%  qm6.tex         Quantenmechanik WS 90/91
% 
%  | psi |^2 = Ladungsdichte ?    ( Zwei Blaetter )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
\magnification=\magstep1  
\nopagenumbers 
\voffset -.2cm  \vsize 22.5cm
\hoffset .4cm   \hsize 14cm
\font\mt=cmbx10 \font\kl=cmsl8
  \input def
\def\I{{\rm I}}  \def\J{{\rm II}}
\def\lll{\vphantom{a}}
\font\riesig=cmbx12 scaled \magstep2
\def\no#1{ \nz \hskip 14.5cm {\riesig #1} }

$ $  \vskip -1.7cm  \rightline{ \no 1}
\bigskip \nz
\centerline{Ist $\; \rho = q \cdot \vert \Psi \vert ^2 \;$ 
            {\it auch} $\,$ Ladungsdichte ?}
\par \bigskip
Alle Jahre wieder, n\"amlich zu Beginn quantenmechanischer
Kursvorlesungen, pflegt sich die Frage einzustellen, ob man
das Wort \anfu Ladungsdichte\anfo nun noch benutzen d\"urfe
$\; - \;$ gerade noch oder gerade nicht mehr ? $\,$Manche
Lehrb\"ucher \"au\ss ern sich eindeutig: man d\"urfe nicht.
Im folgenden halten wir dagegen.
\smallskip
Welche Ladungsverteilung vorliegt, wird im Rahmen klassischer
Elektrodyna\-mik ent\-schie\-den, n\"amlich z.B. dadurch, 
da\ss\ man eine Probeladung durch den Raum fliegen l\"a\ss t 
und sich ihre Beschleunigung ansieht. Ein Teilchen mit Ladung
$q$ und Masse $m$ befinde sich in einem 
nicht-elektromagnetischen Potential $V(\vc r)$ im 
Grundzustand $\varphi_o(\vc r)$. 
\vskip .4cm \nz
%
\hskip 9cm \vbox{\hbox{\hskip
1cm $//////////$}  \vskip -.05cm \hbox{\hskip
.7cm $/// \; \varphi_0 (\vc r ) \; ///////$}
 \vskip -.05cm \hbox{\hskip
.5cm $////////////////////////$} \vskip -.05cm \hbox{\hskip
.6cm $/// \; m \, , \, q \;////////////$}
  \vskip -.05cm \hbox{\hskip
.85cm $////////$} \vskip -1.8cm \hbox{\hskip
4cm $\nearrow$}   \vskip -.1cm \hbox{\hskip
3.7cm $\nearrow$} \vskip -.1cm \hbox{\hskip
3.4cm $\nearrow$} \vskip -.1cm \hbox{\hskip
3.1cm $\nearrow$} \vskip -.1cm \hbox{\hskip
2.8cm $\nearrow$} \vskip -.1cm \hbox{\hskip
2.5cm $\nearrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
2.35cm $\bullet$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
2.7cm $M \, , \, \d Q $}  } 
\vskip -2.85cm \rightskip=5.3cm \nz
%
Durch das Gebirge der entsprechenden 
Wahrschein\-lich\-keits\-dichte $\vert \varphi_o(\vc r) 
\vert^2$ fliege nun ein schweres (d.h. n\"ahe\-rungs\-weise 
\anfu klassisches\anfo) Teilchen mit {\it infinitesimaler} 
Ladung $\delta Q$ und mit Masse $M$. Es sei stark bei 
$\vc R_o(t)$ lokalisiert und zerflie\ss e w\"ahrend der 
betrach\-te\-ten Zu\-kunft beliebig wenig: $\chi(\vc R,t)$. 
Der Hamilton--Operator ($\epsilon_o = 1/4\pi$) des 
Gesamtsystems ist
\nz \rightskip=0pt \nz
$$ H \, = \, -{\hq^2 \over 2m} \Delta_r \, + \, V(\vc r)
   \, + \, {q \cdot \delta Q \over \vert \vc r - \vc R
   \vert} \, - \, {\hq^2 \over 2M} \Delta_R \; \, .
   \eqno{(1)} $$
Die Zustandsfunktion $\Psi(\vc r,\vc R,t)$ des Gesamtsystems
wird bei $\delta Q \!\to \! 0$ zu $\varphi_o(\vc r)
\cdot \chi(\vc R,t)$. Sie ist also kein $H$-Eigenzustand
(selbst bei $\delta Q=0$ nicht). Wir befragen also die
zeitabh\"angige Schr\"odingergleichung nach der
System-Zukunft; Ehrenfests Theorem : 
$$ M < \vc R > \!\!\pp \lll \, = \, < \vc P > \!\!\p \lll
   \, = \,  - < \nabla_R {q \cdot \delta Q \over \vert
   \vc r - \vc R \vert} >
   \eqno{(2)} $$
Der Erwartunswert ist mit $\Psi(\vc r,\vc R,t)$ zu bilden.
