% me10.tex \documentclass[12pt]{article} \pagestyle{headings} \usepackage{amssymb} \usepackage{german} \hoffset -8mm \textwidth 16.4cm \voffset -2.8cm \textheight 26.8cm \parskip 3mm % \parindent 0pt \input def \def\anke{\ --- \ } \begin{document} %\thispagestyle{empty} $ $ \vskip -1.7cm \noindent {\ft Weihnachten 2005 } \vskip 6mm \hspace*{2cm} {\Large\bf Was Mister Tompkins sah} \vskip 3mm In Gamovs neckischer Geschichte tr\"aumt sich ein Abendsch\"uler namens Tompkins in eine Welt mit $c=30\,$km/h und staunt u.a. \"uber einen abgeplatteten Radfahrer \anke am\"usant nachzulesen in Gamov, {\ft\sl Mr. Tompkins seltsame Reisen durch Kosmos und Mikrokosmos} (Vieweg 1997). Im Nachgang zur Geschichte fand sich dann der niederschmetternde Kommentar, all das stimme nat\"urlich nicht, weil die Laufzeiten der Lichtstrahlen vom Radfahrer zu Mr. Tompkins Auge unber\"ucksichtigt geblieben seien. Schreck la\ss\ nach\,! \,Was sieht er denn nun wirklich\,? Bald werden wir beruhigt sein (und in abschlie\ss ender Fu\ss note dem o.g. Kommentar widersprechen), weil sich das Geschichtchen als \glqq fast ganz in Ordnung\grqq\ erweisen wird. \vskip 2mm {\bf Eine Uhr mit {\boldmath$v$} auf {\boldmath$x$}--Achse} \noindent \parbox[t]{12.2cm}{\hspace*{5mm} Auf dem Helm des Radfahrers sei eine Uhr montiert, Radweg $=$ $x$--Achse. Mr. Tompkins steht bei $x=0, \,y=h$ an der gegen\"uberliegenden Hauswand. \\ \hspace*{5mm} Ein Lichtsignal, welches zur $\Sigma$--Zeit $t_1$ von der Uhr ausgeht (egal, ob diese ruht oder in Bewegung ist), wird zur $\Sigma$--Zeit \be{1} t \, = \, t_1 + {1\0c} \wu{h^2 + x_1^2} \quad \ee % 1 } \hspace{13mm} \parbox[t]{2cm}{\vskip 18mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,1) \put(0,-.1){\line(0,1){3.3}} \put(-.3,0){\line(1,0){1.6}} \put(1.4,0){\circle{.2}} \put(.002,2.77){\circle*{.1}} \put(1.5,0){\line(1,0){.4}} \put(1.4,0){\line(-1,2){1.39}} \put(-.33,2.69){\ft $h$} \put(1.28,-.34){\ft $x_1$} \put(.9,2.2){$\Sigma$} \end{picture}} \\[-1mm] bei Tompkins eintreffen. Die bewegte Uhr (Null--Uhr den Ursprung koinzidiert habend) ist ein Ereignis--Konti\-nu\-um mit $x_1 = v t_1$ ($t_1$ l\"auft). Wir \glqq Wissenden\grqq\ haben es leicht und k\"onnen aus \be{2} \(\matrix{ct_1' \cr 0 \cr}\) = \(\matrix{ \g & -\b \g \cr -\b \g & \g \cr}\) \(\matrix{ct_1 \cr v t_1 \cr}\) = \(\matrix{ \g\, (1-\b^2)\, c t_1 \cr 0 \cr}\) \ee % 2 die Zeit $t_1'= t_1 / \g $ entnehmen, welche Tompkins zum Zeitpunkt (1) sehen wird. Aber der arme Tompkins wei\ss\ nicht recht, womit er $t_1'$ vergleichen soll: seine Uhr zeigt etwas anderes. Wir k\"onnen ihm helfen und an der Hauswand nahe Radweg (der Abstand sei vernachl\"assigbar) viele Uhren anbringen. Blickt nun Tonkins auf die bewegte Uhr, $t_1'$ zeigend, so sieht er zugleich und direkt dahinter die dortige Hauswanduhr, und diese zeigt $t_1\,$. \glqq Aha\,! \,ich sehe die Zeitdilatation\grqq . Es ist egal, ob viele auf der $x$--Achse postierte