% me5.tex Mechanik , Winter 95 / 96 % % Euler's Winkel % def.tex erforderlich %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% L A T E X %%% \documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \voffset -4.5cm \textheight=28.6cm \hoffset -1cm \textwidth=17.1cm \font\gr=cmbxsl10 scaled \magstep1 \font\mtt=cmsl9 \font\ggr=cmtt12 \def\I{\hbox{\ggr I}} \input def \let\th=\theta % Die Figur \def\fg{\unitlength.9cm \begin{picture}(2,2) \thicklines \put(0,0){\vector(-1,-2){1.2}} \put(-1.64,-2.38){$\vc e_{\! 1}$} \put(1.87,0){\vector(1,0){1.44}}\put(3.4,-.1){$ \vc e_{\! 2}$} \put(0,0){\vector(0,1){3.3}} \put(-1.48,3.36){$\vc\o_\ph\, ,\,\vc e_{\! 3} = \vc e_{\! 3}^\prime$} \put(0,0){\line(2,3){1.67}} \thinlines \put(0,0){\line(2,3){1.9}} \put(1.9,2.94){$\vc e_{\! 2}^{\prime\prime}$} \put(2.12,.78){\line(2,1){.5}} \put (2.66,1.04){$\vc e_{\! 2}^{\prime}$} % Kippachse \put(0,0){\line(4,-5){1.9}} \put(0,0){\line(-4,5){.36}} \put(-.6,.75){\line(-4,5){.32}} \put(1.3,-2.7){$\vc e_{\! 1}^\prime = \vc e_{\! 1}^{\prime\prime}\, ,\;\vc\o_\theta$} % gestrichelte f-Achsen \thicklines \put(0,0){\line(-2,1){.5}} % f_3 : \put(-.6,.3){\line(-2,1){.5}} \put(-1.2,.6){\vector(-2,1){1.6}} \put(-3.4,1.6){$\vc \o_\psi\, ,\vc f_{\!\! 3}$} % f_1 : \put(0,0){\line(5,-1){.5}} \put(.6,-.12){\line(5,-1){.5}} \put(1.2,-.24){\line(5,-1){.5}} \put(1.7,-.5){$\vc f_{\!\! 1}$} % f_2 : \put(0,0){\line(1,4){.18}} \put(.212,.848){\line(1,4){.18}} \put(.424,1.696){\line(1,4){.18}} \put(.32,2.64){$\vc f_{\!\! 2}$} % Schraffur /////////////////////////////////// \thinlines \put(-.84,1.05){\line(2,3){.4}} \put(-.72,.90){\line(2,3){.8}} \put(-.60,.75){\line(2,3){1.08}} \put(-.18,1.05){\line(2,3){.96}} \put(-.36,.45){\line(2,3){1.4}} \put(-.24,.30){\line(2,3){1.53}} \put(-.12,.15){\line(2,3){1.6}} \put(.12,-.15){\line(2,3){1.7}} \put(.24,-.30){\line(2,3){1.69}} \put(.36,-.45){\line(2,3){1.67}} \put(.48,-.60){\line(2,3){1.64}} \put(.60,-.75){\line(2,3){1.55}} \put(1.12,-.27){\line(2,3){1.04}}\put(1.24,-.45){\line(2,3){.82}} \put(.96,-1.20){\line(2,3){1}} % unterer Lappen \put(-1.82,-1.41){\line(-2,-3){.3}} \put(-1.62,-1.44){\line(-2,-3){.44}} \put(-1.44,-1.50){\line(-2,-3){.58}} \put(-1.22,-1.50){\line(-2,-3){.32}} \put(-1.02,-1.53){\line(-2,-3){.3}} \put(-.90,-1.68){\line(-2,-3){.3}} \put(-1.64,-2.19){\line(-2,-3){.27}} \put(-1.40,-2.43){\line(-2,-3){.27}} \put(-.60,-1.56){\line(-2,-3){.37}} \put(-1.24,-2.52){\line(-2,-3){.27}} \put(-.38,-1.56){\line(-2,-3){.94}} \put(-.14,-1.53){\line(-2,-3){.94}} \put(.08,-1.53){\line(-2,-3){.9}} \put(.34,-1.47){\line(-2,-3){.88}} \put(.58,-1.44){\line(-2,-3){.76}} \put(.84,-1.38){\line(-2,-3){.6}} % ebene