
%  qm3.tex         Quantenmechanik WS 90/91
% 
%  STATIONAERE STOERUNGSRECHNUNG

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
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\input def
\def\re{\!\! >}  \def\li{< \!\!} 
\def\st#1{\hbox{\rm (St.#1)}}
\def\M{ {\bf m}_H }

\rightline{{\seite St\"o}}
\bigskip \bigskip
\rightline {Hannover}
\rightline{{\gr Station\"are St\"orungsrechnung} \hskip 4.6cm
2. 1. 1991} \nz \bigskip
Real existierende Physiken kann man mitunter noch recht gut
dadurch verstehen und behandeln, da\ss\ man eine Aufteilung
$H = H_o + V$ findet, in welcher der hermitesche Operator
$V$ nur eine "kleine" und qualitativ harmlose St\"orung am
gel\"osten $H_o$-Problem darstellt.  $H_o \vert n \re
= \epsilon_n \vert n \re $ liefere ein diskretes,
nicht-entartetes Spektrum. Bei Hinzuschalten von $V$ geht
$\vert m \re $ in einen $H$-Eigenzustand $\vert \M \re$
\"uber $(\, H \vert \M \re = E_m \vert \M \re \, )$ , der
nach Potenzen von $V$ entwickelt gedacht werden kann: \qquad
\qquad $ \vert \M \re = \alpha \cdot ( \vert m \re + \vert m,
1 \re + \vert m, 2 \re +  . . . ) \; $ \nz
\hskip 2.3cm
$ \vert m, \nu \re = $Korrektur d. Ordnung $V^\nu \, ; \, 
  \vert m, 0 \re \!\! \gll \vert m \re
 \, ; \, \li m \vert m, \nu \re = 0 \, $ f. $ \nu > 0 \, , \,
 {\rm d.h.} \; \alpha  = \li m \vert \M \re .$ \nz
 \hskip -.5cm
 $$ \hskip 2.3cm (H_o + V ) \; (\vert m \re + \vert m, 1
    \re + \vert m, 2 \re + . . . ) = (\epsilon_m +
    \epsilon_{m, 1} + \epsilon_{m,2} +  . . . ) \cdot
    (\vert m \re + \vert m, 1 \re + \vert m, 2 \re + . . .)
   \eqno \st 1 $$
\hskip 2.3cm Gleichsetzen von Termen gleicher $V$-Ordnung
liefert: \nz
$ \hskip 2.3cm (H_o - \epsilon_m) \; \vert m, \nu
\re = - V \, \vert m, \nu -1 \re + \sum_{\mu =1}^{\nu}
\epsilon_{m, \mu} \vert m, \nu - \mu \re $
\smallskip \nz
$ \hskip 2.3cm \li m \vert \cdot ... \quad \Rightarrow \quad
  \; \epsilon_{m, \nu} = \li m \vert V \vert  m, \nu -1 \re
  \; , \;\, E_m =  \epsilon_m + \sum_{\nu =1}^\infty \li m
  \vert V \vert m, \nu -1 \re = \epsilon_m + {1 \over \alpha}
  \li m \vert V \vert \M \re  $ \smallskip \nz
$ \hskip 2.3cm \li n \vert \cdot ... \quad \Rightarrow
  \quad \; \li n \vert m, \nu \re = {1 \over \epsilon_m -
  \epsilon_n } \cdot ( \li n \vert V \vert m, \nu -1 \re -
  \sum_{\mu =1}^\nu \epsilon_{m, \mu} \li n \vert m,
  \nu - \mu \re ) $ \smallskip \nz
\vskip -3.2cm \nz 
\hskip -.5cm \vbox{\hbox{\hskip 
.915cm $\uparrow \;$\raise 2pt\hbox{$ E \;$}}
 \vskip -.1cm \hbox{\hskip 
1cm \vrule depth 0pt height 1cm width .02pt} 
 \vskip -.8cm \hbox{\hskip 
.6cm $\;\;\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .45cm 
     $\;\vert \, m_H >$}
 \vskip -.3cm \hbox{\hskip
-.3cm \lower 2pt\hbox{$\vert \, m > \,\;$}\vrule depth 0pt 
      height .02pt width .5cm $\;\;\;\;$ } 
  \vskip .25cm \hbox{\hskip 
1cm \vrule depth 0pt height 1.2cm width .02pt} 
  \vskip -1.47cm \hbox{\hskip
.6cm $\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm} 
   \vskip -.1cm 
  \vskip .1cm \hbox{\hskip
.6cm $\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm} 
   \vskip -.1cm 
  \vskip .1cm \hbox{\hskip
.6cm $\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm} 
 }  \vskip .5cm \nz
Diese Rekursionsformel ($n \neq m ,  \nu >0$) legt nun alle
Skalarprodukte $\li n \vert m, \nu \re$ fest. Also kennt man
$\vert m, \nu \re$ und erh\"alt $E_m$ (aus obiger Formel),
sowie \nz
\hskip 6cm $\vert \M \re = \alpha \cdot
( \vert m \re + \sum_{\nu=1}^\infty \sum_n^\prime \vert n
