%  qm5.tex         Quantenmechanik WS 90/91
% 
%  Dirac-Gleichung 

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
% \magnification=\magstep1
\nopagenumbers  % \raggedright 
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\input def
\def\DS{D\!\!\!\!\!\>/}
\def\ds{\6\!\!\!\!\!\;/}
\def\eq#1{\eqno{(\, {\rm D} \, . \, #1 \, )}}
\def\e#1{$\, (\,$D$\, . \,$#1$\, )\;$}

\rightline{{\gr Dirac--Gleichung}
   \hskip 6cm $ \( i \DS - m \) \psi = 0 $ \quad }
\bigskip\medskip 
Gew\"ohnliche Quantenmechanik, $\; i \hbar \6_t \,\psi = \lk
{1 \0 2m} ( \vc p - q \vc A )^2  + q \phi \rk \psi \;$,
ist zwar eich-- aber ersichtlich nicht Lorentz--invariant.
Unter Aufrechterhaltung aller quantenmechanischen Essentials
(insbesondere der ersten Ordnung in $\6_t$, damit bereits
$\psi(\vc r , 0 )$ alle Information enth\"alt) hat darum
Dirac 1928 die allgemeine Linearkombination der 
$\6_\mu$--Komponenten aufgeschrieben,
$$  \( i \hbar \ds - mc \) \psi \; = \; 0 \;\;\qquad , \quad   
    \ds \gll \g^\mu \6_\mu \quad , \quad
    \6^\mu \gll \( \; \6_{ct} \; , \, - \nabla \, \) \quad ,
\eq 1  $$
und die Forderung, ebene Wellen $\, {\rm exp} \lk {i \0\hbar} 
\( \vc q \vc r - \wu { m^2 c^4 + q^2 c^2 } \, t \) \rk $
m\"ochten diese Gleichung l\"osen, in Eigenschaften der vier
4$\times$4--Matrizen $\g^\mu$
\"ubersetzt$\,$:
$$ \lb \, \g^\mu \, , \, \g^\nu \, \rb = 2 g\omn \quad , \quad 
   \g^{0 \, \dagger} = \g^0 \quad , \quad 
   \( \g^0 \g^k \)^\dagger = \g^0 \g^k \quad . 
\eq 2 $$
Sucht man nach {\sl allen} station\"aren L\"osungen 
$ \psi = e^{-iEt / \hbar} \cdot \ldots $ von
\e 1, so darf mit \ $\ldots = e^{-i\vcsm q \vcsm r / \hbar}$
gearbeitet und in die per Anwendung von $i\hbar \ds + mc$
auf \e 1 entstehende {\sl Klein--Gordon--Gleichung}
$\(\hbar^2 \6^2 + m^2 c^2 \) \psi = 0$ eingesetzt werden$\,$:
\vskip -.5cm
$$ \hskip 1cm E \; = \;\pm \wu {m^2 c^4 + \vc q ^2 c^2 } \quad .
\eq 3 $$ 
Das Vakuum ist \anfu voll\anfo : die Zust\"ande des unteren 
Hyperbel--Astes sind Pauli--doppelbesetzt. Vielteilchen--Theorie
ist unausweichlich. Jedes Spin--${1\02}$--Teilchen hat sein
Antiteilchen gleicher Masse aber entgegengesetzter Ladung.
Massiv thermisch angeregt waren Positronen (entdeckt 1932)
damals, als es noch $2mc^2 =$ 1 MeV = $k_B \cdot 10^{10}$K
warm war. {\sl Es gibt} (April 2002) die folgenden 
Spin--${1\02}$--Teilchen$\,$:
\medskip \nz
\hskip .4cm \vbox{ 
\hbox{ $\!\!$\vrule \hskip .1cm 
       \vbox{\vskip.15cm \hsize=2.2cm \noindent
$\;\;\; \nu_e \;\;\; \nu_\mu \;\;\; \nu_\tau$ \vskip.15cm} 
       \vrule \hskip .1cm  
       \vbox{\vskip.15cm \hsize=.7cm \noindent
$\;\;\; 0$ \vskip.2cm} 
       \vrule \hskip .05cm \vrule \hskip .1cm 
       \vbox{\vskip.15cm \hsize=2cm \noindent
\ \ \ $ u \;\;\;\; c \;\;\;\; t$ \vskip.2cm}  
    \vrule \hskip .1cm  
       \vbox{\vskip.2cm \hsize=.9cm \noindent
$\; + 2/3$ \vskip.15cm} 
    \hskip .1cm \vrule \hskip .05cm \vrule }
\hrule
\hbox{ $\!\!$\vrule \hskip .1cm 
       \vbox{\vskip.15cm \hsize=2.2cm \noindent
$\;\;\;\; e \;\;\;\; \mu \;\;\;\; \tau$ \vskip.15cm} 
       \vrule \hskip .1cm  
       \vbox{\vskip.2cm \hsize=.7cm \noindent
$\; - 1$ \vskip.15cm} 
       \vrule \hskip .05cm \vrule \hskip .1cm
       \vbox{\vskip.15cm \hsize=2cm \noindent
\ \ \ $ d \;\;\;\; s \;\;\;\; b$ \vskip.2cm}  
    \vrule \hskip .1cm  
       \vbox{\vskip.25cm \hsize=.9cm \noindent
$\; - 1/3$ \vskip.1cm} 
    \hskip .1cm \vrule \hskip .05cm \vrule }
}   
\vskip -1.2cm \nz \leftskip 8.2cm
\nz  In je der vierten Spalte steht ihre Ladung$\,$; \nz
     jedes quark ist seinerseits dreifarbig. 
\vskip -.6cm 
\rightline{$\, (\,$D$\, . \,$4$\, )$}
\nz \leftskip=0pt \vskip .75cm \nz
Die Ladung der Dirac-Seen (sofern real) ist somit
\ $ -3 +3 \cdot \( {2\03} - {1\03} \) \cdot 3 \; = $ Null.
\medskip
Das Prinzip der lokalen Eichinvarianz (n\"amlich unter
$\psi \to e^{-iq \,\chi / \hbar} \psi$) zwingt zur Aufnahme
von Eich\-fel\-dern$\,$: $\6^\mu + {iq\0 \hbar} A^\mu
\glr D^\mu \,$ $\( A^\mu \to A^\mu + \6^\mu \chi \)$. Somit
ist \ $\( i \hbar \DS - mc \) \psi = 0$ \ die Dirac-Gleichung
mit Feld. Unter Verwendung der Dirac-Basis 
\vskip -.4cm 
$$ \hskip 3cm  \g^0 = \( \matrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr } \) 
   \qquad , \qquad \vc \g = \( \matrix{ 0 & \vc \s \cr -
   \vc \s & 0 \cr } \) \qquad ,
\eq 5 $$
mit $A^\mu = \( \, \phi \, , \, c \vc A \, \) $ und unter
Aufteilen des 4--komponentigen Spinors $\psi$ in
obere ($\ph$) und untere Komponenten ($\chi$) nimmt sie die
Gestalt \nz \vskip -.63cm
$$ \hskip 3cm \eqalign{ 
   \( i \hbar \6_t - q \phi - m c^2 \) \ph
     & = c \, ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \; \chi \cr
   \( i \hbar \6_t - q \phi + m c^2 \) \chi 
     & = c \, ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \; \ph
   \;\;\qquad {\rm an}\, . }
\eq 6 $$