Ellipse : \linethickness{.8pt} % oben herum : \bezier{200}(-2.8,0)(-2.52,.558)(-1.79,.82) \bezier{200}(-1.64,.88)(-1.3,1.03)(-.94,1.13) %\bezier{200}(.427,1.28)(1.488,1.28)(2.167,.929) \bezier{200}(2.1,.933)(2.882,.558)(2.8,0) % unten herum : \bezier{200}(-2.8,0)(-3.114,-.603)(-2.473,-1.06) \bezier{200}(-2.473,-1.06)(-1.794,-1.544)(-.515,-1.544) \bezier{200}(-.515,-1.544)(.764,-1.544)(1.766,-1.06) \bezier{200}(1.766,-1.06)(2.712,-.603)(2.8,0) % schiefe Ellipse : % oben herum : \linethickness{.6pt} \bezier{200}(-1.944,-2.559)(-2.23,-2)(-2.07,-1.28) \bezier{200}(-.921,1.122)(-.199,2.044)(.578,2.413) \bezier{200}(.578,2.413)(1.376,2.791)(1.82,2.396) % unten herum : \bezier{200}(-1.944,-2.559)(-1.572,-3.189)(-.68,-2.836) \bezier{200}(-.68,-2.836)(.24,-2.471)(1.083,-1.319) \bezier{200}(1.083,-1.319)(1.902,-.201)(2.104,.924) \bezier{200}(2.104,.924)(2.293,1.974)(1.82,2.396) % die drei Winkel \put(-.02,-.88){$\ph$} \put(-.58,.46){$\theta$} \put(.82,-.67){$\psi$} \linethickness{1.2pt} \bezier{60}(-.5,-1)(.14,-1.118)(.66,-.878) \bezier{60}(-.02,1.14)(-.6,.96)(-.92,.46) \bezier{60}(.8376,-1.0476)(1.116,-.744)(1.315,-.27) \end{picture} } \begin{document} {\footnotesize \rightline{{\mtt Mechanik$\,$, \ Winter 95 / 96 \ }} \vspace{.1cm} \nz \centerline{\gr Euler's Winkel \ und die SO(3) \qquad\qquad\quad} \vspace{.4cm} \nz Ein so \"uberschaubares Objekt wie der starre K\"orper mit nur drei (plus drei trivialen) Freiheitsgraden sollte auch eine \"uberschaubare Behandlung erfahren. Aber leicht divergieren Philosophie und Bezeichnungen. Man mu\ss\ sich dagegenstemmen. \medskip \nz Alle wesentlichen Aussagen kann man erhalten, ohne je eine Drehmatrix explizit gemacht zu haben$\,$: \vskip .1cm \nz \ben \vc v = \vc \o \times \vc r \quad \Rightarrow \quad \vc L = \sum m \vc r \times \( \vc \o \times \vc r \) \gll \I\, \vc \o \quad \Rightarrow \quad T_{\rm rot} = \sum {1\02} m \( \vc \o \times \vc r \) \vc v \, = \, {1\02} \vc \o \I\, \vc \o \ee % 1 Die Lagrange--Funktion ist somit \vskip -.9cm \ben \hspace*{3cm} L \; = \; {1\02} M \pvc R \raise 3pt\hbox{$\! ^2$} \, + \, {1\02} \vc \o \I\, \vc \o \, - \, V \;\; . \ee % 2 Man gehe nicht voreilig in ein k\"orperfestes System$\,$: bei Festl\"oten einer Achse (abseits Schwerpunkt) ist diese im Laborsystem gegeben. Andererseits, da $T_{\rm rot}$ eine Invariante unter Drehungen ist und als k\"orperfestes Dreibein die Hauptachsen w\"ahlbar sind, wartet \vskip .1cm \nz %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \parbox{10cm}{ %%% \ben T_{\rm rot} = {1\02} \( \I_1\, {\o_1^\prime}^2 + \I_2\, {\o_2^\prime}^2 + \I_3\, {\o_3^\prime}^2 \) \ee % 3 \vskip -.15cm \nz nur noch auf Angabe der Projektionen $\o_j^\prime = \vc \o \vc f _{\!