%  me9.tex         Mechanik ,  Winter 96 / 97 
%  
%   kx ist Lorentz-Skalar  

%   def.tex  erforderlich

%%%%%%%%%%%%%                 %%%
%%%%%%%%%%%%%    L A T E X    %%%
%%%%%%%%%%%%%                 %%%
\documentstyle[12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\textheight=27.9cm  \textwidth=16.6cm
\voffset -3.6cm  \hoffset -.5cm
\font\kl=cmr8  
\input def

\begin{document}
$ $ \hspace{1.6cm}
\framebox[0.6\textwidth]{ {\bf Mechanik, WS 96/97 \hfill 
    Zu guter Letzt }} \\  
\begin{picture}(0,0) \unitlength .1cm \thicklines 
\put(156,10){\oval(26,13)} \put(147,7){\Huge \bf P$\,$14}
\end{picture}  

\vspace{.15cm}  \rightskip=.8cm
Der Dopplereffekt des Lichtes folgt aus $k^\prime = \L k$, 
und dies folgt aus dem Einzeiler
\vskip .1cm \nz
$$ kx = k^\mu x_\mu = 
   k^\mu \eta\mn (\L^{-1})^\nu_{\;\;\rho} x^{\rho\;\prime}
 = k^\mu \eta\mn \L_\rho^{\;\;\nu} x^{\rho\;\prime} 
 =  \( \L^\rho_{\;\;\mu} k^\mu \) \; x^{\;\prime}_{\;\rho} 
 \;\;\; {\buildrel {?}\over{=}} \;\; k^{\rho \, \prime} 
 x_\rho^\prime = k^\prime x^\prime  $$ 
\vskip -.15cm \nz
d.h. aus dem Umstand, da\ss\ $kx$ Lorentz--Skalar ist. Und
woraus folgt der letztere ? \ Er l\"a\ss t sich aus Hut (a)
zaubern noch bevor man \"uber Lorentz--Transformation
elektromagnetischer Felder genaueres wei\ss . Ist allerdings
Hut (b), n\"amlich $F^\prime = \L \L F$, bereits im Handel, dann
impliziert der Strich am $F$, da\ss\ auch per $x=\L^{-1} x^\prime$
auf Variable $x^\prime$ umzurechnen ist. $\Sigma^\prime$--Leute 
sehen $k^\prime = \L k$. \anfu Umstand\anfo umgangen. 
Wer Hut (a) bereits hat, kann diesen Gedanken einsparen und 
$F^\prime = \L \L F$ schlapp als Transformation der Amplituden 
$\vc E_0$, $\vc B_0$ lesen. Wohl dem, der beide H\"ute hat.

\vspace{.1cm}
Hut (a) kommt daher als ein sch\"ones Gedankenexperiment 
im {\sl Jackson (Class.ED, 1962, \S 11.4)}. Wir erleichtern 
es uns hier ein wenig (und reparieren ein Fehlerchen).

\vspace{.1cm}
Eine Lichtwelle ($\vc k$, $\o=ck$) eilt nach rechts--oben.
Ihre Front (=Nullstelle ihrer tri\-go\-no\-me\-tri\-schen Funktion)
erreicht den Ursprung zu $t=t^\prime=0$, wodaselbst gerade
zwei Systeme $\Sigma$, $\Sigma^\prime$ koinzidieren.
Weit rechts (siehe Skizze) bei $\vc r$ sitzt der 
$\Sigma$-Leuchtturmw\"arter. Er wartet darauf, Nullebenen 
zu z\"ahlen. Bis zum Eintreffen der Front vergeht die Zeit 
$t_1= {1\0c}\, \vc r \cdot (\vc k /k)$. Aber von nun an
wird er $\lb 2c \D t / \l \rb $ Ebenen in $\D t$ registrieren.
$\lb a \rb \gll $kleinste nat\"urliche Zahl$\, > a$. 
Wegen $1/\l = k/(2\pi) = \o /(2\pi c)$ sind das zur Zeit 
$t=t_1+\D t$
\vskip .1cm \nz
$$ \lb {2c\D t\0\l } \rb = \lb {\o \D t \0 \pi} \rb
    = \lb {\o\0 \pi} \( t - t_1 \) \rb = \lb {\o\0 \pi} 
   \( t - {\vc r \vc k \0 \o} \) \rb = \lb {\o t - \vc k \vc r 
   \0 \pi } \rb \quad {\rm counts} \quad .  $$

