% me10.tex

\documentclass[12pt]{article}  \pagestyle{headings}
\usepackage{amssymb} \usepackage{german}
\hoffset -8mm   \textwidth 16.4cm   
\voffset -2.8cm   \textheight 26.8cm 
\parskip 3mm    % \parindent 0pt

\input def  \def\anke{\ --- \ }

\begin{document}  %\thispagestyle{empty}

$ $ \vskip -1.7cm
\noindent {\ft Weihnachten 2005 }

\vskip 6mm
\hspace*{2cm} {\Large\bf Was Mister Tompkins sah} 

\vskip 3mm
In Gamovs neckischer Geschichte tr\"aumt sich ein Abendsch\"uler 
namens Tompkins in eine Welt mit $c=30\,$km/h und staunt u.a. \"uber 
einen abgeplatteten Radfahrer \anke am\"usant nachzulesen in Gamov, {\ft\sl
Mr. Tompkins seltsame Reisen durch Kosmos und Mikrokosmos} (Vieweg 1997).
Im Nachgang zur Geschichte fand sich dann der niederschmetternde 
Kommentar, all das stimme nat\"urlich nicht, weil die Laufzeiten der 
Lichtstrahlen vom Radfahrer zu Mr. Tompkins Auge unber\"ucksichtigt 
geblieben seien. Schreck la\ss\ nach\,! \,Was sieht er denn nun 
wirklich\,? 

Bald werden wir beruhigt sein (und in abschlie\ss ender
Fu\ss note dem o.g. Kommentar widersprechen), weil sich das 
Geschichtchen als \glqq fast ganz in Ordnung\grqq\ erweisen wird. 

\vskip 2mm
{\bf Eine Uhr mit {\boldmath$v$} auf {\boldmath$x$}--Achse}

\noindent
\parbox[t]{12.2cm}{\hspace*{5mm} Auf dem Helm des Radfahrers sei 
eine Uhr montiert, Radweg $=$ $x$--Achse. Mr. Tompkins steht bei 
$x=0, \,y=h$ an der gegen\"uberliegenden Hauswand. 
\\ \hspace*{5mm}
Ein Lichtsignal, welches zur $\Sigma$--Zeit $t_1$ von der Uhr 
ausgeht (egal, ob diese ruht oder in Bewegung ist), wird zur 
$\Sigma$--Zeit
\be{1}
    t \, = \, t_1 + {1\0c} \wu{h^2 + x_1^2} \quad
\ee % 1 
} \hspace{13mm}
\parbox[t]{2cm}{\vskip 18mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,1) 
\put(0,-.1){\line(0,1){3.3}} \put(-.3,0){\line(1,0){1.6}}
   \put(1.4,0){\circle{.2}} \put(.002,2.77){\circle*{.1}} 
\put(1.5,0){\line(1,0){.4}} \put(1.4,0){\line(-1,2){1.39}}
   \put(-.33,2.69){\ft $h$} \put(1.28,-.34){\ft $x_1$}
   \put(.9,2.2){$\Sigma$}
\end{picture}} \\[-1mm]
bei Tompkins eintreffen. Die bewegte Uhr (Null--Uhr den Ursprung 
koinzidiert habend)
ist ein Ereignis--Konti\-nu\-um mit $x_1 = v t_1$ ($t_1$ l\"auft).
Wir \glqq Wissenden\grqq\ haben es leicht und k\"onnen aus
\be{2}
  \(\matrix{ct_1' \cr 0 \cr}\) = 
  \(\matrix{ \g & -\b \g \cr -\b \g & \g \cr}\)  
  \(\matrix{ct_1 \cr v t_1 \cr}\) = 
  \(\matrix{ \g\, (1-\b^2)\, c t_1  \cr 0 \cr}\) 
\ee % 2
die Zeit $t_1'= t_1 / \g $ entnehmen, welche Tompkins zum Zeitpunkt (1) 
sehen wird. Aber der arme Tompkins wei\ss\ nicht recht, womit er 
$t_1'$ vergleichen soll: seine Uhr zeigt etwas anderes. Wir k\"onnen 
ihm helfen und an der Hauswand nahe Radweg (der Abstand sei 
vernachl\"assigbar) viele Uhren anbringen. Blickt nun Tonkins auf die 
bewegte Uhr, $t_1'$ zeigend, so sieht er zugleich und direkt dahinter 
die dortige Hauswanduhr, und diese zeigt $t_1\,$. \glqq Aha\,! \,ich 
sehe die Zeitdilatation\grqq . Es ist egal, ob viele  auf der 
$x$--Achse postierte infinitesimale M\"annchen die Zeiten ablesen. 
Aus der Ferne geht es genauso sch\"on\,: kein Unterschied. Der 
Trivialfall ist entdeckt. Eine bewegte Uhr geht langsamer als es 
die Uhr{\bf\,e\,n\,} zeigen, an denen sie gerade vor\"uber kommt.

