%  ft10.tex   QM II , SS 1999
%             Klausur und Loesungen (2 Blatt)

\documentclass[12pt]{article}  \pagestyle{empty}
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\hoffset -.8cm   \textwidth=17.2cm
\voffset -4.2cm  \textheight=29cm  
\input def  % \input defadd
\parindent 0pt \parskip .2cm

\begin{document}

\input def 

\def\pu#1{\par \vskip -.4cm \rightskip=0pt 
  \hspace*{16.5cm}\unitlength1cm \begin{picture}(.5,.6)
  \put(.4,.7){\circle{.6}} \put(.28,.54){{\large #1}} 
  \end{picture} \par \vskip -.224cm \rightskip .8cm}
\def\rock{\vskip -.9cm \nz\hangindent=.8cm \hangafter=-2}  
\def\ruck{\vskip -.7cm \nz\hangindent=.8cm \hangafter=-2}  
\def\1{1\hspace*{-.18cm}\lower 1.8pt\hbox{$-$}}

{\bf Quantentheorie II} \hfill 
      Universit\"at Hannover  \\[-.02cm]
\hspace*{.8cm}  SS \ 1999 \hfill {\Large\bf KLAUSUR } 
 \hfill 17. Juli 1999 \hspace*{.4cm}

\medskip \hrule \nz
\ct{\ft 2 volle Stunden~. \ Bei \boldmath$\;\; \ge 9 \;$
  Punkten wird der Klausurerfolg garantiert. \ \ 
  Bitte Name auf \ j e d e s \  Blatt ! }

\vspace*{.5cm} \rightskip=.8cm

1) \ruck
  Gro\ss --$x$--Asymptotik zu 
  $\big(-\6_x^2 + e^{2|x|}\,\big)\,\ph = E\,\ph\,$. Zu 
  $\ph (x) = e^{-f(x)}$ bekommt $\ph^{\prime\prime}$ zwei Terme.
  Welcher gibt den bei $x\to+\infty$ f\"uhrenden Term von $f$, 
  n\"amlich $f_{\rm as}=\;?$ \\ Um welchen Faktor war also der in 
  $\ph^{\prime\prime}$ vernachl\"assigte Term kleiner~?  
\pu 2

2) \ruck 
   In Bornscher N\"aherung soll zum Zentralpotential $\dis 
   V \sim r^{-{\bf 2}}\,$ der differentielle Streuquerschnitt 
   $\s (\ta )$ ermittelt werden \ --- \ und zwar ohne 
   irgendwelche Vorfaktoren. Nur die Potenz von $\sin (\ta/2)$ 
   interessiert $\,(\!($ wer viel wei\ss , braucht hier fast 
   nur nachzudenken$\,)\!)\,$.
\pu 3

3) \ruck
   Der Operator $\dis \, L\;\gll\;\6_x + 2x\,$ ist nicht
   translationsinvariant. Die Greensche Funktion 
   $\,G(x,x^\prime)\,$ soll gefunden werden, welche f\"ur 
   $x<x^\prime$ verschwindet. Probe~! ~K\"onnen \\ 
   Sie auch die  allgemeine L\"osung der $G$--Dgl 
   aufschreiben, sowie jene mit $\,G(0,x^\prime) \equiv 0$~? 
\pu 3

4) \ruck
  WKB~: ~f\"ur halbseitig unendliche Potentiale soll
  die L\"osbarkeitsbedingung \hspace*{.9cm}   
     \unitlength 1cm \begin{picture}(1,.3)
     \put(-.2,-.4){\vector(1,0){1.3}}
     \put(0,-.45){\vector(0,1){.77}}
     \multiput(0,-.4)(0,.08){7}{\line(-3,1){.36}}
     \multiput(.8,-.45)(0,.2){4}{\line(0,1){.14}}
     \put(-.06,-.65){$_0$} \put(.74,-.65){$_b$}
     \linethickness{.7pt} 
     \qbezier(-.02,-.38)(.3,-.43)(1,.2)  \end{picture}  \\
  zu Papier, und zwar in der Form \ \  $\int_?^?\! dx\; ? \; 
       = \,\hbar\, \pi \, \Big( \; ? \; + n \, \Big)$  mit     
  $n=0,1,2,\,\ldots\,$  \\
  Das Resultat des Anschlie\ss ens bei $b$ kann der 
  Vorlesung entnommen werden. \\[.1cm]
  Welche Energien $E_n$ ergeben
  sich zum Halb--Oszillator~? \ $\int_0^b\!dx \,
  \wu {2m(E-{1\02} m \o^2 x^2)}$ \\
  $ = \pi E /(2\o)$ darf verwendet werden. Jedoch~: welchen 
  Wert hatte hier $b\;?\,$ 
\pu 4

