%  me1.tex         Mechanik ,  Winter 95 / 96 
%  
%  Ein Integral   ( Green zum 1D harm Oszillator )

\documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty}
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\hoffset -11mm  \textwidth 16.6cm   
\voffset -3.5cm \textheight 28cm
\parindent 0pt \parskip 2mm

\input def.tex
% oberes =
\def\glo#1{ & = \hspace{-.17cm}
            \vrule width 0.1pt height .04cm depth #1mm
            \hspace{.12cm} & }
% unteres =
\def\glu#1{ \\[-.5cm] & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm
           \hspace{.12cm} & }
% mittleres =
\def\gluo#1#2{ \\[-.5cm] &  \hspace{.005cm}
            = \hspace{-.174cm}
           \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm
           \hspace{-.004cm}
           \vrule width 0.1pt height .04cm depth #2mm
           \hspace{.12cm} & }
\def\ww{W} 

\begin{document}

\rl{{\sl Mechanik$\,$, \ Winter 96 / 97 \ }}

\ft \vskip 1mm
\hspace*{6cm} {\large\bf Ein Integral} \\[3mm] 
auszuwerten, ist in der Regel nicht mehr Gegenstand einer
Theorie--Kurs--Vorlesung. Das Nachfolgende erlaubt jedoch 
(a) einen vergn\"uglichen Gang durch das In\-te\-grier$-$Arsenal 
und (b) eventuelle Wiederverwendung in der Elektrodynamik 
(dort zur Greenschen Funktion des Box-Operators). Bei der
Funktion $G(t)$ handelt es sich um die {\sl Response--Funktion 
des ged\"ampften 1D harmonischen Oszillators} :
$ \lk \6_t^2 + \g \6_t + \o_0^2 \rk x = k \;\; \Rightarrow \;\; 
 x(t) = \int\! dt^\prime \, G( t - t^\prime )\, k(t^\prime )\;$ 
($k \gll$ \"au\ss ere Kraft pro Masse) und zugleich um die 
{\sl Greensche Funktion} des zugeh\"origen linearen Operators :
$\lk \6_t^2 + \g \6_t + \o_0^2 \rk G(t) = \d (t) $. \
Folglich $-$ im Kopf$\,$?$\,$!$\,$!$\,$ $-$ ist
\bea{I1}  % \!\!\!\!\!\!
   G(t) \glo{8} {1\02\pi} \int \! d\o \, e^{i\o t} {1 \0 
   \o_0^2 - \o^2 + i \g\o } \;\;\; = \;\, {\rm reell} \;\;\;
   \( \lower 6pt\vbox{ \hbox{\ft weil $i\to -i$ per $\o\to -\o$}  
      \hbox{\ft kompensierbar ist}} \) \quad ,     
   \gluo{8}{8} {1\04\pi\ww} \int \! d\o \, e^{i\o t}
       \lk \, {1\0 \o + \ww - i {1\02} \g } \, -\, 
       {1\0 \o - \ww - i {1\02} \g } \,\rk \; , \;
       \ww \gll \wu {\o_0^2 - {1\04}\g^2 }     
   \gluo{8}{9}  {1\04\pi\ww} e^{-i\ww t} \int\! d\o \, 
        {e^{i\o t} \0 \o - i {1\02} \g } \quad + \quad 
        {\rm dito}_{\,\ww \to - \ww }  
      \quad \( \, {\rm sei} \; \g < 2\o_0 \, \) \\[-3mm]   
    & &\!\!\! {e^{i\o t} \0 \o - i {1\02} \g }  
    \; = \; { (c + is ) (\o + i {1\02} \g) \0 \o^2 + {1\04} \g^2 } 
    \; = \; {1\0 \o^2 + {1\04} \g^2 } \( \, i\, s\, \o \, + \, i\, 
    {1\02} \g\, c \, + \, 
        \hbox{\ft Terme ungerade in }\, \o \) \nonu
     \\[-8mm]  \nonu             
    \glu{19}  \;\; {1\0 4\pi \ww} \, e^{-i \ww t} \, 2\, i \, 
          \lk \;\int_0^\infty \! d\o \, 
          {\o \, \sin(\o t) \0 \o^2 + {1\04} \g^2 } \; 
          + \;\int_0^\infty \! d\o \, {\g \0 2} \,
          { \cos(\o t) \0 \o^2 + {1\04} \g^2 } \;\rk  
          + \quad {\rm dito}_{\,\ww \to - \ww } \\ \nonu 
\eea % 1 bis 4
Um obige Schritte
zu kommentieren$\,$: Partialbruchzerlegung,
Verschiebe-Trick, Real-Imagin\"arteil-Zerlegung, Verschwinden
eines Integrals $\int_{-\infty}^\infty$ \"uber ungerade Funktion,
sodann $\int_{-\infty}^\infty = 2 \int_0^\infty$. Die beiden  
Integrale in der eckigen Klammer entnehmen wir Bronstein
(No. 17 und 18). Das ist zwar schlimm, aber man k\"onnte sie sich
