%  me2.tex          Streuquerschnitt  ( Februar 2004 )

\documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty}
\usepackage{amssymb} \usepackage{german}
\hoffset -6mm  \textwidth 16cm   
\voffset -3.5cm   \textheight 27.6cm 
\parindent 0pt \parskip 2mm

\input def
% oberes =
\def\glo#1{ & = \hspace{-.17cm}
            \vrule width 0.1pt height .04cm depth #1mm 
            \hspace{.12cm} & }
% unteres =
\def\glu#1{ \nonu \\[-.5cm] & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{.12cm} & }
% mittleres =
\def\gluo#1#2{ \nonu \\[-.5cm] &  \hspace{.005cm} 
            = \hspace{-.174cm}
           \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm 
           \hspace{-.004cm}
           \vrule width 0.1pt height .04cm depth #2mm 
           \hspace{.12cm} & }

\begin{document}

\rl{Hannover, 8. 2. 2004}

\vskip 3mm
\hspace*{6cm} {\large\bf Streuquerschnitt} \\[2mm] 

\vskip -5mm
\parbox[t]{3.5cm}{\vskip -6mm
\unitlength 1cm \begin{picture}(3,4)
   \put(1,.6){\vector(0,1){4.6}} \put(1,2){\line(2,3){1.55}}
   \multiput(.4,0)(.2,0){7}{\vector(0,1){.3}}
   \put(2.6,4.1){\line(2,3){.3}} \put(2.36,4.28){\line(2,3){.3}}
   \qbezier(2.9,4.55)(2.78,4.64)(2.66,4.73) 
   \put(2.8,4.82){\ft $d F$}   \put(1.13,5.06){\ft $z$}
   \put(1.3,3.3){$\ta$}  \put(1.9,3){\ft $r$} \put(1.8,.05){\ft $v_0$}
   \qbezier(1,4.2)(1.76,4.2)(2.222,3.833)
\linethickness{.02mm}
    \put(0,2){\vector(1,0){2.6}}
\end{picture}}\parbox[t]{12.5cm}{Einem Strahl nicht--wechselwirkender 
Teilchen ($m\,$, $v_0$) steht 
am Ursprung ein Streuzentrum im Wege. Es ist mit seiner 
Angstr\"om--Ausdehnung im links skizzierten Meterbereich nicht sichtbar. 
Strahl und Zentrum definieren eine Symmetrieachse, oBdA die z--Achse. 
Falls das streuende Potential $V(r)$ kugelsymmetrisch ist (es sei so), 
hat der Vorgang achsiale Symmetrie um die z--Achse. Pro Zeit werden 
einige Teilchen in einem um $r$ entfernten Z\"ahlrohr (Fl\"ache $dF$) 
bei Kugelkoordinate $\ta$ registriert. } 

Der Reproduzierbarkeit wegen beziehen die Experimentatoren diese
Anzahl ($\,\glr$\#$_{\rm aus}$\,) auf den Raumwinkel 
$d\O = dF /r^2$ und auf die (ebenfalls gemessene) Stromdichte des 
einfallenden Strahls, bezeichnen das Resultat zum Beispiel mit 
$\s( \ta )$ und sagen \glqq differentieller Streuquerschnitt\grqq\ 
dazu (weil $\s$ Dimension Fl\"ache hat)\,:
\be{1}
   { \hbox{\ft \#}_{\rm aus} \0  \hbox{\ft Zeit und $d\O$} } = i_{\rm aus}
   \quad , \quad 
   { \hbox{\ft \#}_{\rm ein} \0  \hbox{\ft Zeit und Fl\"ache} } = j_{\rm ein}
   \qquad , \qquad \s (\ta ) \; = \;
   { i_{\rm aus} \0  j_{\rm ein} } \quad . \quad 
\ee % 1
So mi\ss t man nicht nur, sondern es ist \,d\,i\,e\,s\,e\, Definition, 
welche sich zwanglos auf Q. (Wahrsch.stromdichte) und ED 
($\vc j=\,$Poynting-V.) \"ubertr\"agt. \"Ubrigens\,: $i_{\rm aus} = r^2 
j_{\rm aus}\,$. Die leider recht \"ubliche Notation \glqq ${d\s \0 d\O
}$\grqq\ halten wir f\"ur ungeschickt, weil sie den Bezug zur obigen 
Experimentalphysik verliert und eben auch den zu Q. und ED.

