%  krei.tex          SB Kinderkreisel

\documentclass[12pt]{article} %\pagestyle{empty}
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\parskip 2mm \parindent 0pt

\input def
\def\I{\underline{\underline{I}}\,}
\def\scr{\scriptsize}
\font\sans=cmss12
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
% oberes =
\def\glo#1{ & = \hspace{-.17cm}
            \vrule width 0.1pt height .04cm depth #1mm 
            \hspace{.12cm} & }
% unteres =
\def\glu#1{ \nonu \\[-.5cm] & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% mittleres =
\def\gluo#1#2{ \nonu \\[-.5cm] &  \hspace{.005cm} 
            = \hspace{-.174cm}
           \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{-.004cm}
           \vrule width 0.1pt height .04cm depth #2mm 
           \hspace{.12cm} & }


\begin{document}

$\phantom{a}$ \vskip -13mm
\rl{{\small\sl Universit\"at Hannover, Februar 2003}}

\vskip 1mm
\hspace*{3cm}{\Large\bf Kinderkreisel} 

\vskip 2mm
im ersten Semester\,??\gef ~~Kreiselei ist anstrengende Materie. 
Was da der \glqq schwere symmetrische Kreisel\grqq\ 
(wenigstens der) Sch\"ones treibt liegt andererseits ganz in 
Newtons Regierungsbezirk. Verstehen ist R\"uckf\"uhren. Ob 
also der Kreisel schon f\"ur Studienanf\"anger lehrreich sein 
kann, das steht und f\"allt damit, ob es eine hinreichend 
~e~l~e~m~e~n~t~a~r~e~ Herleitung gibt. Sie darf nicht nach 
Lagrange--Funktion greifen, sie soll ganz im Laborsystem 
bleiben, usw. ~Ob das denn m\"oglich ist~? 
~Hier das Resultat unserer Neugier.

Der Kinderkreisel ist ein starrer K\"orper 
(Masse $\,M\,$) mit zwei gleichen Haupttr\"agheitsmomenten 
$\,I_1=I_2\glr I_{\rm quer}\,$, drehbar festgehalten an einem 
Punkt (hier der Ursprung), welcher auf der Symmetrieachse des 
K\"orpers liegt. Manchen K\"orpern homogener Massenverteilung 
(z.B. Kreis--Pyramide) kann man ansehen, wohin seine 
Hauptachsen zeigen. \\  {\bf Der Ausgangspunkt}. Was 
wir brauchen\,: 
\vskip -9mm
\bean \hspace*{-5mm} 
 & &\hbox{Schwerpunkt~:~ } 
       \vc R \gll \sum m_a \vc r{\!_a} / M \hspace{14mm} , \quad
    \hbox{Drehimpuls~:~ }    
       \vc L \gll \sum \vc r{\!_a} \times m_a \vc v{\!_a} 
    \quad , \quad \nonu \\[-1.5mm]
\hspace*{-5mm} 
 & &\hbox{Tr\"agheitstensor~:~ } 
     \vc L \glr \I \vc \o \hbox{ ~~[PB \S \,4.2] } \quad , \quad
     \hbox{Drehmoment~:~ } 
     \vc D \gll \sum \vc r{\!_a} \times \vc K {\!}_{a} 
    \quad , \quad \nonu \\[-.5mm]
\hspace*{-5mm} 
 & &\hbox{Kugelkoordinaten~:~ } \ta , \;\ph\, \quad 
        \hbox{mit den Abk\"urzungen~ } \nonu \\[-1mm]
\hspace*{-5mm} 
 & & \hspace*{3cm} S\gll \sin(\ta ) \;\;,\;\;\;
           C\gll \cos(\ta ) \;\;,\;\;\;
           s\gll \sin(\ph ) \;\;,\;\;\;
           c\gll \cos(\ph ) \;\;,  \quad \nonu
\eea %   unnumeriert
\vskip -5mm
und wie es gemeint ist, wenn sich zwei $\,\vc \o$'\,s addieren: 
\glqq Motor ($\,\vc \o_2\,$) montiert auf Karussell 
($\,\vc \o_1\,$)\grqq\ [PB \S\,2.1\,, Bild 2--3\,]\,. Der Index 
$\,a\,$ numeriert 
eine beliebige Anzahl von Teilchen, $\,\vc K_{\!a}\,$ ist die Kraft 
auf das $\,a$--te und $\,\sum\,$ l\"auft \"uber alle. Soweit in 
Ordnung\,: all dies k\"onnte um Weihnachten herum verstanden sein, 
ge\"ubt und verinnerlicht. Der oberste Regent \"uber jegliche 
Mechanik (zu gegebenen Kr\"aften) hei\ss t Newton\,: 
$\,m \ppvc r = \vc K\,$ f\"ur jedes Teilchen der\linebreak
\parbox[t]{11.5cm}{
Welt. Er duldet keine nebenbuhlerischen \glqq Gesetze\grqq\ neben
sich. Die Herleitung der Gleichung (1) (bitte bitte
im Kopf\,!\,) zeigt\linebreak} 
\hspace{1mm}
~~\parbox[t]{4cm}{\vskip -6mm 
\ben 
     \6_t \vc L = \vc D  \quad
\ee} % 1
\\[-3mm]
 zweierlei\,: erstens, da\ss\ (1) allgemein gilt f\"ur jeden Haufen von 
Massenpunkten, und zweitens, da\ss\ es sich in der Tat nur um eine 
spezielle Abart von Newton handelt. 

