%  ft4.tex         Quantenmechanik II ,  Sommer 1996
%                  = Einfuehrung in die Feldtheorie
%
%  W I C K

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
% \magnification=\magstep1
\nopagenumbers
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\font\gr=cmsl9 scaled \magstep3
\input def

\def\under#1{$\lower 0.2pt\hbox{$\;
    \underline{\vphantom{\int}\hbox{#1}}\;$}$}
\def\eq#1{\eqno{(\, {\rm W} \, . \, #1 \, )}}
\def\e#1{$\, (\,$W$\, . \,$#1$\, )\;$}
  \font\ddick=cmbx9
\def\dopp{\!\;\raise 0.5pt\hbox{\ddick :}\!\;}
\def\contra#1#2{\,{\buildrel \,\hbox{$
	\vrule height 3pt width 1pt depth 0pt
	\vrule height 3pt width #1pt depth -2pt
	\vrule height 3pt width 1pt depth 0pt $}
	\over {#2} }\,}
\def\kon#1{\contra{8}{#1}}
\def\koni#1{\contra{15}{#1}}
\def\ukon#1{\lower 5pt\hbox{$\,{\buildrel \hbox{$#1$}
	\over {\hbox{$
	\vrule height 3pt width 1pt depth 0pt
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	\vrule height 3pt width 1pt depth 0pt $}\,} }\,$}}
\def\bind#1#2{\def\lin{#1cm} \def\zwi{#2cm}}  
\def\glo{ & = \hskip -7pt \raise .8pt\hbox{\vrule
              depth .4cm} \hskip 7pt}
\def\glu{ & = \hskip -7pt 
    \raise 0.13cm\hbox{\raise \lin\hbox{\vrule depth \lin} }
    \hskip 7pt}
\def\glm{ & = \hskip -7pt 
    \raise 0.13cm\hbox{\raise \lin\hbox{\vrule depth \lin} }
    \hskip -3.8pt \raise .6pt\hbox{\vrule depth .4cm}
    \hskip 7pt}
\def\ccr{ \cr \noalign{ \vskip -\zwi } }

\rightline{ Q. II , \ SS 1996}
\vskip -.2cm \nz
\ct{{\gr Wicks Theorem \hskip 4cm }}
\bigskip \nz
Im Wechselwirkungsbild bestehen Feldoperatoren $A,\, B,\,
\ldots \, Y,\, Z$ (manche Fermi, manche Bose) aus einem
Ver\-nich\-ter-- und einem Erzeuger--Anteil$\,$:
$A = A_v + A_e$. Wicks Theorem $[\,$G.C. Wick,
Phys.~Rev.~{\bf 80} (1950) 268$\, ]$ gibt dar\"uber
Auskunft, wie man Produkte $AB \ldots YZ$ additiv
zusammensetzen kann aus normalgeordneten Produkten
und c--Zahlen. Dies ist deshalb so erfreulich, weil man
h\"aufig Vakuum--Erwartungswerte solcher Produkte
auszuwerten hat und $\lw 0 \vert \dopp \,\ldots\, \dopp
\vert 0 \rw = 0$ ist, so da\ss\ nur die c--Zahl--Anteile
\"uberleben, s.~\e 4. $\left.\vert 0 \rw$ ist nat\"urlich
das durch $\left. A_v \vert 0 \rw =0$ etc. definierte
Vakuum. Beispiel$\,$:
$\lw 0 \vert \dopp A B \dopp \vert 0 \rw  = \lw 0 \vert
A_v B_v + A_e B_v \mp B_e A_v + A_e B_e \vert 0 \rw = 0\,$,
oberes Vorzeichen f\"ur Fermifelder. \
Wir stellen die drei Versionen des Theorems als Behauptungen
voran und kommentieren die Herleitung unter der zweiten
Horizontalen.
\medskip \nz
\under{Einfaches Produkt$\,$:}
\smallskip \nz
$$ A B \ldots Y Z \; = \;\dopp A B \ldots Y Z \dopp +
   \sum \dopp \kon {AB} C \ldots YZ \dopp + \sum \sum
    \dopp \kon {AB} \kon {CD} \ldots YZ \dopp + \ldots
\eq 1 $$ \nz
wobei $\kon {AB} = \lw 0 \vert A B \vert 0 \rw$ ist (und
als c--Zahl nat\"urlich auch vor $\dopp$ gezogen werden
kann) sowie $\dopp A \contra{28}{BC \ldots Y} Z \dopp
= (\mp )^N \kon {BY} \dopp A C \ldots Z \dopp \,$.