auch von Standard-\"Ubungsaufgaben zur Fourier-Transformation
notiert haben (ferner$\,$: siehe unten)$\,$:
 \bea{I5}
  \lk \phantom{m_1^2\,} \;\;\; \rk =
  \; {\pi\02} \, {\rm sign} (t) \, e^{-\vert {1\02} \g t \vert }
  \; + \; {\pi\02} \, e^{-\vert {1\02} \g t \vert } 
  \; = \;\pi \,\theta (t) \, e^{-{1\02} \g t } \qquad \;\;  
  \hbox{( $\theta(t)\,$: Kausalit\"at ! )} \\[-3mm] \nonu
\eea % 5
Nehmen wir schlie\ss lich den ''dito''-Term hinzu,
\be{I6}
    {i\0 \ww} e^{-i\ww t} \; +\; {\rm dito}_{\,\ww \to - \ww }
    \; =\; {i\0 \ww} \( e^{-i\ww t} -  e^{i\ww t} \)
    \; =\; {2\0 \ww} \, \sin \(\ww t \) \quad , 
\ee % 6
so folgt als Endresultat  
\be{I7}
   \underline{\; \underline{\; \vphantom{1\0\int} 
 G(t) \;\; = \;\;  \theta(t) \, {1\0 \ww } \, \sin \(\ww t \)
             \,  e^{- {1\02}\g t } \;} \;} \quad\qquad   
   \( \; \to \, \theta(t) \, {1\0 \o_0 } \, \sin \(
   \o_0 t \) \;\; {\rm zu} \;\; \g \to 0 \, \) \quad . \quad
\ee % 7 
\vskip .6cm \nz
% -----------------------------------------------
% \vrule width 4cm height .02pt  depth 0pt
%
\def\lra{\longrightarrow} 
\def\kringel{^{_\swarrow\!\!\!}_{^\searrow\!\!\!\!\!\!\!}
               \bullet_{\!\!_\nearrow}}
\def\bild{\vtop{\hsize 6cm \ft
\hbox{$\hskip 2.8cm \longleftarrow \hskip .4cm (\, 0 < t\, )$}  
\hbox{} 
\hbox{$\hskip .6cm \swarrow \hskip 2.35cm \underline{\o } 
       \hskip 1.75cm \nwarrow $}
\vskip .3cm
\hbox{$\hskip 1cm -W+{i\02} \g \hskip 1.8cm W+{i\02} \g $}
\hbox{$\hskip 1.5cm \kringel \hskip 2.6cm \kringel $}
\hbox{$\downarrow \hskip 6cm \uparrow $}
\hbox{$\;\lra\!\lra\!\lra\!\lra\!\lra\!\lra
       \!\lra\!\lra\!\lra\!\lra\!\lra\!\lra$}
\hbox{$\uparrow \hskip 6cm \downarrow $}
\vskip 1cm
\hbox{$\hskip .6cm \nwarrow \hskip 4.4cm \swarrow $}
\vskip .4cm 
\hbox{$\hskip 2.8cm \longleftarrow \hskip .4cm (\, t < 0\, )$} 
\vskip -3.6cm \nz \hskip 3.1cm 
\vrule width .02pt height 3.5cm depth 0pt
\vskip -4.4cm }}
\vskip -1.3cm \nz 
\hskip 10.56cm \bild  \nz   
\rightskip 7cm \nz
\vskip -1.6cm
So da aber einer {\sl Funktionentheorie} kann (die Anfangsgr\"unde
gen\"ugen ; \ im 4. Semester$\,$?$\,$)$\,$, sieht seine Rechnung ganz 
anders aus. Er geht in eine ''komplexe $\o$-Ebene'', markiert die reelle 
Achse als (obiger) Integrationsweg, sowie als dicke Punkte die Pole 
des Integranden (welche bei $\mp \ww + i \g / 2$ liegen, beide in 
oberer Halbebene also) und erg\"anzt den Integrationsweg, falls 
$t > 0 $, um einen riesigen oberen Halbkreis (und falls $t<0$ um
einen unteren). Im jeweiligen Falle gibt diese Erg\"anzung nur
Null-Beitrag zum Integral. Dann zieht er das Kurvenintegral (in der
komplexen Ebene) um die Pole zusammen (sofern vorhanden,
zu $t<0$ gibt es keine $\Rightarrow \, G \sim \theta(t)\,$) und
rechnet diese beiden Klein-Kringel-Integrale aus (''Residuen-Satz'').
Zu (2) schreibt er \\[2mm]      
\be{I8} \!\!\!\!\!
  G(t) = \theta(t) \, {1\04\pi \ww} \; 2 \pi i 
  \,\( e^{i t \lk \o {\rm \; am\; linken\; Pol}\rk }
    -  e^{i t \lk \o {\rm \; am\; rechten\; Pol}\rk } \) 
  = \theta(t) \, {i\02 \ww} \, e^{-{1\02}\g t}
    \lk - 2 i \, \sin ( \ww t ) \rk  
\ee % 8
\smallskip \\[2mm] \rightskip 0pt \noindent
auf, $-$ und schon ist er bei (7) angekommen. Unsicher, wie der
Mensch zu sein pflegt, kramt er nun in alten Unterlagen, findet
dieses \anfu Sonderblatt\anfo und freut sich, \"ah, da\ss\ Bronstein 
stimmt.
\\[3mm] \ft ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) 

\end{document}