Ein starrer K\"orper hat 6 Freiheitsgrade (6 
Parameter, die seine momentane Lage festlegen). 3 davon verbraucht
der Schwerpunkt oder ebensogut irgendein anderer festgehaltener
Punkt. Bleiben 3 f\"ur Rotation. Beim Kinderkreisel sind dies
die zwei Kugelkoordinaten des Schwerpunktes und ein Winkel $\,\psi\,$ 
um die Figurenachse. (1) hat drei Komponenten. Also ~i~s~t~ die
\glqq Newton--Abart\grqq\ (1) ~d~i~e~ Bewegungsgleichung des 
Kinderkreisels. Alles \"uber ihn, einschlie\ss lich Nutation, 
mu\ss\ aus (1) hervorgehen. 

Wenn alle Massenpunkte des Kreisels nur die konstante
Erdanziehung $\,\vc K_{\!a}^{\hbox{\tiny \"au\ss}} = - m_a g 
\vc e_{\!3}\,$ versp\"uren, und wenn die paarweisen inneren 
Kr\"afte (jene, die den K\"orper $\approx$ starr erscheinen 
lassen) \glqq $\,a \approx r\,$\grqq\ erf\"ullen (mit Richtung 
auf Verbindungslinie), dann fallen sie rechts in (1)
in der Summe heraus ({\ft $\,\vc D^{\rm innere}
=\sum_a \vc r_a \times \sum_b^{b\neq a} K_{(ab)} 
(\vc r_b-\vc r_a) = {1\02} \sum_{a,b}^{a\neq b} K_{(ab)} 
\lk \vc r_a \times (\vc r_b - \vc r_a ) \right.$
$\left. + \vc r_b 
\times (\vc r_a - \vc r_b ) \rk = \vc 0\,$}). 
\"Ubrig bleibt  
\vskip -4mm
\ben  \hspace*{2cm}
\vc D = \sum \vc r_{\!a} \times (-m_a g \vc e_{\!3})
 = - g \sum m_a \vc r_{\!a} \times \vc e_{\!3} = - Mg\vc R
\times \vc e_{\!3} \quad . \;
\ee % 2