infinitesimale M\"annchen die Zeiten ablesen. Aus der Ferne geht es genauso sch\"on\,: kein Unterschied. Der Trivialfall ist entdeckt. Eine bewegte Uhr geht langsamer als es die Uhr{\bf\,e\,n\,} zeigen, an denen sie gerade vor\"uber kommt. \vskip 2mm {\bf Zwei Uhren an den Enden eines Stabes mit {\boldmath$v$}} \noindent \parbox[t]{10.8cm}{\hspace*{5mm} Es kommt uns zu teuer, die vielen Uhren an der Radweg--nahen Hauswand anzubringen. Tompkins m\"ochte bewegte Uhren vergleichen. Die Mitte eines Stabes (Herstellungsma\ss\ $2\,a'$) m\"oge Null Uhr den Ursprung passieren. Die beiden Ereignis--Kontinua lauten jetzt $x_1 = a + vt_1$ und $x_2 = -a + vt_2\,$. Die zugeh\"origen Lorentz--Transformationen } \hspace{19mm} \parbox[t]{2cm}{\vskip 10mm \unitlength 1cm \begin{picture}(1,1) \put(0,-.3){\line(0,1){3.5}} \put(.002,2.77){\circle*{.1}} \put(-1.3,0){\line(1,0){.6}} \put(-.5,0){\circle{.4}} \put(-.31,-.03){\line(1,0){2.42}} \put(-.3,-.02){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,-.01){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,0){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,.01){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,.02){\line(1,0){2.4}} \put(-.31,.03){\line(1,0){2.42}} \put(2.3,0){\circle{.4}} \put(2.5,0){\line(1,0){.8}} \put(.9,-.03){\line(0,1){1}} \put(.3,2.9){$\Sigma$} \put(.96,.73){\ft $\Sigma'$} \put(.9,.3){\vector(1,0){.5}} \put(1.44,.24){\ft $v$} \put(2.3,-.08){\scriptsize 1} \put(-.66,-.08){\scriptsize 2} \linethickness{.1mm} \qbezier(2.3,0)(1.15,1.39)(0,2.78) \qbezier(-.5,0)(-.245,1.39)(-.01,2.78) \end{picture}} \\[3mm] \be{3} \(\matrix{ct_{1,2}' \cr \pm a' \cr}\) = \(\matrix{ \g & -\b \g \cr -\b \g & \g \cr}\) \(\matrix{ct_{1,2} \cr \pm a + v t_{1,2} \cr}\) = \(\matrix{ {1\0 \g}\, c t_{1,2} \mp \b\g a \cr \pm \g a \cr}\) \ee % 3 f\"uhren in der unteren Komponente auf die L\"angenkontraktion. In der oberen Kompontente steht nur, was die rechte (linke) Uhr anzeigt, \,w\,e\,n\,n\, man die $\Sigma$--Zeiten $t_1$ und $t_2$ der je zugeh\"origen Hauswanduhr kennen w\"urde. Mr. Tompkins hat kein Problem damit, zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ auf beiden Uhren zugleich die Zeit abzulesen. Er kann sogar ein Auge zu halten (mit dem Zweiten sieht man besser). $\,t\,$ ist beliebig w\"ahlbar. Der zu $t$ eintreffende Strahl hat die Uhr 1 (bzw. 2) zu einer Zeit $t_1$ (bzw $t_2$) verlassen, welche gem\"a\ss\ nach (1) aus \be{4} t = t_1 + {1\0c} \wu{ h^2 + (a +vt_1)^2} \qquad \hbox{bzw.} \qquad t = t_2 + {1\0c} \wu{ h^2 + (-a +vt_2)^2} \ee % 4 zu ermitteln ist. Wir l\"osen die linke Gleichung (4) nach $t_1$ auf, \bea{5} c^2 \, (t - t_1 )^2 = h^2 + (a + v t_1)^2 \; &,& \; (c^2-v^2)\,t_1^2 - 2\,(c^2 t + a v)\, t_1 + c^2 t^2 - h^2 -a^2 = 0 \nonu \\[2mm] t_1^2 - 2 \g^2 ( t + \b a/c )\, t_1 + \g^2 t^2 - \g^2 (h^2+a^2)/c^2 = 0 \hspace*{-3.5cm} & & \hspace{4cm} \folg \nonu \\[3mm] t_1 \; = \;\g^2 (t+\b a/c ) - \g \wu{ \g^2 (t+\b