\vskip 2mm
{\bf Zwei Uhren an den Enden eines Stabes mit {\boldmath$v$}}

\noindent
\parbox[t]{10.8cm}{\hspace*{5mm} Es kommt uns zu teuer, die vielen 
Uhren an der Radweg--nahen Hauswand anzubringen. Tompkins m\"ochte 
bewegte Uhren vergleichen. Die Mitte eines Stabes (Herstellungsma\ss\ 
$2\,a'$) m\"oge Null Uhr den Ursprung passieren. Die beiden 
Ereignis--Kontinua lauten jetzt $x_1 = a + vt_1$ und 
$x_2 = -a + vt_2\,$. Die zugeh\"origen Lorentz--Transformationen
} \hspace{19mm}
\parbox[t]{2cm}{\vskip 10mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,1) 
\put(0,-.3){\line(0,1){3.5}}  \put(.002,2.77){\circle*{.1}} 
\put(-1.3,0){\line(1,0){.6}}  \put(-.5,0){\circle{.4}} 
\put(-.31,-.03){\line(1,0){2.42}}
\put(-.3,-.02){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,-.01){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,0){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,.01){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,.02){\line(1,0){2.4}}
\put(-.31,.03){\line(1,0){2.42}}
\put(2.3,0){\circle{.4}} \put(2.5,0){\line(1,0){.8}} 
   \put(.9,-.03){\line(0,1){1}}
   \put(.3,2.9){$\Sigma$}   \put(.96,.73){\ft $\Sigma'$}
   \put(.9,.3){\vector(1,0){.5}} \put(1.44,.24){\ft $v$}
\put(2.3,-.08){\scriptsize 1}
\put(-.66,-.08){\scriptsize 2}
\linethickness{.1mm}
\qbezier(2.3,0)(1.15,1.39)(0,2.78) 
\qbezier(-.5,0)(-.245,1.39)(-.01,2.78) 
\end{picture}} \\[3mm]
\be{3}
  \(\matrix{ct_{1,2}' \cr \pm a' \cr}\) = 
  \(\matrix{ \g & -\b \g \cr -\b \g & \g \cr}\)  
  \(\matrix{ct_{1,2} \cr \pm a + v t_{1,2} \cr}\) = 
  \(\matrix{ {1\0 \g}\, c t_{1,2} \mp \b\g a \cr \pm \g a \cr}\) 
\ee % 3
f\"uhren in der unteren Komponente auf die L\"angenkontraktion.
In der oberen Kompontente steht nur, was die rechte (linke) Uhr 
anzeigt, \,w\,e\,n\,n\, man die $\Sigma$--Zeiten $t_1$ und $t_2$ 
der je zugeh\"origen Hauswanduhr kennen w\"urde. 

