%  me8.tex         Mechanik ,  Winter 96 / 97
%  
%  Klausur und Loesungen

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
\magnification=1200   \nopagenumbers 
\voffset=-2cm   \vsize=25cm 
\hoffset=.2cm   \hsize=14.5cm     
\font\gr=cmbx12 scaled \magstep1
\font\mt=cmsl9  \font\kl=cmbx6
\font\kap=cmbxti10 \def\kp{\hbox{{\kap K}$\,$}}
\input def     

\def\2{\hbox{${1\02}$}}
\def\ruck{ \vskip -.41cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 }  
\def\rruck{ \vskip -.41cm \nz \hangindent=.8cm \hangafter=-2 }  
\def\rz{\par \noindent \rightskip=.5cm}
\def\pu#1{\vskip -.6cm \rightskip=0pt
    \nz\vbox{\hsize 14.4cm \rightline{
          $(\hskip -.12cm\matrix{ \frown \cr \smile \cr}\!\! 
           )\hskip -.34cm$\lower .7pt\hbox{#1}}}\vskip .15cm}
                   %-----------% %-----------% %-----------%
\phantom{o} \nz
\raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}}
                \hbox{{\mt \quad 25. Januar 1997 }} } 
\hskip 7.7cm {\mt Mechanik \ WS \ 96 / 97 } \vskip -.5cm \nz
\hskip 4.2cm freiwillige \ \ {\gr KLAUSUR } \vskip .4cm \nz 
\hrule 
\bigskip \smallskip \medskip \rz
%%% 1 %%%
1) \vskip -.1cm \ruck 
   Ein geladenes Teilchen ($m$, $q$) erlebt die
   Reibungskraft $-m\g \vc v$ und ein Magnetfeld
   $\vc B = (\, 0\, ,\, 0\, ,\, B(t)\, )$ mit genau einer
   solchen St\"arke und zeitlichen Abnahme, da\ss\ $m$ 
   auf einer Kreisbahn bleibt$\,$: $\;\vc r = R(c,s,0)\,$,
   $\, c\gll \cos(f(t))\,$, $\, s\gll \sin(f(t))\,$, $\, 
   f(0)=0\,$, \nz  
   $\vc v (0)=(0,v_0,0)\;$. \qquad 
   $f(t)=\; ?\;\;$, \quad $B(t)=\; ? $
\pu 4
\rz
2) \ruck \ $\p v = k \lk \d (t)- \d (t-t_0 ) \rk \;\; , \;\;
   k={\rm const} \;\; , \;\; t_0 > 0 \;\; , \;\;
   v(\, t<0 \, ) \equiv 0 $ . \nz $\vphantom{a}$ \hskip .45cm 
(a) $v(t)$ per Malen ! (Skizze bitte mit allen relevanten Daten
    versehen) \quad  
(b) Wie ergibt sich die L\"osung der Dgl mit Hilfe der
    Greenschen Funktion $G(t)$ ($=\,?$) des Operators $\6_t\;$ ? \nz 
(c) Welche Gleichung erf\"ullt die Fourier--Transformierte
    $\schl v (\o )$ der Funktion $v(t)\;$ ? \ Welches Integral 
    (\"uber $\schl v$) liefert $v(t)\;$ ? \ Setzen wir hierin
    z.B. $t=t_0 / 2$, so folgt (da wir ja das Resultat $v(t_0/2)$
    schon kennen) der Wert eines bestimmten Integrals f\"ur
    die Formelsammlung, \nz 
    n\"amlich ? (Zugegeben, Bronstein kennt es schon.)    
\pu 5
\rz
3) \vskip -.1cm \ruck 
   Zwei Zeitmittel : \ \ \ \ \  $\ov{\,\sin^4 (\o t)\,} \; 
   = \;\; ? \; $ \qquad $\ov{\,\cos^3 (\o t)\,} \; = \;\; ? \; $
\pu 2
\par 
\noindent \rightskip=5.8cm
4) \ruck Ein Stab ($m$, $I$, L\"ange $2a$, Schwerpkt.~in
    H\"ohe $a$) steht ruhig und aufrecht am Ursprung 
   und ist dort drehbar festgehakt. 