5) \rock 
  $\dis H={1\02m} \( \vc p + q \vc E t \)^2$   \ , \ \ 
  $\dis \psi(\vc r, 0)= e^{i\vcsm k \vcsm r}$   \ , \ \ 
  $\dis \psi (\vc r , t ) = \; ?$ \ \ Der erste Schritt 
  k\"onnte  \\
  eine Eichtransformation  $\psi =\, e^{-i\;??}\;\ph$ sein.
  Am Ende soll $\psi (\vc r , t )$ explizit dastehen.
\pu 4

6) \ruck
  Jemand will das Anderson mixing model 
  (unten angegeben im Schr\"odinger--Bild) \\
  zu kleinen $w_k$  st\"orungstheoretisch  behandeln~: 
  \ \ \  $\dis H = H_0 + H_1$ \ \ \ mit \\[.2cm] 
  \hspace*{1.2cm}
  $\;\dis H_0=\sum_k \e_k\, a_k^\dagger a_k + E\, c^\dagger c\;$
  \ \ und \ \  $\;\dis H_1   = \sum_k w_k\, 
     \big( a_k^\dagger c + c^\dagger a_k \big)$ \qquad
      $\big(\; \{\, c,c^\dagger \,\} =1$ \ etc. $\big)$    \\
  (a) \ Dazu braucht er $\;H_1(t)=\;?\;$ im 
      Wechselwirkungsbild. \qquad $\big(\; \hbar = 1 \;\big)$ \\[.1cm]
  (b) \ F\"ur andere Fragen werden auch noch die 
      Kommutatoren
      $\lk H , a_q \rk=\;?\;$ \ und \\ \hspace*{.6cm} 
      $\lk H , c \rk =\;?\;$ \ ben\"otigt.  
   \ \ {\ft $(\!(\,$Zur Kontrolle ein Resultat: 
   $\lk H , c \rk = - E c - \sum_k w_k a_k\;)\!)$} \qquad 
               \ \  \hbox{${5\02}\, +\, {5\02} = $} 
\pu 5

7) \ruck
  Photonen seien durch eine asymmetrische periodische
  Randbedingung (extrem eng in $z$--Richtung) auf die
  2D $xy$--Ebene gezwungen. Bei \\[-.2cm]
  Temperatur $T$ gibt es nun in einem Fl\"achenausschnitt
  $L^2$ \hspace*{.5cm} 
  $\dis  N = {\pi \0 6} \( {L\, T \0 \hbar\, c }\)^2 $ 
  Photonen. \\[-.1cm]  Wie kommt das heraus~? \ \ $(\!(\, 
  \int_0^\infty\! dx\; x/(e^x-1)=\pi^2/6\,)\!)$ \\
  K\"onnen Sie auch zeigen, da\ss\ sich der 3D Ausdruck 
  f\"ur die Photon--\\ Anzahl im Limes $L_3\to 0$ in der 
  gew\"unschten Weise ver\"andert~?
\pu 3

8) \ruck
  Die bekannte Matrix $S$, welche Dirac--Spinoren 
  Lorentz--transformiert, soll speziell f\"ur Drehung
  um die $x$--Achse und in Dirac--Darstellung 
  \ $\Big(\,\ldots\, , \;\g^5=\hbox{\scriptsize$
  \(\matrix{0 & \1 \cr \1 & 0 \cr} \)$} \;\Big)$
  explizit gemacht werden~: erst als e--hoch--Matrix 
  und schlie\ss lich  \\[-.28cm]
  wirklich als $4\times 4$--Matrix. Was widerf\"ahrt also 
  dem Spinor  {\scriptsize $\(\matrix{ 1 \cr 0 \cr 0 \cr 
  0 \cr}\)$} bei Drehung um $\vc e_1\;?$ \\[-.3cm] 
  Und was insbesondere wenn der Drehwinkel $\ph=2\pi$ ist~?
\pu 3