a/c)^2 - t^2 + (h^2+a^2)/c^2 } \hspace*{-6.6cm} & & \hspace{6cm} . \eea % 5 Das Vorzeichen der Wurzel haben wir daran festgemacht, da\ss\ $\,t^2=(h^2+a^2)/c^2$ nach (4) auf $t_1=0$ f\"uhren mu\ss . Weil sich in (4) von der linken zur rechten Gleichung nur das Vorzeichen von $a$ \"andert, l\"a\ss t sich auch $t_2$ sofort angeben\,: \be{6} t_2 \; = \;\g^2 (t - \b a/c ) - \g \wu{ \g^2 (t - \b a/c)^2 - t^2 + (h^2+a^2)/c^2 } \;\; . \hspace{1.2cm} \ee % 6 Mit (5) und (6) kennen wir die Lichtsignal--Startzeiten an den beiden Uhren so, da\ss\ die Signale zur gleichen Zeit $t$ bei Mister Tompkins eintreffen. Die Uhr--Stellungen, die er sieht, folgen nun aus der oberen Komponente von (3) zu \be{7} t_{1,2}'\, = \,\mp \b \g {a\0c} + {1\0\g} \lk \g^2 (t \pm \b a/c ) - \g \wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \rk \, = \, \g\, t - \wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \;\; , \;\; \ee % 7 wobei $\,\wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \gll \wu{ \g^2 \( t \pm \b {a\0c} \)^2 - t^2 + { h^2+a^2 \0 c^2 } }\,$ die Wurzeln in (5) und (6) abk\"urzt. Wer sagt eigentlich, da\ss\ es in relativistischer Kinematik nicht viel zu rechnen g\"abe. Tags zuvor hatte nat\"urlich Mr. Tompkins mit den $\Sigma'$--Leuten telefoniert und sich versichern lassen, da\ss\ deren Uhren richtig gehen. Auch hatte er gelernt, da\ss\ r\"aumlich separierte Ereignisse, welche von $\Sigma$--Leut\,e\,n\, zur gleichen Zeit $t$ betrachtet werden, wegen \hbox{\ft $ \(\matrix{ c t_{1,2}' \cr ... \cr}\) = \(\matrix{ \g & -\b \g \cr -\b \g & \g \cr}\) \(\matrix{ ct \cr x_{1,2} \cr}\) = \(\matrix{ \g ct - \b \g x_{1,2} \cr ...\cr}\) $\rule[-5mm]{0pt}{11.4mm}} verschiedene $\Sigma'$--Uhrzeiten haben. Er wei\ss\ also, da\ss\ zu $x_1-x_2=2a$ \vskip -7mm \be{8} (t_2'-t_1')^{\Sigma-{\rm Leut\,e}} = \b \g {2 a\0 c} \ee % 8 gilt und das linke Ereignis die gr\"o\ss ere $\Sigma'$--Zeit hat. \,E\,r\, aber bekommt dies mit einer Korrektur $K$ zu Gesicht\,: \be{9} \D t' \gll t_2'-t_1' = \wu{\phantom{A} + \phantom{A}} - \wu{\phantom{A} - \phantom{A}} \,=\, \b \g {2a\0c} \; K \;\; , \;\; K = {2\g t \0 \wu{\phantom{A} + \phantom{A}} + \wu{\phantom{A} - \phantom{A}} } \;\; . \;\; \ee % 9 Ob das stimmt\,? \,Wir k\"onnen (9) testen. \vskip 2mm {\bf Symmetrischer Spezialfall} In dem Moment (Zeit Null), wo die Stabmitte den Ursprung passiert, haben die beiden Lichtsignale gleiche Laufzeit $\wu{h^2+a^2}/c\,$. Die Signale starten also bei $t_1=t_2\,$. (5)$\,=\,$(6) besagt, da\ss\ Tompkins zur Zeit $\,t=\wu{h^2+a^2}/c\,$ empf\"angt. Dies gibt $t_1=0$ in (5) und $t_2=0$ in (6). Aus den beiden Wurzeln wird \bea{10} {\wu{\phantom{A} + \phantom{A}}}^{\rm Symmetrie} = \g t+ \b \g {a\0c} \; &{\rm und}& \; {\wu{\phantom{A} - \phantom{A}}}^{\rm Symmetrie} = \g t - \b \g {a\0c} \nonu \\ \folg & & K^{\rm Symmetrie} = 1 \quad . \quad \eea % 10 Tompkins sieht also in symmetrischer Situation das Gleiche wie seine