\hspace*{8mm}\parbox[t]{6.6cm}{\vskip 5mm 
\unitlength 1.6cm \begin{picture}(1,1)
  \put(-.1,0){\vector(1,0){2.6}} 
  \put(0,-.1){\vector(0,1){1.2}}  
  \put(0,0){\vector(1,1){.4}} 
\linethickness{.2pt}
\qbezier(0,0)(1.5,.5)(2.7,.9)
\qbezier(0,0)(1.4,.25)(2.8,.5)
  \qbezier(2.7,.9)(2.86,.9)(2.9,.7)  % oben rechts
  \qbezier(2.9,.7)(2.92,.54)(2.8,.5)  % unten rechts
  \qbezier[20](2.8,.5)(2.7,.46)(2.64,.66) % unten links
  \qbezier[20](2.64,.66)(2.6,.86)(2.7,.9) % oben links
  \multiput(2.8,.72)(.3,.075){3}{\line(4,1){.22}}  
  \put(2.89,1.16){\ft Figuren}  
  \put(2.89,.95){\ft --achse}  
  \put(.08,1.04){$\vc e_{\!3}$}
  \put(0,0){\vector(-3,2){.3}} \put(-.36,.24){$\vc n$}
%  \put(.1,1.04){$\o_{\rm pr}=\p \ph$}
\thicklines
  \put(0,0){\vector(4,1){1.4}} \put(1.2,.5){$\vc e$}
  \put(0,0){\vector(4,1){1.8}} \put(1.6,.64){$\vc R$}
\end{picture}}  
~~\parbox[t]{8.3cm}{\vskip -4mm 
Wenn wir hier
\vskip -9mm
\ben
 \vc R = R\,\vc e \quad {\rm mit} \quad \vc e 
  = \,(\,S c \, ,\, S s \,,\, C \,)  \quad     
\ee % 3
\vskip -4mm
einsetzen, dann kommt \ --- \ noch ganz allge\-mein \ --- \ 
neben $\,\vc e_{\!3}\,$ und $\,\vc e\,$ (Figurenachse)
noch ein dritter Einheitsvektor $\,\vc n\,$ ins Spiel\,:
\vskip -7mm
\ben  \hspace*{-1mm}  
 \vc D \!=\! M\,g\,R\,S\; \vc n  \!\quad {\rm mit} \!\quad 
  \vc n = \, ( \, -s , \, c \, , \, 0 \, )
  \;\; . \;
\ee %  4
} \\[-2mm]
Nachrechnen~! ~Der Vektor $\,\vc n\,$ liegt in der xy-Ebene,
steht senkrecht auf $\,\vc e\,$ und zeigt in der Figur--Situation
nach links--hinten. Und nun los. Wir gehen stufenweise vor. 
\\[-4mm] $\phantom{aaaa}$

