%  ft5.tex     Quantenfelder am Waermebad, SS 1997
%
%  Funktionalintegral     ( 9 Seiten )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
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\def\[{\, [\,}  \def\]{\, ]\,}  \def\eee{\hbox{\gr e} }
\def\w#1{\widehat{#1}} \def\phd{\w \phi} \def\pid{\w \P}
\def\seite#1{\rightline{$\underline{\raise
     3pt\hbox{{\ggr F \ #1}}}$}\smallskip\nz}
\def\eq#1{\eqno{(\, {\rm F}\, .\, #1\, )}}
\def\gl#1{$\, (\, {\rm F} \, .\, $#1$\, )\,$}
\def\bra#1{<\!\lb\phi{#1}\rb\vert\,}        % {{phi}-Index}
\def\ket#1{\,\vert\lb\phi{#1}\rb\! >}       % {{phi}-Index}
\def\br#1{<\!\lb\phi\rb\, , \, #1\,\vert\,}     %  , {t} |
\def\kt#1{\;\vert \lb \phi \rb \, , \, #1\! >}  %  , {t} >
\def\klv{\hbox{$\({1\02\pi}\)^4$}}
\def\2{\hbox{${1\02}$}}
\def\elam#1#2{\eqno{ \vbox{\hsize1cm  \vskip -#1cm 
  \vrule width .2pt height #1cm depth -.08cm 
  \hskip -.036cm $_\succ$ \hskip -.322cm 
  \vrule width .2pt height -.08cm depth #1cm 
  \vskip -#1cm \vskip .09cm } (\, {\rm F}\, .\, #2\, ) }}

%%%
%%%  1  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%
       % {Quantenfelder am W\"armebad \ \  SS 1997}
\seite{1}  \vskip -1cm \nz \hskip 9.3cm 
   {\mt WS 1993/94, ... , SS 2002} \nz 
\hskip 3cm {\gr Funktionalintegral}
\bigskip\medskip \nz
Zum einen ist das Funktionalintegral f\"ur die 
Quantenfeldtheorie unverzichtbar $\,$(als
Formulie\-rungs\-hil\-fe und um via 
Faddeev--Popov--Determinante den Eichorbit von 
Quantisierung aus\-zu\-neh\-men). Zum anderen
ist es wundersch\"on weil elegant. Und es bietet einen
direkten Zugang zu den Diagrammen der
st\"orungs\-theo\-retischen Behandlung einer
Vielteilchen--Theorie.
\vskip .02cm \nz 
Mit der Literatur kann man jedoch seine liebe \nz 
Not haben Wir stellen hier die Herleitung \nz 
\anfu auf die F\"u\ss e\anfo : Zwischenschritte nicht \nz
vorweg sondern erst dann wenn ben\"otigt.
\nz \vskip -1.6cm \nz \leftskip 8cm
%%%%%%%%%%%%%  Lit  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\fiverm  
Abers + Lee, Physics Reports 9$\,$C (1973) 1\vskip -.14cm\nz
Cheng + Li, Gauge theory of 
       elem.$\,$part.$\,$physics (1984) \vskip -.14cm \nz
L.H. Ryder, Quantum Field Theory (1985 u. 96)\vskip-.14cm\nz
A. Das, Field Theory: A Path Integral Approach (1993) \vskip -.14cm \nz
G. Roepstorff, Path Int.~Approach to Quantum Physics (1996)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\nz \leftskip 0pt \vskip .26cm 
Da\ss\ die $\infty$ vielen Greenschen Funktionen ($\approx$
volle Information der Theorie )
$$ G_n \;\; \gll \;\; <\! 0_H \; \vert \;\;\; \cl T
   \;\; \phd^H ( x_1 ) \;\; . \, . \, . \, . \;\;
   \phd^H (x_n ) \;\;\; \vert \; 0_H \! >\qquad
\eq 1 $$
eines Vielteilchen--Systems das erzeugende Funktional$\; )^1$
$$ W \[ j \] = \; <\! 0_H \; \vert \;\; \cl T \;\;
   {\rm exp} \; \lb i \int \! d^4 x \, j(x) \,\phd^H (x)
   \rb \vert \; 0_H \! > \quad
\eq 2  $$  \vskip -.2cm \nz
haben, ist per  \vskip -.1cm \nz
$$ G_n = \( {1 \over i } \delta_{j(x_1)} \)\; .\, .\, .\;
         \( {1 \over i } \delta_{j(x_n)} \) \;\;
   W \[ j \] \; \vert_{j=0} \quad
\eq 3 $$ \vskip -.3cm \nz
und   
$$ W \[ j \] = \sum_{n=0}^\infty { i^n \over n! } \int\!
   d^4 x_1 \ldots \int \! d^4x_n \; G_n ( x_1 \, ,\,\ldots
   \, , \, x_n ) \; j(x_1 ) \; \ldots j(x_n)
\eq 4 $$ \nz
direkt klar ($\,\d_{f(x)} f(y) \gll \d (x-y)\,$). \gl 2
ist der ideale Ausgangspunkt f\"ur die nun folgende
Herleitung. Wir behandeln alle $G_n$ auf einmal$\,$! \
Die Objekte $\phd^H$ sind Bose--Feldoperatoren mit
voller Heisenberg--Zeit\-ab\-h\"an\-gigkeit. Wir
beschr\"anken uns hier auf den Bose--Fall. Um ein 
Beispiel vor Augen zu haben (\anfu $\phi^4$--Theorie\anfo$
\!$)$\,$:  \vskip -.3cm \nz
$$ \hskip 7.5cm \cl L = {1 \over 2} 
   (\6_\mu \phi ) \;\6^\mu \phi - {1\02} m^2 \phi^2 
   - {1 \over 4!} g^2 \phi^4 \quad .
\eq 5 $$
Das c--Zahl--Quellenfeld $j(x)$ ist beliebig. Da sich
jedoch die interessierende Physik in einem endlichen
$x$--Bereich abspielt ($x=t,\vc r $), darf $j$
au\ss erhalb desselben rasch abklingen. Diese Philosophie
erlaubt uns, das adiabatische Ein-- und Ausschalten der
Wechselwirkung zu ver\-ges\-sen: $H$ ist nun 
zeitunabh\"angig. Der Grundzstand $\vert 0_H \! >$ von 
$H$ sei nicht entartet, und die zugeh\"orige 
Grundzustandsenergie sei Null$\,$: $\w H \,\vert 0_H\! >\,
= 0$ (Wahl der Energieskala).
\medskip 
Was wei\ss\ man schon \"uber das Objekt $\vert 0_H\! >$
in \gl 2. Eine Spur w\"are angenehmer (wegen der dann
gewonnenen Freiheit der Basiswahl). Nun, es ist einfach,
und eine ganz saubere Angelegenheit, diese Spur ins Spiel
zu bringen$\,$:
$$ W \[ j \] = \lim_{\b \to \infty} \; {\rm Sp}
   \;\( \; e^{- \b\w H } \; \cl T F \[ \phd^H \] \)
  \qquad {\rm mit} \qquad F \[ \phd^H \] \gll
  e^{i\int \!\! d^4 x \, j(x) \phd^H (x) }
\eq 6 $$
%--------------------------------------------------------
\bigskip 
      \ct{{\sl Basis f\"ur Spurbildung \qquad }}
\medskip \nz
Die gesuchte geeignete Basis sollte mit den Operatoren
$\phd$ zu tun haben. Bei Zeit Null werden diese zu den
Schr\"odinger--Operatoren
$$ \phd (\vc r ) = \int \! d^3 k {1 \over \wu {(2\pi )^3 2 
   \e_k} } \( \w a_k e^{i \vcsm k \vcsm r }
   + \w a_k^{\,\dagger} e^{- i \vcsm k \vcsm r } \)\quad .