Hilfsassistenten auf der $x$--Achse. (9) hat funktioniert. Mit der Zeit $t$ (Tompkins' Augenaufschlag) d\"urfen wir spazieren gehen. Bei $t=0$ wird offenbar $K=0\,$ und die Wurzeln werden gleich. Tompkins sieht gleiche Zeigerstellung der beiden Uhren. Die Stabmitte liegt noch links vom Ursprung. Die Effekte der Laufzeiten haben die relativistischen gerade kompensiert. Die Kompensation ist im Mittelteil von (7) noch erkennbar. Bei $t<0$ wird $\D t'$ negativ. Von der Seite, salopp gesagt, sieht man alles M\"ogliche. Die symmetrische Situation kann auch im Grenzfall erreicht werden. Wir postieren Mr. Tompkins einfach weit genug weg vom Radweg, Lichtjahre weit weg. Er ist nun Astronom auf einem fernen Planeten. In (9) hei\ss t dies, $h \to \infty$ auszuf\"uhren und (m\"oglichst) $K \to 1$ dabei zu erhalten. Kein Problem\,: \vskip -6mm \be{11} h \to \infty \;\; {\rm und\;\, zugleich} \;\; t \to {h\0c} \;\; : \;\;\; \wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \to \g {h\0c} \;\; {\rm und} \;\; K \to 1 \;\; . \;\; \ee % 11 (9) wird (8). Weit drau\ss en wird man also wieder zum $\Sigma$--$x$--Achsen--Bewohner, zu jedem gew\"unschten. In einer Variante haben wir den Trivialfall erneut entdeckt. Nat\"urlich darf auch $t\to \infty$ betrachtet werden, $\,h$ fest. Jetzt blickt Tompkins zuguterletzt in genau $x$--Richtung und sieht den Stab als Punkt. Was sich dabei f\"ur $\D t'$ ergeben sollte, ergr\"unden wir vorab. Die \"Uberlegung wird extrem einfach, wenn wir uns dazu in das gestrichene System begeben\,: \\ \hspace*{24mm} \unitlength 1cm \begin{picture}(11,1.2) \put(0,.03){\line(0,1){.66}} \put(.002,.02){\circle*{.1}} \put(.1,.45){\ft $\Sigma$} \put(0,.3){\vector(-1,0){.5}} \put(-.74,.22){\ft $v$} \put(-1.3,0){\line(1,0){2.6}} \qbezier[28](1.3,0)(3.15,0)(5,0) \put(5,0){\line(1,0){3.3}} \put(8.5,0){\circle{.4}} \put(8.69,-.03){\line(1,0){2.42}} \put(8.7,-.02){\line(1,0){2.4}} \put(8.7,-.01){\line(1,0){2.4}} \put(8.7,0){\line(1,0){2.4}} \put(8.7,.01){\line(1,0){2.4}} \put(8.7,.02){\line(1,0){2.4}} \put(8.69,.03){\line(1,0){2.42}} \put(11.3,0){\circle{.4}} \put(11.5,0){\line(1,0){.8}} \put(9.9,-.3){\line(0,1){1.6}} \put(10,1){$\Sigma'$} \put(11.223,-.08){\scriptsize 1} \put(8.423,-.08){\scriptsize 2} \put(11.2,.3){$a'$} \put(8.2,.3){$-a'$} \end{picture} \\[4mm] Damit das von Uhr 2 ausgehende Lichtsignal zur gleichen Zeit (ob Gleichheit von $\Sigma$-- oder $\Sigma'$--Zeiten, ist am gleichen Ort egal) am $\Sigma$--Ursprung eintrifft, mu\ss\ es um $2a'/c$ sp\"ater abgesandt werden\,: $\D t' = t_2'-t_1' = 2a'/c\,$, fertig\,! \anke Auch mittels (9)\,, \be{12} \!\!