\hspace*{-2.6mm}
\under{{\bf Stufe~1\,:}} $\,\ta = \pi/2\,$, $\,S=1\,$, $\,C=0\,$,
$\,\p \ph \glr \o_{\rm pr} = \const_t\,$, 
$\,\p \psi \glr \o = \const_t\,$. ~\hbox{Das sind arg} einschr\"ankende
Vorgaben. Wir wagen es noch ~n~i~c~h~t~, die 
Bewegungsgleichung zu l\"osen. Vielmehr richten wir nur 
die Frage an sie, ~o~b~ solch eine spezielle Bewegung 
~m~\"o~g~l~i~c~h~ ist (sofern man f\"ur geeignete 
Anfangsbedingungen sorgt). Auch Stufe 2 wird noch von dieser 
engstirnigen Art sein. Die Figur zeigt eine perfekte \glqq Motor\grqq\
(die Figurenachse drehend) montiert auf Karussell (um $\,\vc e_{\!3}\,$)
Situation. Also addieren sich \hbox{zwei $\,\vc \o$'s~:}
\vskip -5mm
\ben
 \vc \o_{\rm figu} = \p \psi\,\big(\, c \,,\, s \,,\, 0\,\big)
 \;\; , \;\;\; \vc \o_{\rm karu} 
  = \p \ph\,\big(\, 0 \,,\, 0 \,,\, 1\,\big)  \;\; , \;\;\; 
 \vc \o_{\rm gesamt}   = \big(\, \p \psi c \,,\, 
 \p \psi s \,,\, \p \ph\,\big) \quad . \;\;\;
\ee % 5
\vskip -3mm
Links in (1) brauchen wir jedoch den Drehimpuls $\,\vc L\,$. 
Auch dieser kann vektoriell zusammengestzt werden. Sowohl
$\,\vc \o_{\rm figu}\,$ als auch $\,\vc \o_{\rm karu}\,$ (weil 
$\,\perp \vc e\,$) liegen auf Hauptachsen, so da\ss\
\vskip -8mm
\ben
 \vc L {\!}_{\rm figu} = I\;\vc\o_{\rm figu}  \quad , \quad 
 \vc L {\!}_{\rm karu} = J\;\vc\o_{\rm karu} 
 \quad , \quad 
 \vc L  = \big(\, I\,\p \psi c \,,\, 
    I\,\p \psi s \,,\, J\,\p \ph\,\big) \quad , \;\;\;
\ee % 6
\vskip -2.6mm
wobei $\,J\,$ das Tr\"agheitsmoment des K\"orpers bei Rotation
um eine Achse $\,\perp \vc e\,$ durch Ursprung ist und folglich nach 
Steiner \"uber $\,J=MR^2 + I_{\rm quer}\,$ mit den eingangs 
notierten, auf Schwerpunkt bezogenen Haupttr\"agheitsmomenten 
zusammenh\"angt. Doppelt h\"alt besser, mag nun jemand sagen, 
und zu (6) eine explizite, von (5) ausgehende Rechnung 
einfordern. OK. Dazu begeben wir uns mittels Drehmatrix $\,D_z\,$ 
in das sich mit $\,\ph = \o_{\rm pr}t\,$ drehende Karussell, 
weil in diesem $\,\I\,$ diagonal bleibt~:
~$ \vc L = \I\,\vc \o = \,D_z^T\; \I'\; D_z \,\vc \o \;$, ~d.h. 
\vskip -3mm
$$ \vc L =
       \hbox{\scr $\(\matrix{ c & -s & 0 \cr
                                 s & c & 0 \cr
                                  0 & 0 & 1 \cr}\)$}
       \hbox{\scr $\(\matrix{ I & 0 & 0 \cr
                              0 & J & 0 \cr
                              0 & 0 & J \cr}\)$}
       \hbox{\scr $\(\matrix{ c & s & 0 \cr
                                 -s & c & 0 \cr
                                  0 & 0 & 1 \cr}\)$}
        \hbox{\scr $\(\matrix{ \p \psi c \cr
                                \p \psi s  \cr
                                \p \ph \cr}\)$}
        = \hbox{\scr $\(\matrix{ c & -s & 0 \cr
                                 s & c & 0 \cr
                                  0 & 0 & 1 \cr}\)$}
        \hbox{\scr $\(\matrix{ I\, \p \psi \cr
                                0 \cr
                              J \p \ph \cr}\)$}  
    = (6) \;\; . \;\; \nonumber 
$$ % unnumerierte Zeile 
\vskip -2mm
Wir waren also vor (6) nur ein wenig \glqq genial\grqq . 
Es wird jetzt spannend, denn wir setzen (6) in (1) ein und 
halten beim Differenzieren $\,\p \ph \glr \o_{\rm pr}\,$ und 
$\,\p \psi \glr \o\,$ konstant. Ob das geht~? 
\vskip -13mm
\ben \hspace*{1cm}
 \6_t\; (6)\, = \6_t \,\big( I\o c\,,\, I\o s\,,\,
        J\o_{\rm pr}\,\big)   = I\,\o\, \o_{\rm pr}\,\vc n \;\; 
  \ueb{??}{\equiv} \;\; MgR\,\vc n \quad \folg \quad 
  \o_{\rm pr} = {MgR\0 I\o} \;\;\; . \;
\ee % 7
\vskip -5mm
Hurra, (1) war erf\"ullbar, d.h. die Vorgaben waren erlaubt 
und die Pr\"azession mit $\,\p \ph = \o_{\rm pr}\,$ gibt es 
tats\"achlich, aber nur mit dem rechts in (7) stehenden Wert. 
Man mu\ss\ also den (nach vorn gerichteten) Regenschirm 
m\"oglichst schnell drehen ($\,\o\,$ gro\ss, und sich selbst dabei
nach links drehen), damit er links 
herum (auf dem linken Arm) langsam genug entfleucht. 
(7) ist Gleichung (5.52) in {\sl Demtr\"oder}~1. In dessen 
voranstehender Herleitungszeile sollte es jedoch 
$\,D= | \6_t \vc L | = \ldots\,$ hei\ss en (statt $\,\6_t L\,$, 
denn das ist Null).

