%  ft7.tex         Quantenmechanik II ,  Sommer 1996
%                  = Einfuehrung in die Feldtheorie
%
%  S U ( N )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
% \magnification=\magstep1
\nopagenumbers   \baselineskip 13.7pt
\voffset -1.8cm	 \vsize 27.8cm
\hoffset .4cm    \hsize 17.3cm
\font\nice=cmsl8
\font\gr=cmsl9 scaled \magstep3
\font\gross=cmbx10 scaled \magstep3
\input def
\def\eq#1{\eqno{(\, {\rm S} \, . \, #1 \, )}}
\def\e#1{$\, (\,$S$\, . \,$#1$\, )\;$}
\def\Sp{{\rm Sp}}
%%%%  Anleitung zum Gl.e.-Verbinden s. Ende von ed2.tex
\def\bind#1#2{\def\lin{#1cm} \def\zwi{#2cm}}  
\def\glo{ & = \hskip -7pt \raise .8pt\hbox{\vrule 
              depth .4cm} \hskip 7pt}
\def\glu{ & = \hskip -7pt 
              \raise 0.13cm\hbox{\raise \lin\hbox{\vrule 
              depth \lin} } \hskip 7pt}
\def\glm{ & = \hskip -7pt 
              \raise 0.13cm\hbox{\raise \lin\hbox{\vrule 
              depth \lin} } \hskip -3.8pt 
              \raise .6pt\hbox{\vrule depth .4cm} \hskip 7pt}
\def\ccr{ \cr \noalign{ \vskip -\zwi } }
\def\bbind#1#2{\def\llin{#1cm} \def\zzwi{#2cm}}  
\def\gglu{ & = \hskip -7pt 
              \raise 0.13cm\hbox{\raise 
              \llin\hbox{\vrule depth \llin} } \hskip 7pt}
\def\cccr{ \cr \noalign{ \vskip -\zzwi } }
%%%%

\nz{\nice Uni Hannover, Q.II~1996, $\ldots$ , M--F~2002} \vskip -.4cm
  %%  S O 
  %%  schiebt man etwas rechts ueber den Rand :
\settabs\+ \hskip 15.5cm & \cr    \+ & {\gross SU(N)} \cr
\smallskip \nz
Die lokalen Eichtransformationen ($U=N \times N$--Matrix)
\medskip \nz
$$ U=e^{-ig \Lambda ^a(x) \, T^a} \quad, \quad \Lambda^a
   \;\; \hbox{reell}  \quad ,\quad U^\dagger U=1 \qquad
   \Rightarrow \qquad T=T^\dagger \;\; ,
\eq 1 $$ 
\nz
eines $N$--komponentigen Spinors (darum $U$ unit\"ar), deren
$n=N^2-1$ Gereratoren $T$ spurfrei sind, bilden eine 
(kontinuierliche, nicht--abelsche Lie--) Gruppe ($n =$ ihre
Dimension):
\smallskip \nz
$$ a=1, \dots ,n \quad , \quad \Sp \( T^a \) = 0 \qquad
      \Rightarrow \qquad \det (U)
  = e^{\displaystyle \Sp \lk \ln (U) \rk } = 1
\eq 2 $$
\nz
Jenes $S$ in $SU(N)$ steht f\"ur {\it special } und dieses
f\"ur $\det(U)=1$.
\smallskip \nz
Beispiel$\,$: zu $N=3\,$, $n=8\,$ und $T^a \glr
\lambda^a/2\,$ w\"ahlt Gell--Mann (1962)
\vskip .1cm \nz
$$ \l^{1,2,3} = \quad\; 
   \raise 4pt\hbox{$\s^{1,2,3}$} \hskip -1.25cm 
   \( \matrix{   &   & 0 \cr
                 &   & 0 \cr 
               0 & 0 & 0 \cr} \) \;\; , \;\;
   \l^{4,5} = 
   \( \matrix{   & 0 &   \cr
               0 & 0 & 0 \cr 
                 & 0 &   \cr} 
   \)\!\!\!\!\!\lower 11pt\hbox{$
   \phantom{a}^{\,\s^{1,2} \;\;{\rm in}}_{{\rm die \;
   Ecken}}$} \;\; , \;\;
   \l^{6,7} = \qquad\;\;\; \lower 6pt \hbox{$\s^{1,2}$}
   \hskip -1.66cm
   \( \matrix{ 0 & 0 & 0 \cr
               0 &   &   \cr 
               0 &   &   \cr} \) 
    \;\; , \;\;
   \l^8 = {1\0 \wu 3 } 
   \( \matrix{ 1 & 0 & 0  \cr