\! t\to \infty \, : \; \vphantom{\int^\int}\wu{\phantom{A} \pm \phantom{A}} \to \wu{\g^2 t^2 -t^2} \to \g \b t \;\; \folg \; K \to {1\0\b} \;\; {\rm und} \;\; \D t' \to \g {2a\0c} = {2a'\0c} \;\; , \;\; \ee % 12 kommt dies tats\"achlich heraus. Test gelungen. \vskip 2mm {\bf L\"angenkontraktion} Der Stab ist zwar (gegen\"uber dem Herstellungsma\ss\ $2a'\,$) auf $2a$ kontrahiert. Wie dann jedoch der kontrahierte Stab von $(0,h)$ (von Tompkins) aus wahrgenommen wird, das hat mit Relativistik nichts mehr zu tun. Allein mit Laufzeiteffekten haben wir uns jetzt herumzuschlagen. Bei $c$ kann es sich auch um die Strahlgeschwindigkeit einer Wasserpistole handeln (um zur Weihnachtszeit nicht gerade an Maschinengewehre zu denken). Es m\"oge jedoch $c>v$ gelten. \noindent \parbox[t]{10.8cm}{\hspace*{5mm} Tompkins kennt seinen Abstand $h$ zum Radweg. Zumindest in symmetrischer Situation (bei der wir im Wensentlichen bleiben werden) kann sein Gehirn den Winkel zwischen den zwei Uhr--Lichtsignalen zur L\"ange des Stabes (des Fahrrades) verarbeiten\,: \be{13} \tan (\a_1) + \tan (\a_2) = {2 a \0 h} \ee % 13 } \hspace{17mm} \parbox[t]{2cm}{\vskip 19mm \unitlength 1cm \begin{picture}(2,1) \put(.9,-.3){\line(0,1){3}} \put(.902,2.77){\circle*{.1}} \put(1.4,2.5){$\Sigma$} \put(.97,.4){\ft $h$} \put(-1.3,0){\line(1,0){.6}} \put(-.5,0){\circle{.4}} \put(-.31,-.03){\line(1,0){2.42}} \put(-.3,-.02){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,-.01){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,0){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,.01){\line(1,0){2.4}} \put(-.3,.02){\line(1,0){2.4}} \put(-.31,.03){\line(1,0){2.42}} \put(2.3,0){\circle{.4}} % \put(2.5,0){\line(1,0){.8}} \put(2.55,0){\vector(1,0){.5}} \put(3.1,-.07){\ft $v$} \put(2.3,-.08){\scriptsize 1} \put(-.66,-.08){\scriptsize 2} \qbezier(.9,1.2)(1.34,1.2)(1.59,1.36) \qbezier(.9,1)(.5,.99)(.15,1.24) \put(.4,1.35){\ft $\a_2$} \put(1.02,1.5){\ft $\a_1$} \linethickness{.1mm} \qbezier(2.3,0)(1.6,1.39)(.9,2.78) \qbezier(-.5,0)(.2,1.39)(.9,2.78) \end{picture}} \\[3mm] Bei $(0,h)$ kann auch eine Filmkamera laufen, auf deren Bildern die Zeit $t$ vermerkt ist. Oder der Ausl\"oser einer dortigen Lochkamera kann auf bestimmte Zeiten $t$ eingestellt werden. Bei Symmetrie ist nat\"urlich $\a_1=\a_2$, die Signale starteten beide bei $t_1=t_2=0$ und kamen zur Zeit $t=\wu{h^2+a^2}/c$ in der Kamera an. Tompkins \glqq sieht\grqq\ Stabl\"ange $2a\,$. Alles scheint in Ordnung, solange nicht jemand boshaft fragt, wo denn zur genannten Zeit $t=\wu{h^2+a^2}/c$ der Radkranz (die rot angef\"arbte Stabmitte) zu sehen sei. Oh weh. Dessen Lichtsignal wurde n\"amlich erst sp\"ater ausgesandt, weil es k\"urzeren Weg hatte. Der Radkranz ($=\;$Stabmitte) folgt $x_{\rm kranz} = v\,t_{\rm kranz}\,$. Verl\"a\ss t ihn das Signal zur Zeit $t_{1,\,{\rm kranz}}\,$, so befindet er sich bei $v\,t_{1,\,{\rm kranz}} \glr b\,$. Soll dieses Signal zur Zeit $t$ ankommen, mu\ss\ \be{14} t_{1,\,{\rm kranz}} + {1\0c} \wu{h^2+b^2} = t_{1,\,{\rm kranz}} + {1\0c} \wu{h^2+v^2 t_{1,\,{\rm kranz}}^2} \;\;\ueb{!