\eq 7 $$
Sie werden mit kontinuierlichem Parameter $\vc r\,$ 
abgez\"ahlt. Der Index $k$ an $\w a$, $\w a^{\,\dagger}$
sollte eigentlich ein $\vc k$ sein (das TEX-t sich nur
nicht gut). Zur $\phi^4$--Theorie ist \"ubrigens
$\e_k =$ $\wu {m^2 + k^2 }$. Die Operatoren $\phd$ sind
ersichtlich hermitesch. Von den drei kanonischen
Quantisierungsregeln (bei {\sl equal time} Null genommen),
$$ \hskip .5cm
   \,\lk \phd (\vc r )\, ,\,\pid (\vc r^\prime ) \rk
   = i\d(\vc r - \vc r^\prime ) \;\; , \;\;
  \lk \phd (\vc r )\, ,\,\phd (\vc r^\prime )\rk = 0 \;\; ,
  \;\; \lk \pid (\vc r )\, ,\,\pid (\vc r^\prime )\rk = 0
\eq 8 $$
\vskip .04cm \nz \hrule \vskip .05cm \nz
{\kl $)^1$ $W$ ist Cheng + Li's Bezeichnung. Bei 
\anfu $Z$\anfo (auch \"ublich) droht Verwechslung 
mit Zustandssumme in thermischer Feldtheorie.}
\vfill \eject
%%%
%%%  2  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%
\seite{2} \nz
interessiert im Moment nur die mittlere. Sie besagt, da\ss\
es ein simultanes Eigenfunktionen--System aller $\phd$'s
gibt ($\,$Erinnerung$\,$: $[\w A,\w B]=0 \; \Rightarrow\;
\exists \;\vert a,b\! >$ mit $\w A \vert a,b\! > = a\vert
a,b\! >$ und $\w B\vert a,b\! > =b\vert a,b\! >\,$). 
Ein Blick auf die Fourier--Umkehr von \gl 7 zeigt, da\ss\
diese simultanen Eigenfunktionen ein VONS {\kl 
(Vollst\"andiges Orthonormalsystem)} des interessierenden 
Hilbert--Raumes bilden. Ein Zustand aus dieser Basis ist 
durch Angabe eines Satzes von reellen Eigenwerten 
$\phi (\vc r )$ charakterisiert, durch eine Feldkonfiguration 
$\lb\phi\rb$ also$\,$:
$$ \phd (\vc r ) \;\; \ket{} \;\; =\;\;
   \phi (\vc r ) \;\; \ket{}
\eq 9 $$
Um des Himmels willen schreibe man nicht (Konfiguration 
meinend) \anfu $\phi (\vc r )$\anfo in den ket--Vektor 
wegen des dann naheliegenden Denkfehlers, das \"au\ss ere 
$\vc r$ habe mit jenem innerhalb zu tun. 
\medskip
In obiger Eigenwertgleichung l\"a\ss t sich zwanglos, 
n\"amlich durch Multiplikation mit $e^{i\w Ht}\,$, der
Hei\-senberg--zeitabh\"angige Operator $\phd^H = e^{i\w Ht}
\phd (\vc r ) \, e^{-i\w Ht} $ einbringen$\,$:
$$ \phd^H \; \kt{t} \;\; =\;\;
   \phi (\vc r ) \; \kt{t} \qquad \hbox{mit} \qquad
   \kt{t} \gll e^{i\w H t} \; \ket{}\quad .
\eq{10} $$
Zu einem festen $t$--Wert $t_0$ (Spezifikation sp\"ater)
soll sie dies nun sein, die geeignete Basis im Raum der
Feldoperatoren$\,$:   
$$ \hbox{Basis}\;\; =\; \; \kt{t_0}
   \qquad , \qquad \lower 4pt\vbox{\hbox{Summation}
                         \vskip-.08cm\hbox{in der Spur}}
   \;\;\; = \cl N \;\prod_{\vc r } \int\! d\phi (\vc r )
   \glr \int_{\vcsm r} \! \cl D \phi \quad .
\eq{11} $$ \vskip -.1cm \nz
Stop$\,$! Langsam. Drei betrugsverd\"achtige 
Eigenartigkeiten sind zu studieren. 
\medskip \nz
{\bf 1 .} \ Rechts in \gl{11} integriert jemand offenbar
kontinuierlich \"uber {\sl alle} reellen $\phi$--Werte. 
Das kontinuierliche Spektrum zu \gl 9 mag plausibel sein.
Jedoch, man zeige. Wir halten $\vc r$ fest, betrachten
also {\sl einen} der vielen Operatoren \gl 7, und setzen
$\w a_k e^{i\vcsm k \vcsm r} \glr \w {\ov{a}}_k \to
\wu {\e_k /2} x_k + \wu {1/(2\e_k)} \6_{x_k}$, wobei
zuletzt in eine $\vc r$--spezifische Ortsdarstellung (dort
und \hbox{\anfu in Feldrichtung\anfo$\!$)} \"ubergegangen
wurde. Dabei wird $\phd$ zu einem Operator, welcher mit
$\[ (2\pi )^{-3/2} \int\! d^3 k \, x_k \]$ multipliziert. 
Das gen\"ugt. Gem\"a\ss\ $ \[ \;\; \] \ph (\lb x_k\rb ) = 
a\,\ph (\lb x_k\rb ) \;\Rightarrow\; \ph = g( Rest ) \cdot
\d ( \[\;\;\] -a )$ f\"ullen die Eigenwerte $a$ die
gesamte reelle Achse. {\sl Rest} steht f\"ur alle anderen
Kombinationen der Kunstvariablen $x_k$ (weitere
Betrachtungen m\"oglich, aber hier irrelevant).
\medskip \nz
{\bf 2 .} \ Zeitentwicklung erfolgt mit $e^{-i\w Ht}$. Aber
rechts in \gl{10} steht an $i\w Ht$ das \anfu falsche\anfo
Vorzeichen. Nanu. Die Bedeutung des $t$--Arguments in
$\kt{t}$ kl\"art sich auf anhand des Ortsoperators $X$
eindimensionaler Quantenmechanik. $X\!<\!\! x\vert h\!\!
>\gll x<\!\! x\vert h\!\! >$ erkl\"art die Wirkungsweise
von $X$ (\anfu $h$\anfo steht f\"ur allgemeinen
Hilbert--Vektor). Seine Eigenwertgleichung lautet also
$(x-a) <\!\! x \vert a\!\! > = 0 \;\;\Rightarrow\;\;
<\!\! x \vert a\!\! > = \d (x-a)$. Ein $\d$-Paket
zerflie\ss t. Liege $\d$, d.h. $\vert a\!\! >$, zur
Zeit $t_2$ vor, und werde das Zerflossene zu $t_1$
angesehen$\,$: $\vert a,t_1,t_2\!\! >$ mit $\vert a,t_2,t_2
\!\! >=\vert a\!\! >$, und wir haben $\vert a, t_1, t_2\!\!
> = e^{-i \w H (t_1-t_2)} \vert a\!\! >$ aufzuschreiben.
Also ist $\vert a,0,t\! > = e^{i \w H t} \vert a\! >$ der
zur Zeit $0$ angesehene, zu $t$ lokalisierte Zustand.
Ersichtlich wird mit $t$ in $\kt{t}$ nur der
Lokalisierungszeitpunkt angegeben. Punkt.
\medskip \nz
{\bf 3 .} \ Spur zu bilden hei\ss t, alle Erwartungswerte
zu addieren. Bei Quantenzahl--Kontinuum ist diese Addition
ein Integral, zur Basis \gl{11} also ein Integral \"uber
alle Feldkonfigurationen \ --- \ ein Funktionalintegral.
Es gibt viele M\"oglichkeiten, das Kontinuum der
Feldkonfigurationen zu parametrisieren (man denke etwa an 
Fourier--Transformierte von $\phi (\vc r)$). Rechts in
\gl{11} steht also nur eine spezielle Version$\,$: ein
Integral an jedem Punkt des diskretisierten 3D Raumes
und ein Ma\ss faktor $\cl N$. Er bedarf oft keiner
Explizierung, weil nur $\ln (W)$ interessiert (s.u.).
Mitunter wird er auch rechts vor $\int_{\vcsm r}$
geschrieben. Wir haben ihn hier per def. im Symbol $\cl D$
absorbiert. Der Index am Integral gibt an, {\sl welcher}
Raum mit Integralen ausstaffiert wurde. Sp\"ater wird
n\"amlich noch die Zeitachse hinzukommen und ein
$\cl N \prod_t \int_{\vcsm r} \cl D \phi = \int_x
\cl D \glr \int \cl D\,$ entstehen.