Mr. Tompkins hat kein Problem damit, zu einem bestimmten Zeitpunkt
$t$ auf beiden Uhren zugleich die Zeit abzulesen. Er kann sogar ein 
Auge zu halten (mit dem Zweiten sieht man besser). $\,t\,$ ist 
beliebig w\"ahlbar. Der zu $t$ eintreffende Strahl hat die Uhr
1 (bzw. 2) zu einer Zeit $t_1$ (bzw $t_2$) verlassen, welche 
gem\"a\ss\ nach (1) aus
\be{4}
   t = t_1 + {1\0c} \wu{ h^2 + (a  +vt_1)^2} \qquad \hbox{bzw.} 
   \qquad  t = t_2 + {1\0c} \wu{ h^2 + (-a +vt_2)^2} 
\ee % 4
zu ermitteln ist. Wir l\"osen die linke Gleichung (4) nach $t_1$ auf,
\bea{5}
  c^2 \, (t - t_1 )^2 = h^2 + (a + v t_1)^2 \; &,& \;
 (c^2-v^2)\,t_1^2 - 2\,(c^2 t + a v)\, t_1 + c^2 t^2 - h^2 -a^2 = 0 
    \nonu \\[2mm]
 t_1^2 - 2 \g^2 ( t + \b a/c )\, t_1 + \g^2 t^2 
        - \g^2 (h^2+a^2)/c^2 = 0
  \hspace*{-3.5cm} & & \hspace{4cm} \folg \nonu \\[3mm]
 t_1 \; = \;\g^2 (t+\b a/c ) - \g \wu{ \g^2 (t+\b a/c)^2 - t^2 
          + (h^2+a^2)/c^2 } \hspace*{-6.6cm} & & \hspace{6cm} .
\eea % 5
Das Vorzeichen der Wurzel haben wir daran festgemacht, da\ss\
$\,t^2=(h^2+a^2)/c^2$ nach (4) auf $t_1=0$ f\"uhren mu\ss . 
Weil sich in (4) von der linken zur rechten Gleichung nur das
Vorzeichen von $a$ \"andert, l\"a\ss t sich auch $t_2$ sofort
angeben\,:
\be{6}
 t_2 \; = \;\g^2 (t - \b a/c ) - \g \wu{ \g^2 (t - \b a/c)^2 - t^2 
          + (h^2+a^2)/c^2 } \;\; . \hspace{1.2cm}
\ee % 6
Mit (5) und (6) kennen wir die Lichtsignal--Startzeiten an den
beiden Uhren so, da\ss\ die Signale zur gleichen Zeit $t$ bei
Mister Tompkins eintreffen. Die Uhr--Stellungen, die er sieht,
folgen nun aus der oberen Komponente von (3) zu
\be{7}
 t_{1,2}'\, = \,\mp \b \g {a\0c}  + {1\0\g} \lk \g^2 (t \pm \b a/c ) 
            - \g \wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \rk
    \, = \, \g\, t - \wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \;\; , \;\; 
\ee % 7
wobei $\,\wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \gll \wu{ \g^2 \( t 
       \pm \b {a\0c} \)^2 - t^2 + { h^2+a^2 \0 c^2 } }\,$ 
die Wurzeln in (5) und (6) abk\"urzt.
Wer sagt eigentlich, da\ss\ es in relativistischer Kinematik 
nicht viel zu rechnen g\"abe.