   Ein zweiter, ebensolcher kommt aufrecht mit $v$ von
   rechts geflogen. In dem Moment, wo sein unteres Ende
   den ersten Stab ber\"uhrt, m\"oge sich ein starrer
   ge\-ra\-der Stab der L\"ange $4a$ bilden (Ursprung = Achse). 
   \nz 
   \vskip .08cm  \nz
%  FIGUR zu Aufgabe 4)
   \vskip -2.4cm
\nz \hskip 9.5cm \vbox{\hbox{\hskip 
3.15cm $a$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
2.12cm $v \,\leftarrow \!\!$\vrule depth -2.2pt height 2.6pt width .8cm
     \hskip .3cm $m$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
3.15cm $a$} \vskip -.85cm \hbox{\hskip
3.5cm \vrule depth 0pt height 1cm width 1.2pt}   % Stab oben
             \vskip -.406cm \hbox{\hskip
0pt 
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm \
\vrule depth 0pt height .2pt width .2cm} 
  \vskip -.04cm \hbox{\hskip 
1.1cm $a$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
1.47cm \vrule depth -2pt height 2.1pt width .08cm \
      \hskip .23cm $m$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
1.1cm $a$} \vskip -.85cm \hbox{\hskip
1.5cm \vrule depth 0pt height 1cm width 1.2pt}   % Stab unten
             \vskip -.33cm \hbox{\hskip
0pt \vrule depth -2.3pt height 2.6pt width 4.3cm $\!\!\to \; x$}
  \vskip -.28cm \hbox{\hskip 
1.45cm $_0$ } }   \vskip .25cm \rz
%
   Welches Tr\"agheitsmoment $I_{\rm ges}$ hat der Neue
   um seinen Schwerpunkt$\,$?  
   Welche Geschw. $u$ hat der neue Schw.pkt.~unmittelbar
   nach Sto\ss $\,$? $\,$Welche Energie $\D E$ wummert
   im \hbox{$4a$-Stab$\,$?} \vskip .05cm 
   \nz
   Probe$\,$: Wenn die Masse beider St\"abe
   in Portionen $m/2$ an ihren Enden konzentriert war 
   ($\Rightarrow I=\; ?\, , I_{\rm ges} =\; ?$)
   sollte sich $u=v/2$ ergeben. Ist es so$\,$? Weshalb erwarten
   wir $\D E = m v^2 / 8$ in diesem Falle$\,$? Liefert
   dies auch Ihre $\D E$-Formel$\,$? 
   $ $\quad
   Der 'Besen' f\"allt nun um (Start--$u$\nz
   gegeben). Mit 
   welcher Geschwindigkeit $\ov{v}$ schl\"agt sein Schwerpunkt 
   bei $x=-2a$ auf$\,$?
\pu 8
\rz
5) \ruck  Zum Pendel ($m_2$, $\ell$), dessen massive ($m_1$)
   Aufh\"angung auf der x-Achse gleitet, hatten wir einmal \
   $ L = \2 m_1 \p x^2 + \2 m_2 \( \p x + \ell \p \ph \)^2
        + m_2 \( c-1 \) \p x \ell \p \ph + m_2 g\ell c
      \;\; , \;\; c \gll \cos(\ph ) \;\;$, erhalten. 
Nun vereinfachen wir hinsichtlich kleiner
Schwingungen, f\"uhren $\vc \eta = (\eta_1 , \eta_2)
= (\, x \, , \, x + \ell \ph \, )$ ein, bringen $L$
auf Normalform ($M=\; ? \; , \, \kp = \; ?\,$),
bilden $H = M^{-1/2} \;\kp M^{-1/2}$ (Abk\"ur- \nz
zung$\,$: $\wu {m_1 / m_2} \glr \alpha$) und ermitteln die
beiden Eigenfrequenzen $\o^2$ des Systems.
\pu 4
\rz
6) \ruck $L= \2 \p q^2 q^{-4} - \2 \o^2 q^{-2}\,$. \ $\d L =\; ?\;$
   Erst jetzt m\"oge $\eta(1)=\eta(2)=0$ ausgenutzt werden d\"urfen,
   um aus $\d S=0$ die Bewegungsgleichung ($=\; ?\,$) zu erhalten. \
   Unabh\"angige andere Frage$\,$: Welche neue Lagrange--Funktion
   ergibt sich aus obigem $L$ unter der Punkttrans- \nz
   formation 
   $\; q=x^\l\;$? \ Zu welchem $\l$-Wert wird die kinetische 
   Energie besonders einfach$\,$?