\! j} \,$. \medskip \nz Anhand seiner Figur, welche die Euler--Winkel $\ph$, $\th$ und $\psi$ de\-fi\-niert, kann nun Landau [ LL \S 35 ] {\sl sehen}$\,$, da\ss\ \vskip .1cm \nz \ben \vc \o^\prime = \( \; \p \ph \, s_\th s_\psi + \p \th \, c_\psi \; , \; \p \ph \, s_\th c_\psi - \p \th \, s_\psi \; , \; \p \ph \, c_\th + \p \psi \; \) \;\; . \ee % 4 \vskip -.05cm \nz Er hat dazu drei Winkelgeschwindigkeits-Vektoren addiert, jene zu festgehaltenen jeweils anderen zwei Winkeln. Der kr\"aftefreie symmetrische Kreisel bekommt mit (4) die Lagrangian \vskip .1cm \nz \ben L = {1\02} \I_1 \( \p \ph ^2 s_\th^2 + \p \th ^2 \) + {1\02} \I_3 \( \p \ph \, c_\th + \p \psi \) \raise 3pt\hbox{$\! ^2$} \;\; . \ee % 5 } \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{-4.46cm} \nz \hspace*{13.5cm} \fg \vskip 2.72cm \nz Hat jemand ein Starrk\"orper--Problem gel\"ost, d.h. die drei Euler--Winkel als Funktionen der Zeit erhalten, so will er die Bewegung des K\"orpers nachvollziehen, etwa als Computergrafik. Er braucht dazu die drei $\vc f$--Vektoren als Funktionen der Zeit. Diese stehen als Zeilen in der Drehmatrix $D$ [Goldstein, Gl. (4--46)], welche passiv (!) vom Laborsystem ($\vc e _j$) zum $\vc f$--System vermittelt$\,$: \vskip .16cm \nz \ben \! D = \( \matrix{ c_\psi & s_\psi & 0 \cr - s_\psi & c_\psi & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } \) \( \matrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & c_\th & s_\th \cr 0 & -s_\th & c_\th \cr } \) \( \matrix{ c_\ph & s_\ph & 0 \cr - s_\ph & c_\ph & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } \) = \( \matrix{ c_\ph c_\psi - s_\ph c_\th s_\psi & s_\ph c_\psi + c_\ph c_\th s_\psi & s_\th s_\psi \cr - c_\ph s_\psi - s_\ph c_\th c_\psi & - s_\ph s_\psi + c_\ph c_\th c_\psi & s_\th c_\psi \cr s_\ph s_\th & - c_\ph s_\th & c_\th \cr } \)_{\; {}^{\pubox}} \!\!\! \ee % 6 \vskip -.1cm \nz Mittels (6) kann man den Laborsystem--Drehimpuls erhalten, n\"amlich per $\vc L = \I\,\vc \o = D^T \I^\prime \, \vc \o^\prime $. Zu speziell $\I_1=\I_2$ (symmetrischer Kreisel) folgt$\,$: \vskip -.6cm \nz \bean & & L_3 = \I_1 \,\p \ph \, s_\th^2 + \I_3 \, c_\th \( \p \psi + \p \ph \, c_\th \) \;\; , \cr \!\!\!