Tags zuvor hatte nat\"urlich Mr. Tompkins mit den $\Sigma'$--Leuten
telefoniert und sich versichern lassen, da\ss\ deren Uhren richtig
gehen. Auch hatte er gelernt, da\ss\ r\"aumlich separierte Ereignisse,
welche von $\Sigma$--Leut\,e\,n\, zur gleichen Zeit $t$ betrachtet 
werden, wegen 
\hbox{\ft $ 
   \(\matrix{ c t_{1,2}' \cr ... \cr}\) = 
   \(\matrix{ \g & -\b \g  \cr -\b \g & \g \cr}\)  
   \(\matrix{ ct \cr x_{1,2}  \cr}\) =
   \(\matrix{ \g ct - \b \g x_{1,2} \cr ...\cr}\)  
$\rule[-5mm]{0pt}{11.4mm}}
verschiedene $\Sigma'$--Uhrzeiten haben. Er wei\ss\ also, da\ss\ zu 
$x_1-x_2=2a$  \vskip -7mm
\be{8}
   (t_2'-t_1')^{\Sigma-{\rm Leut\,e}} = \b \g {2 a\0 c} 
\ee % 8
gilt und das linke Ereignis die gr\"o\ss ere $\Sigma'$--Zeit hat. 
\,E\,r\, aber bekommt dies mit einer Korrektur $K$ zu Gesicht\,:
\be{9}
   \D t' \gll t_2'-t_1' = \wu{\phantom{A} + \phantom{A}}
                        - \wu{\phantom{A} - \phantom{A}} 
   \,=\, \b \g {2a\0c} \; K \;\; , \;\;
   K = {2\g t \0 \wu{\phantom{A} + \phantom{A}} 
         + \wu{\phantom{A} - \phantom{A}} } \;\; . \;\;
\ee % 9 
Ob das stimmt\,? \,Wir k\"onnen (9) testen.

\vskip 2mm
{\bf Symmetrischer Spezialfall}

In dem Moment (Zeit Null), wo die Stabmitte den Ursprung passiert, 
haben die beiden Lichtsignale gleiche Laufzeit $\wu{h^2+a^2}/c\,$. 
Die Signale starten also bei $t_1=t_2\,$. (5)$\,=\,$(6) besagt,
da\ss\ Tompkins zur Zeit $\,t=\wu{h^2+a^2}/c\,$ empf\"angt. Dies 
gibt $t_1=0$ in (5) und $t_2=0$ in (6). Aus den beiden Wurzeln
wird
\bea{10}
   {\wu{\phantom{A} + \phantom{A}}}^{\rm Symmetrie} 
        = \g t+ \b \g  {a\0c} \; &{\rm und}& \;
   {\wu{\phantom{A} - \phantom{A}}}^{\rm Symmetrie} 
        = \g t -  \b \g {a\0c} \nonu \\ 
   \folg & & K^{\rm Symmetrie} = 1 \quad . \quad
\eea % 10 
Tompkins sieht also in symmetrischer Situation das Gleiche wie
seine Hilfsassistenten auf der $x$--Achse. (9) hat
funktioniert. 

Mit der Zeit $t$ (Tompkins' Augenaufschlag) d\"urfen wir
spazieren gehen. Bei $t=0$ wird offenbar $K=0\,$ und die 
Wurzeln werden gleich. Tompkins sieht gleiche Zeigerstellung
der beiden Uhren. Die Stabmitte liegt noch links vom Ursprung.
Die Effekte der Laufzeiten haben die relativistischen gerade 
kompensiert. Die Kompensation ist im Mittelteil von (7) 
noch erkennbar. Bei $t<0$ wird $\D t'$ negativ. Von der Seite,
salopp gesagt, sieht man alles M\"ogliche. 

Die symmetrische Situation kann auch im Grenzfall erreicht werden. 
Wir postieren Mr. Tompkins einfach weit genug weg vom Radweg, 
Lichtjahre weit weg. Er ist nun Astronom auf einem fernen
Planeten. In (9) hei\ss t dies, $h \to \infty$ auszuf\"uhren und 
(m\"oglichst) $K \to 1$ dabei zu erhalten. Kein Problem\,: 
\vskip -6mm
\be{11}
 h \to \infty \;\; {\rm und\;\, zugleich} \;\;
 t \to {h\0c} \;\; : \;\;\;
 \wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \to \g {h\0c} \;\; {\rm und} \;\;
 K \to 1 \;\; . \;\;
\ee % 11
(9) wird (8). Weit drau\ss en wird man also wieder zum 
$\Sigma$--$x$--Achsen--Bewohner, zu jedem gew\"unschten. 
In einer Variante haben wir den Trivialfall erneut entdeckt.