\parbox[t]{12.5cm}{
Erst wenn $\s$ ausgerechnet werden soll, setzt man \#$_{\rm aus}$
gleich \#$_{\rm ein}\,$, um die \#'s k\"urzen zu k\"onnen. Nat\"urlich
mu\ss\ nun  \#$_{\rm ein}$ (pro Zeit) genau die Teilchen erfassen, 
welche sp\"ater auf der $r$--Kugel--Oberfl\"ache in 
$dF= \lk 2\pi r \sin(\ta )\rk\!\cdot\!\lk r d\ta \rk$ 
(pro Zeit) eintreffen werden. Es sind die Teilchen, die weit unten
mit ihrem Sto\ss paramter $\rho$ in einem bestimmten Intervall $d \rho$
lagen\,:}\hspace*{-3mm}\parbox[t]{3.5cm}{\vskip 7.5mm \unitlength 1cm 
\begin{picture}(2,2)
   \put(1.6,1.2){\vector(0,1){2.2}}
 \put(1.6,2){\unitlength .7cm \begin{picture}(2,0)
   \linethickness{.2pt}
   \qbezier(0,1)(.414,1)(.707,.707) \qbezier(.707,.707)(1,.414)(1,0)
   \qbezier(0,-1)(.414,-1)(.707,-.707) \qbezier(.707,-.707)(1,-.414)(1,0)
   \qbezier(0,1)(-.414,1)(-.707,.707)  \qbezier(-.707,.707)(-1,.414)(-1,0)
   \qbezier(0,-1)(-.414,-1)(-.707,-.707) \qbezier(-.707,-.707)(-1,-.414)(-1,0)
   \end{picture}} 
 \put(1.6,2){\unitlength .36cm \begin{picture}(2,0)
   \linethickness{.2pt}
   \qbezier(0,1)(.414,1)(.707,.707) \qbezier(.707,.707)(1,.414)(1,0)
   \qbezier(0,-1)(.414,-1)(.707,-.707) \qbezier(.707,-.707)(1,-.414)(1,0)
   \qbezier(0,1)(-.414,1)(-.707,.707)  \qbezier(-.707,.707)(-1,.414)(-1,0)
   \qbezier(0,-1)(-.414,-1)(-.707,-.707) \qbezier(-.707,-.707)(-1,-.414)(-1,0)
   \end{picture}} 
 \put(1.6,2){\unitlength .14cm \begin{picture}(2,0)
   \linethickness{.2pt}
   \qbezier(0,1)(.414,1)(.707,.707) \qbezier(.707,.707)(1,.414)(1,0)
   \qbezier(0,-1)(.414,-1)(.707,-.707) \qbezier(.707,-.707)(1,-.414)(1,0)
   \qbezier(0,1)(-.414,1)(-.707,.707)  \qbezier(-.707,.707)(-1,.414)(-1,0)
   \qbezier(0,-1)(-.414,-1)(-.707,-.707) \qbezier(-.707,-.707)(-1,-.414)(-1,0)
   \end{picture}} 
       \put(1.6,0){\line(0,1){.6}} \qbezier[4](1.59,.7)(1.59,.9)(1.59,1.1)
       \put(2,0){\vector(0,1){.6}}  \put(2.1,0){\vector(0,1){.6}}
       \qbezier(2,1.2)(2,2)(3.4,3.4) \qbezier(2.1,1.2)(2.1,2)(3.1,3.5) 
   \put(1.9,-.2){\scriptsize $\rho$} 
   \put(2.07,-.2){\scriptsize $\rho\!+\! d\rho$}     
     \put(2.4,1.8){\tiny Angstr\"om--}
     \put(2.4,1.5){\tiny Bereich}
     \put(1.04,.8){\tiny $10^{10}$ Angstr\"om Abstand}
\end{picture}}
 