\parbox[t]{13cm}{
\hspace*{-2.6mm}
\under{{\bf Stufe~2\,:}} $\,\ta = \const_t\,$, aber $\,\neq \pi/2\,$.
Wir fragen, ob die Figurenachse (statt in der xy--Ebene)
auch auf einem Kegel ($\,\ta\,$) mit 
$\,\o_{\rm pr} \gll \p \ph = \const_t\,$ umlaufen kann. 
Der Motor--auf--Karussell--Gedanke f\"uhrt jetzt auf}
\hspace*{5mm} \parbox[t]{1cm}{\vskip 1mm \unitlength 1cm
\begin{picture}(.9,1)
  \put(-.1,0){\vector(1,0){2}} 
  \put(0,-.1){\vector(0,1){1.6}}  
  \put(0,0){\vector(1,2){.2}} 
  \put(.3,.7){$\ta$}  \put(1.06,1.23){\scr $<$}
\thicklines
  \multiput(0,0)(.45,.3){4}{\line(3,2){.36}}  
\linethickness{.3pt}
\qbezier(0,1.2)(.6,1.5)(1,.7)
\qbezier(1.71,1.14)(1.5,1.26)(1.1,1.3)
\qbezier(1.71,1.14)(2.2,.86)(1.6,.7)
\end{picture}}  \\[2mm]
\ben
 \vc \o_{\rm figu} =  \p \psi\,
    \big(\, Sc \,,\, Ss \,,\, C\,\big)
 \; , \;\;\; \vc \o_{\rm karu} 
  = \p \ph\,\big(\, 0 \,,\, 0 \,,\, 1\,\big)  \; , \;\;\; 
 \vc \o_{\rm gesamt}   = \big(\, \o S c \,,\, 
 \o S s \,,\, \o C + \p \ph\,\big) \;\; , \;\;
\ee % 8
\vskip -3mm
worin wir wieder $\,\p \psi \glr \o\,$ gesetzt haben. Obacht, die
tats\"achliche Winkelgeschwindigkeit $\,\o_\parallel\,$ des 
K\"orpers um die momentane $\,\,\vc e$--Achse ist von $\,\o\,$
verschieden, denn $\,\vc \o_{\rm karu}\,$ hat jetzt eine Projektion 
auf $\,\vc e\,$. \,Eine $\,\parallel$--$\perp$--Zerlegung [PB (1.29)]
steht an~:  
\vskip -8mm
\ben 
 \vc \o_\parallel = \vc e \(\vc \o_{\rm gesamt} \vc e \)
   = \vc e\, (\o + \p \ph C ) \; , \;\;
 \vc \o_\perp = \vc e \times \(\vc \o_{\rm gesamt} \times \vc e \) 
    =  \p \ph S\,(-Cc\,,\,-Cs\,,\,S\,) \;\; . \;\;
\ee % 9
\vskip -3mm
Nachrechnen~! ~Es sind ~d~i~e~s~e~ beiden $\,\vc \o$'s, welche
auf Hauptachsen liegen (und sich zu $\,\vc \o_{\rm gesamt}\,$ addieren). 
Folglich kann der gesuchte Drehimpuls 
$\,\vc L\,$ wieder \glqq genial\grqq\ zu
\vskip -4mm
\ben
 \vc L = I\,\vc \o_\parallel + J\,\vc \o_\perp \, = \,
    I\,(\o + \p \ph C)\,\vc e + J\, \p \ph \, S\, 
   (\,-Cc\,,\,-Cs\,,\,S\,) \quad , \quad
\ee % 10
\vskip -2mm
zusammengesetzt und in (1) eingesetzt werden. $\,\o\,$, $\,\p \ph\,$,
$\,C\,$ und $\,S\,$ sind zeitunabh\"angig, so 
da\ss\ 
\vskip -11mm
\ben \hspace*{1cm}
 \6_t \vc L = I\,(\o + \p \ph\, C)\,\pvc e - J {\p \ph}^2 S C 
    (-s,c,0) \; = \; 
    \lk IS (\o + \p \ph\, C)\,\p \ph - J{\p \ph}^2 S C \rk
    \vc n \qquad 
\ee % 11
\vskip -5mm
entsteht. (11)$\,\ueb{?!}{=}\,$(4). Es geht erneut gut~:
eckige Klammer$\;= MgRS\,$. F\"ur die Pr\"azessionsfrequenz 
$\,\o_{\rm pr}\gll \p \ph\,$ haben wir damit die quadratische 
Gleichung
\vskip -5mm
\ben
   \o_{\rm pr}\; I\, \o \; +\;  \o_{\rm pr}^2\; \cos(\ta)\, (I-J) 
    \, = \, M\, g\, R \quad \quad
\ee % 12
\vskip -2mm
erhalten. (12) ist nicht {\sl Demtr\"oders} Gleichung (5.53). In 
der letzteren vermi\ss t man den $\,\o_{\rm pr}^2$--Term. Erst 
mit $\,\o \to \infty\,$ lie\ss e er sich vernachl\"assigen. 
Der Zweifel an (5.53) hatte \"ubrigens diese unsere Bem\"uhungen 
ausgel\"ost.