\vfill \eject
%%%
%%%  3  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{3}   \vskip -.6cm \nz
%--------------------------------------------------------
      \ct{{\sl Imagin\"arzeit $\b$ \qquad\quad }}
\medskip \nz
Mittels Basis und Spursummation aus \gl{11} nimmt
$W \[ j\]\,$, \gl 6, die Gestalt
$$ W \[ j \] = \lim_{\b\to\infty}\; \int_{\vcsm r} \! \cl D
   \phi \; \br{t_0}
   \;\; e^{- \b \w H } \; \cl T F \;\;
   \;\kt{t_0}
\eq{12} $$
an. Auch die $t_0$--Abh\"angigkeit des bra--Vektors
l\"a\ss t sich als e--Funktion explizieren. Und schon
naht die altehrw\"urdige Idee (Matsubara$\,$?),
die beiden e's zu verheiraten$\,$: 
$$ \br{t_0} \, e^{-\b \w H} \, = \,
   \bra{}\, e^{-i\w Ht_0} \, e^{-\b \w H}
   \, =\, \bra{}\, e^{-i\w H (t_0 -i\b )}
   \, =\, \br{t_0 -i\b} \;\; . \;\;
\eq{13} $$
Auch in $F= e^{i\int\!\! d^4 x\, j(x) \phd^H (x)}$ gibt 
es Zeiten. Sie stehen in $j$ und $\phd^H$ und laufen von 
$-\infty$ bis $\infty$. Wegen des eingangs erw\"ahnten
$j$--Abfalls k\"onnen diese Grenzen auch bei sehr
gro\ss /klein liegen$\,$. Lesen wir also Physiker--like
\anfu $\infty$\anfo als \anfu sehr gro\ss \anfo. Wie
k\"onnte man diese vier Zeiten in Beziehung setzen$\,$?
Der Parameter $t_0$ ist noch (reell) w\"ahlbar. Wir legen
ihn auf $-\infty$ (phys--like). Die obere
Integrationsgrenze $+\infty$ l\"a\ss t sich nun mit
$t_0 - i\b$ so verbinden, da\ss\ man dabei au\ss erhalb
des $j \neq 0$--Bereiches bleibt (man bedenke
$\b\to\infty$)$\,$:

%%%  Figur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\vskip 1.1cm \nz 
\hskip 1.4cm \vbox{\hbox{\hskip 
% Achse
  .6cm $_{t_0 = - \infty} \hskip 9.5cm _{+\infty} $}
  \vskip 0pt \hbox{\hskip
.1cm \vrule depth -2pt height 2.1pt width 1cm$\!\bullet\!
    $\vrule depth -1.5pt height 3.3pt width 1.5cm$\!\!\!>\!
    $\vrule depth -1.5pt height 3.3pt width 7.5cm$\!\!\!>\!
$\vrule depth -1.5pt height 3.3pt width 1cm$\!\!\bullet\!\!
$\vrule depth -2pt height 2.1pt width 1.7cm$\!\!\! > \; t $}
  \vskip -1.1cm \hbox{\hskip
% j-Bereich
2.3cm $\!/^{^{-----------------------------------
              \!}}\backslash$}
  \vskip -.05cm \hbox{\hskip
2.05cm $\Bigg( \hskip 6.9cm \Bigg)$}
  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
2.5cm $^{\;\; j \neq 0 \; {\rm Bereich}} \hskip -1.9cm   
\backslash_{_{-----------------------------------
              \!\!\>}}/$}
  \vskip -1.32cm \hbox{\hskip
% Physik
4.9cm $//////////////////$}
  \vskip 0cm \hbox{\hskip
4.9cm $//\; \lower 4pt\hbox{$^{\rm Physik}$}\; //////////$}
  \vskip -.45cm \hbox{\hskip
% KURVE
11.25cm $\searrow$}    \vskip -.1cm \hbox{\hskip
11.55cm $\backslash$}  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
11.6cm $\downarrow$}   \vskip -.1cm \hbox{\hskip
11.6cm $\downarrow\;\; \cl C$}  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
11.55cm $/$}           \vskip -.1cm \hbox{\hskip
11.25cm $\swarrow$}
\def\lw{\leftarrow}    \vskip -.28cm \hbox{\hskip
2.13cm $\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw
        \lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw\lw$}
  \vskip -.25cm \hbox{\hskip
1.83cm $\swarrow$}     \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.51cm $\swarrow$}     \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.21cm $\swarrow$}     \vskip -.148cm \hbox{\hskip
1.1cm $\!\bullet\!\!\!\!$}  \vskip -3.22cm \hbox{\hskip
1.11cm \vrule depth 0pt height .2cm width .02pt}
\def\strich{\vskip -.1cm \hbox{\hskip
        1.11cm \vrule depth 0pt height .2cm width .02pt}}
\strich\strich\strich\strich\strich\strich\strich\strich
  \vskip -.29cm \hbox{\hskip
% untere Achse
.1cm \vrule depth 0pt height .02pt width 7cm}
  \vskip -.399cm \hbox{\hskip
7.2cm $_{- i \b}$ \hskip 2cm\hbox{\bf komplexe $t$--Ebene}}
 \vskip -.1cm \hbox{\hskip
.8cm $_{t_0 - i \b \;\;\; = \;\;\;\hbox{\kl ''gr\"o\ss te
   Zeit''}}$} \vskip -4.9cm \hbox{\hskip
6.8cm $\!\!\!\;\uparrow$}
  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
6.8cm \vrule depth 0pt height 4.5cm width .02pt} } 
\vskip .4cm \nz
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nz Auf der so entstandenen Kurve $\cl C$ in der komplexen 
$t$--Ebene geben wir die Integrationsrichtung an. Auch die 
Zeitordnung $\cl T$ l\"a\ss t sich zwanglos verallgemeinern 
auf eine solche l\"angs $\cl C$. Nun ist solcherlei 
Denkungsart zwar hier (bei $T=0$) ohne Relevanz, wohl aber
bei thermischer Feldtheorie ($\b$ endlich). Die (neu zu 
definierenden) Temperatur--Greens--Funktionen sind dann 
kontur--spezifische Objekte. Nichtsdestotrotz ist nun das
erste der vier Integrale in $F$ zu einem Kurvenintegral 
l\"angs $\cl C$ in der komplexen $t$--Ebene geworden. 
Die obere Integrationsgrenze stimmt mit der Zeit im 
bra--Vektor \"uberein, die untere mit jener im ket$\,$.
Zwischenresultat$\,$:
$$ W \[ j \] = \lim_{\b\to\infty} \;
   \int_{\vcsm r} \! \cl D \phi \;\;
   \br{-\infty -i\b} \;\;
   \cl T \; e^{i\int_{\cl C}\! d^4 x\, j(x) \,\phd^H (x)}
   \;\; \kt{-\infty} \;\; .
\eq{14} $$
%--------------------------------------------------------
\bigskip
   \ct{{\sl Diskretisierung der Zeitkontur $\cl C$ \qquad}}
\medskip \nz
Es gilt, das Matrixelement in \gl{14} weiter zu verarzten.
F\"ur obige Zeitmarken empfiehlt sich jetzt eine
abstraktere Notation$\,$: gr\"o\ss te Zeit $t^\prime$
(statt $-\infty -i\b$) und kleinste $t$ (statt $-\infty$).
Die e--Funktion schreiben wir als Reihe. Der erste Term,
welcher von Zeitordnung $\cl T$ Notiz nimmt, ist der in
$j\;$ quadratische (Abk\"urzung$\,$:
$\theta_{12} \gll \theta (t_1 - t_2 )\;$) :
$$  W_{{\rm qu.\; in}\; j} \; = \;\lim_{\b\to\infty}\;
    \int_{\vcsm r} \!\cl D \phi \;\(\hbox{$-{1\02}$}\)
   \int_{\cl C}\! d^4x_1 \int_{\cl C}\! d^4x_2\; j(x_1)\; 
   j(x_2) \,\lb\, \theta_{12} M_1 + \theta_{21} M_2\,\rb
\eq{15}  $$
$$ M_1 \gll \bra{}\,
   e^{-i \w H (t^\prime - t_1)} \,\phd (\vc r_1)\,
   e^{-i \w H (t_1 - t_2)} \,\phd (\vc r_2)\,
   e^{-i \w H (t_2 - t)} \, \ket{}
   \;\; , \;\; M_2 \gll M_1^{x_1 \leftrightarrow x_2} 
\eq{16} $$
\vfill \eject
%%%
%%%  4  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{4} \nz
Nicht wahr, die Zeiten stehen gar wohlgeordnet in $M_1$
herum, von links nach rechts abnehmend (in $M_2$ ebenfalls). 
Die $\phd$--Operatoren werden zu ihren Eigenwerten, wenn
wir (unmittelbar rechts von ihnen) gescheite 1--Operatoren 
einschieben. Welche$\,$? volle$\,$! d.h. $\ket{}\bra{}\,$,
verbunden mit funktionalintegralischer Summation$\,$:
$$ M_1 \;\; = \;\;\int_{\vcsm r}\!\cl D \phi^{\prime\prime}
   \int_{\vcsm r}\!\cl D \phi^\prime \;\;\;
   \phi^{\prime\prime} (\vc r_1 ) \;\; \phi^\prime
   (\vc r_2 ) \;\; \cdot \hskip 6cm $$    \vskip -.2cm \nz
$$ \cdot \bra{} e^{-i\w H (t^\prime -t_1)}
   \ket{^{\prime\prime}} \bra{^{\prime\prime}}
   e^{-i\w H (t_1-t_2)} \ket{^\prime} \bra{^\prime}
   e^{-i\w H (t_2-t)} \ket{} \;\; .