\vspace{.5cm} \nz

%%%%%%%%%%%%%%%%   die Figur   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{figure}[bht] \unitlength.5cm \hspace{2cm} 
\begin{picture}(4,5.5)
% Achsen
\put(0,0){\line(0,1){7}}  \put(0,0){\line(1,0){22}}
% gestrichelte Horizontale
\put(-.2,5){\line(1,0){1.7}}  \put(2,5){\line(1,0){1.5}}  
\put(4,5){\line(1,0){1.5}}    \put(6,5){\line(1,0){1.5}}  
\put(8,5){\line(1,0){1.5}}    \put(10,5){\line(1,0){1.5}} 
\put(12,5){\line(1,0){1.5}}   \put(14,5){\line(1,0){1.5}} 
\put(16,5){\line(1,0){1.5}}   \put(18,5){\line(1,0){1.5}} 
\put(20,5){\line(1,0){1.5}}   \put(22,5){\line(1,0){1.5}}
% Beschriftung
\put(-1.25,4.88){$h^\prime$}  \put(.2,6){$\Sigma$} 
\put(2.7,1.5){$\vc k$}        \put(16.5,3.3){$\vc r$}
% schraege Linien
\put(0,0){\line(3,1){19.45}}    \thicklines 
\put(0,0){\vector(3,1){4}}      \thinlines
\put(0,0){\vector(4,1){20}}     \put(19,8){\line(1,-3){1.5}} 
\put(19.47,6.48){\oval(2,2)[l]} \put(19,6.74){\circle*{.2}}   
% waves 1 
\put(-.9,2.7){\line(1,-3){1.4}}    \put(-1.08,2.64){\line(1,-3){1.4}}
\put(-1.26,2.58){\line(1,-3){1.4}} \put(-1.44,2.52){\line(1,-3){1.4}}
\put(-1.62,2.46){\line(1,-3){1.4}}
% waves 2 
\put(11.4,6.8){\line(1,-3){1.4}}   \put(11.22,6.74){\line(1,-3){1.4}}
\put(11.04,6.68){\line(1,-3){1.4}} \put(10.86,6.62){\line(1,-3){1.4}}
\put(10.68,6.56){\line(1,-3){1.4}}
% Schiff
\thicklines \put(8,1.5){\vector(1,0){3}}  \put(11.2,1.38){$v$}
\put(8.04,.1){\line(0,1){4.9}}  \put(7.96,.1){\line(0,1){4.9}}
\put(6,.1){\line(1,0){4}}       \put(6,.14){\line(1,0){4}}
\put(6,.1){\line(-2,1){.8}}     \put(6,.14){\line(-2,1){.8}}
\put(10,.1){\line(2,1){.8}}     \put(10,.14){\line(2,1){.8}}
\put(6.3,.7){\line(1,0){3.4}}   \put(7.2,3.5){\line(1,0){1.6}}
\thinlines \put(8,.1){\line(0,1){6.7}} \put(7.51,6){$\Sigma^\prime$}
\put(7.94,5){\line(-1,-3){1.61}}  \put(8.06,5){\line(1,-3){1.61}}
% Leuchtturm
\put(20,5){\circle{.8}} \thicklines  
\put(20,4.1){\oval(1.2,3)[t]}     \put(19.1,4.1){\line(1,0){1.8}}  
\put(19.1,4.1){\line(-1,-5){.82}} \put(20.9,4.1){\line(1,-5){.82}} 
\put(19.06,3.9){\line(0,1){.4}}   \put(20.93,3.9){\line(0,1){.4}}  
\end{picture} \end{figure}  
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{.5cm}
In $\Sigma^\prime$ (boost in x-Richtung) 
sitzt derweil ein Kapit\"an im Korb seines 
Einmasters bei $\vc r^\prime = (0,0,h^\prime )$ mit $h^\prime=z$, 
d.h. gleich hoch wie der leuchtende Kollege. Wenn sich 
zur Zeit $t$ K\"aptn und W\"arter die Hand reichen (jaja, der 
Leuchtturm hat einen Erker, welcher \"uber dem Wasser etc.), 
dann haben sie bis dahin die \ {\bf gleiche} \ Anzahl Nullebenen 
gez\"ahlt. Lediglich hat sich der Kapit\"an die obige 
Rechnung mit $\o^\prime$, $\vc k^\prime$, $\vc r^\prime$ 
und $t^\prime$ aufgezogen. Fazit$\,$:
\vskip .05cm \nz
$$   \hbox{\# K\"aptn--counts}\quad = \;\;
    {\o^\prime t^\prime - \vc k^\prime \vc r^\prime 
    \0 \pi } \quad = \quad  {\o t - \vc k \vc r
    \0 \pi } \;\; = \quad\hbox{\# W\"arter--counts}
$$
\vskip -.02cm \nz
Die diskretisierende Klammer $\lb \;\; \rb$ wurde jetzt
weggelassen, weil ebensogut Maxima gez\"ahlt werden konnten,
oder Halbwert--Erreichungen, oder Hundertstel. Das macht
die innere Gleich\-heit \anfu dicht\anfo. 

\vspace{.1cm}
Das wars. Die \anfu Phase\anfo $kx$ der 
Welle ist ein Lorentz--Skalar. Punkt. Aber wir k\"onnen ja noch
nachschauen (Hut ab), wie sich {\sl Jackson} dazu ausdr\"uckt$\,$:

\vspace{.1cm} 
{\kl The relativistic Doppler shift formulas can be obtained 
     from the fact that the phase of a plane wave is an 
     invariant under a Lorentz transformation, the reason 
     being that the phase can be associated with mere 
     counting which is independent of coordinate frame. 
     Consider a plane wave of frequency $\o$ and wave 
     vector $\bf k$ in the reference frame $K$. An observer 
     at the point $P$ with coordinate ${\bf x}$ is equipped 
     to record the number of wave crests which reach him in 
     a certain time. If the wave crest passing the origin at
     $t=0$ is the first one which he records (when it reaches 
     him), then at time $t$ he will have counted ....}

\nz {\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}