%  ft2.tex         Quantenmechanik II ,  Sommer 1996
%                  = Einfuehrung in die Feldtheorie
%
%  Lagrangians

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\hoffset .5cm     \hsize 14.2cm
\voffset -1.9cm   \vsize 23.4cm 
  \font\nor=cmr8   
  \font\norr=cmr8 scaled \magstep1   
  \font\gr=cmsl9 scaled \magstep2 
  \font\uv=cmbxti10 scaled \magstep4
  \font\sm=cmr6
  \font\sans=cmss10 \def\aaa{\hbox{\sans A}}

\input def
\def\QS{Q\!\!\!\!\!\>/}   \def\DS{D\!\!\!\!\!\>/}
\def\ds{\6\!\!\!\!\!\;/}  
\def\mz{\vskip .26cm \nz} \def\sz{\smallskip \nz}
\def\eq#1{\eqno{(\, {\cl L} \, . \, #1 \, )}}
\def\en#1{$\, (\, \cl L \, . \,$#1$\, )\;$}
\def\bu{\hskip -.45cm $\bullet \;\;\;$}

\rightline{\nor Uni Hannover, Q.II~'96, ... , M--F '02} 
\medskip
\ct{\gr Lagrangians \qquad \quad}
\bigskip  
\mz 
\bu
Harmonischer Oszillator :  \vskip -.4cm \nz
$$ \quad \cl L = {1\02} \p \phi ^2 - {1\02} m^2 \phi^2
\eq 1 $$
jedoch einer \anfu in Feldrichtung\anfo mit Masse 1 und
$m^2 \gll \o^2$. Er ist somit eine freie Feldtheorie in
0 + 1 Dimensionen, ergo $L = \cl L$. 
\mz 
\bu
$\phi^4$--Theorie : \vskip -.4cm \nz
$$ \qquad \cl L = {1\02} \( \6_\mu \phi \) \6^\mu \phi 
   - {1\02} m^2 \phi^2 - {\l \0 4! } \phi^4
\eq 2 $$
ist {\bf die} Spielzeug--Feldtheorie. Sie behandelt neutrale
Teilchen ($\phi$ ist skalares reelles Feld) mit Masse $m$ 
und Selbstwechselwirkung in 4 = 3 + 1 Dimensionen.
\mz 
\bu
Skalare Elektrodynamik \vskip -.4cm \nz
$$ \quad \cl L = \( D_\mu \phi \)^\ast D^\mu \phi - {1\04} F\mn F\omn 
\eq 3 $$
behandelt geladene (hier$\,$: masselose) Teilchen und deren 
Eichbosonen, d.h. Photonen, $D_\mu = \6_\mu - i e A_\mu$,
$ F\mn = \6_\mu A_\nu  - \6_\nu A_\mu\,$. Ihre 
Elektrodynamik--Kursvorlesung (SI-System) ist vielleicht damals
vorgedrungen bis $\, L = \sum_j \( - m_j c^2 
\wu { 1 - \vc u_j^2 / c^2 } \;\) + \int \! d^3r \( - {1\0 c} 
j^\mu A_\mu - {\e_0 \0 4} F\mn F\omn \) \,$. Und nun sehen wir,
welche Harmonie das Nachziehen der Teilchen--Q. herstellt$\,$:
\mz 
\bu
QED :  \vskip -.4cm \nz
$$ \qquad \qquad \; \cl L = \ov \psi \( i\g^\mu \6_\mu - m \) \psi 
   - j^\mu  A_\mu - {1\04} F\mn F\omn  \; = \; \ov \psi 
   \( i\DS - m \) \psi - {1\04} F\mn F\omn \;\; ,
\eq 4 $$
denn $j^\mu = -e \ov \psi \g^\mu \psi$ und 
$\DS= \g^\mu \(\6_\mu - i e A_\mu \)\,$.
\mz
\bu
QCD : \vskip -.4cm \nz
$$ \cl L = \ov \psi \( i \DS - m \) \psi
       - {1\04} F\mn^a F^{\mu \nu \; a} 
\eq 5 $$
mit $D_\mu = \6_\mu - i g \aaa_\mu$, $\aaa_\mu = A_\mu^{\; a} T^a$ 