               0 & 1 & 0  \cr 
               0 & 0 & -2 \cr } \) \;\; .  $$
\nz
Zu positiv--definitem $U$ ($\Rightarrow \, U \glr e^A$) gilt
das vorletzte Gleichheitszeichen in \e 2 allgemein, denn
\bind{.5}{.49}  \bbind{.5}{.49}   
\medskip \nz
$$ \eqalign{
   \6_x \,\det \( e^{xA} \) 
   \glo \varepsilon_{j_1 \ldots j_N } \lb 
   \(A e^{xA} \)_{1 j_1} \( e^{xA} \)_{2 j_2} \cdot \ldots
   \;\; + \;\; \( e^{xA} \)_{1 j_1} \(A e^{xA} \)_{2 j_2}
   \cdot \ldots \;\; + \;\; \ldots \rb
   \ccr  \glm
   A_{1\ell} \varepsilon_{j_1 \ldots j_N}
     \( e^{xA}\)_{\ell j_1} \( e^{xA}\)_{2j_2} \cdot \ldots
   \;\; + \;\; \ldots  \;\; = \;\;
   A_{11} \varepsilon_{j_1 \ldots j_N} \( e^{xA}\)_{1j_1} 
     \( e^{xA}\)_{2j_2} \cdot \ldots \;\; + \;\; \ldots
   \cccr \gglu   
   {\rm Sp} \( A \) \det \( e^{xA}\) \;\; \Rightarrow \;\; 
     \det  \( e^{xA}\) = C\, e^{x {\rm Sp} (A)} \; ; 
     \; x=0 \, \Rightarrow \, C=1 \; ; 
     \; x=1 \; , \; A=\ln (U) \,
             \Rightarrow \, \hbox{\e 2} \, . \cr }
$$
\vskip .04cm \nz
Eine geeigete Orthonormierung (in \nz 
{\sl fundamentaler}, d.h. $N \times N$--Darstellung) ist
\vskip -1cm
$$ \hskip 5.3cm \Sp \( T^a T^b \) = {1\over2}
   \,\delta^{ab} \;\; .
\eq 3 $$
\nz
Damit Anwenden zweier $U$'s eine neues $U$ ergibt, \nz
m\"ussen die Generatoren unter Kommutation 
{\sl schlie\ss en}$\,$:
\vskip -1cm
$$ \hskip 5.4cm \lk \; T^a \; , \; T^b \;\; \rk 
   \; = \; i \, f^{abc} \, T^c \;\; .  
\eq 4 $$
\nz
Die {\sl Strukturkonstanten} $f$ sind total antisymmetrisch 
(weil \e 3, \e 4 auf $f^{abc} = -2i \, {\rm Sp} \( \lk T^a , 
T^b \rk T^c \)$ f\"uhren). Beispiel: $N=2\,$, $n=3\,$, $T^a
= \sigma^a/2\,$, $f^{abc}=\epsilon ^{abc}\, $.
\smallskip \nz
Die genannten $T$--Eigenschaften haben eigenwillige
Relationen zur Folge. Eine beliebige hermitesche
$N \times N$--Matrix $M$ l\"a\ss t sich nach $1$ und $T^a$
entwickeln, $\;\; M=m_0 \cdot 1 + m_a \cdot T^a \;\; , \;\;$
und die Koeffizienten $m$ folgen durch Bilden von 
$\Sp (M)$ und $ \Sp (M  T^a)$ zu $m_0=\Sp (M)/N \; , \;$
$m_a=2 \Sp(M  T^a)\,$. Also ist 
\vskip .05cm \nz
$2 \Sp (M T^a) T^a=M-\Sp (M)/N \;$, d.h.  \nz
$2  {(T^a)^\alpha}_\beta {(T^a)^\gamma}_\rho
{M^\rho}_\gamma = {\delta^\alpha}_\rho {\delta^\gamma}_\beta 
{M^\rho}_\gamma - {1 \over N}{\delta^\alpha}_\beta 
{\delta^\gamma}_\rho {M^\rho}_\gamma \;\; , \;\;\Rightarrow$
\nz \vskip -1.2cm
$$ \hskip 9.2cm {(T^a)^\alpha}_\beta {(T^a)^\gamma}_\rho
   = {1\over2} \( {\delta^\alpha}_\rho {\delta^\gamma}_\beta   
   - {1 \over N} {\delta^\alpha}_\beta
   {\delta^\gamma}_\rho \) \;\; .
\eq 5 $$
\vskip -.05cm \nz
Zu $N=2$ ($n=3, T^a=\sigma^a/2$) geht \e 5 \nz
\"uber in ${(\sigma^a)^\alpha}_\beta {(\sigma^a)^\gamma}_\rho 
 = 2{\delta^\alpha}_\rho {\delta^\gamma}_\beta 
 - {\delta^\alpha}_\beta {\delta^\gamma}_\rho \;\; $:
\vskip -1cm
$$ \hskip 5.4cm  \vec \sigma_1 \cdot \vec \sigma_2 
   \; = \; 2 \, P_{12} - 1 \;\; .
