% qm3.tex Quantenmechanik WS 90/91 % % STATIONAERE STOERUNGSRECHNUNG % def.tex erforderlich %%%% T E X %%%% % % \magnification=\magstep1 \voffset = -0.7 in \vsize = 27cm \hsize = 6.8 true in \nopagenumbers \raggedright \font\gr=cmsl10 scaled \magstep2 \font\seite=cmbx10 scaled \magstep4 \baselineskip 14pt \input def \def\re{\!\! >} \def\li{< \!\!} \def\st#1{\hbox{\rm (St.#1)}} \def\M{ {\bf m}_H } \rightline{{\seite St\"o}} \bigskip \bigskip \rightline {Hannover} \rightline{{\gr Station\"are St\"orungsrechnung} \hskip 4.6cm 2. 1. 1991} \nz \bigskip Real existierende Physiken kann man mitunter noch recht gut dadurch verstehen und behandeln, da\ss\ man eine Aufteilung $H = H_o + V$ findet, in welcher der hermitesche Operator $V$ nur eine "kleine" und qualitativ harmlose St\"orung am gel\"osten $H_o$-Problem darstellt. $H_o \vert n \re = \epsilon_n \vert n \re $ liefere ein diskretes, nicht-entartetes Spektrum. Bei Hinzuschalten von $V$ geht $\vert m \re $ in einen $H$-Eigenzustand $\vert \M \re$ \"uber $(\, H \vert \M \re = E_m \vert \M \re \, )$ , der nach Potenzen von $V$ entwickelt gedacht werden kann: \qquad \qquad $ \vert \M \re = \alpha \cdot ( \vert m \re + \vert m, 1 \re + \vert m, 2 \re + . . . ) \; $ \nz \hskip 2.3cm $ \vert m, \nu \re = $Korrektur d. Ordnung $V^\nu \, ; \, \vert m, 0 \re \!\! \gll \vert m \re \, ; \, \li m \vert m, \nu \re = 0 \, $ f. $ \nu > 0 \, , \, {\rm d.h.} \; \alpha = \li m \vert \M \re .$ \nz \hskip -.5cm $$ \hskip 2.3cm (H_o + V ) \; (\vert m \re + \vert m, 1 \re + \vert m, 2 \re + . . . ) = (\epsilon_m + \epsilon_{m, 1} + \epsilon_{m,2} + . . . ) \cdot (\vert m \re + \vert m, 1 \re + \vert m, 2 \re + . . .) \eqno \st 1 $$ \hskip 2.3cm Gleichsetzen von Termen gleicher $V$-Ordnung liefert: \nz $ \hskip 2.3cm (H_o - \epsilon_m) \; \vert m, \nu \re = - V \, \vert m, \nu -1 \re + \sum_{\mu =1}^{\nu} \epsilon_{m, \mu} \vert m, \nu - \mu \re $ \smallskip \nz $ \hskip 2.3cm \li m \vert \cdot ... \quad \Rightarrow \quad \; \epsilon_{m, \nu} = \li m \vert V \vert m, \nu -1 \re \; , \;\, E_m = \epsilon_m + \sum_{\nu =1}^\infty \li m \vert V \vert m, \nu -1 \re = \epsilon_m + {1 \over \alpha} \li m \vert V \vert \M \re $ \smallskip \nz $ \hskip 2.3cm \li n \vert \cdot ... \quad \Rightarrow \quad \; \li n \vert m, \nu \re = {1 \over \epsilon_m - \epsilon_n } \cdot ( \li n \vert V \vert m, \nu -1 \re - \sum_{\mu =1}^\nu \epsilon_{m, \mu} \li n \vert m, \nu - \mu \re ) $ \smallskip \nz \vskip -3.2cm \nz \hskip -.5cm \vbox{\hbox{\hskip .915cm $\uparrow \;$\raise 2pt\hbox{$ E \;$}} \vskip -.1cm \hbox{\hskip 1cm \vrule depth 0pt height 1cm width .02pt} \vskip -.8cm \hbox{\hskip .6cm $\;\;\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .45cm $\;\vert \, m_H >$} \vskip -.3cm \hbox{\hskip -.3cm \lower 2pt\hbox{$\vert \, m > \,\;$}\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm $\;\;\;\;$ } \vskip .25cm \hbox{\hskip 1cm \vrule depth 0pt height 1.2cm width .02pt} \vskip -1.47cm \hbox{\hskip .6cm $\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm} \vskip -.1cm \vskip .1cm \hbox{\hskip .6cm $\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm} \vskip -.1cm \vskip .1cm \hbox{\hskip .6cm $\;$\vrule depth 0pt height .02pt width .5cm} } \vskip .5cm \nz Diese Rekursionsformel ($n \neq m , \nu >0$) legt nun alle Skalarprodukte $\li n \vert m, \nu \re$ fest. Also kennt man $\vert m, \nu \re$ und erh\"alt $E_m$ (aus obiger Formel), sowie \nz \hskip 6cm $\vert \M \re = \alpha \cdot ( \vert m \re + \sum_{\nu=1}^\infty \sum_n^\prime \vert n \re \li n \vert m, \nu \re ) $ \quad mit $\alpha$ aus $\li \M \vert \M \re =1 \, .