%  me5.tex         Mechanik ,  Winter 95 / 96 
%  
%  Euler's Winkel  

%  def.tex  erforderlich

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  L A T E X  %%%
\documentstyle[12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\voffset -4.5cm  \textheight=28.6cm  
\hoffset -1cm    \textwidth=17.1cm
  \font\gr=cmbxsl10 scaled \magstep1
  \font\mtt=cmsl9    
\font\ggr=cmtt12   \def\I{\hbox{\ggr I}}
\input def    \let\th=\theta

   %  Die Figur
\def\fg{\unitlength.9cm  \begin{picture}(2,2) \thicklines
\put(0,0){\vector(-1,-2){1.2}} \put(-1.64,-2.38){$\vc e_{\! 1}$}
\put(1.87,0){\vector(1,0){1.44}}\put(3.4,-.1){$ \vc e_{\! 2}$}
\put(0,0){\vector(0,1){3.3}} \put(-1.48,3.36){$\vc\o_\ph\, 
  ,\,\vc e_{\! 3} = \vc e_{\! 3}^\prime$}
\put(0,0){\line(2,3){1.67}}
\thinlines         \put(0,0){\line(2,3){1.9}} 
\put(1.9,2.94){$\vc e_{\! 2}^{\prime\prime}$}
\put(2.12,.78){\line(2,1){.5}} 
\put (2.66,1.04){$\vc e_{\! 2}^{\prime}$}
% Kippachse 
\put(0,0){\line(4,-5){1.9}}  
\put(0,0){\line(-4,5){.36}} \put(-.6,.75){\line(-4,5){.32}}
\put(1.3,-2.7){$\vc e_{\! 1}^\prime = 
    \vc e_{\! 1}^{\prime\prime}\, ,\;\vc\o_\theta$}
% gestrichelte f-Achsen
   \thicklines \put(0,0){\line(-2,1){.5}}  % f_3 :
\put(-.6,.3){\line(-2,1){.5}}
\put(-1.2,.6){\vector(-2,1){1.6}}
\put(-3.4,1.6){$\vc \o_\psi\, ,\vc f_{\!\! 3}$} % f_1 :
\put(0,0){\line(5,-1){.5}}  \put(.6,-.12){\line(5,-1){.5}}
\put(1.2,-.24){\line(5,-1){.5}}  
\put(1.7,-.5){$\vc f_{\!\! 1}$}  % f_2 :
\put(0,0){\line(1,4){.18}} \put(.212,.848){\line(1,4){.18}}
\put(.424,1.696){\line(1,4){.18}} 
\put(.32,2.64){$\vc f_{\!\! 2}$}
%  Schraffur   ///////////////////////////////////
\thinlines
\put(-.84,1.05){\line(2,3){.4}}  \put(-.72,.90){\line(2,3){.8}}
\put(-.60,.75){\line(2,3){1.08}} \put(-.18,1.05){\line(2,3){.96}} 
\put(-.36,.45){\line(2,3){1.4}}  \put(-.24,.30){\line(2,3){1.53}}
\put(-.12,.15){\line(2,3){1.6}}  \put(.12,-.15){\line(2,3){1.7}}
\put(.24,-.30){\line(2,3){1.69}} \put(.36,-.45){\line(2,3){1.67}}