\! L_1 = \I_1 \lk \p \th \, c_\ph - \p \ph \, s_\ph s_\th c_\th \rk + \I_3 \, s_\ph s_\th \( \p \psi + \p \ph \, c_\th \) & , & L_2 = \I_1 \lk \p \th \, s_\ph + \p \ph \, c_\ph s_\th c_\th \rk - \I_3 \, c_\ph s_\th \( \p \psi + \p \ph \, c_\th \) \;\; . \;\;\; \eea % 7 \vskip -.2cm \nz $\vc \o^\prime$ mu\ss\ mit einer infinitesimalen Drehung $D^{\rm inf}$ w\"ahrend $dt$ zu tun haben$\,$: \vskip .2cm \nz \ben D(t+dt) = D^{\rm inf} D(t) \qquad {\rm mit \;\, (Behauptung)} \qquad D^{\rm inf} = 1 - dt \,\( \vc \o^\prime \times\; \) \;\; . \ee % 8 Stimmt (8), so folgt \vskip -.5cm \nz \ben \p D D^T = - D \p D^T = - \( \vc \o^\prime \times\; \) \; = \; \( \matrix{ \;\; 0 & \;\;\o_3^\prime & - \o_2^\prime \cr - \o_3^\prime & \;\; 0 & \;\;\o_1^\prime \cr \;\;\o_2^\prime & - \o_1^\prime & \;\; 0 \cr } \; \)_{\; {}^{\pubox}} \ee % 9 \vskip -.2cm \nz Aus z.B. $\o_1^\prime = ( \p D D^T )_{23} = \p D_{21} D_{31} + \p D_{22} D_{32} + \p D_{23} D_{33}$ erh\"alt man tats\"achlich $\p \ph \, s_\th s_\psi + \p \th \, c_\psi$, vgl. (4). \medskip \nz \anfu Infinitesimale Drehung\anfo m\"oge auf den Term linear im Winkel beschr\"anken. Also ist z.B. \vskip .1cm \nz \ben D_{z,d\ph}^{\rm inf} = 1 + d\ph \(\matrix{ \; 0 & 1 & 0 \cr -1 & 0 & 0 \cr \; 0 & 0 & 0 \cr } \;\) = 1 - d \ph \( \vc e_3 \times\; \) \qquad \Rightarrow \qquad D_{ \vcsm e , d\ph}^{\rm inf} = 1 - d\ph \( \vc e \times\; \) \;\; , \ee % 10 \vskip -.1cm \nz wobei die Verallgemeinerung rechts aufgrund der rein vektoriellen Formulierung links m\"oglich wurde. Nur noch der Gedanke $d\ph \vc e = dt \,\vc \o^\prime$ ist nun n\"otig, um die Behauptung (8) einzusehen. \medskip \nz Drehungen sind Elemente einer kompakten Lie--Gruppe, der SO(3) (S: special, O: orthogonal, 3 real dimensions). $(\vc e_1 \times\; )$, $(\vc e_2 \times\; )$ und $(\vc e_3 \times\; )$ sind ihre {\sl Generatoren}. Und sie \anfu generieren\anfo tats\"achlich, z.B.$\,$: \vskip .1cm \nz \ben \!\! \( 1 - {\ph\0N} \vc e_3 \times \)^N \to e^{- \ph \vc e_3 \times } = \ch \( \ph \vc e_3 \times \) - \sh \( \ph \vc e_3 \times \) = \( \matrix{ c_\ph & \! 0 & 0 \cr 0 & \! c_\ph & 0 \cr 0 & \! 0 & 1 \cr } \,\) - \sin (\ph ) \, \vc e_3 \times = \( \matrix{ \; c_\ph & s_\ph & 0 \cr - s_\ph & c_\ph & 0 \cr \; 0 & 0 & 1 \cr } \,\)_{\; {}^{\pubox}} \!\! \ee % 11 Die Lie--Algebra {\sl schlie\ss t}$\,$: \ $ ( \vc e_1 \times\; ) \, (\vc e_2 \times\; ) - ( \vc e_2 \times\; ) \, (\vc e_1 \times\; ) \; = \; \vc e_2 \circ \vc e_1 - \vc e_1 \circ \vc e_2 \; = \; \vc e_3 \times\; . \,$ Die Guppe SO(N) hat $N(N-1)/2$ Generatoren. Numeriert man sie mit einem Index--Paar $[i,j]\,$ ($i