Nat\"urlich darf auch $t\to \infty$ betrachtet werden, $\,h$ fest. 
Jetzt blickt Tompkins zuguterletzt in genau $x$--Richtung und sieht
den Stab als Punkt. Was sich dabei f\"ur $\D t'$ ergeben sollte, 
ergr\"unden wir vorab. Die \"Uberlegung wird extrem einfach, wenn 
wir uns dazu in das gestrichene System begeben\,: \\
\hspace*{24mm}
\unitlength 1cm \begin{picture}(11,1.2) 
  \put(0,.03){\line(0,1){.66}} \put(.002,.02){\circle*{.1}} 
  \put(.1,.45){\ft $\Sigma$}   \put(0,.3){\vector(-1,0){.5}} 
  \put(-.74,.22){\ft $v$}     \put(-1.3,0){\line(1,0){2.6}}  
  \qbezier[28](1.3,0)(3.15,0)(5,0)    
  \put(5,0){\line(1,0){3.3}}     \put(8.5,0){\circle{.4}} 
\put(8.69,-.03){\line(1,0){2.42}}
\put(8.7,-.02){\line(1,0){2.4}}
\put(8.7,-.01){\line(1,0){2.4}}
\put(8.7,0){\line(1,0){2.4}}
\put(8.7,.01){\line(1,0){2.4}}
\put(8.7,.02){\line(1,0){2.4}}
\put(8.69,.03){\line(1,0){2.42}} \put(11.3,0){\circle{.4}} 
\put(11.5,0){\line(1,0){.8}} 
  \put(9.9,-.3){\line(0,1){1.6}} \put(10,1){$\Sigma'$}
\put(11.223,-.08){\scriptsize 1} \put(8.423,-.08){\scriptsize 2}
\put(11.2,.3){$a'$} \put(8.2,.3){$-a'$}
\end{picture} \\[4mm]
Damit das von Uhr 2 ausgehende Lichtsignal zur gleichen Zeit
(ob Gleichheit von $\Sigma$-- oder $\Sigma'$--Zeiten, ist am gleichen 
Ort egal) am $\Sigma$--Ursprung eintrifft, mu\ss\ es um $2a'/c$ 
sp\"ater abgesandt werden\,: $\D t' = t_2'-t_1' = 2a'/c\,$, fertig\,!
\anke Auch mittels (9)\,,
\be{12}
 \!\!\! t\to \infty \, : \;
 \vphantom{\int^\int}\wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} 
    \to \wu{\g^2 t^2 -t^2} \to \g \b t \;\; \folg \; K \to {1\0\b} 
    \;\; {\rm und} \;\; \D t' \to \g {2a\0c} = {2a'\0c}  \;\; , \;\; 
\ee % 12
kommt dies tats\"achlich heraus. Test gelungen.

\vskip 2mm
{\bf L\"angenkontraktion}

Der Stab ist zwar (gegen\"uber dem Herstellungsma\ss\ $2a'\,$) auf 
$2a$ kontrahiert. Wie dann jedoch der kontrahierte Stab von $(0,h)$ 
(von Tompkins) aus wahrgenommen wird, das hat mit Relativistik nichts 
mehr zu tun. Allein mit Laufzeiteffekten haben wir uns jetzt 
herumzuschlagen. Bei $c$ kann es sich auch um die Strahlgeschwindigkeit 
einer Wasserpistole handeln (um zur Weihnachtszeit nicht gerade an 
Maschinengewehre zu denken). Es m\"oge jedoch $c>v$ gelten.