$N$ ist die Anzahl der Vertauschungen, um $Y$ an $B$ zu
bringen. Die einzelne $\Sigma$ l\"auft \"uber alle
M\"oglichkeiten, im ''Alphabet'' {\sl ein} Paar zu bilden,
$\Sigma\Sigma$ \"uber alle Zwei--Paar--M\"oglichkeiten, usw.
\medskip \nz
\under{Zeitgeordnetes Produkt$\,$:}
\smallskip \nz
$$ \cl T A B \ldots Y Z \; = \;\dopp A B \ldots Y Z \dopp +
   \sum \dopp \ukon {A\,B} C \ldots YZ \dopp + \sum \sum
   \dopp \ukon {A\,B} \ukon {C\,D} \ldots YZ \dopp + \ldots
\eq 2 $$ \nz
Gegen\"uber \e 1 hat nun lediglich die Kontraktion eine
andere Bedeutung, n\"amlich
$\ukon {A\,B} = \lw 0 \vert \cl T A B \vert 0 \rw$
\medskip \nz
\under{Zeitgeordnetes Produkt aus Normalprodukten$\,$:}
\smallskip \nz
$$ \cl T \,\dopp A_1 ... A_\ell \dopp \; \dopp B_1 ... B_m
   \dopp \; \ldots \; \dopp Z_1 ... Z_n \dopp 
   \;\; = \;\;   \lb \matrix{
   \hbox{wie \e 2, jedoch {\sl ohne} Kontrak-- \ \ \ \ } \cr
   \hbox{tionen {\sl innerhalb} der Normalprodukte \ ,}
   \cr } \right.
\eq 3 $$ \nz
wobei die Felder eines Blockes die gleiche Zeitmarke haben.
Hat ein Block nur ein Mitglied, so entf\"allt das
entsprechende Doppelpunkt--Paar. Eine (zeitgeordnete) bunte
Folge von Einzel--Operatoren und Bl\"ocken ist also
Spezialfall von \e 3. Aus dem gleichen Grunde folgt \e 2
aus \e 3. Und \e 1 folgt aus \e 2 indem man das Alphabet mit
k\"unstlichen Zeitmarken versieht (die gr\"o\ss te an $A$).
\bigskip
	   \hrule  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\medskip \smallskip \nz
Folgerung$\,$: \vskip -.1cm \nz
$$ \lw 0 \vert \cl T \,\dopp A_1 ... \dopp \;\; \ldots \;\;
   \dopp ... Z_n \dopp \,\vert 0 \rw \; = \;
   \sum \lb \matrix{ \hbox{\"uber alle M\"oglichkeiten,
   $A_1$ bis $Z_n$ vollst\"andig zu verpaaren, } \cr 
   \hbox{d.h. als Produkt von Kontraktionen $\ukon {A\,B}$
   zu schreiben, \hskip .8cm} \hss \cr \lower 
   1.5pt\hbox{unter Verbot von \raise 5pt\hbox{$\ukon {}$} 
             innerhalb normalgeordneter
   Bl\"ocke. \hskip .4cm } \cr } \right. \hskip -.3cm
\eq 4 $$ \nz
Bei ungerader Anzahl von Feldern bleibt die Kuppelei
unvollst\"andig $\;\;\Rightarrow\;\;$ \e 4 gibt Null.
\medskip \smallskip
	 \hrule  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip \smallskip \nz
$\bullet$ \ Um \e 1 zu verstehen, beginnen wir mit einem
Alphabet
aus zwei Buchstaben
($\lk \, , \, \right]_+ \gll \lb \, , \, \rb\, )\,$:
\bind{.34}{.3}
\smallskip \nz
$$ \eqalign{  AB - \dopp AB \dopp \;
 \glo \;\(A_v + A_e \) \( B_v + B_e \)
   - \( A_v B_v + A_e B_v \mp B_e A_v + A_e B_e \)
  \, = \, \lk A_v, B_e \right]_\pm   \ccr
 \;\glu \,\lw 0 \vert  \lk A_v, B_e \right]_\pm \vert 0 \rw
 \, = \,\lw 0 \vert  A_v B_e \vert 0 \rw
 \, = \,\lw 0 \vert  A	B \vert 0 \rw
 \quad\qquad \Rightarrow \quad	AB = \dopp AB \dopp +
 \kon {AB} \cr & \phantom{ A_B^C=D } \cr }
\eq 5 $$ \nz
\vskip -.5cm \nz
Bei drei Feldern $ABC = \dopp AB \dopp C + \kon {AB} C$
gilt es, $C$ unter die Normalordnung zu bekommen.