\eq{17} $$
H\"atten wir sieben $\phd \,$'s aus $F$ entnommen, dann 
st\"unden hier sieben $\cl D \phi$--Integrale gefolgt 
von acht Matrixelementen. Solche Matrixelemente der Form 
$ \bra{^\prime}\, U\, \ket{}$ sind nun zu studieren,
wobei $U \gll e^{-i\w H (t^\prime -t)}\,$.
Die angek\"undigte Diskretisierung erfolgt jetzt, n\"amlich 
als Zerlegung $t^\prime -t = n\, \d t$. Da $\w H$
zeitunabh\"angig, folgt schlicht $U=u^n$ mit 
$u\gll e^{-i\w H\d t}\,$. Vorerst mu\ss\ die nat\"urliche 
Zahl $n$ nicht einmal gro\ss\ sein$\,$,  
$$ \bra{^\prime}\, U\, \ket{} \;\; = \;\;
   \int_{\vcsm r}\!\cl D \phi_{n-1} \;\ldots\;
   \int_{\vcsm r}\!\cl D \phi_1 \;\bra{^\prime}\,
   u \,\ket{_{n-1}} \; \cdot \hskip 3cm
$$ \nz
$$ \cdot \bra{_{n-1}}\, u\,\ket{_{n-2}} \bra{_{n-2}}
   u \ket{_{n-3}} \;\ldots\; \bra{_1}\, u\,\ket{} \;\; ,
\eq{18} $$
aber der n\"achste Schritt braucht ersichtlich riesiges
$n$ und infinitesimales $\d t\;$:
$$ \bra{_1} u\ket{} \, = \,\bra{_1} 1 - i \w H \d t
   \ket{} \, = \, \bra{_1} \lb\phi\rb > - i \d t
   \bra{_1} \w H \ket{} \;\; .
\eq{19} $$
%--------------------------------------------------------
\bigskip
   \ct{{\sl Wie $\w H$ zur klassischen Hamiltonfunktion 
   wird \qquad }}
\medskip \nz
Der Hamilton--Operator einer bosonischen Feldtheorie hat 
zumeist die Struktur 
$$ \w H \; = \;\int\! d^3r \;\w {\cl H}   \qquad
   {\rm mit} \qquad \w {\cl H} \; = \;
    \2\, \pid^2 \; + \; V(\phd ) \quad .
\eq{20} $$ \vskip -.1cm \nz
Jedenfalls unterstellen wir hier diese Struktur. Die 
Impulsdichte m\"oge durch $\pid = \6_{\psm \phi} \cl L 
= \p \phi\,$ gegeben sein. Zur $\phi^4$--Theorie ist
das so, und \"uberdies $ \w V = {1\02} (\nabla \phd )^2 
+ {1\02}m^2 \phd^2 + {1\04!} g^2 \phd^4\,$. In \gl{19}
ersetzt sich $\w V$ durch seinen Eigenwert $V(\phi )$
(keine Angst bei $\nabla \phd \to \nabla \phi\,$: wende
 in Gedanken $\nabla$ auf \gl 9 an). Soll sich auch
$\pid$ durch Eigenwert ersetzen, ist eine 1 aus deren
Eigenzust\"anden einzuschieben. Diese Eins, die gibt es.
Weil der dritte {\sl equal time} Kommutator in \gl 8
verschwindet, haben auch die $\infty$ vielen $\pid$'s 
ein simultanes Eigenfunktionen--System$\,$: 
$$ \pid (\vc r ) \;\vert\lb\P\rb > \; = \;\P (\vc r ) 
   \;\vert\lb\P\rb > \quad , \quad \P (\vc r ) \;
   \hbox{kontinuierlich reell von}\, -\infty 
   \;{\rm bis}\; \infty \;\; ,
\eq{21} $$ \vskip -.1cm \nz
wobei der Beweis (\"Ubungsaufgabe) f\"ur die 
rechtsstehende Aussage jenem unter \gl{11} sehr
\"ahnelt. Damit geht \gl{19} \"uber in
$$ \bra{_1}\, u\,\ket{} = \int_{\vcsm r}\!\cl D\P
   \;\bra{_1} \lb\P\rb > <\lb\P\rb \ket{} \;
   e^{ -i \d t \int\! d^3r \; \lk {1\02} \P^2 
   + V(\phi ) \rk} \;\; ,
\eq{22} $$
wobei im letzten Schritt auch noch $\, 1-i\d t\, ...\,$
in $\, e^{-i\d t\, ...}\,$ r\"uckverwandelt wurde. Da 
steht sie im Exponenten, die klassische Hamiltonfunktion. 
Kommentar zu zwei delikaten Schritten$\,$:
\smallskip \nz
{\bf 1 .} \ Jenes $\d t$--Herunter--Herauf war nicht
wirklich n\"otig. Man kann auch bei $u = e^{-i (\w T 
+ \w V ) \d t}$ bleiben, $e^{A+B} = e^A e^B 
e^{[B,A]/2\; + \ldots}$ bedenken, den dritten Exponenten
als $\sim \d t^2$ weglassen und die $\P$--Eins zwischen
$e^A$ und $e^B$ einschieben. Bald werden per 
$\,n\cdot\d t\,$ endliche Terme entstehen, s.\gl{25}.
$n\cdot\d t^2$ bleibt im limes vernachl\"assigbar. 
Alles in Ordnung.
\smallskip \nz
{\bf 2 .} \ Haben wir nicht soeben versto\ss en gegen
die Festlegung $\w H \,\vert 0_H > = 0$ ?! Normalordnung 
von \gl{20} wurde vers\"aumt, {\sl weil ohne} dieselbe
die Schritte zu \gl{22} funktionieren. Um es kurz
\vfill \eject
%%%
%%%  5  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{5} \nz
zu halten, jene vielen ${1\02} \hbar \o$'s
(samt ihrer Verschiebungen durch Wechselwirkung) sind
wieder mit dabei und modifizieren den $W$--Vorfaktor
sowie Renormierungskonstanten. Also erschrecke man 
nicht, wenn einmal dieses Gesch\"aft ansteht und 
repariere {\sl dann} \ --- \ mit Verstand. 
%--------------------------------------------------------
\bigskip
   \ct{{\sl $\lb\phi\rb$ -- Darstellung \qquad }}
\medskip \nz
Die weitere Auswertung braucht das Skalarprodukt $<\!\lb\P
\rb \ket{}\!$ explizit. Gleich ist Weihnach\-ten. Wir
starren auf den noch nicht benutzten, ersten Kommutator in
\gl 8 und lesen $\,i\d (\vc r - \vc r^\prime )\,$ als $\,i
\d_{\phi(\vcsm r )}\,\phi(\vc r ^\prime )\,$. Damit wird 
klar, wie eine $\bra{}\, h\! >$--Darstellung zu
stricken ist. $\phd$ wird zu einem Operator, welcher nur 
mit $\phi(\vc r )$ multipliziert ($\,\bra{} \phd
\ket{^\prime} \bra{^\prime}\, h\! >\; =\phi\;\cdot $
$\bra{}\, h\! >\; )\,$, und $\pid$ wird $\, -i\,
\d_{\phi(\vcsm r )}\,$. Auch nach dieser \"Ubersetzung
gelten alle Kommutatoraussagen. Das gesuchte Skalarprodukt
erf\"ullt $-i\,\d_{\phi(\vcsm r )}\,\bra{}\lb\P\rb\! >
= \P (\vc r ) \bra{}\lb\P\rb\! >\,$. Die L\"osung
dieser funktionalen Dgl l\"a\ss t sich raten$\,$,
$$ \bra{} \lb\P\rb > \;\;\sim\;\; e^{\, i\,\int\! d^3 r
   \,\;\P (\vcsm r ) \;\phi (\vcsm r ) } \;\; ,
\eq{23} $$ \vskip -.2cm \nz
und in \gl{22} einsetzen$\,$: \nz
$$ \bra{_1}\, u\,\ket{}\;\; \sim\;\; \int_{\vcsm r}\!\cl D
   \P \; e^{ i \int\! d^3r \;\lb \;  \P\, \(\, \phi_1
   - \phi\, \)\; - \; \d t \,\lk {1\02} \P^2 + V(\phi )
   \rk \;\rb } \;\; .