\be{2}
  \s (\ta ) =  {\hbox{\ft \#}  \0 
                 \hbox{\ft Zeit}\cdot 2\pi\,\sin(\ta ) \,d\ta }
  \;\;\; { \hbox{\ft Zeit} \cdot 2\pi \rho \, | d\rho | \0  
           \hbox{\ft \# } }  
   \;\; = \;\; {\rho (\ta ) \0 \sin (\ta )} 
          \; \big|\,\rho'(\ta )\,\big| \quad . \quad
\ee % 2     
Die Betragstriche sorgen f\"ur positives $\s$ auch dann, wenn bei
wachsendem $\ta$ der Sto\ss parameter zu verkleinern ist. Gegenstand
konkreter Rechnungen ist es, $\rho (\ta )$ zu erhalten. 
 
Totaler Streuquerschnitt\,: \vskip -8mm
\bea{3}
  \s_{\rm total} \glo{8} { \hbox{\ft gesamte Anzahl gestreuter 
                         Teilchen / Zeit} \0 j_{\rm ein} } 
       \, = \, {\int \! d\O \;  i_{\rm aus} \0  j_{\rm ein} } \,
          = \int \! d\O \; \s (\ta )    
  \gluo{7}{7} 2\pi \, \int_0^\pi \! d\ta \; \sin (\ta )\,\s (\ta ) \; = \;
     \Big|\, 2\pi \int_0^\pi \! d\ta \; \rho(\ta )\, \rho'(\ta) \,\Big|  
  \glu{7} \pi \,\Big|\, \rho^2 ( \ta\!=\!\pi ) - \rho^2 ( \ta\!=\!0 )
              \,\Big|\, \quad \hbox{\ft 
              (\,sofern $\rho (\ta )$ einwertig ist\,)} \;\; . \quad
\eea % 3
F\"ur eine harte Kugel ($R$) ist $\rho(\pi )=0$ und $\rho(0)=R$ und 
folglich $\s_{\rm total}$ gleich der \"Aquator--Kreisfl\"ache 
$\pi R^2\,$. \,\"Ubung\,: Zeige, da\ss\ bei harter Kugel 
$\s (\ta ) = R^2/4 = \const_\ta\,$ ist.

{\bf Rutherford\,:} \,Zu $V(r)$ f\"uhren bekanntlich 
   $\p r = \wu {{2\0m} ( E-V_{\rm eff}(r) ) }\,$ und 
   $\p \ph = L/(mr^2)\,$ via $\ph^{\prime\, r} = \p \ph / \p r\,$ 
   zur Bahnkurve\,: $\chi \gll \ph(\infty) - \ph(r_0) = 
   \int_{r_0}^\infty \ldots\;$. Und mit $\ta = \pi - 2\chi\,$, 
   $L=m \rho\, v_0\,$, \\[-.6mm]
   $E=m v_0^2/2\,$, $V(r) = \a / r\,$ und so 
   einiger Integrier--Arbeit ergibt sich am Ende 
            \hspace*{10.5mm}\raise 1.4mm\hbox{$\uparrow$}
\be{4}
  \s(\ta ) \, = \,\( {\a \0 2m v_0} \)^{\!2} \; 
       {1 \0 \sin^4 (\ta / 2 ) } \quad \to \;\;\; \sim \, 
       {1\0 \ta^4 } \;\; \hbox{\ft bei $\ta \to 0$} \;\; , \quad
\ee % 4
woraus man um 1920 auf die Fast--Punktf\"ormigkeit der Kerne
im Atom schlie\ss en konnte. \\[2mm]     
\hspace*{-2cm}
{\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}
















