -.5cm \nz \leftskip .6cm Die Einheit der Physik ist \ --- \ wo immer m\"oglich \ --- \ auch in den Strukturen an\-zu\-stre\-ben. Inwiefern Elektrodynamik Quantenmechanik ist, wird alsbald deutlich werden. \smallskip \nz \leftskip 0pt \nz \nz 3. \vskip -.5cm \nz \leftskip .6cm Der Weg ist das Ziel. Ein paar Details der Herleitung sind so sch\"on, da\ss\ man nicht an ihnen vor\"uber gehen kann. \vspace*{.1cm} \nz \leftskip 0pt \nz Kombiniert man die Felder $\vc E$, $\vc B$ zu einem einzigen komplexwertigen Feld $\vc \psi$, dann gehen die vier Mawell--Gleichungen in die folgenden zwei \"uber \be{1} \vc E + i c \vc B \glr \vc \psi \qquad \Rightarrow \quad i\pvc \psi = c \nabla \times \vc \psi - {i \0 \ep} \vc j \quad , \quad \nabla \cdot \vc \psi = {1\0\ep} \rho \ee % 1 Im Vakuum ($\vc j = 0$, $\rho=0$) gilt ersichtlich die Schr\"odinger--Gleichung mit $\hbar=1$ und Hamilton--Operator $H=c\nabla \times$. Deren formale L\"osung ist bekanntlich \be{2} \pvc \psi (\vc r , t) = e^{-ict\nabla \times} \vc \psi (\vc r , 0) \quad , \quad \psi (\vc r, 0) = \ik e^{i \vcsm k\vcsm r} \vctl \psi (\vc k , 0 ) \quad , \ee % 2 und worauf $\vc \psi (\vc r , 0)$ wartet, n\"amlich auf Entwicklung nach Nabla--Eigenfunktionen, das ist rechts bereits angef\"ugt. Die zweite neue Maxwell--Gleichung, $\nabla\vc \psi =0\,$, ist lediglich Welt--Anfangsbedingung$\,$: galt sie n\"amlich einmal weltweit, dann tut sie es aufgrund von \eq{2} links noch heute (wende $\nabla$ auf beide Seiten an). Der Operator exp($-ict\nabla\times$) darf an der Summe $\int\! d^3k$ vorbei, bleibt bei $e^{i\vcsm k \vcsm r}$ erstaunt stehen und holt sich die $e$--Funktion am Kreuz vorbei an Nabla heran \ --- \ in welcher Potenz $\nabla \times$ auch immer vorkommt. Kurz und wie erwartet, die Ersetzung $\nabla \to i\vc k$ ist erlaubt. Wir sind jetzt angekommen bei \be{3} \vc \psi (\vc r , t) = \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} e^{ct \vcsm k \times} \vctl \psi (\vc k , 0) \quad . \ee % 3 Es folgt eine lanschaftlich sch\"one Strecke. Stets, wenn ein Term mit Operator $ct\vc k \cdot \;\;$ am rechten Ende auf $\vctl \psi$ trifft, kann er wegen Welt--Anfangsbedingung $i \vc k \cdot \vctl \psi =0$ entfallen$\,$: \bea{4} ct\vc k \times \;\; \glr A \;\; &,& \;\; e^A = \ch(A) + \sh(A) \nonu \\ A^2 = ct\vc k \times \( ct\vc k \times \;\;\; \) &=& ct \vc k \( ct\vc k \cdot \;\;\; \) - (ctk)^2 \,\; = \,\; - (ctk)^2 \nonu \\ A^3 = - (ctk)^3 {A \0 ctk} \;\; , \;\; A^4 = (ctk)^4 &,& A^5 = (ctk)^5 {A\0ctk} \;\; , \;\; A^6 = - (ctk)^6 \;\; , \;\; \ldots \qquad \nonu \\ e^{ct\vcsm k \times } &=& \cos(ctk)\, + \,\sin (ctk)\; {\vc k \0 k} \times \qquad . \eea % 4 Mit \eq{4} ist die Operator--Explizierung erreicht, welche sich \eq{3} gew\"unscht hatte. \nz Die L\"osung \eq{3} des Problems, aber auch ihren {\sl input} $\,\vctl \psi (\vc k ,0)\,$, m\"ochten wir nun auf die reellen Felder $\vc E$, $\vc B$ zur\"uckschreiben. Die Fourier--Transformierten der Startfelder \be{5} \vc E(\vc r , 0) = \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \es \quad , \quad \vc B(\vc