\noindent
\parbox[t]{10.8cm}{\hspace*{5mm} 
Tompkins kennt seinen Abstand $h$ zum Radweg. Zumindest in symmetrischer
Situation (bei der wir im Wensentlichen bleiben werden) kann sein 
Gehirn den Winkel zwischen den zwei Uhr--Lichtsignalen zur L\"ange des
Stabes (des Fahrrades) verarbeiten\,:
\be{13}
   \tan (\a_1) + \tan (\a_2) = {2 a \0 h}
\ee % 13 
} \hspace{17mm}
\parbox[t]{2cm}{\vskip 19mm \unitlength 1cm \begin{picture}(2,1) 
\put(.9,-.3){\line(0,1){3}}  
\put(.902,2.77){\circle*{.1}} 
   \put(1.4,2.5){$\Sigma$}   \put(.97,.4){\ft $h$}
\put(-1.3,0){\line(1,0){.6}}  \put(-.5,0){\circle{.4}} 
\put(-.31,-.03){\line(1,0){2.42}}
\put(-.3,-.02){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,-.01){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,0){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,.01){\line(1,0){2.4}}
\put(-.3,.02){\line(1,0){2.4}}
\put(-.31,.03){\line(1,0){2.42}}
\put(2.3,0){\circle{.4}} % \put(2.5,0){\line(1,0){.8}} 
   \put(2.55,0){\vector(1,0){.5}} \put(3.1,-.07){\ft $v$}
\put(2.3,-.08){\scriptsize 1} \put(-.66,-.08){\scriptsize 2}
\qbezier(.9,1.2)(1.34,1.2)(1.59,1.36)
\qbezier(.9,1)(.5,.99)(.15,1.24) 
   \put(.4,1.35){\ft $\a_2$}    \put(1.02,1.5){\ft $\a_1$}
\linethickness{.1mm}
\qbezier(2.3,0)(1.6,1.39)(.9,2.78) \qbezier(-.5,0)(.2,1.39)(.9,2.78) 
\end{picture}} \\[3mm]
Bei $(0,h)$ kann auch eine Filmkamera laufen, auf deren Bildern die 
Zeit $t$ vermerkt ist. Oder der Ausl\"oser einer dortigen Lochkamera
kann auf bestimmte Zeiten $t$ eingestellt werden. Bei Symmetrie
ist nat\"urlich $\a_1=\a_2$, die Signale starteten beide bei 
$t_1=t_2=0$ und kamen zur Zeit $t=\wu{h^2+a^2}/c$ in der Kamera an.
Tompkins \glqq sieht\grqq\ Stabl\"ange $2a\,$.

Alles scheint in Ordnung, solange nicht jemand boshaft fragt, wo 
denn zur genannten Zeit $t=\wu{h^2+a^2}/c$ der Radkranz (die rot 
angef\"arbte Stabmitte) zu sehen sei. Oh weh. Dessen Lichtsignal 
wurde n\"amlich erst sp\"ater ausgesandt, weil es k\"urzeren Weg 
hatte. Der Radkranz ($=\;$Stabmitte) folgt $x_{\rm kranz} 
= v\,t_{\rm kranz}\,$. Verl\"a\ss t ihn das Signal zur Zeit 
$t_{1,\,{\rm kranz}}\,$, so befindet er sich bei 
$v\,t_{1,\,{\rm kranz}} \glr b\,$. Soll dieses Signal zur Zeit 
$t$ ankommen, mu\ss\
\be{14}
  t_{1,\,{\rm kranz}} + {1\0c} \wu{h^2+b^2} 
  = t_{1,\,{\rm kranz}} + {1\0c} \wu{h^2+v^2 t_{1,\,{\rm kranz}}^2} 
   \;\;\ueb{!}{=}\;\;   t \; = {1\0c} \wu{h^2+a^2} \qquad
\ee % 14
gelten, aufzul\"osen nach $v\,t_{1,\,{\rm kranz}}\,$. Solcherlei wurde 
schon einmal bei der Herleitung von (5) vollf\"uhrt. Wir haben dort
nur zuerst $a=0$ zu setzen und dann $t= \wu{h^2+a^2}/c\,$. Das gibt
\be{15}
  t_{1,\,{\rm kranz}} = {1\0c} \,\g^2 \( \wu{h^2+a^2} 
            -\wu{h^2+\b^2a^2} \) \quad {\rm und} \quad 
  b=v\, t_{1,\,{\rm kranz}} \;\; . \;\;
\ee % 15
Wie erwartet sind beide Gr\"o\ss en, $b$ und $t_{1,\,{\rm kranz}}\,$,
positiv. Tompkins wundert sich 
ein wenig \"uber des Fahrrades Asymmetrie (Zahnkranz links der 
Mitte). Aber sein Foto zeigt es auch. Nun, dann ist das eben so.