\eq{24} $$
In \gl{18} gibt es $n$ solcher Matrixelemente, also auch
$n$ zu unterscheidende $\P$--Integrationen$\,$:
$$ \bra{^\prime}\, U\, \ket{} \;\; \sim \;\;
   \int_{\vcsm r}\!\cl D \phi_{n-1} \;\ldots\;
   \int_{\vcsm r}\!\cl D \phi_1 \;\int_{\vcsm r}\!\cl D
   \P_n \;\ldots\; \int_{\vcsm r}\!\cl D\P_1
   \;\; \cdot \hskip 4cm $$ \nz
$$ \cdot \;\; e^{ i\int\! d^3 r \; \sum_{j=1}^n \;\lb\;
   \P_j \,\( \phi_j - \phi_{j-1} \) \; - \;\d t \lk
   {1\02} \P_j^2 \; + \; V (\phi_{j-1} ) \rk \;\rb }\;\; .
\eq{25} $$
In der $j$--Summe sind zwei UFO's \"ubrig geblieben
($\phi_n$, $\phi_0$), und rechts vermi\ss t man die 
Abh\"an\-gig\-keit von den $\lb\phi^\prime\rb$-- und 
$\lb\phi\rb$--Konfigurationen. Nach Blick auf \gl{18}$\,$:
$\phi_n$ ist $\phi^\prime\,$, und $\phi_0$ ist $\phi\,$. 
Im $V$--Term (bereits von endlicher Ordnung $n\cdot\d t\,$) 
darf das Argument $\phi_{j-1}$ durch $\phi_j$ ersetzt
werden. Und die Klammer $(\phi_j - \phi_{j-1})$ ist der
Z\"ahler des Differenzenquotienten auf der diskretisierten
$t$--Achse, ergo $(\phi_j -\phi_{j-1} ) = \d t\,
\psm\phi_j\,$. Der Exponent von \gl{24} lautet jetzt
$ i \int\!d^3r \d t\sum_{j=1}^n \big\{ \P_j \psm \phi_j 
- {1\02} \P_j^2 - V(\phi_j) \big\}\,$. Freie Variable in
\gl{25} ist nur noch jene im bra--Vektor, n\"amlich
$\lb\phi_n\rb\equiv\lb\phi^\prime\rb\,$.
%--------------------------------------------------------
\bigskip
   \ct{{\sl Hamilton \ $\longrightarrow$ \
   Lagrange \qquad }}
\medskip \nz
Jene Vielfachprodukte aus r\"aumlichen 
Funktionalintegralen in \gl{25} \ -- \ haben wir nicht
ein Wahrnehmungsraster daf\"ur \anfu was das ist\anfo ?
\ An jedem Feld (oder Feldkonfiguration) h\"atten wir 
eine Zeitmarke stehen lassen k\"onnen. \gl{17} zeigt noch
welche. Sodann war das St\"uck Zeit\-(kon\-tur)\-achse 
unterteilt worden$\,$: an jedem Teilstrich lebt ein
$\phi$ ($\phi_{n-1}$ am linkesten), und die $\P$--Integrale 
k\"onnen wir den L\"ucken zuordnen. Kurz, in \gl{25} stehen
zwei raum{$\,$\sl zeit$\,$}li\-che Funktionalintegrale.
Welches Zeitachsenst\"uck sie erfassen, zeigt das Integral
im Exponenten$\,$:
$$ \bra{^\prime}\, U\, \ket{} \;\; \sim \;\;
   \int\!\cl D \phi \int\!\cl D\P \; e^{ i
   \int_t^{t^\prime}\! dt \int\!d^3r\; \big\{ \P \psm 
   \phi\, -\, {1\02} \P^2\, -\, V(\phi ) \big\} }
\eq{26} $$
mit nat\"urlich $t^\prime$, $t$ den Zeitmarken von
$\lb\phi^\prime\rb$ bzw. $\lb\phi\rb\,$. Sagt da 
einer$\,$: \anfu Aah, in der geschwungenen Klammer
steht sie ja schon, die \hbox{Lagrange--Dichte\anfo.} 
Falsch$\,$! $L$ gewinnt man aus $H$ durch Aufl\"osen von 
$\p q=\6_p H$ nach $p$ und Eliminieren von $p$ in 
$p\p q - H\,$. Hiervon kann in \gl{26} keine Rede
sein. Aber es geht dennoch, und das Zauberwort hei\ss t
quadratische Erg\"anzung$\,$:
$$ \P \psm \phi - \cl H (\P, \phi ) = -{1\02} \(\P 
   - \psm \phi\)^2\; + \;\cl L (\psm \phi , \phi ) 
   \;\;\quad {\rm mit} \quad\;\; \cl L (\psm \phi , 
   \phi ) = {1\02} \psm \phi^2 - V(\phi ) \quad .
\eq{27} $$
\vfill \eject

%%%
%%%  6  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{6}{} \nz
Das Gau\ss --Integral \"uber alle $\P$'s kann nun
ausgef\"uhrt und als Konstante im
Proportionalit\"ats\-fak\-tor absorbiert werden.
Fazit$\,$:
$$ \bra{\prime}\, e^{-i\w H (t^\prime - t ) }\, 
   \ket{} \;\; \sim \;\;  \int\!\cl D \phi \; e^{ i
   \int_t^{t^\prime}\! dt \int\!d^3r\; 
   \cl L ( \,\psm \phi\, ,\,\phi\, ) } \quad .
\eq{28} $$
%--------------------------------------------------------
\medskip
   \ct{{\sl Nur \ e i n \ $\int\!\cl D \phi$ \qquad }}
\medskip \nz
Inzwischen sind wir im R\"uckw\"artsgang bei \gl{17}
angekommen. Dort stehen drei solche Apparate der Form
\gl{28}, und zwar so, da\ss\ die Zeitmarken der \anfu 
Apparate\anfo aneinander an\-schlie\-\ss en. Nat\"urlich 
m\"ochten wir die zugeh\"origen drei Integrale gern zu 
einem einzigen von $t=-\infty$ bis $t^\prime=-\infty-i\b$ 
zusammenfassen. Wir erinnern uns, da\ss\ in \gl{28} die
\anfu $n$--te\anfo $\lb\phi\rb$--Integration fehlte. In
\gl{17} bleiben darum L\"ucken an den zwei Nahtstellen
zwischen Matrixelementen. Nun, genau diese zwei L\"ucken
werden gef\"ullt von den beiden Integrationen am Beginn 
von \gl{17}. Die Bildung eines einzigen raumzeitlichen 
Funktionalintegrals gelingt also. Nur wollen nun die 
beiden Funktionen $\phi^{\prime\prime}$ und 
$\phi^{\prime}$ unbedingt ihre Zeitmarken ($t_1$ bzw. 
$t_2$ statt der Striche, $(t_1,\vc r_1) = x_1\,$) 
zur\"uck haben, damit sie vom overall--Funktionalintegral 
an der richtigen Stelle der Zeitachse erfa\ss t werden$\,$:
\vskip .2cm \nz
$$ M_1 \; = \; \int\!\cl D \phi \;\; \phi (x_1 ) \;\; 
   \phi (x_2 ) \;\; e^{ i \int_{\cl C}\! d^4 x \;\;
   \cl L ( \,\psm \phi\, ,\,\phi\, ) } \quad .
\eq{29} $$ \nz
\"Ubrigens sind auch die $\vc r$--Argumente schon l\"angst
nur noch \anfu Marken\anfo$\!$. Ferner haben wir
Proportionalit\"atsfaktoren im Ma\ss\ von $\int\!\cl D$
verschwinden lassen. Man bestimmt letzteres ohnehin
nachtr\"aglich (falls \"uberhaupt ben\"otigt). In \gl{16} 
gab es auch noch das Matrixelement $M_2$. Vertauschung 
von $x_1$ mit $x_2$ bleibt aber dank \gl{29} ohne Effekt. 
Das Funktionalintegral ist clever, es zieht ver\"anderte
Zeitmarken automatisch an der richtigen Stelle in betracht.
Mit $M_1=M_2$ entfallen in \gl{15} die
Stufen\-funk\-tio\-nen$\,$: $\theta_{12} + \theta_{21}
= 1\,$. Und nun$\,$? \ Wir hatten exemplarisch den
$j^2$--Term von $W$ untersucht. Jedes $j(x)$ findet sein
$\phi(x)$ im funktionalen Integranden, und jedes dieser
Paare hat sein eigenes $\int_{\cl C}\! d^4x\,$.