\put(.48,-.60){\line(2,3){1.64}} \put(.60,-.75){\line(2,3){1.55}}
\put(1.12,-.27){\line(2,3){1.04}}\put(1.24,-.45){\line(2,3){.82}}
\put(.96,-1.20){\line(2,3){1}}
  %  unterer Lappen
\put(-1.82,-1.41){\line(-2,-3){.3}}
\put(-1.62,-1.44){\line(-2,-3){.44}}
\put(-1.44,-1.50){\line(-2,-3){.58}}
\put(-1.22,-1.50){\line(-2,-3){.32}}  
\put(-1.02,-1.53){\line(-2,-3){.3}}
\put(-.90,-1.68){\line(-2,-3){.3}}
\put(-1.64,-2.19){\line(-2,-3){.27}}  
\put(-1.40,-2.43){\line(-2,-3){.27}}
\put(-.60,-1.56){\line(-2,-3){.37}} 
\put(-1.24,-2.52){\line(-2,-3){.27}}
\put(-.38,-1.56){\line(-2,-3){.94}}
\put(-.14,-1.53){\line(-2,-3){.94}} 
\put(.08,-1.53){\line(-2,-3){.9}}  \put(.34,-1.47){\line(-2,-3){.88}}
\put(.58,-1.44){\line(-2,-3){.76}} \put(.84,-1.38){\line(-2,-3){.6}}
%  ebene Ellipse :
  \linethickness{.8pt}     % oben herum :
\bezier{200}(-2.8,0)(-2.52,.558)(-1.79,.82)
\bezier{200}(-1.64,.88)(-1.3,1.03)(-.94,1.13)
%\bezier{200}(.427,1.28)(1.488,1.28)(2.167,.929)
\bezier{200}(2.1,.933)(2.882,.558)(2.8,0)  % unten herum :
\bezier{200}(-2.8,0)(-3.114,-.603)(-2.473,-1.06)
\bezier{200}(-2.473,-1.06)(-1.794,-1.544)(-.515,-1.544)
\bezier{200}(-.515,-1.544)(.764,-1.544)(1.766,-1.06)
\bezier{200}(1.766,-1.06)(2.712,-.603)(2.8,0)
%  schiefe Ellipse :   % oben herum :
\linethickness{.6pt}
\bezier{200}(-1.944,-2.559)(-2.23,-2)(-2.07,-1.28)
\bezier{200}(-.921,1.122)(-.199,2.044)(.578,2.413)
\bezier{200}(.578,2.413)(1.376,2.791)(1.82,2.396) % unten herum :
\bezier{200}(-1.944,-2.559)(-1.572,-3.189)(-.68,-2.836)
\bezier{200}(-.68,-2.836)(.24,-2.471)(1.083,-1.319)
\bezier{200}(1.083,-1.319)(1.902,-.201)(2.104,.924)
\bezier{200}(2.104,.924)(2.293,1.974)(1.82,2.396)
% die drei Winkel 
  \put(-.02,-.88){$\ph$} \put(-.58,.46){$\theta$} 
  \put(.82,-.67){$\psi$} \linethickness{1.2pt} 
\bezier{60}(-.5,-1)(.14,-1.118)(.66,-.878)
\bezier{60}(-.02,1.14)(-.6,.96)(-.92,.46)
\bezier{60}(.8376,-1.0476)(1.116,-.744)(1.315,-.27)
\end{picture} }