9) \ruck
    Wenn jemand die Bewegungsgleichung  $\dis \;\( 
    \6_\mu\6^\mu + m^2 \)\, \phi + \a\,\phi^3=0\;$
    eines Bose--Feldes $\phi$ kennt (und sonst nichts wei\ss ), 
    wie erh\"alt er im Variations--R\"uckw\"artsgang \\
die Wirkung $S$ seiner Physik~?
\pu 2

\hspace*{-.2cm}10) \ruck
    Zur $\phi^6$--Theorie, $\,\cl L ={1\02}(\6_\mu\phi)
    \6^\mu\phi - {\l\06!}\phi^6\,$, will ein
    Selbstenergie--Diagramm zu sehen sein.   
\pu 1

\vskip .1cm \rightskip 0pt \nz \hrule 
\nz \hspace*{16.08cm}$\sum\,$ \lower 1pt\hbox{\large 30}

\newpage

 \def\no#1{\hspace*{-.85cm}{\bf #1$\,$)} \ }
 \def\kom{\;\; , \;\;\;}     
 \def\${$ \dis}
 \def\scr{\scriptsize}
 \def\dobl{\unitlength 1cm\begin{picture}(.16,.1)
   \qbezier[7](.1,-.06)(-.04,.14)(.1,.34)\end{picture}}
 \def\dobr{\unitlength 1cm\begin{picture}(.19,.1)
   \qbezier[7](.04,-.06)(.18,.14)(.04,.34)\end{picture}}
% \def\folg{\curvearrowright}

{\bf Quantentheorie II} \hfill 
      Universit\"at Hannover  \\[-.04cm]
\hspace*{.8cm}  SS \ 1999 \hspace*{1cm} \hfill 
{\Large\bf L\"OSUNGEN } \hfill zur Klausur am 17. Juli 1999 

\medskip \hrule \smallskip\medskip \nz
\leftskip .8cm
{\small
\no 1
  \$ \ph^{\prime\prime} = \big( f^{\prime\;2} 
  - f^{\prime\prime} \big)\, e^{-f} $ , der erste (z.B. nach
    Blick auf P2-L\"o.)$\kom \hbox{Dgl\,: } \ph^{\prime\prime} 
    \approx e^{2x}\ph $ \\[.1cm]
    $f^{\prime\;2}=e^{2x} \kom f^\prime = e^x \kom f = 
    \dobl C \dobr e^x \kom  \dobl C \dobr f^{\prime\;2}  
    e^{-x} = f^{\prime\prime} $ \ . 
    
\no 2
   \$ \s \sim \big|\, \schl V (\vc k - \vc k^\prime ) \,\big|^2 \kom
    {\rm FT}\lb {1\0r} \rb \sim {1\0k^2}   \quad \folg\quad 
    {\rm FT}\lb {1\0r^2} \rb \sim {1\0k} \quad \folg\\[-.1cm]  
    \hbox{Verglichen mit Rutherford nur halb so viele Potenzen :}
    \qquad \s \sim {1 \0 \sin^{2}({\ta\02})} $ \ . 

\no 3
    \$ (\6_x + 2x)G(x,x^\prime)=\d(x-x^\prime) \kom G_{\rm hom}
       = C(x^\prime ) e^{-x^2} \kom G = \theta(x-x^\prime)
       C(x^\prime) e^{-x^2} \\ 
       C(x^\prime)=e^{x^{\prime\;2}} \hbox{ damit Sprung 1.} \kom
       \hbox{ Probe .... } \kom G_{\rm allg} = f(x^\prime) e^{-x^2} + 
       \theta(x-x^\prime ) \, e^{x^{\prime\;2} - x^2} \\
       0 \;\ueb{!}{=}\; f(x^\prime)+ \theta(-x^\prime)\,e^{x^{\prime\,2}}
       \kom G = e^{x^{\prime\;2} - x^2} \Big( 
       \theta (x-x^\prime) - \theta (-x^\prime) \Big) $ \ .