Verallgemeinerung und Wiederaufsummation der e--Reihenterme
erweisen sich also als einfach. Wir sind so weit
%
%  die eingerahmte Gleichung 30 :
%
\nz \hskip 2.3cm \vtop{\hrule\hbox{\vrule\hskip .7cm
\vbox{\vskip -.2cm {}\hsize=8cm  
$$ W \[ j \] = \lim_{\b\to\infty} \;
   \; \int\!\cl D \phi \;\;\; 
   e^{\dis \; i \int_{\cl C}\! d^4x \;\; \( \;
   \cl L \; + \; j \phi \; \) } 
$$ \vskip -.2cm }\hskip .7cm \vrule}\hrule} 
\vskip -.88cm \nz $$ \eq{30} $$ \vskip .6cm \nz
%
--- \ aber noch nicht fertig. Im Erfolgsrausch ist uns 
n\"amlich eine Feinsinnigkeit abhanden gekommen. 
Vor \gl{28} gab es ein $2\neq 3\,$: zwei L\"ucken 
gef\"ullt, aber es hatten drei \anfu $n$--te\anfo 
Integrationen gefehlt. Woher kam die dritte ?
%--------------------------------------------------------
\bigskip
   \ct{{\sl Bose -- Periodizit\"at \qquad }}
\medskip \nz
Die \anfu dritte Integration\anfo hatte ganz links in
\gl{14} gestanden und kam von der Spur \gl{10}. Wie
schon in \gl{12} (und in $M_1$, \gl{16}, besonders
augenf\"allig) steht darum im bra links und im ket rechts
die {\sl $\,$gleiche$\,$} Feldkonfiguration. Lediglich
ihre Zeitmarke hatte sich in zwei verschiedene geteilt.
Die letzte funktionale $\phi$--Integration ist also
eingeschr\"ankt. Halten wir (an einer bestimmten Stelle
$\vc r$) deren Integranden fest, dann verbleiben Wege 
(darum {\sl path integral}) in einem 
Feld--\"uber--Zeit--Diagramm$\,$:
\vskip -.3cm \nz
%%%  Figur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\hskip .5cm  \vbox{\vskip .2cm \hbox{\hskip
5.92cm $\uparrow \; \phi$} 
  \vskip .4cm \hbox{\hskip
4.9cm $\phi (\vc r ) \;\;\bullet \hskip 4.8cm 
  \bullet \;\;\phi (\vc r ) $} 
% Kurvenschar :
  \vskip -.5cm \hbox{\hskip
6cm \vrule depth 0pt height .3pt width 3cm \lower 
    5.6pt\hbox{$\!\!\;\widehat{\;\;\;\;}$} \hskip -.15cm 
    \vrule depth 0pt height .3pt width 1.7cm }
  \vskip -.9cm \hbox{\hskip
10.7cm /\hskip -.06cm$\backslash$}
  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
5.98cm /\hskip -.04cm\vrule depth -7.2pt height 7.5pt 
        width 1.01cm \hskip -.036cm$\backslash$ \hskip 3.21cm 
        / \hskip .03cm$\backslash$} 
  \vskip -.09cm \hbox{\hskip
5.98cm $\backslash$\hskip -.04cm\vrule depth 2.4pt 
        height -2.1pt width 4.4cm \hskip -3.32cm$\backslash$ 
        \hskip 2.99cm / \hskip .14cm /} 
  \vskip -.08cm \hbox{\hskip
7.32cm $\backslash$\hskip -.073cm\lower 9pt\hbox{$
        \bigvee\!\!\bigvee$}\lower 4pt\hbox{$
     \hskip -.06cm\sim \hskip -.08cm\sim \hskip -.08cm\sim
     \hskip -.08cm\sim \hskip -.08cm\sim \hskip -.08cm\sim
     \hskip -.08cm\sim \hskip -.08cm\sim$}
     \hskip -.13cm\vrule depth .8pt height -.5pt
      width 1.33cm \hskip -.02cm\raise 1.6pt\hbox{/} }
%
  \vskip -.8cm \hbox{\hskip
-.1cm $\vc r$ \ fest \ \ {\bf und} \ \ $\phi (\vc r )$ \ fest}
  \vskip .7cm \hbox{\hskip
5.95cm $t_0 \hskip 4.5cm t_0 - i \b$}
  \vskip -.9cm \hbox{\hskip
5cm \vrule depth 0pt height .02pt width 8cm 
    \lower 2.31pt\hbox{$\!\to\;\; t$}}
  \vskip -2.2cm \hbox{\hskip
6cm \vrule depth 0pt height 2.2cm width .02pt \hskip 5.04cm
    \vrule depth 0pt height 2.2cm width .02pt }   }
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vfill \eject

%%%
%%%  7  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{7} \nz
Da sich der Startzeitpunkt $t_0$ (wir haben nat\"urlich  
an $-\infty$ gedacht, aber lediglich au\ss erhalb
physics sollte er liegen) verschieben l\"a\ss t, sei
die genannte Eigenschaft in der Form
$$   \phi (\, t-i\b\, ,\,\vc r\, ) =
     \phi (\, t\, ,\,\vc r\, ) 
\eq{31} $$
notiert. In $\Im m (t)$--Richtung haben die (unter dem
Funktionalintegral klassisch--gewordenen) Bose--Felder 
also die Periode $\b\,$. F\"ur Fermi--Felder bekommt
die rechte Seite von \gl{31} \"ubrigens ein Minuszeichen.
All dies macht sich wichtig (und bleibt richtig), wenn
man die \hbox{\anfu Temperatur--Greens--Funktionen\anfo} 
definiert (wie \gl 1, aber als thermisches Mittel statt 
$0_H$--Erwartungswert), $\b$ endlich bleibt und die Kontur 
$\cl C$ mitten in der \anfu physics\anfo liegt. 
\medskip
Wer da ein kalter $T\! =\! 0\,$--Physiker ist, wird wohl 
\gl{31} als Spitzfindigkeiten abtun (d\"urfen) und die 
Kurve--${\cal C}$--Spezialit\"aten wieder vergessen. Er
denkt nur noch an das reelle St\"uck $t$--Achse von
${\cl C}$, und alle die sch\"onen weiteren Manipulationen
(s.u.), die man mit \gl{30} anstellen kann, gehen gut. \
Wir aber behalten im Kopf, da\ss\ \ {\sl saubere
Feldtheorie ein Temperatur--gegen--Null limes ist.}
\nz
\hskip 2.5cm \vtop{\hrule \hbox{\hskip 10cm} }
%--------------------------------------------------------
\bigskip\smallskip
   \ct{{\sl Nutzen \qquad \qquad }}
\medskip \nz
Der Nutzen der Darstellung \gl{30} wird sofort offenbar,
wenn es an die St\"orungsreihe einer wechselwirkenden
Theorie geht, $\,\cl L = \cl L _0 + \cl L_{\rm int}\,$.
\gl{30} enth\"alt nur noch c--Zahl--Felder. Alle
Vertauschungs--Bauchschmerzen entfallen also, wenn wir
in zwei e--Funktionen aufspalten$\,$:
$$ W \[ j \] = \int \! \cl D \phi \,
   e^{i \!\int\!\! d^4x \,\cl L _{\rm int} \[ \phi \] }
   e^{i \!\int\!\! d^4x \, ( \cl L _0\[ \phi \] + j\phi )}
  = e^{i \!\int\!\! d^4x \, \cl L _{\rm int}
              \lk {1\0i} \d_{j(x)} \rk }
   \int\!\! \cl D \phi \, e^{i \! \int \! d^4x \,
   ( \cl L _0 + j \phi ) } \; .  % \hskip -.4cm
\eq{32} $$ 
Anders als in \gl 3 erzeugt die Funktionalableitung jetzt
klassische Felder statt Operatoren. Diese bleiben 
nat\"urlich unter dem Funktionalintegral stehen. Rechts 
in \gl{32} haben die vor das Integral gezogenen Operatoren
nichts mehr mit $\phi$ zu tun, sie sind scharf auf
$j$--Werte.
\medskip \par
Es kommt noch sch\"oner, und das beschert uns die 
Fourier--Transformation$\,$:
$$  \phi (x) = \klv \int\! d^4k \, e^{-iKx} \,
    \schl \phi (K) \quad , \quad\schl\phi (K) =
    \int\! d^4x \, e^{iKx} \,\phi (x) \quad .\quad
\eq{33} $$
Aus der Definition $\, \d_{j(x)} \, j(y) = \d (x-y)\,$
folgt per Anwenden von $\, \int \! d^4y \, e^{iKy} \,$,
da\ss\
$$  \d_{j(x)} \, \schl\jmath (K) = e^{iKx}
             \quad {\rm und \; somit} \quad
    \klv \int\! d^4x \, e^{-iQx} \,
    \d_{j(x)} \, \schl\jmath (K) = \d (K-Q) = \d_{\,
    \schl\jmath (Q)} \, \schl\jmath (K)\quad . $$
Da beliebig, kann $\schl\jmath (K) $ entfallen, und wir
erhalten (samt ihrer Umkehrung) die Operator--Identit\"at
$$ \d_{\, \schl\jmath (K)} = \klv
    \int\! d^4x \, e^{-iKx} \, \d_{j(x)}
   \quad , \quad \d_{j(x)}  =  \int\! d^4k \, e^{iKx} \,
   \d_{\, \schl\jmath (K)} \quad . \quad
\eq{34} $$
Beachte die andere $\klv$--Stellung.
