%  max4.tex       Maxwell bis Feynman , SS 2002
%                Phi-hoch-vier Diagrammatik
%                  ( Ausgangspunkt und Regeln ) 

\documentclass[12pt]{report} \pagestyle{empty}
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\font\sans=cmss12
\input def  


\begin{document}

\rl{M--F~, ~18.~Juni 2002}

\vskip 12mm
\hspace*{7cm}\parbox[t]{8cm}{\large 
   $\phi^4\,$--Diagrammatik \\[2mm]
   $\dis \cl L = {1\02}\,(\6 \phi )^2 - {1\02}\, m^2 
    \,\phi^2 - {g^2\0 4!} \, \phi^4$ }

\vskip 10mm
Der Ausgangspunkt~: \\[3mm]
Der Nenner $\,c'\,$ hat sich bereits perfekt gegen den 
Wolken--Faktor im Z\"ahler gek\"urzt \linebreak
(s. \S ~3.2). 
$\,W_0[\schl \jmath]\,$ wurde 
an $\,e^{i\int \cl L_{\rm int}}\,$ vorbei nach links getauscht
und dort per $\,\schl \jmath \equiv 0\,$ in eine Eins verwandelt~:

\bean
 \schl{\schl G}_n &=& \lk \cl Q_1 \; \ldots \; \cl Q_n \;
 e^{\Re'} \, 1 \rki_{\schl \jmath \equiv 0}^{\rm wolkenlos}
 \; , \;\;\;
 \cl Q_j = (2\pi)^4 {1\0i} \,\bigg( \d_{\schl \jmath (-K_j)}
              - {1\0(2\pi)^4} i \D(K_j) \schl \jmath (K_j)
               \bigg)  \nonu \\
 \Re' &=& -ig^2 {1\04!} \int\! d^4k_1' \ldots d^4k_4' \;
 \; (2\pi)^4 \d(K_1' + K_2' + K_3' + K_4' ) \, \cdot \nonu \\
 & & \cdot\, \bigg( \,\d_{\schl \jmath (K_1')} - {1\0(2\pi)^4}\, 
     i \D (K_1') \,\schl \jmath (-K_1') \,\bigg) 
     \; \bigg( \;\quad _2 \bigg) \; \bigg( \;\quad _3 \bigg) 
     \; \bigg( \;\quad _4 \bigg)  \nonu \\
 i\D (K) &=& {i\0 K^2-m^2+i\e } \; = \;
            {i\0 K_0^2 - \vc k^2 -m^2+i\e } \; = \;
            {\schl G}_0 (K)  \nonu \\[-2mm]
    & & \hspace*{3.4cm} \hbox{\ft hat Pole bei~ } 
        K_0 = \pm \,\wu {m^2 + \vc k^2 } \nonu
\eea

\vskip 8mm
Die Regeln~: \\[-3mm]
\begin{enumerate}
\item Malen. Verbinde die Bausteine  
~{\large$\times$}\hspace*{-2.63mm}\raise .63mm\hbox{\tiny $\bullet$~~}
mit ihren Enden zu allen m\"oglichen, topologisch verschiedenen, 
wolkenlosen Bildern. \ Jene mit $\,n\,$ \"au\ss eren 
Beinen repr\"asentieren Beitr\"age zu $\,\schl G_n\;$. Regeln
2. bis 4. betreffen einen bestimmten solchen Beitrag. 
\item
  Gib allen Linien eine Richtung sowie einen Impuls $\,Q\,$, 
  $\,K\,$, $\,P-K\,$ usw. derart, da\ss\ an jedem Vertex gilt~: 
  ~$\sum$ einlaufende $= \sum$ auslaufende Impulse. 
\item
  Bringe das folgende dem Diagramm entsprechende Produkt 
  zu Papier~: \\
  einen Propagator $\,\schl G_2^{\,0}\,$ f\"ur jede Linie
  (auch \"au\ss ere) und einen Faktor $\,-i g^2\,$ f\"ur jeden
  Vertex. ~Integriere \"uber jeden inneren Impuls $\,K\,$ per 
  $\,({1\02\pi})^4 \int \! d^4k\,$. 
\item
  Teile das Ganze durch den \glqq Symmetriefaktor\grqq\ \quad
  \lower 2mm\hbox{
     $\dis  S\; =\; p \!\prod_{n=2,3,\ldots} \! 2^\b \, 
      (n!)^{\a_n} $}     \\[1mm]
  where $\,\a_n\,$ is the number of {\sl pairs} of vertices 
  connected by $n$ identical self--conjugate lines, $\,\b\,$ 
  is the number of lines connecting a vertex with itself, and 
  $\,p\,$ is the number of permutations of vertices which leave 
  the diagram unchanged with fixed external lines. 
  {\ft $\big[\;$Cheng + Li, {\sl Gauge theory of 
  elementary particle physics}, Appendix B$\;\big]\,$}
\item[\gef \gef] Wer hiermit tats\"achlich ernsthaft 
  arbeitet, rechne besser sein Regel--4--Resul\-tat explizit 
  von Hand nach oder auch mit einem MAPLE--Programm.
\end{enumerate}

\vfill %\vskip 3mm
\hspace*{-8mm}\tiny (hschulz@itp.uni-hannover.de)
\end{document}