\re \li n \vert m, \nu \re ) $ \quad mit $\alpha$ aus $\li
\M \vert \M \re =1 \, .$ \nz
Durchf\"uhrung (die ersten Terme) :
$$ \epsilon_{m, 1} = \li m \vert V \vert m \re \; , \;
   \epsilon_{m, 2} = \li m \vert V \vert m, 1 \re =
   {\sum_n}^\prime \li m \vert V \vert n \re \li n
   \vert m, 1 \re \; , \; \li n \vert m, 1 \re =
   {\li n \vert V \vert m \re \over \epsilon_m - \epsilon_n}
   \; ;  \quad \li n \vert V \vert m \re  \glr V_{n m} \; : $$
$$ E_m = \epsilon_m + V_{m m} + {\sum_n}^\prime {\vert V_{n m} 
   \vert ^2 \over  \epsilon_m - \epsilon_n} + \, . \, . \, . \,
   \qquad ; \qquad \vert \M \re = \alpha \cdot ( \vert m \re
   + {\sum_n}^\prime {V_{n m} \over \epsilon_m - \epsilon_n}
   \vert n \re + \, . \, . \, . \, )
   \eqno \st 2 $$
$\alpha = 1 + O(V^2)$. Nat\"urlich erh\"alt man $V_{n m}$
in Ortsdarstellung per $V_{n m} = \int \! dx \varphi_n^\ast
(x) V \varphi_m (x) \; , \; V_{m m} = \li V \re _{\varphi_m}$.
Die gest\"orte $m$-te Eigenfuktion sieht (Zitat) bis mit
2. Ordnung folgenderma\ss en aus:
$$ \li x \vert \M \re = \alpha \cdot \Biggl( \varphi_m (x)
   + {\sum_n}^\prime \varphi_n (x) {1 \over \epsilon_m -
   \epsilon_n} \Bigl[ \, V_{n m} \Bigl(1 - {V_{m m} \over
   \epsilon_m - \epsilon_n} \Bigr) + {\sum_l}^\prime
   {V_{n l} V_{l m} \over \epsilon_m - \epsilon_l} \,
   \Bigr] \Biggr) \; .
   \eqno \st 3 $$
\smallskip
\centerline{\vrule width 18cm height 0.4pt} 
\bigskip \smallskip \nz
{\gr Entartung :} 
Innerhalb entarteter oder fast-entarteter $\epsilon_m$'s ist
der Effekt der St\"orung $V$ nicht mehr "klein"; $\;$ Motto:
nimm die wichtigen $V$-Anteile mit zu $H_o$ ! In
Energie-Darstellung ($H_o$-Darstellung) besteht $H_o + V$
zun\"achst aus den Operatoren \nz
$$ H_o = \left( \matrix{ \epsilon_o & 0       & 0       \cr
                         0       & \epsilon_1 & 0       \cr
                         0       & 0          & ...     \cr}
   \right) \quad , \quad
  V = \left( \matrix{ V_{0 0}   & V_{0 1}    &  ...   \cr
                      V_{1 0}   & V_{1 1}    &  ...   \cr
                      ...       & ...        &  ...   \cr}
   \right) $$
Sei nun z.B. $\epsilon_m \approx \epsilon_l$ (und alle
anderen $\epsilon$ weit von diesen beiden entfernt); dann
definieren wir ein neues $H_o$
$$ H_o^{\rm neu} \gll \left( \matrix{ \; \epsilon_{...}
         \, & 0  & 0 & 0  \cr
         0  & \epsilon_m + V_{m m} & V_{m l} & 0    \cr
         0  & V_{lm}  & \epsilon_l + V_{l l} & 0    \cr
         0  & 0     & 0      & \, \epsilon_{...} \; \cr }
   \right) \qquad \eqno \st 4 $$
(der neue St\"oroperator $V^{\rm neu}$ hat nun Nullen an den
vier $m$-$l$-Positionen) und l\"osen die "S\"akulargleichung":
$$ \left( \matrix{\epsilon_m + V_{m m} - \epsilon &
   V_{m l}  \cr
   V_{l m} & \epsilon_l + V_{l l} - \epsilon \cr}
   \right) \, \left( \matrix{ a_m \cr
   a_l \cr} \right) = 0 \qquad \Rightarrow $$
$$ \epsilon_\pm = {1 \over 2 } \Bigl( \epsilon_m + \epsilon_l
   + V_{m m} + V_{l l} \pm \wu {( \epsilon_m - \epsilon_l
   + V_{m m} - V_{l l} )^2 + 4 \vert V_{l m} \vert ^2 }
   \Bigr) \; . \eqno \st 5 $$
In $H_o^{\rm neu}$-Darstellung ist der $l$-$m$-Block $=$ 
diag($\epsilon_+, \epsilon_-$); und die St\"orungsrechnung
funktioniert nun wieder bes\-tens. Bei Entartung wird also
die Bosheit der Energie-Nenner in (St.2) dadurch behoben,
da\ss\ man zuerst {\sl die} Basis des Entartungs-Unterraumes
w\"ahlt, bei welcher man mit $V \! \rightarrow \! 0$
ankommen w\"urde: die zugeh\"origen $\vert V_{n m} \vert ^2$
verschwinden.

\nz {\fiverm ( H. Schulz, ITP, Uni Hannover ) }
\end