Finger\"ubung$\,$:
$ \dopp AB \dopp C = \dopp \( A_v + A_e \) \( B_v + B_e \)
   \dopp \( C_v + C_e \) = \dopp ABC \dopp + \dopp A
   \kon {BC} \dopp + \dopp \koni {A B C} \dopp , $
wobei die beiden Kommutatoren entstehen, wenn $C_e$ auf
$B_v$ und $A_v$ trifft. Allgemein$\,$:
\smallskip \nz
$$ \hskip .5cm \dopp AB \ldots Y \dopp \, Z \;
   = \;\dopp A \ldots Z \dopp  \, + \,
   \dopp A \ldots \kon {YZ} \dopp \, + \,
   \dopp A \ldots \koni {XYZ} \dopp \, + \,
   \ldots\, + \,\dopp \contra{37}{AB \ldots YZ} \dopp
\eq 6 $$ \nz
\e 6 enth\"alt \e 5 weil $ AB=\dopp A \dopp B$.
Mit den elementaren Schritten \e 5 (Doppelpunkt einbringend
in Terme, die noch keinen haben, wobei aber ein weiterer
$\dopp$-freier Term entsteht) und \e 6 (vorhandenen $\dopp$
sich nach rechts fressen lassen) kann man nun \e 1
generieren. Resultat f\"ur das vierbuchstabige Alphabet$\,$:
\smallskip \nz
$$ ABCD \; = \;
   \dopp ABCD \dopp	     \; + \;
   \dopp \kon {AB} CD \dopp  \; + \;
   \dopp \koni {ABC} D \dopp \; + \;
   \dopp \contra{25}{ABCD} \dopp  \hskip 6.35cm $$
\vskip -.15cm \nz
$$ \hskip 3.5cm \; + \;\;
   \dopp A \kon {BC} D \dopp \; + \;
   \dopp A \koni {BCD} \dopp \; + \;
   \dopp AB \kon {CD} \dopp  \;\;\; + \;
   \kon {AB} \kon {CD}	 \; + \;
   \contra{28}{A \kon {BC} D} \; + \;
   \koni {\koni {ABC} D  \;\;\; }
$$ \smallskip \nz
$\bullet$ \ \e2 folgt, indem man zuerst die Zeitordnung
herstellt ($\eta \gll$ Produkt aus Vorzeichen), dann \e 1
benutzt und schlie\ss lich zur\"ucksortiert,
\vskip .15cm \nz
$$ \cl T \, A \ldots Z \; = \;
   \eta \; a \ldots z = \eta \,\(
   \dopp  a\, b \ldots y\, z \dopp \, +
   \sum \dopp \kon {a\; b} c \ldots y\, z \dopp \, +
   \sum \sum \dopp \kon {a\; b} \kon {c\; d} \ldots y\, z
   \dopp \, + \ldots \) \; = \; \hbox{\e 2} \quad ,
$$ \vskip -.15cm \nz
denn, da Zeitordnung vorliegt, sind obige Kontraktionen
$\kon {a\,\, b} = \ukon {a\,\, b}
  = \lw 0 \vert \cl T \, a \, b \,\vert 0 \rw $,
und bei R\"uckschreiben auf $A$--$Z$--Reihenfolge werden
entsprechende $\eta$--Anteile verbraten. Die restlichen
$\eta$'s wandern in Normalprodukte, wo entweder die
Umsortierung trivial ist (z.B. bei zwei Vernichtern) oder
wegen $\dopp \dopp$--Wirkung irrelevant.
\smallskip \nz
$\bullet$ \ Zu \e3 gehen wir (in Gedanken) ebenso vor und
beachten, da\ss\ wegen der teilweise bereits vorhandenen
Normalordnung keine Kontraktionen innerhalb eines Blockes
entstehen k\"onnen.
\hskip 1cm '' q. e. d. ''

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