\begin{document}
{\footnotesize
\rightline{{\mtt Mechanik$\,$, \ Winter 95 / 96 \ }}

\vspace{.1cm} \nz
\centerline{\gr Euler's Winkel \ und die SO(3) \qquad\qquad\quad}

\vspace{.4cm} \nz
Ein so \"uberschaubares Objekt wie der starre K\"orper mit nur
drei (plus drei trivialen) Freiheitsgraden sollte auch eine
\"uberschaubare Behandlung erfahren. Aber leicht divergieren
Philosophie und Bezeichnungen. Man mu\ss\ sich dagegenstemmen.
\medskip \nz
Alle wesentlichen Aussagen kann man erhalten, ohne je eine
Drehmatrix explizit gemacht zu haben$\,$: 
\vskip .1cm \nz
\ben
  \vc v = \vc \o \times \vc r \quad \Rightarrow \quad
  \vc L = \sum m \vc r \times \( \vc \o \times \vc r \)
  \gll \I\, \vc \o  \quad \Rightarrow \quad
  T_{\rm rot} = \sum {1\02} m \( \vc \o \times \vc r \)
  \vc v \, = \, {1\02} \vc \o \I\, \vc \o  
\ee % 1
Die Lagrange--Funktion ist somit
\vskip -.9cm
\ben \hspace*{3cm}
  L \; = \; {1\02} M \pvc R \raise 3pt\hbox{$\! ^2$} 
  \, + \, {1\02} \vc \o \I\, \vc \o \, - \, V \;\; . 
\ee % 2
Man gehe nicht voreilig in ein k\"orperfestes System$\,$: bei
Festl\"oten einer Achse (abseits Schwerpunkt) ist diese im
Laborsystem gegeben. Andererseits, da $T_{\rm rot}$ eine
Invariante unter Drehungen ist und als k\"orperfestes Dreibein
die Hauptachsen w\"ahlbar sind, wartet 
\vskip .1cm \nz 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\parbox{10cm}{                %%%
\ben
  T_{\rm rot} = {1\02} \( \I_1\, {\o_1^\prime}^2 + \I_2\,
  {\o_2^\prime}^2 + \I_3\, {\o_3^\prime}^2 \)  
\ee % 3  
\vskip -.15cm \nz
nur noch auf Angabe der Projektionen
   $\o_j^\prime = \vc \o \vc f _{\!\! j} \,$.
\medskip \nz
Anhand seiner Figur, welche die Euler--Winkel $\ph$, $\th$
und $\psi$ de\-fi\-niert, kann nun Landau [ LL \S 35 ] 
{\sl sehen}$\,$, da\ss\ 
\vskip .1cm \nz
\ben
   \vc \o^\prime = \( \; 
\p \ph \, s_\th s_\psi + \p \th \, c_\psi \; , \;
\p \ph \, s_\th c_\psi - \p \th \, s_\psi \; , \;
\p \ph \, c_\th + \p \psi \; \) \;\; .
\ee % 4
\vskip -.05cm \nz
Er hat dazu drei Winkelgeschwindigkeits-Vektoren addiert, 
jene zu festgehaltenen jeweils anderen zwei Winkeln. Der
kr\"aftefreie symmetrische Kreisel bekommt mit (4) die
Lagrangian 
\vskip .1cm \nz
\ben
   L = {1\02} \I_1 \( \p \ph ^2 s_\th^2 + \p \th ^2 \)
   + {1\02} \I_3 \( \p \ph \, c_\th + \p \psi \)
   \raise 3pt\hbox{$\! ^2$} \;\; . 
\ee % 5
} \\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{-4.46cm} \nz \hspace*{13.5cm} \fg
\vskip 2.72cm \nz
Hat jemand ein Starrk\"orper--Problem gel\"ost, d.h. die drei
Euler--Winkel als Funktionen der Zeit erhalten, so will er die 
Bewegung des K\"orpers nachvollziehen, etwa als Computergrafik. 
Er braucht dazu die drei $\vc f$--Vektoren als Funktionen der
Zeit. Diese stehen als Zeilen in der Drehmatrix $D$ [Goldstein,
Gl. (4--46)], welche passiv (!) vom Laborsystem ($\vc e _j$)
zum $\vc f$--System vermittelt$\,$:
\vskip .16cm \nz
\ben \!
 D = \( \matrix{ c_\psi & s_\psi & 0 \cr 
          - s_\psi & c_\psi & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } \) 
     \( \matrix{  1 & 0 & 0 \cr  0 & c_\th  & s_\th \cr
             0 & -s_\th & c_\th \cr } \)
\( \matrix{ c_\ph & s_\ph & 0 \cr
          - s_\ph & c_\ph & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } \)
 = \( \matrix{  c_\ph c_\psi - s_\ph c_\th s_\psi &
         s_\ph c_\psi + c_\ph c_\th s_\psi & s_\th s_\psi  \cr
    - c_\ph s_\psi - s_\ph c_\th c_\psi &