\glqq Vielleicht\grqq , kommt ihm nun in den Sinn, \grqq sollte
ich mir mal den ganzen Film anschauen\grqq . Richtig, es findet
sich auch das zur Zeit $h/c$ aufgenommene Bild. Auf diesem sitzt
der Radkranz sehr artig in der Bildmitte. Aus alter Gewohnheit
wird nun das Auge (besser: der hinter ihm angeworfene Teil des 
Gehirns) via $\tan(\a_1) = x_1/h$ und $\tan(\a_2) = (-x_2)/h$ 
auf Stabl\"ange $x_1 + (-x_2)$ pl\"adieren\,:
\be{16}
  2\, \ov{a} \,\gll\, x_1 - x_2 = a + v t_1 - (-a+vt_2)  
     = 2a + \D \qquad  {\rm mit}  \qquad  
     \D = v\,(t_1-t_2) \qquad , \quad
\ee % 16
wobei sich $t_1$ und $t_2$ aus (5) bzw. (6) mit $t=h/c$ bestimmen.
Etwas Rechnerei (welche $\g^2 \b^2 = \g^2-1$ ausnutzt) f\"uhrt auf
\be{17}
  \D = \g^2 \b \lk 2\b a - \,\(\, \wu{h^2+a^2 + 2\b h a}
          - \wu{h^2+a^2 - 2\b h a} \,\)\, \rk \; . \quad
\ee % 17
Ist dies nun positiv oder negativ\,? \,Zu $h=0$ wird $\D=\g^2\b
\cdot 2 \b a > 0$ und zu $h \to \infty$ wird es Null
(Trivialfall erneut erreicht). Mit etwas M\"uhe zeigt man auch, 
da\ss\ es dazwischen keine Nullstelle gibt. Also ist generell
$\D>0$ und folglich $\ov{a} > a\,$. Auf Radkranz fixiert 
\glqq sieht\grqq\ das Auge den Stab zu lang. Wohlgemerkt, es
handelte sich hier nur um reine (wiewohl recht ungewohnte) 
Laufzeiteffekte.\footnote{
    \,Hat Tompkins beide Augen auf, so kann er 
    Entfernungen absch\"atzen und wird alle 
    Signal--Aus\-gangs\-punk\-te als Punkte auf der $x$--Achse 
    identifizieren. Hier widersprechen wir Sexls 
    Kommentar im Gamov--Buch, wonach sich das Rad drehen 
    w\"urde (der Gep\"acktr\"ager erscheint lediglich
    rhombisch verzerrt) oder (noch schlimmer) wonach die 
    L\"angenkontraktion gar nicht zu sehen sei. 
    Tompkins sieht $2a$\,! \anke nicht $2a'$.} 

\vskip 2mm
{\bf Alptraum}

W\"ahrend der ganzen Darwinschen Evolution hatten es weder Tiere 
noch Menschen n\"otig, ihre Augen an die obigen Raffinessen 
anzupassen. Stets war $\,c\,$ so gut wie unendlich. 
Licht--Laufzeiten waren stets $\infty$ kurz. Und es gab wenig
Grund, f\"ur Strahlen von Wasserpistolen besondere Sensorien
zu entwickeln. Soll nun das Sehhirn den Moment nehmen, in dem 
der Radkranz im Fadenkreuz liegt, oder warten bis Lenker und 
R\"ucklicht symmetrisch liegen\,? \,(Das letztere ist richtig, 
wie wir oben gesehen haben.)

Bei den Assoziationen um Lenker, Radkranz, R\"ucklicht, Sehnerv
und Darwinsche Auslese geriet Mister Tompkins in einen 
alptraumartigen Zustand. Er wachte schwei\ss gebadet auf.

\vfill

\noindent {\tiny hschulz@itp.uni-hannover.de}

\end{document}