\eq 6 $$
\nz
Zu $\beta = \gamma$ und Summation \nz
entsteht aus \e 5
\vskip -1.1cm
$$ \hskip 4cm T^a \, T^a = {N \over 2}- {1 \over 2N}
   = {n \over 2N} \;\;  \glr \; C_F \;\;\; .
\eq 7 $$
\nz
Multipliziert man \e 5 mit ${(T^b)^\beta}_\gamma$ und \nz
summiert \"uber $\beta , \gamma$, dann folgt 
wegen $\Sp (T^b)=0$, da\ss\
\vskip -.96cm
$$ \hskip 5cm T^a T^b T^a = - {1 \over 2N} T^b \;\; .
\eq 8 $$
\nz
\e 8 und \e 7 geben schlie\ss lich
\vskip -.8cm
$$ \hskip 3.6cm  T^a T^b T^a T^b = - {n \over {4N^2}} 
   = -{1\over4} + {1 \over {4N^2}} \;\; .
\eq 9 $$
\smallskip \nz
Alle Summenregeln f\"ur die Strukturkonstanten $f$ lassen
sich dadurch beweisen, da\ss\ man sie mittels \e 4 in
$T$--Gleichungen \"uberf\"uhrt und dann \e 2, \e 3 und/oder
\e 5 bis \e 9 verwendet \ -- \ oder auch die
{\sl Jacobi--Identit\"at}
\vskip -.8cm
$$ \hskip 2cm \lk \; \lk A, B \rk\; , \; C \rk
   \; + \; \lk\; \lk B, C \rk\; , \; A
   \; \rk \; + \; \lk\; \lk C, A \rk
   \; , \; B \; \rk \; = \; 0 \;\; .
\eq {10} $$
\medskip \nz
Beispielsweise kl\"art sich
\vskip -.9cm
$$ \hskip 3.4cm f^{acd} f^{cdb} \; = \; N \delta^{ab} 
   \qquad , \qquad N \glr C_A \;\; ,
\eq {11} $$
\vskip -.1cm \nz
folgenderma\ss en auf, wobei zun\"achst \e 4, sp\"ater
\e 9 und \e 7 herangezogen werden$\,$: 
\nz
$$ T^a \hbox{\e {11}} T^b = - \lk T^c , T^d \rk \lk T^c ,
   T^d \rk = -\, 2 T^c T^d T^c T^d + 2 T^c T^d T^d T^c
   = {n\0 2 N^2} + 2 \( { n \0 2 N } \)^2 = {n \0 2 } \;\; .
$$
\nz
\e {11} hilft dann bei der Herleitung von
\vskip -.96cm
$$ \hskip 4cm (T^a)_{10} (T^b)_{04} f^{abc}(T^c)_{23} 
   \; = \; {i \over 2}N (T^a)_{14} (T^a)_{23} \;\; ,
\eq {12} $$
\vskip -.1cm \nz
n\"amlich wie folgt. Da $f^{abc}$ in $a,b$
antisymmetrisch, ist Ersetzung
$(T^a)_{10} (T^b)_{04} \to {1\02} \lk T^a , T^b \rk$
erlaubt, ergo l.h.s. von \e {12} 
$= {1\02} i f^{abd} T^d_{14} f^{abc} T^c_{23}
= {1\02} i T^d_{14} \, N \d^{dc} \, T^c_{23}\;$, qed.
\medskip \nz
Aufgrund von \e {10} gilt im \"ubrigen
\vskip -.9cm
$$ \hskip 5cm f^{ab \bullet} f^{\bullet cd} 
   + f^{bc \bullet} f^{\bullet ad} 
   + f^{ca \bullet} f^{\bullet bd} \; = \; 0 \;\; ,
\eq {13} $$
\nz
und mit \e {13} wiederum sieht man ein, da\ss\ die
$f^{rsa}/i$ \ -- \ mit $r,s$ als Matrix--Indizes
verstanden \ -- \ die Beziehung \e 4 erf\"ullen: 
{\sl adjungierte} Darstellung ($n \times n$). Manchmal 
ist es \"ubrigens recht gescheit, sich die Bildung 
$f^{abc} A^b B^c$ mit $(A \times B)^a $ abzuk\"urzen.
\medskip \nz
[ Kurze ($=$ kopierbare) Darstellungen finden sich in
  Cheng+Li {\sl Gauge theory of elementary particle
  physics} (1984), Kapitel 4, und in DeWitt+Smith
  {\sl Field theory in particle physics} (1986), Vol.1 ,
  Anhang C ]

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