}{=}\;\; t \; = {1\0c} \wu{h^2+a^2} \qquad \ee % 14 gelten, aufzul\"osen nach $v\,t_{1,\,{\rm kranz}}\,$. Solcherlei wurde schon einmal bei der Herleitung von (5) vollf\"uhrt. Wir haben dort nur zuerst $a=0$ zu setzen und dann $t= \wu{h^2+a^2}/c\,$. Das gibt \be{15} t_{1,\,{\rm kranz}} = {1\0c} \,\g^2 \( \wu{h^2+a^2} -\wu{h^2+\b^2a^2} \) \quad {\rm und} \quad b=v\, t_{1,\,{\rm kranz}} \;\; . \;\; \ee % 15 Wie erwartet sind beide Gr\"o\ss en, $b$ und $t_{1,\,{\rm kranz}}\,$, positiv. Tompkins wundert sich ein wenig \"uber des Fahrrades Asymmetrie (Zahnkranz links der Mitte). Aber sein Foto zeigt es auch. Nun, dann ist das eben so. \glqq Vielleicht\grqq , kommt ihm nun in den Sinn, \grqq sollte ich mir mal den ganzen Film anschauen\grqq . Richtig, es findet sich auch das zur Zeit $h/c$ aufgenommene Bild. Auf diesem sitzt der Radkranz sehr artig in der Bildmitte. Aus alter Gewohnheit wird nun das Auge (besser: der hinter ihm angeworfene Teil des Gehirns) via $\tan(\a_1) = x_1/h$ und $\tan(\a_2) = (-x_2)/h$ auf Stabl\"ange $x_1 + (-x_2)$ pl\"adieren\,: \be{16} 2\, \ov{a} \,\gll\, x_1 - x_2 = a + v t_1 - (-a+vt_2) = 2a + \D \qquad {\rm mit} \qquad \D = v\,(t_1-t_2) \qquad , \quad \ee % 16 wobei sich $t_1$ und $t_2$ aus (5) bzw. (6) mit $t=h/c$ bestimmen. Etwas Rechnerei (welche $\g^2 \b^2 = \g^2-1$ ausnutzt) f\"uhrt auf \be{17} \D = \g^2 \b \lk 2\b a - \,\(\, \wu{h^2+a^2 + 2\b h a} - \wu{h^2+a^2 - 2\b h a} \,\)\, \rk \; . \quad \ee % 17 Ist dies nun positiv oder negativ\,? \,Zu $h=0$ wird $\D=\g^2\b \cdot 2 \b a > 0$ und zu $h \to \infty$ wird es Null (Trivialfall erneut erreicht). Mit etwas M\"uhe zeigt man auch, da\ss\ es dazwischen keine Nullstelle gibt. Also ist generell $\D>0$ und folglich $\ov{a} > a\,$. Auf Radkranz fixiert \glqq sieht\grqq\ das Auge den Stab zu lang. Wohlgemerkt, es handelte sich hier nur um reine (wiewohl recht ungewohnte) Laufzeiteffekte.\footnote{ \,Hat Tompkins beide Augen auf, so kann er Entfernungen absch\"atzen und wird alle Signal--Aus\-gangs\-punk\-te als Punkte auf der $x$--Achse identifizieren. Hier widersprechen wir Sexls Kommentar im Gamov--Buch, wonach sich das Rad drehen w\"urde (der Gep\"acktr\"ager erscheint lediglich rhombisch verzerrt) oder (noch schlimmer) wonach die L\"angenkontraktion gar nicht zu sehen sei. Tompkins sieht $2a$\,! \anke nicht $2a'$.} \vskip 2mm {\bf Alptraum} W\"ahrend der ganzen Darwinschen Evolution hatten es weder Tiere noch Menschen n\"otig, ihre Augen an die obigen Raffinessen anzupassen. Stets war $\,c\,$ so gut wie unendlich. Licht--Laufzeiten waren stets $\infty$ kurz. Und es gab wenig Grund, f\"ur Strahlen von Wasserpistolen besondere Sensorien zu entwickeln. Soll nun das Sehhirn den Moment nehmen, in dem der Radkranz im Fadenkreuz liegt, oder warten bis Lenker und R\"ucklicht symmetrisch liegen\,? \,(Das letztere ist richtig, wie wir oben gesehen haben.) Bei den Assoziationen um Lenker, Radkranz, R\"ucklicht, Sehnerv und Darwinsche Auslese geriet Mister Tompkins in einen alptraumartigen Zustand. Er wachte schwei\ss gebadet auf. \vfill \noindent {\tiny hschulz@itp.uni-hannover.de} \end{document}