$ \nz Durchf\"uhrung (die ersten Terme) : $$ \epsilon_{m, 1} = \li m \vert V \vert m \re \; , \; \epsilon_{m, 2} = \li m \vert V \vert m, 1 \re = {\sum_n}^\prime \li m \vert V \vert n \re \li n \vert m, 1 \re \; , \; \li n \vert m, 1 \re = {\li n \vert V \vert m \re \over \epsilon_m - \epsilon_n} \; ; \quad \li n \vert V \vert m \re \glr V_{n m} \; : $$ $$ E_m = \epsilon_m + V_{m m} + {\sum_n}^\prime {\vert V_{n m} \vert ^2 \over \epsilon_m - \epsilon_n} + \, . \, . \, . \, \qquad ; \qquad \vert \M \re = \alpha \cdot ( \vert m \re + {\sum_n}^\prime {V_{n m} \over \epsilon_m - \epsilon_n} \vert n \re + \, . \, . \, . \, ) \eqno \st 2 $$ $\alpha = 1 + O(V^2)$. Nat\"urlich erh\"alt man $V_{n m}$ in Ortsdarstellung per $V_{n m} = \int \! dx \varphi_n^\ast (x) V \varphi_m (x) \; , \; V_{m m} = \li V \re _{\varphi_m}$. Die gest\"orte $m$-te Eigenfuktion sieht (Zitat) bis mit 2. Ordnung folgenderma\ss en aus: $$ \li x \vert \M \re = \alpha \cdot \Biggl( \varphi_m (x) + {\sum_n}^\prime \varphi_n (x) {1 \over \epsilon_m - \epsilon_n} \Bigl[ \, V_{n m} \Bigl(1 - {V_{m m} \over \epsilon_m - \epsilon_n} \Bigr) + {\sum_l}^\prime {V_{n l} V_{l m} \over \epsilon_m - \epsilon_l} \, \Bigr] \Biggr) \; . \eqno \st 3 $$ \smallskip \centerline{\vrule width 18cm height 0.4pt} \bigskip \smallskip \nz {\gr Entartung :} Innerhalb entarteter oder fast-entarteter $\epsilon_m$'s ist der Effekt der St\"orung $V$ nicht mehr "klein"; $\;$ Motto: nimm die wichtigen $V$-Anteile mit zu $H_o$ ! In Energie-Darstellung ($H_o$-Darstellung) besteht $H_o + V$ zun\"achst aus den Operatoren \nz $$ H_o = \left( \matrix{ \epsilon_o & 0 & 0 \cr 0 & \epsilon_1 & 0 \cr 0 & 0 & ... \cr} \right) \quad , \quad V = \left( \matrix{ V_{0 0} & V_{0 1} & ... \cr V_{1 0} & V_{1 1} & ... \cr ... & ... & ... \cr} \right) $$ Sei nun z.B. $\epsilon_m \approx \epsilon_l$ (und alle anderen $\epsilon$ weit von diesen beiden entfernt); dann definieren wir ein neues $H_o$ $$ H_o^{\rm neu} \gll \left( \matrix{ \; \epsilon_{...} \, & 0 & 0 & 0 \cr 0 & \epsilon_m + V_{m m} & V_{m l} & 0 \cr 0 & V_{lm} & \epsilon_l + V_{l l} & 0 \cr 0 & 0 & 0 & \, \epsilon_{...} \; \cr } \right) \qquad \eqno \st 4 $$ (der neue St\"oroperator $V^{\rm neu}$ hat nun Nullen an den vier $m$-$l$-Positionen) und l\"osen die "S\"akulargleichung": $$ \left( \matrix{\epsilon_m + V_{m m} - \epsilon & V_{m l} \cr V_{l m} & \epsilon_l + V_{l l} - \epsilon \cr} \right) \, \left( \matrix{ a_m \cr a_l \cr} \right) = 0 \qquad \Rightarrow $$ $$ \epsilon_\pm = {1 \over 2 } \Bigl( \epsilon_m + \epsilon_l + V_{m m} + V_{l l} \pm \wu {( \epsilon_m - \epsilon_l + V_{m m} - V_{l l} )^2 + 4 \vert V_{l m} \vert ^2 } \Bigr) \; . \eqno \st 5 $$ In $H_o^{\rm neu}$-Darstellung ist der $l$-$m$-Block $=$ diag($\epsilon_+, \epsilon_-$); und die St\"orungsrechnung funktioniert nun wieder bes\-tens. Bei Entartung wird also die Bosheit der Energie-Nenner in (St.2) dadurch behoben, da\ss\ man zuerst {\sl die} Basis des Entartungs-Unterraumes w\"ahlt, bei welcher man mit $V \! \rightarrow \! 0$ ankommen w\"urde: die zugeh\"origen $\vert V_{n m} \vert ^2$ verschwinden. \nz {\fiverm ( H. Schulz, ITP, Uni Hannover ) } \end