und $ F\mn = {i\0g} [ D_\mu , D_\nu ] = \6_\mu \aaa_\nu  - \6_\nu 
\aaa_\mu -ig [\aaa_\mu , \aaa_\nu ] \glr F\mn^a T^a\,$ mit den 
Gereratoren $T^a$ der $SU(N)\,$, $a=1, \ldots , N^2-1\,$ 
(reality$\,$: $N=3$ colours, 8 gluons). 
\mz
\bu
Higgs--Modell : \vskip -.4cm \nz
$$ \quad \cl L = \( D_\mu \phi \)^\ast D^\mu \phi 
   + \mu^2 \phi^\ast \phi - \l \( \phi^\ast \phi \)^2 
   - {1\04} F\mn F\omn   
\eq 6 $$ 
(a) $\phi$ hat eine Komponente, dann ist \en 6 = \en 3
$\!\! - V(\phi^\ast \phi )\,$ mit $V(x)=-\mu^2 x + \l x^2\,$ \nz
(b) $\phi =($\vbox{\hbox{$_{\phi_1}$}\vskip -2mm
                   \hbox{$_{\phi_2}$}}$\!)$, dann umeichbar
mit $ U= e^{-ig\L^a T^a} e^{-ig'\chi(x){1\02}}\,$
$\,\big[\,$hier $\,a=1,2,3\,$: $SU(2)\times U(1)\,\big]\,$ 
und darum zwei Hilfsfelder erfordernd~: 
$\,D_\mu = \6_\mu - igW_\mu - ig' B_\mu {1\02}\;$.
\mz
\bu
Weinberg--Salam--Modell :  \sz
$$ \psi \gll \( \matrix{ \nu_L \cr e_L \cr e_R \cr} \) 
   \;\; , \;\; \cl L = \ov \psi i \DS_{_F} \psi
   + \hbox{\norr \en 6} + \lb - c_e \lk \( \matrix{ 
   \overline{\nu_L} \cr \overline{e_L} } \)
   \cdot \( \matrix{ \phi_1 \cr \phi_2 } \) \rk e_R \;\;
    + \;\; {\rm h.\, c.} \rb \qquad
\eq 7 $$ \nz
$\lb \;\rb$ hei\ss t Yukawa--Kopplung. Version (b) zu \en 6
ist gemeint (mit zwei $F^2$-Termen f\"ur $W$ bzw.~$B$). 
Die beiden $\DS$'s unterscheiden sich ein klein wenig. So sieht
sie aus, die {\sl Unification} elektromagnetischer und schwacher 
Kr\"afte (im einfachsten Falle$\,$: no quarks, nur $\nu_e$, $e$). 
Den Masse--gebenden Symmetriebruch (nur Photon bleibt sauber) 
schafft \en 7 von ganz alleine.
\mz
\bu
Standard--Modell : \smallskip \nz
Im wesentlichen steht es mit \en 7 schon da. In der 
$\psi$--Spalte sind die Lepton--Tripel dreifach zu nehmen, 
und (drei) quark-Quadrupel (aus $u_L$, $d^\prime_L$, $u_R$, 
$d^\prime_R$) kommen hinzu. In $\cl L$ gibt es weitere (durch 
Symmetrie eingeschr\"ankte) Yukawa-Kopplungen vom Typ 
$\ov u_R$--Higgs--$(u , d)_L$. Vor Symmetriebruch$\,$: $SU(3) 
\times SU(2) \times U(1)\,$. Nach selbigem entnimmt man die 
\hbox{\anfu herausgekommenen\anfo} 18 Parameter dem Experiment 
(11 Massen, 3 Kopplungen, 4 Cabibbo angles \ --- \ wegen 
nicht--verschwindender Massen der Neutrinos inzwischen leider 
ein paar mehr) \ --- \ und sodann stimmt das STM in allen 
weitergehenden Vorhersagen mit 
den experimentellen Daten \"uberein, und stimmt und stimmt 
und stimmt noch heute$\,$: ~30.~4.~2002.

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end