Im nichtrelativistischen Grenzfall $c \to \infty$ und
f\"ur den \anfu Alltag\anfo $\; i\hbar \6_t = mc^2 + O\( c^0 \)$
kann die untere Gleichung \e 6 als
$\chi = {1\02mc} ( \vc p - q \vc A ) \cdot \vc \s \, \ph$
in die obere eingesetzt werden. Mittels 
$ ( \vc a \cdot \vc \s ) ( \vc b \cdot \vc \s ) = \vc a \cdot
  \vc b + \, i \, ( \vc a \times \vc b ) \cdot \vc \s $
\ und \ $( \vc p - q \vc A ) \times ( \vc p - q \vc A ) 
= i q \hbar \,\nabla \times \vc A $ \ sowie \
$\ph = e^{-imc^2 \, t / \hbar } \, \psi$ \ ergibt sich die 
\nz {\sl Pauli--Gleichung}   \nz
$$  i \hbar \6_t \psi = \lk {1\0 2m} ( \vc p - q \vc A )^2 
    + q \phi - {q\0 2m} \vc B \cdot {\hbar \vc \s \0 2 }
    \cdot 2 \rk \, \psi \quad .
\eq 7 $$
Spin--Bahn--Kopplung bekommt man erst als einen der 
$1/c^2$--Effekte.
\medskip
Um die Lorentz--Transformation f\"ur Spinoren zu erkunden,
ziehe man \e 1 w\"ahrend einer $v$-Reise aus der Tasche, bringe
Striche ( n u r ) bei $\6^\mu$, $\psi$ und am Argument $x$ an
($x^\prime = \Lambda x$)$\,$, lasse $\psi^\prime = S(v) \, \psi$
zu und l\"ose folglich $S^{-1} \g^\nu S = \Lambda^\nu_{\;\;\mu}
\g^\mu\,$. Man erh\"alt
\nz \vskip -.6cm
$$ \hskip 5cm
   S = {\rm exp} \( {1\02} \lb \matrix{ - \o \cr i \ph
   \g_5 \cr} \rb \vc e \cdot \g^0 \vc \g \) \qquad ,
\eq 8 $$  \nz
wobei $ \sh (\o ) \gll \b \g \,$, $\ph \gll$ Drehwinkel$\,$,
$\vc e \gll$ boost--Richtung bzw. Achse$\,$, 
$\g_5 \gll i \g^0 \g^1 \g^2 \g^3\;$.

\vskip .8cm
\nz \leftskip 1.5cm {\sm  
SS 1999, Literatur \nz
zum QFT--Teil der \nz
Quantentheorie II \nz 
\vskip -1.4cm \leftskip 5cm \nz
[Ry] \ L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge 1996 \nz
[PS] \ M.E. Peskin + D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum 
       Field Theory, Addison--Wesley '95 \nz
[IZ] \ $\;\,$C. Itzykson + J-B. Zuber, Quantum Field Theory, 
       McGraw-Hill '85 \nz
[CL] \ $\,$T-P. Cheng + L-F. Li, Gauge theory of elementary particle 
       physics, Oxford '84 \nz   }

\vskip .1cm\nz \leftskip 0pt 
{\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