\no 4
   \$ \ph_{\rm innen} \sim \cos \( \; {\pi\04} - {1\0\hbar} 
       \int_x^b \! dx^\prime \; p(x^\prime ) \; \) \; 
       \ueb{!}{=}\; 0 \hbox{ \ \ bei $x=0$ , \ also cos--Inhalt 
       = ungerade}\cdot{\pi\02} \\
       {1\0\hbar} \int_0^b \! \ldots \; = \; {\pi\04} + {\pi\02}
        \cdot (2n+1)  \quad \lower 5pt\vbox{\hbox{\ft 
        damit genau} \vskip -.1cm \hbox{\ft ab $n=0$ positiv.}}
        \quad \hbox{Mit } \;p(x) = \wu {2m \big( E-V(x)\big)}\, 
        \hbox{ ist also} \\   \int_0^b\! dx\; p(x) 
        = \hbar\pi \( {3\04} + n\) \kom  ... \ueb{!}{=} 
        {\pi E\02\o} \;\;\folg\;\;  E_n=\hbar \o \( {1\02} 
        + \lk 2n+1\rk \) \kom b = \wu {2E\0m\o^2} $ \ . 

\no 5
   \$ i\hbar \p \psi = H\psi \; , \; \psi = e^{-i{q\0\hbar} \chi} \ph
      \;\;\folg\;\; i\hbar \p \ph = {1\02m} \( \vc p
    - q\nabla \chi + q \vc E t \)^2 \ph 
    - q \p \chi \ph \;\; . \quad
   \hbox{ Nun nahe--} \\ \hbox{liegende Wahl~: } \; \chi=\vc E 
    \vc r t \quad\folg\quad  i\hbar \p \ph = \Big[ {\vc p^2 \02m} 
    - q\vc E \vc r \Big] \ph \qquad \hbox{ L\"osung s.~Vorlesung,} \\ 
   \hbox{woraufhin in $\psi$ zwei e's kompensieren : } \;   \psi = 
    e^{-i{q\0\hbar}\,\vcsm E \vcsm r t} \, (2.1) \; = \;  
    e^{i\vcsm k \vcsm r} \, e^{- {i\0\hbar} \int_0^t\! dt^\prime\;
    {\hbar^2 \vcsm k ^2 (t^\prime )\0 2m}} $ \ . 
              
\no 6  {\bf (a)} \
    \$ H_1(t) = e^{iH_0 t} H_1 e^{-iH_0t} =
     \hbox{\large $\sum_q$} w_q \Big( a_q^\dagger(t) c(t) 
     + c^\dagger(t) a_q(t) \Big) \;\; . \qquad
     \hbox{Linkes e hat $q$--Term} \\ \hbox{mehr~: }
     a_q^\dagger(t) = e^{i t \sum \e_k a_k^\dagger a_k}\,
     a_q^\dagger\, e^{-it\sum \ldots} = e^{it\e_q}\, a_q^\dagger
     \; , \;\; a_q(t) = \lk a_q^\dagger(t) \rki^\dagger 
     = e^{-it\e_q}\, a_q \;\; .  \quad \hbox{Raten~: } \\ 
     c^\dagger(t) = e^{itE}\, c^\dagger \; , \;\; 
     c(t) = e^{-itE}\, c  \quad \folg \quad
     H_1(t) = \sum_k w_k \Big(\; e^{i\,(\e_k-E)\,t}\, 
     a_k^\dagger c \;\; + \;\; {\rm h.c.} \;\Big) $ \ .
     \\[.2cm]
   {\bf (b)} \
   \$ a_q a_k^\dagger + a_k^\dagger a_q = \d_{qk} \kom
      \big[\, H\, ,\, a_q \,\big] = \sum_k \e_k \,
      \big[\, a_k^\dagger a_k\, ,\, a_q \,\big]_1
      + \sum_k w_k \big[\, a_k^\dagger c\, ,\, a_q \,\big]_2 \\
     \big[\;\;\big]_1 = a_k^\dagger a_k a_q 
        - (\d_{qk}-a_k^\dagger a_q)a_k  = - \d_{qk} a_q \kom   
     \big[\;\;\big]_2 = a_k^\dagger c a_q - (\d_{qk}
        -a_k^\dagger a_q)c = - \d_{qk} c \quad \folg \\[.2cm]
     \big[\, H\, ,\, a_q \,\big] = - \e a_q - w_q c 
     \qquad . \qquad    
     \big[\, H\, ,\, c \,\big] = E\,
      \big[\, c^\dagger c\, ,\, c\,\big]_3
      + \sum_k w_k \,\big[\, c^\dagger a_k\, ,\, c \,\big]_4 \\
      \big[\;\;\big]_3 = 0 - (1-c^\dagger c)c = -c \kom
      \big[\;\;\big]_4 = c^\dagger a_k c - (1-c^\dagger c) a_k 
      = - a_k \quad , \quad \hbox{\ --- \ \ OK} $ \ .  