\pu 4
\rz
7) \ruck Der Letzte einer Schar Zugv\"ogel (L\"ange aus parallel 
   fliegendem Flugzeug mit $\ell^\prime$ ange- $\phantom{a}$
   geben, unterwegs in x-Richtung) l\"ost bei Koinzidenz mit 
   Ursprung einen Lichtblitz 
   \nz
   aus, welcher das Leittier bei $\;\ell = 2 \ell^\prime\;$ 
   trifft. Wie schnell sind die V\"ogel, $\b =\; ?\,$
\pu 2
\rz
8) \ruck Wenn f\"ur Leute in $\Sigma^\prime$ ein Teilchen
   mit $\vc w^\prime = (-w, 0 , w_3^\prime)$ fliegt und
   f\"ur $\Sigma$--Leute mit $\vc w = (+w, 0 , w_3)$, dann 
   (so hatten wir Lewis und Tolman geglaubt) mu\ss\ wohl auch \nz
   $w_3=w_3^\prime$ gelten. Wir weisen nun durch explizite 
   Rechnung nach, da\ss\ dem so ist. 
\pu 3 
\rz
9) \ruck $p \gll$ 4--Impuls eines Teilchen$\,$, 
    $\L \gll$ allg.Lor.Transf.$\;$: \  
    $( \L {\!}^{-1} )^\nu_{\;\; \mu}\, p_\nu \,\eta^{\mu \rho} 
    \,\L {}_\rho^{\;\; \sigma}\,  p_\sigma \; = \;\; ?$
\pu 1
\vskip .2cm \rightskip=0pt \nz
\hrule \vskip .3cm
\vskip .1cm \nz 
\hskip 5.7cm  limit : \ 9 \ Punkte 
\hskip 4.9cm $\Sigma$ : \ 33 
\nz
{\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }

\vfill \eject

%     Klausur -- L ™ S U N G E N

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  T E X  
%
\magnification=\magstep1  \nopagenumbers  
\voffset=-2cm   \vsize=25cm 
\hoffset=1cm    \hsize=14cm     
\baselineskip 15.5pt
\def\no#1{\nz \leftskip=0pt \nz 
          \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm \smallskip
          \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm \leftskip=.8cm \nz$\!\!$}
\def\nono#1{\medskip \smallskip \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm 
            \leftskip=.8cm \nz$\!\!$}
\def\ko{\; , \,\;}
\def\2{{1\02}}
%-----------% %-----------% %-----------%

\phantom{o} \nz
\raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}}
                \hbox{{\mt \quad 25. Januar 1997 }} } 
\hskip 7.3cm {\mt Mechanik \ WS \ 96 / 97 } \vskip -.5cm \nz
\hskip 4.4cm Klausur -- {\gr L\"OSUNGEN } \vskip .4cm \nz 
\hrule 
\nono 1
$ \pvc v = - \g \vc v + (q/m) \vc v \times \(0,0,B(t) \) 
  \ko \vc v = R \p f \( -s , c , 0 \)  \; : \quad $ \quad
$ R \pp f (-s,c,0) \; - $ \nz 
$ - R \p f ^2 (c,s,0) = -\g R \p f (-s,c,0) + {q\0m} 
  B(t) R \p f (c,s,0) \;\; \Rightarrow \; 
  B(t) = - {m\0q} \p f \ko \pp f = - \g \p f \ko $ \nz 