Es ging\,! ~Also doch Kreiselei im Ersten\,? ~Wenn Zeit und 
Gem\"utlichkeit f\"ur ungef\"ahr so viel Rechnung bereitstehen, 
wohlan, dann ja. ~\ --- \ ~Es ist fast immer nur die Zeit.

\vskip 1mm
\hspace{1cm}\hbox{\ende}

\vskip 2mm
Erstaunliche Nebenresultate halten sich in (12) verborgen. 
\\[1mm]
(I) Als quadratische Gleichung  \\ \hspace*{5mm}
    hat (12) ~z~w~e~i~ L\"osungen~: \\
\vskip -15mm \hspace*{6cm}
 {\ft $\dis
  \o_{\rm pr} = {I\,\o \0 2 \cos(\ta )\,(J-I)}\,
  \bigg(\, 1 \pm \wu { 1 - { 4MgR(J-I)\cos(\ta ) \0  I^2\o^2} }
   \,\bigg)\;$ (13) } 
\vskip -.1mm
\setcounter{equation}{13}
Realisierbar sind ~b~e~i~d~e~. Wandern wir mit $\,\ta\,$ sanft 
an $\,\pi/2\,$ heran, so geht die Minuszeichen--L\"osung in (7) 
\"uber, w\"ahrend die Pluszeichen--Frequenz nach $+\infty\,$ 
(if $\,J>I\,$) entschwindet. Von der \glqq langsamen\grqq\ und
der \glqq schnellen\grqq\ Pr\"azession ist die Rede bei
{\sl Goldstein (Klassische Mechanik)}. Von ihm kam auch 
die Rettung aus der Not der eigenen Zweifel\,: (12) ist 
Goldsteins Gleichung (5--70).
\\[1mm]
(II) Ist $\,I\,$ gen\"ugend klein, so kann der Wurzelinhalt negativ
     werden, d.h. es ist nicht jede \linebreak
\hspace*{6.2mm} Neigung $\,\ta\,$ realisierbar.
Man kann zwar jede $\,\ta$--Anfangsbedingung w\"ahlen, aber der
Kreisel vermag sie nicht zu halten. Usw. \ --- \ Ohnehin wird es 
Zeit f\"ur die letzte Stufe.