Die rechte dieser beiden Gleichungen kann direkt in
\gl{32} verwendet werden, n\"amlich rechts in $\cl
L_{\rm int}$ . Also versuchen wir, auch das nachfolgende
Funk\-tio\-nal\-in\-tegral in die Fourier--Unterwelt
zu verfrachten. Der Raum der Feldkonfigurationen kann, 
statt per $\int\!\cl D \phi (x)$, ebensogut auch mittels 
$\int\!\cl D \schl\phi (K)$ erfa\ss t werden. Bleibt der
Integrand. $\cl L _0$ ist in der Regel eine quadratische 
Form aus Feldern mit irgendwelchen Differential--Operatoren
dazwischen. So etwas diagonalisiert der Herr Fourier 
besonders gern. Sei $1 / \D (K)$ der Ausdruck
(der diagonale Kern), welcher sodann zwischen zwei 
$\schl\phi$--Feldern erscheint$\,$:
\vfill \eject

%%%
%%%  8  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{8} \vskip -.2cm \nz
$$  i \int \! d^4x \, \( \cl L _0 + j \phi \) =
    i \klv \int \! d^4k \; \lk \2\,
    \schl \phi (-K) \, {1\0\D (K)} \, \schl \phi (K)
   + \schl\jmath (-K) \schl \phi  (K) \rk \;\; .
\eq{35} $$
$\D (K)$ ist eine reelle, gerade Funktion von $K$ (oder
kann in der Bildung \gl{35} durch ihren geraden Anteil
ersetzt werden). Falls $\schl \phi $ Indizes tr\"agt und
$\D$ Matrix ist, dann $\D = \D^T$. Im Integral \"uber
$\schl \phi (K)$ an der Stelle $K$ (also in jedem der
$\infty$ vielen Integrale) kann die Verschiebung
$\, \schl \phi\to\schl \phi - \schl\jmath \D \,$
vorgenommen werden$\,$:
$$ i\!\int\!\! d^4x\,\( \cl L _0 + j \phi \)
   \;\; \to \;\; i \klv\!\int\!\! d^4k \,\lk \2
   \,\schl \phi (-K) \, {1\0\D (K)} \,\schl\phi (K) -
   \2\,\schl\jmath (-K)\,\D (K)\,\schl\jmath (K)\rk \; .
\eq{36} $$
Wird nun das gau\ss ische Funktionalintegral ausgef\"uhrt
(eine $j$--unabh\"angige Konstante liefernd, absorbierbar
im funktionalen Ma\ss ), dann ist es {\sl weg}$\,$.
\"Ubrig bleibt
$$ W \[ j \]  =
   { e^{ i \int\! d^4x \;\cl L_{\rm int}
   \lk {1\0i} \int\! d^4k\; e^{iKx} \d_{\,
   \widetilde{\jmath} (K)} \rk } W_0 \[ \schl\jmath \]
   \0 \hbox{Z\"ahler}\lk \schl \jmath = 0 \rk \; \glr {\bf c} }
   \;\; , \;\;  W_0 \[ \schl\jmath\] \gll
   e^{ - i \klv\!\int\! d^4q \; {1\02} \,\schl\jmath
   (-Q)\; \D (Q) \;\schl\jmath (Q) } \;\; . \!\!
\eq{37} $$
Links in \gl{37} haben wir uns (endlich) erinnert, da\ss\
die Normierung von $W$ bereits durch \gl 2 festgelegt
war$\,$: $W\[ j=0 \] =1\,$.
\medskip \par
In aller Regel interessiert auch von den Greenschen
Funktionen nur die Fourier--transfor\-mier\-te Version.
Hierzu gibt es eine Feinsinnigkeit, wie diese zu
definieren sei. Das Vaku\-um $\vert 0_H\!\! >$ ist
translationsinvariant. Also geht $G_n$ in sich \"uber, wenn
man alle Variablen $x$ um die gleiche {\sl toy}--Variable
$y$ verschiebt$\,$: $G_n = G_n (x_1 + y , \ldots , x_n
+ y ) = G_n ( x_1 - x_n , \ldots , x_{n-1} - x_n , 0 ) $.
Wenn man nun nach {\sl allen} Variablen Fourier--entwickelt
(Doppel--Schlange bedeute \anfu nach allen\anfo ), dann
erwarten wir eine overall--Deltafunktion via
$$ \eqalign{
   \schl {\schl G} _n
 & =  \int\! d^4x_1 e^{iK_1 x_1} \ldots\int\! d^4x_n
      e^{iK_n x_n} \, G_n ( x_1 - x_n , \ldots , x_{n-1}
      - x_n ,  0 ) \cr
 & = \int\! d^4x_1 \ldots d^4x_{n-1}\, e^{iK_1 x_1 \ldots
     iK_{n-1} x_{n-1}} G_n ( x_1 , \ldots , x_{n-1} , 0 )
     \int\! d^4x_n e^{i (K_1 + \ldots + K_n ) x_n }
     \lower 5pt\hbox{} \cr
 & \glr \;\, ( 2 \pi )^4 \d \( K_1 + \ldots + K_n \)
        \;\, \schl G _n \qquad . \cr }
\eq{38} $$   \vskip -.2cm \nz
\anfu Green's function in momentum space\anfo verweist
auf diese harmlose Gewichtsfunktion $\schl G _n$.,
$\schl G_2 (K)$ ist die Fourier--Transformierte von
$G_2 (x_1 , x_2 )$ bez\"uglich Differenz--Argument
$x \gll x_1 - x_2 \,$.
\medskip \par
Zur Sache. Wir bilden $\schl {\schl G} _n$ von \gl 3 und
setzen dort die rechte Formel von \gl{34} ein$\,$:
\medskip\smallskip \nz
$$ \schl {\schl G} _n \,\; = \,\; \cl Q_1 \ldots \cl Q_n
   \; W \[ \schl\jmath \] \; \vert_{\,\schl\jmath
   \equiv 0} \; = \; {1\0 {\bf c} } \; \cl Q_1\,\ldots\, \cl Q_n \;
   e^{i \int\! \cl L_{\rm int} \, [\; \ldots\; ] }\;
   W_0 \[\schl\jmath \] \;\vert_{\;\schl\jmath \equiv 0}
   \hskip .8cm \hbox{{\ggr !}} \hskip -.2cm
\eq{39} $$
$$ \quad {\rm mit} \qquad  \cl Q_m \; \gll \; {1\0i}
   \int\! d^4x_m e^{iK_m x_m} \int\! d^4q \, e^{iQx_m}\,
   \d_{\,\schl\jmath (Q)} \; = \; (2\pi )^4 \, {1\0i}\,
   \d_{\,\schl\jmath (-K_m)} \quad .
\eq{40}  $$
Man begreife, da\ss\ der Gipfelpunkt erreicht ist. In 
$W_0 \[ \schl\jmath \]$ steht der nackte Propagator,
eingebettet in Quellenfelder. Der gesamte
Wechselwirkungs--Effekt steht aufsummiert und in
Operator--Form davor. Das Anbringen von Beinen, d.h.
das $G_n$--Bilden geschieht durch ein paar \"au\ss ere
$\schl\jmath$--Funktionalableitungen. {\sl Das
Graphen--Gebirge liegt vor uns}.
\medskip
Wenn man nun per \gl{39} Diagramme bildet, ergeben
sich {\sl auch Wol\-ken} (vacuum--to--vacuum--diagrams).
Sie bilden nur einen $j$--unabh\"angigen Faktor. Und
dieser (Zitat) k\"urzt sich perfekt gegen den
Nenner ${\bf c}\,$. Greensche Funktionen sind automatisch
Wolken--frei. Jedoch sind bei manchen ({\sl disconnected})
$G_n$--Beitr\"agen nicht alle Beine mit allen anderen
verbunden (z.B. 4 unter sich, und weitere 6 unter sich).
Die zugeh\"orige Kombinatorik weist sodann (Zitat)
$\ln(W [ j ] ) \glr V [ j ]$ als das erzeugende
Funktional der (''total'') connected Greens aus.