$ \p f = A e^{-\g t} \; . \;\vc v (0) = R \p f (0) (0,1,0) 
 \ko \p f (0) = v_0 / R = A \ko  
  B(t) = - \( mv_0 / (q R ) \) e^{-\g t} \;\; .$
\no 2 
$\!$(a)
%  FIGUR zu 2 (a)
   \vskip -.55cm
\nz \hskip .3cm \vbox{\hbox{\hskip 
.73cm $_v$} \vskip -.26cm \hbox{\hskip
.4cm \raise 2pt\hbox{$_k$} \vrule depth -2.2pt height 3.2pt width 1.4cm}
     \vskip -.34cm \hbox{\hskip
.7cm  \vrule depth 0pt height .6cm width .2pt \hskip -.03cm 
     \vrule depth 0pt height .4cm width 1pt
     \hskip 1.36cm \vrule depth 0pt height .4cm width 1pt}
     \vskip -.46cm \hbox{\hskip
.3cm \vrule depth -2.3pt height 2.5pt width 2.3cm 
     $\!\!\! >\!$ \raise 2pt\hbox{$_t$}}
  \vskip -.42cm \hbox{\hskip 
.62cm $_0$ \hskip 1.14cm $_{t_0}$ } }  
\vskip -.91cm \hskip 2.9cm 
%
(b) $\; G=\theta (t) \ko v = \int \! dt^\prime \theta (t-t^\prime )
    \, k \lk \d (t^\prime ) - \d ( t^\prime - t_0 \rk = $ 
    \nz \hskip 4.3cm 
    $ = k \lk \theta (t) - \theta (t-t_0 ) \rk \; .$ \ \ (c) \ Wende
$\int\! dt e^{-i\o t}$ an : \nz
$i\o \schl{v} = k - k e^{-i\o t_0} \ko 
 v = {1\0 2\pi} \int \! d\o {k\0i\o} \( 1-e^{-i\o t_0} \)
  e^{i\o t} \ko {\pi \0 k} v\({t_0 \0 2} \) = \pi 
  = \int\! d\o {\sin (\o t_0 / 2 )\0 \o } \;\; .$
\no 3
$ s^4 = s^2 \( 1 - c^2 \) = s^2 - {1\04} \sin^2 (2\o t) \ko
 \2 - {1\0 8} = {3\0 8} \;\; . \;\; $ \  Da\ss\ \
 $\ov{c^3} =0\,$ darf anschaulich \vskip .05cm \nz
 klar sein (Fl\"achenkompensation, Malen!) \ , \ oder$\,$: 
 $\;\; {1\04} \ov{\cos (3\o t)} + {3\04}\ov{c} = 0+0 = 0 \;\; .$
\no 4
$ I_{\rm ges} = 2 \( I + m a^2 \) \ko 
  L_3^{\rm vor} = L_3^{\rm nach} \; : \;\, m\cdot 3a \cdot v 
  = 2m \cdot 2a \cdot u + I_{\rm ges} \o \ko  \o \cdot 2a 
  = u \ko $ \nz
  $ u = {3\04} { v\0 (1+\; ) }$ \ mit \  
  $(1+\; ) \gll \( 1 + {I_{\rm ges} \0 8 m a^2} \) \ko 
  \D E = {m\02} v^2 - \lb {2m \0 2} u^2 + \2 I_{\rm ges}
   \( {u\0 2a} \)^2 \rb = $ \nz 
  $ {m\02}v^2 \lk 1 - {9\0 8} {1\0 (1+\; )} \rk \ko $
  Probe$\,$: $I=ma^2 \ko I_{\rm ges} = 4ma^2 \ko (1+\; ) = {3\02}
  \ko u = {3\04} {2v\0 3} = {v\02}\; .$ \nz
  $\ldots$ weil Klebesto\ss\ ${m\02}$ (mit $v$) auf ruhendes 
  ${m\02}$ vorliegt und $\2 \( {m\02} \) v^2 - \2
  m \({v\02} \)^2 = $\nz 
  ${mv^2\08}$ verbr\"at$\,$. Obiges $\D E$ wird in der Tat 
  ${m\02} v^2 \lk 1 - {9\08}{2\03} \rk  = {mv^2\08}\,$. 
