%  ft3.tex         Quantenmechanik II ,  Sommer 1996
%                  = Einfuehrung in die Feldtheorie
%
%  U = U * U      ( halbe Seite )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
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\nopagenumbers
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\input def  
\def\T{{\cal T}}

\rightline{\nor Q. II , \ SS 1996} 
\ct{$U(t,t_1)\; =\; U(t,t_2)\, U(t_2,t_1)$ \hskip 4cm}
\bigskip  
Zum obigen ''Einziehen einer Zeitmarke'' $(\, t_1 < t_2
< t\, )$ ist die R\"uck\-w\"arts--Herleitung per
$\T e^{-i\int_{t_2}^t \ldots}\, \T e^{-i\int_{t_1}^{t_2}
\ldots} = \T e^{-i\int_{t_2}^t \ldots} e^{-i
\int_{t_1}^{t_2}\ldots} = \T e^{-i\int_{t_1}^t\ldots} $
ganz in Ordnung, aber wohl mental arg anstrengend. Es geht
auch im Detail und im Vorw\"artsgang. Wir reduzieren (in
einem ersten Anlauf) die beiden Integrale je auf einen
Term$\,$: $A(t)$ und $B(t_1)$, im folgenden kurz $A$, $B$
genannt. Beide enthalten Fermi--Operatoren nur geradzahlig.
$A$ hat die gr\"o\ss ere Zeitmarke.
$$ \T e^{A + B } \; = \,\T \sum_{n=0}^\infty {1\0 n!}\,
   (A+B)^n = \sum_{n=0}^\infty {1\0 n!} \,\T \, \( A^n
   + A^{n-1} B + A^{n-2} B A + \ldots + B^n \) \;\; .
$$
\vskip -.2cm \nz
Nun entzerrt $\T$ die Produkt--Reihenfolgen zu
$$ \T e^{A + B } \; = \,\sum_{n=0}^\infty {1\0 n!} 
   \sum_{m=0}^n { n! \0 m! (n-m)! } \; A^m \, B^{n-m} 
   \quad . \hskip 5cm $$
\vskip -2.1cm \nz
$$ \hskip 11cm \matrix{ 
\uparrow & m       &         & \bullet &     \cr
         &         & \bullet & \bullet &     \cr
         & \bullet & \bullet & \bullet & n   \cr
 \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \to \cr }
$$
\vskip .01cm \nz
Das Punkte--Bild erkl\"art, wie man die Summen vertauschen
kann (Integrale \"ubrigens ebenso)$\,$:
$\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n
= \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=m}^\infty$. 
Anschlie\ss ende Verschiebung $n \to n+m$ liefert sodann
$$ \T e^{A + B } \; = \;\sum_{m=0}^\infty {1\0 m!} \; A^m
       \sum_{n=m}^\infty {1\0 (n-m)!} \; B^{n-m} 
       \; = \; e^A \, e^B 
\;\; . $$ 
\vskip -.2cm \nz
Sind nun $A$ und $B$ ihrerseits additiv so zusammengesetzt 
($A= -i \int_{t_2}^t \ldots \;$, $B= -i \int_{t_1}^{t_2}
\ldots $), da\ss\ alle Zeitmarken in $A$ gr\"o\ss er als
jene in $B$ sind, dann st\"ort dies obige Rechnung nur
wenig. Lediglich bleibt vor $A^m$ und $B^{n-m}$ je ein
Zeitordnungsoperator $\T$ stehen. Resultat$\,$: $\,\T e^{A
+ B } \, = \,\T e^A \;\T e^B \;$, qed.

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end