r , 0) = \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \bs \quad , \ee % 5 haben wir soeben kurzerhand mit $\es$ und $\bs$ bezeichnet (um das l\"astige 0--Argument einzu\-spa\-ren). Es ist also $\vctl \psi (\vc k , 0) = \es + ic\bs\,$. Da die Startfelder reell sind, gilt $\es \! (-\vc k )^* = \es$ und $\bs \! (-\vc k )^* = \bs\,$. Dies hilft sogleich, wenn wir uns $\vc \psi $ und $\vc \psi^*$ untereinander schreiben. Zu $C\gll\cos(ctk)$ und $S\gll\sin (ctk)$ merken wir uns, da\ss\ sie nur von $k=|\vc k |$ abh\"angen$\,$: \bea{6} \vc \psi (\vc r ,t) &=& \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \lk C + S \, {\vc k\0 k} \times \rk \( \es + ic \bs \) \nonu \\ &=& \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \lk C \es + S \, {\vc k \0k} \times ic\bs + C ic \bs + S \, {\vc k \0k} \times \es \rk \nonu \\ \vc \psi (\vc r ,t)^* &=& \ik e^{-i\vcsm k \vcsm r} \lk C + S\, {\vc k\0 k} \times \rk \( \es {\!}^* - ic \bs {\!}^* \) \nonu \\ &=& \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \lk C \es + S \, {\vc k \0k} \times ic\bs - C ic \bs - S \, {\vc k \0k} \times \es \rk \quad . \eea % 6 Im Schritt zur letzten Zeile wurde unter Integral die Richtung des Vektors $\vc k$ umgekehrt. Mit \eq{6} haben wir \bea{7} \vc E (\vc r ,t) &=& {\vc \psi + \vc \psi^* \0 2} = \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \lk C \es \, +\, S {\vc k\0 k} \times ic \bs \rk \nonu \\ \vc B (\vc r ,t) &=& {\vc \psi - \vc \psi^* \0 2ic} = \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} \lk C \bs \, +\, S {\vc k\0 ick} \times \es \rk \quad . \eea % 7 Sicherlich verbirgt sich noch mehr Harmonie hinter den Ausdr\"ucken \eq{7}. Man denke etwa an die m\"oglichen Umformungen \be{8} S = {-1\0 ck} \;\6_t\, C \quad , \quad C = {1\0 ck} \;\6_t\, S \quad , \quad \bs = {\vc k\0k} \times\( \bs \times {\vc k\0k} \) \quad , \quad i\vc k \to \nabla \quad . \ee % 8 Kurz, \eq{7} l\"a\ss t sich durch ein Vektorpotential $\vc A$ darstellen (Weyl--Eichung)$\,$: \be{9} \vc E = - \pvc A \; , \; \vc B = \nabla \times \vc A \quad , \quad \vc A = \ik e^{i\vcsm k \vcsm r} {1\0ck} \lk - S \es + \, C {ic\vc k \0 k } \times \bs \rk \;\;\; . \ee % 9 Nun ist nur noch der Ausdruck f\"ur $\vc A$ unharmonisch. Bei Nachpr\"ufen der folgenden sch\"oneren Version sind wieder die Relationen $\es \! (-\vc k )^* = \es$ und $\bs \! (-\vc k )^* = \bs\,$ sowie $\vc k$--Umkehr im Spiel. $\vc A$ als Entwicklung nach laufenden Wellen zu schreiben, war das Ziel$\,$: \vspace*{.3cm}\nz \be{10} \fbox{$\dis \phantom{aa} \lower 6pt\vbox{\hbox{$\vc E = - \pvc A$} \vskip .06cm \hbox{$\vc B = \nabla \times \vc A$}} \quad , \quad \vc A \; = \; \Re e \,\ik {\; k \es - \, c \vc k \times \bs \; \0 ick^2 } \;\; e^{ i\vcsm k \vcsm r - ictk } \phantom{aa} $\rule[-.6cm]{0pt}{1cm}} \quad . \ee % 10 % \vspace*{.5cm} {\bf Erstes Beispiel} $\hskip 8cm$ \\[7pt] Zu einer ebenen elektromagnetischen Welle ist zur Zeit $t=0$ nur die Momentaufnahme bekannt$\,$: $\vc E(\vc r ,0) = E_0 \vc e_{\! 3} \cos(qx)$, $\vc B(\vc r ,0) = -{1\0c} E_0 \vc e_{\! 2} \cos(qx)\,$. OBdA $0