  \ \ $E$-Satz$\,$: \nz
  $\lb \vphantom{\int} \hbox{s.o.} \rb + 4mga = 
  mu^2 (1+\; ) + 4mga =
  m \ov{v}^2 (1+\; ) \ko \ov{v}^2 = u^2 + 4ga/ (1+\; )$
\no 5
\def\km#1#2#3#4{\, (\raise .5pt\hbox{$
     \matrix{_{#1}\! & \!\!\! _{#2} \cr 
     ^{#3}\! & \!\!\! ^{#4}\cr}$})}
$L = \2 m_1 \p \eta_1^2 + \2 m_2 \p \eta_2^2 
   - \2 m_2 {g\0\ell} \(\eta_2 - \eta_1 \)^2 \ko 
  M = \km{m_1}{0}{0}{m_2} \ko
  K = m_2 {g\0\ell} \km{1}{-1}{-1}{1} \; , $ \nz
$ H = {g m_2 \0 \ell m_1} \km{1}{0}{0}{\a}
   \km{1}{-1}{-1}{1} \km{1}{0}{0}{\a}
  = {g m_2 \0 \ell m_1} \km{1}{-\a}{-\a}{\a^2}  
  \ko \; (1-\l )(\a^2-\l ) - \a^2 = 0 \ko $ \nz
 $ \l=0 \hbox{\ \ bzw. \ } \l = 1+\a^2
   \ko \o^2=0 \hbox{\ \ bzw. \ } \o^2 = {g\0\ell} \( 1 + {m_2\0m_1} \)
  \;\; . $
\no 6
$ \d L = \p q \p \eta q^{-4} - 2 \p q ^2 q^{-5} \eta 
  + \o^2 q^{-3} \eta \ko \d S = \int_1^2\! dt \,\eta 
  \lk  - \( \p q q^{-4} \)^{\! _\bullet} 
   - 2 \p q ^2 q^{-5} + \o^2 q^{-3} \rk \ko $ \nz
$ \pp q = 2 \p q ^2 / q + \o^2 q \;\; . \;\;\;
  \p q = \l x^{\l -1} \p x \ko T = \2 \p x ^2 \l^2 x^{-2-2\l } 
  \ko \l = - 1 \ko L= \2 \p x ^2 - \2 \o^2 x^2 \;\; .$
\no 7
Ankunfts--Ereignis$\,$: $ct = c \cdot (\ell / c ) = \ell 
  \ko ct^\prime=\ell^\prime \ko 
  \(\matrix{ \ell^\prime \cr \ell^\prime \cr}\)  
  = \(\matrix{ \g & -\b \g \cr - \b \g & \g \cr}\)  
    \(\matrix{ \ell \cr \ell \cr}\) \ko $ \nz
$ \ell^\prime = \g (1-\b ) \ell \ko 
 \g (1-\b ) = \2 \ko 4 (1-\b ) = 1+\b \ko \b = 3 / 5 \;\; .$
\no 8
Geschw.Transf.$\,$: $\dis (w,0,w_3 ) = {1\0 1+\b (-w)/c)} 
    (-w+v,0,w_3^\prime /\g ) \ko x \gll w/c \ko 
   \hbox{Frage ist,}$ \nz
ob $\g (1-\b x ) \;{\buildrel{?}\over{=}}\; 1 \; . \;\; \b$ aus 
Gleichheit der ersten Komponenten$\,$:
$x (1-\b x)=\b -x \ko $ \vskip .1cm \nz 
$ \b = 2x/(1+x^2) \ko 
\g = \wu {  {(1+x^2)^2 \0 (1+x^2)^2 -4x^2 } } 
= {1+x^2 \0 1-x^2} \ko \g (1-\b x) = {1+x^2 \0 1-x^2} 
  \( 1- {2x^2 \0 1+x^2} \) = 1 \;\; .$
\no 9 
Z.B.$\,$: $\; \ldots \; = \; \L_\mu^{\;\;\nu} p_\nu 
   \L^\mu_{\;\;\sigma} p^\sigma \; = \; 
   \eta_{\mu\,\tau} \L^\tau_{\;\;\nu} p^\nu p^{\mu\,\prime}
   \; = \; p_\mu^{\,\prime} p^{\mu\,\prime}
   \; = \; p_\nu p^\nu \;\; . $ \nz
Oder$\,$: $\; p_\nu ( \L^{-1} )^{\nu\,\rho} \L_\rho^{\;\;\sigma} 
 p_\sigma \; = \; p_\nu ( \L^{-1} )^\nu_{\;\; \rho} 
 \L^\rho_{\;\;\sigma} p^\sigma \; = \; p_\nu p^\nu \; = \; 
 p_\nu^{\,\prime} p^{\nu\,\prime} \;\; .$

\nz \leftskip=0pt \nz \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm 

\nz  {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end