\no 7
   \$ N = 2 \sum_{\vcsm k}^{{\rm 2\,D}} 
   {1\0 e^{\b \hbar c k} - 1} = 2 {L^2 \0 (2\pi)^2 } \, 
    2\pi \int_0^\infty \! dk\; k \,{1\0 e^{\b \hbar c k} - 1} 
    \kom \hbox{\ft Integral} = \( {1\0\b\hbar c}\)^2 
    \cdot {\pi^2 \0 6} \kom \hbox{qed.}  \\
    N^{{\rm 3\,D}} = 2 \sum_{\vcsm k}^{{\rm 2\,D}} \sum_{k_3}
    {1\0 e^{\b \hbar c \wu {\vcsm k^2 + k_3^2} } - 1} \kom 
    k_3 = {2\pi \0 L_3} n_3 \to \infty \;\;\;
    \lower 4pt\vbox{\hbox{\ft au\ss er} \vskip -.1cm
    \hbox{zu $n_3=0$}} \;\; , \;\; \sum_{k_3} 
    \to \hbox{\ft nur dieser Term}$ \ .

\no 8
   \$ S = {\rm exp} \Big[\, {i\02} \ph
    \( \matrix{0 & 1 \cr 1 & 0 \cr} \)
    \( \matrix{1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} \)
    \( \matrix{0 & \s_1 \cr -\s_1 & 0 \cr} \) \,\Big] = \, \ldots\, =
    {\rm exp} \Big[\, {i\02} \ph 
    \( \matrix{\s_1 & 0 \cr 0 & \s_1 \cr} \) \Big] \\
    c \gll \cos \Big( {\ph\02} \Big) \; , \; 
    s \gll \sin \Big( {\ph\02} \Big) \; , \; 
    S= c + i\, s \( \matrix{\s_1 & 0 \cr 0 & \s_1 \cr} \) 
    = \( \matrix{ A & 0 \cr 0 & A \cr} \) \hbox{ \ mit \ }  
    A = \( \matrix{ c & is  \cr is & c  \cr} \) \;\; . \\ 
    \hbox{\ft Die oberen beiden Komponenten des Spinors werden 
     $\( \matrix{c \cr is \cr} \)$  und zu $2\pi$  
     wie erwartet $\( \matrix{-1 \cr \; 0 \cr} \) $} $ \ .
   
\no 9 
  \$ 0 = \int\!\! d^4x\, \Big( \eta \6_\mu\6^\mu \phi
     + m^2 \eta \phi + \a \eta\phi^3 \Big) =
    \int\!\! d^4x\, \Big( - (\6_\mu \eta)\6^\mu \phi
     + \lk {m^2\02} (\phi +\eta)^2 + \a {1\04} 
       (\phi+\eta)^4 \rki_{\eta^{\bf 1}} \Big) \\
    S = \int\! d^4x \; \Big( - {1\02} (\6_\mu \phi) \6^\mu \phi
        + {m^2\02} \phi^2 + {\a\04} \phi^4 \,\Big)$
    \qquad {\scr ( oder auch alle drei Vorzeichen 
    entgegengesetzt )} \ .
   
\no {10}
   \unitlength 1cm \begin{picture}(3,.5) \thicklines 
   \put(.3,0){\line(1,0){1.4}}
   \put(1,0){\circle{1}}
   \qbezier(.5,0)(1,.5)(1.5,0)
   \qbezier(.5,0)(1,-.5)(1.5,0)
   \end{picture}
    \hbox{\scr ( Es sind zwar nur Beinst\"umpfe, aber najaa~:
    den Korrektoren sei jede  L\"ange recht. ) } \ .
}

\medskip\bigskip  \hrule    \end{document}

















\end{document}