Wer will, kann weiter mit \gl{39} arbeiten, wenn er
discon's jeglicher Art (sowie ${\bf c}$) einfach
wegl\"a\ss t. Abschlie\ss end sei die Idee notiert,
da\ss\ man vielleicht sehr viel fr\"uher in die
Fourier--Unterwelt steigen k\"onnte und da\ss\ unser
Vorgehen in dieser Hinsicht umst\"andlich war. Ansonsten
liegen die M\"angel der bisherigen Behandlung in der
Beschr\"ankung auf Bose--Felder ohne Eichfreiheit.
\vfill \eject

%%%
%%%  9  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% 
\seite{9} \vskip -.3cm \nz
   \ct{{\sl diagrams and rules \qquad }}
\medskip \nz
Um zu guter Letzt konkret zu weden, greifen wir auf die
$\phi^4$--Spielzeug--Theorie zur\"uck$\,$:
selbstwechelwirkende neutrale Spin--0--Teilchen. 
Die ersten beiden Terme in \gl 5 bilden $\cl L_0\,$: 
$$ i\!\int\!\! d^4x \,\cl L_0 % = \ldots 
  = i \!\int\!\! {d^4k\0 (2\pi)^4}\,{1\02}\,
   \schl \phi (-K) \(K_\mu K^\mu - m^2 + i\e \)
   \schl \phi (K) \;\,\Rightarrow \;\,
   \D (K) = {1\0 K^2 - m^2 +i\e} \; .
\eq{41} $$ 
Mit Blick auf $e^{i\!\int\!\cl L_0}$ wurde $i\e$ von Hand eingef\"ugt,
\anfu weil man hier darf\anfo. Nackter Propagator$\,$:
$$ \eqalign{  
   \schl {\schl G }{}_2^0
  & = \cl Q_1 \,\cl Q_2 \; e^{-i \klv\int\! d^4q \,
     {1\02} \schl\jmath (-Q) \D (Q) \schl\jmath (Q)}\;
   {\vrule depth 7pt height 13pt width .2pt}_{\;
   \schl\jmath \equiv 0}
    = \cl Q_1 \lk - \D ( K_2 ) \, \schl\jmath (K_2) \rk\,
      e^{-i\int\ldots }\;
   {\vrule depth 7pt height 13pt width .2pt}_{\;
   \schl\jmath \equiv 0} \cr
  & = (2\pi)^4 \d (K_1 + K_2 )\,\; i \D (K_2) \qquad
      \Rightarrow\qquad\schl G_2^0 ={i\0 K^2 - m^2 + i\e }
      \quad .\cr}
\eq{42} $$
\vskip -.18cm \nz
Vertex$\,$:
$$ i \int\! d^4x \, \cl L _{\rm int}
   = i \( - { g^2\0 4!} \) \int\! d^4x \( {1\0i} \int\!
      d^4k_1 \, e^{iK_1 x} \,\d_{\,\schl\jmath (K_1 )}\)
      \ldots \( {1\0i} \int\! d^4k_4 \, e^{iK_4 x}
      \,\d_{\,\schl\jmath (K_4 )} \)\quad , \quad $$
$$ e^{ i \int\! d^4x \, \cl L _{\rm int} }
   = e^{ \( - i \, {g^2\0 4!} \, \lk \int_1 \ldots
     \int_4 \; (2\pi )^4 \d (K_1 + \ldots K_4 ) \,\rk\;
    \d_{\, \schl\jmath (K_1 )} \; \ldots \;\,
    \d_{\, \schl\jmath (K_4 )} \) } \quad .
\eq{43} $$
Der Operator \gl{43} geht zur\"uck auf Wilhelm Busch
(Hannover). In \gl{43} ist der Exponent ein Knoten
($-ig^2$) mit vier F\"aden, an dessen Enden die K\"oder
$\d$ h\"angen. N\"ahert sich der H\"uhnerstall
$W_0 \[ \schl\jmath \] \glr\eee\,$, dann kann ein $\d$
zun\"achst nur $\,\D\,\schl\jmath\,\eee\;$ bewirken.
Das zweite $\d$ produziert bereits  \vskip -.1cm \nz
$$ \qquad \d (K_3 + K_4 ) \,\D\,\eee\, + \,\D (K_3)\,
   \schl\jmath (K_3) \,\D (K_4 ) \, \schl\jmath (K_4 )
   \,\eee \quad .
$$ \nz
Im ersten Term haben sich zwei Linien miteinander 
kurzgeschlossen (ein $\D$, H\"uhnerstall $\eee$ intakt).
Im zweiten Term gibt es untere und obere H\"uhner
$\schl\jmath$. Abwarten. Die restlichen zwei vom gleichen
Vertex ausgehenden $\d$'s k\"onnen im ersten Term (a)
erneut schlie\ss en, oder (b) zwei Unter--H\"uhner
freisetzen (wartend auf $G_n$-$\d$'s oder auf $\d$'s aus
anderen Vertizes vom Herunter--Entwickeln der e--Funktion).
Auch aus dem zweiten Term entstehen erneut die
Zusammenhangs--Verh\"altnisse (a), (b) und zus\"atzlich
(c)$\,$: alle vier K\"oder an H\"uhnern. Als die gute
Witwe Bolte $\ldots$
%
%  Die einzeilige ''Figur'' :
%
\bigskip \nz
\hskip 1cm $\dis\times$
\hskip -.5cm \raise 7pt\hbox{$_{\d} \hskip .23cm _{\d}$}
\hskip -.67cm \lower 3pt\hbox{$_{\d} \hskip .23cm _{\d}$} 
\qquad ; \qquad (a) : \ \ $\bigcirc\!\bigcirc\;\;$
({\kl $\,$\anfu Wolke$\!$\anfo$\!$})
 \qquad , \qquad (b) : \ \ \vrule depth2.3pt height -2.1pt
 width 1cm \hskip -.7cm $\bigcirc$
 \hskip .4cm\qquad , \qquad (c) : \ \ $\dis\times$
%
\bigskip \nz 
Und so weiter. Wenn vier numerierte H\"uhner auserw\"ahlt
sind, je einen K\"oder zu schlucken, dann gibt es 4!
M\"oglichkeiten der Zuordnung. Dies k\"urzt den
eigent\"umlichen Faktor $1/4!$ bei Definition der
Kopplung in \gl 5.
\medskip \nz
Graphenregeln (nach Cheng+Li)$\,$: \nz
1. Draw all possible connected, topologically distinct,
   graphs with $n$ external lines$\,$;  \nz
2. For each internal line, put in the propagator factor
   $i\D\,$; $\;$ for each vertex$\;\, -ig^2\,$; \nz
3. For each internal momentum $P$ not fixed by momentum
   conservation    \nz \hskip .45cm
   at each vertex, perform an integration 
   $\klv\!\int\! d^4p \;$; \nz
4. Each graph has to be divided by a symmetry factor $S$
   corresponding to the \nz \hskip .45cm
   number of permutations of internal
   lines one can make for fixed vertices$\,$. \nz
\vskip -1.94cm  $$ \elam{1.24}{44} $$ \vskip 1.2cm
%--------------------------------------------------------
\bigskip
   \ct{{\sl \"Ubungsaufgabe \quad \qquad }}
\medskip \nz
Die einfachste Feldtheorie ist 0+1--dimensional, bosonisch
und (wechselwirkungs--)frei$\,$: \nz
$\cl L \to L = {1\02} \p \phi^2 - {1\02} m^2 \phi^2 $.
Der Propagator $\schl G _2$ soll ermittelt werden \nz
\ \ (a) auf \anfu altem Wege\anfo (Rezept, Hamiltonian, 
Feldoperator,  $G_2 (t_1 , t_2 )$ $\ldots$) \ --- \ und 
sodann  \nz
\ \ (b) via $W \[ \schl\jmath \]$. \ \ Finde zu beiden Wegen
    die geeignete Stelle f\"ur eine $\varepsilon$--Einbettung
\anfu von der physi\-ka\-li\-schen Seite her\anfo $\,$derart, 
da\ss\ sich eine (die gleiche?!) Polbeschreibung des 
Propagators ergibt. {\sl ($\,$Gewi\ss , dies ist ein 
harmonischer Oszillator \ --- \ aber einer \anfu in
Feldrichtung\anfo ! )}  
\bigskip \nz
\hskip 5cm \vtop{\hrule \hbox{\hskip 2cm} } \quad
     {\fiverm E N D E } \quad
\vtop{\hrule \hbox{\hskip 2cm} }
\vskip -.2cm \nz 
{\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