\hspace*{-2.6mm}
\under{{\bf Stufe~3\,:}} Allgemeine L\"osung der Bewegungsgleichung 
(1). Motor ($\,\p \psi\,\vc e\,$) auf Karussell ($\,\p \ta\,\vc n\,$) 
auf Karussell ($\, \p \ph\,\vc e_3\,$) gibt ~~
$\,\vc \o_{\rm gesamt} = \p \psi\,\vc e + \p \ta\,\vc n 
 + \p \ph \,\vc e_{\!3} \,\; = \,\vc \o_\parallel + \vc \o_\perp\,$ 
~~mit 
\vskip -6mm
\ben  
  \vc \o_\parallel = 
    (\p \psi + \p \ph\,C )\,\vc e \quad \hbox{und}  \quad 
  \vc \o_\perp = \p \ta\,\vc n + \p \ph \vc e_{\!3}
    - \p \ph\,C\,\vc e \qquad \folg \hspace*{4cm} 
\ee % 14
\ben
     \vc L \,=\, I\,\vc \o_\parallel + J\,\vc \o_\perp 
  \;=\; J\p \ta\,\vc n + J\p \ph\,\vc e_{\!3} + 
   \( I \,[\, \p \psi + \p\ph\,C \,] \, - J \p \ph\,C\,\)\vc e
  \quad . \quad
\ee % 15 
\vskip -3mm
Multiplizieren wir $\,\6_t \vc L =\vc D$ der Reihe nach mit 
den Einheitsvekoren $\,\vc e_{\!3}\,$, $\,\vc e\,$, 
$\,\vc n\,$ und nutzen $\;\vc e_{\!\rm any}\,\6_t \vc L 
= \6_t\( \vc e_{\!\rm any} \vc L \) - \pvc e_{\!\rm any} 
\vc L\;$ aus, so folgen zuerst zwei Erhaltungss\"atze,
\vskip -6mm
\ben
 L_3 = J\p\ph S^2 + I\,(\,\p \psi + \p \ph\,C )\, C\, \glr A 
 = \const_t \quad , \quad  I\, (\, \p \psi 
   + \p \ph\,C\, )\, \glr B = \const_t \quad , \quad
\ee % 16
\vskip -2mm
und schlie\ss lich, (16) zum Eliminieren nutzend, eine 
restliche echte Bewegungsgleichung f\"ur $\,\ta\;$:
\vskip -8mm
\ben
  J\,\pp \ta = MgRS - { (A-BC)\,(B-AC) \0 J S^3} 
    \;\;\ueb{?!}{=}\; - \6_\ta\,V(\ta ) \quad . \quad
\ee % 17
\vskip -2mm
Das effektive Potential 
\vskip -10mm
\ben  \hspace*{3.4cm}
   V(\ta ) = MgR\cos(\ta ) 
   + { (\,A-B\cos(\ta )\, )^2 \0 2\, J\, \sin^2(\ta )} 
    \quad \quad
\ee % 18
\vskip -2mm
sieht aufgetragen \"uber $\,\ta\,$ ($\,0 < \ta <\pi\,$)
wie ein {\sans U} aus, hat nur ein Minimum und saust an den 
Intervallr\"andern nach $+\infty\,$. Mit (18) sind wir bei
{\sl Landau+Lifschitz I} angekommen (\,\S~35, Aufgabe 1, 
Gleichung (6)\,.\, Unser $\,V\,$ ist Landaus $\,U_{\rm eff}\,$ 
plus $\,MgR\,$) ~und verweisen auf die dortige weitere 
Diskussion. Nur zweierlei. Erstens, per Multiplikation von 
(17) mit $\,\p \ta\,$ entsteht ein Energiesatz 
$\;{1\02}J \p \ta^2 + V(\ta )=E'\;$ (bis auf Konstante 
tats\"achlich die Energie), und man kann die Bewegung als 
Schwingung in der $\,V$--Mulde interpretieren 
(Nutation). Zweitens, Landaus und Goldsteins
Lagrangesche Methode (auch nur 
eine Newton--Abart) ist \glqq das einzig Wahre\grqq\ bei 
bewegungsbeschr\"ankten Systemen, wovon der Starre K\"orper 
eines ist. \ --- \ Wohlan, so wie auf diesen 
drei Bl\"attern geht es aber ~a~u~c~h~.

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{\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de )
\end{document}