    - s_\ph s_\psi + c_\ph c_\th c_\psi &  s_\th c_\psi  \cr
    s_\ph s_\th  & - c_\ph s_\th  & c_\th \cr } 
    \)_{\; {}^{\pubox}} \!\!\!
\ee % 6
\vskip -.1cm \nz
Mittels (6) kann man den Laborsystem--Drehimpuls erhalten, 
n\"amlich per $\vc L = \I\,\vc \o = D^T \I^\prime \,
\vc \o^\prime $. Zu speziell $\I_1=\I_2$ (symmetrischer Kreisel)
folgt$\,$:
\vskip -.6cm \nz
\bean
  & &  L_3  = \I_1 \,\p \ph \, s_\th^2 + \I_3 \, c_\th \(
       \p \psi + \p \ph \, c_\th \) \;\; ,  \cr
  \!\!\!\!
  L_1 = \I_1 \lk \p \th \, c_\ph - \p \ph \,
  s_\ph s_\th c_\th \rk + \I_3 \, s_\ph s_\th \( \p \psi
  + \p \ph \, c_\th \)
  & , &
  L_2  = \I_1 \lk \p \th \, s_\ph + \p \ph \,
  c_\ph s_\th c_\th \rk - \I_3 \, c_\ph s_\th \( \p \psi
  + \p \ph \, c_\th \) \;\; . \;\;\;
\eea % 7
\vskip -.2cm \nz
$\vc \o^\prime$ mu\ss\ mit einer infinitesimalen Drehung 
$D^{\rm inf}$ w\"ahrend $dt$ zu tun haben$\,$: 
\vskip .2cm \nz
\ben
 D(t+dt) = D^{\rm inf} D(t) \qquad {\rm mit \;\, (Behauptung)}
   \qquad  D^{\rm inf} = 1 - dt \,\( \vc \o^\prime \times\; \)
   \;\; . 
\ee % 8
Stimmt (8), so folgt \vskip -.5cm \nz
\ben
  \p D D^T = - D \p D^T = - \( \vc \o^\prime \times\; \) \; = \;
   \( \matrix{ \;\; 0 & \;\;\o_3^\prime & - \o_2^\prime \cr
        - \o_3^\prime & \;\; 0          & \;\;\o_1^\prime \cr
      \;\;\o_2^\prime & - \o_1^\prime   & \;\; 0 \cr } \;
      \)_{\; {}^{\pubox}} 
\ee % 9
\vskip -.2cm \nz
Aus z.B. $\o_1^\prime = ( \p D D^T )_{23} = \p D_{21} D_{31}
+ \p D_{22} D_{32} + \p D_{23} D_{33}$ erh\"alt man
tats\"achlich $\p \ph \, s_\th s_\psi + \p \th \, c_\psi$,
vgl. (4).
\medskip \nz
\anfu Infinitesimale Drehung\anfo m\"oge auf
den Term linear im Winkel beschr\"anken. Also ist z.B.
\vskip .1cm \nz
\ben
   D_{z,d\ph}^{\rm inf} = 1 + d\ph \(\matrix{ 
   \; 0 & 1 & 0 \cr -1 & 0 & 0 \cr \; 0 & 0 & 0 \cr } \;\) 
   = 1 - d \ph \( \vc e_3 \times\; \)
\qquad \Rightarrow \qquad D_{ \vcsm e , d\ph}^{\rm inf}
   = 1 - d\ph \( \vc e \times\; \) \;\; ,
\ee % 10
\vskip -.1cm \nz
wobei die Verallgemeinerung rechts aufgrund der rein 
vektoriellen Formulierung links m\"oglich wurde.
Nur noch der Gedanke $d\ph \vc e = dt \,\vc \o^\prime$ ist
nun n\"otig, um die Behauptung (8) einzusehen. 
\medskip \nz
Drehungen sind Elemente einer kompakten Lie--Gruppe, der SO(3)
(S: special, O: orthogonal, 3 real dimensions). $(\vc e_1
\times\; )$, $(\vc e_2 \times\; )$ und $(\vc e_3 \times\; )$
sind ihre {\sl Generatoren}. Und sie \anfu generieren\anfo 
tats\"achlich, z.B.$\,$:
\vskip .1cm \nz
\ben  \!\!
  \( 1 - {\ph\0N} \vc e_3 \times \)^N \to e^{- \ph \vc e_3
  \times } = \ch \( \ph \vc e_3 \times \) - \sh \(
  \ph \vc e_3 \times \)  =
  \( \matrix{ c_\ph & \! 0 & 0 \cr 0 & \! c_\ph & 0 \cr
   0 & \! 0 & 1 \cr } \,\)  - \sin (\ph ) \, \vc e_3 \times
 = \( \matrix{ \; c_\ph & s_\ph & 0 \cr - s_\ph & c_\ph & 0 \cr
 \; 0 & 0 & 1 \cr } \,\)_{\; {}^{\pubox}} \!\!
\ee % 11
Die Lie--Algebra {\sl schlie\ss t}$\,$:
\ $   ( \vc e_1 \times\; ) \, (\vc e_2 \times\; )
    - ( \vc e_2 \times\; ) \, (\vc e_1 \times\; )
 \; = \; \vc e_2 \circ \vc e_1 - \vc e_1 \circ \vc e_2
 \; = \; \vc e_3 \times\; . \,$ Die Guppe SO(N) hat $N(N-1)/2$
Generatoren. Numeriert man sie mit einem Index--Paar $[i,j]\,$ ($i<j$), 
so hat der $i,j$--te Generator das $k,\ell$--te Matrixelement 
$ \d_{i\ell }\d_{jk} - \d_{ik}\d_{j\ell } $.

} \vskip .08cm\nz
{\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}