Wenn uns nur die erste Ordnung in $\delta Q$ interessiert,
darf $\Psi$ durch $\varphi_o \cdot \chi$ ersetzt werden :
\par
$$ M < \vc R > \!\!\pp \lll  \, = \, - \int_r \int_R \vert 
  \varphi_o(\vc r) \vert ^2 \, \vert \chi(\vc R,t)
  \vert ^2 \, \nabla_R {q \cdot \delta Q \over \vert \vc r
  - \vc R \vert}
  \eqno{(3)}$$
Im r\"aumlichen $R$-Integral machen wir nun (erstmals) von
der starken Lokalisierung des $M$-Teilchens Gebrauch und
ziehen sodann den Gradienten vor das Integral :
$$ M \ppvc R_o \; = \, - \int_r q \vert\varphi_o(\vc r)
   \vert ^2 \, \nabla_{R_o} {\delta Q \over \vert \vc r
   - \vc R_o \vert} \, =  \, \delta Q \, ( - \nabla_{R_o} )
   \int \!\! d^3r \, {q \cdot \vert \varphi_o(\vc r)
   \vert ^2 \over \vert \vc R_o - \vc r \vert}
   \eqno{(4)} $$  
Rechts von $\nabla$ steht nun genau das Skalarpotential
einer ausgedehnten Ladungsverteilung mit $\rho = q \cdot
\vert \varphi_o \vert ^2$ . Und als solche wird offenbar
$ q \cdot \vert \varphi_o \vert ^2 $ von einem
klassischen Probeteilchen erlebt.
\par
Fazit: man {\it darf} $\; q \cdot \vert \Psi \vert ^2 \>$
als Ladungsdichte ansprechen, {\it auch} n\"amlich und
ggf. mit obigem Kommentar.
\hskip 6.4cm (Hannover, Oktober 1990)
\vskip .6cm 
\nz
{\kl Diese beunruhigenden (und so nicht ganz haltbaren)
\"Uberlegungen wurden NICHT ver\"andert. Das Blatt hat
lediglich die Seitenzahl $\,${\mt 1}$\,$ erhalten sowie 
Numerierung der vier Gleichungen. Der nachtr\"agliche 
Gewinn aus Diskussionen bei der Tagung 
\anfu Quantentheorie und Erkenntnis\anfo der Evangelischen 
Akademie M\"ulheim/Ruhr (vom 28.~bis 30.~Januar 1994) 
folgt auf Blatt $\,${\mt 2}$\,$. }

\vfill \eject %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$ $  \vskip -1.7cm  \rightline{ \no 2}
\bigskip \nz
Die Rechnung ist technisch in Ordnung. Zu (4) darf man ein
wenig \"uber das Fehlen der Definition $\vc R _0 \gll \,<\!
\vc R \! >$ klagen. Und dabei mag sich die erste boshafte
Frage ergeben, n\"amlich {\sl wie lange} denn das
\anfu klassische Probeteilchen\anfo stark lokalisiert bleibe.
(4) macht ja leider nur \"uber dessen Mitte $\vc R _0$ eine
Aussage. W\"urde das Probeteilchen beliebig lange beliebig
gut lokalisiert bleiben, dann k\"onnte man die halbe Ladung
des Elektrons in einer DeBroglie-Kasten-H\"alfte detektieren,
bevor diese in Paris einschwebt und sodann (dann erst) per
Me\ss prozess zu Null- oder Eins-Antwort gezwungen wird.
Darob kr\"ummt sich sogar der Schulz vor Schmerz.
\medskip \nz
Um diesen Vorgang mittels $i \hbar \p \psi = H \psi$ zu
studieren, zur Anfangsbedingung $\varphi (\vc r , 0)
= \varphi_0 (\vc r ) e^{-ikx} /\wu 2 + \varphi_0 (\vc r )
e^{ikx} / \wu 2 \,$, $\, \chi(\vc R , 0 ) \gll \chi_0 (\vc R )
\,$, w\"ahlen wir $V(\vc r )$ in (1) als nach unten
begrenzende Potentialwand und betrachten zwei Hilfsprobleme.
Da beide gleiches $H$ haben, sind ihre L\"osungen
superponierbar.  
\vskip .2cm \nz
\hskip 11.2cm \vbox{\hbox{\hskip
1.77cm $_\uparrow$} \vskip -.3cm \hbox{\hskip
1.5cm \vrule depth 0pt height 2pt width .723cm} 
  \vskip -.38cm \hbox{\hskip
1.5cm \vrule depth 5pt height 2pt width 2pt \lower 4pt\hbox{$
      \,\; -\!\;$}    \vrule depth 5pt height 2pt width 2pt }
  \vskip -.18cm \hbox{\hskip
1.5cm \vrule depth 0pt height 2pt width .723cm} 
  \vskip .1cm \hbox{\hskip
0.7cm $\bigcap \!\!\to $}   \vskip -.34cm \hbox{\hskip
.1pt \vrule depth 0pt height .02pt width 2.5cm}
  \vskip -1cm \hbox{\hskip
0.4cm \vrule depth 0pt height 1.1cm width .02pt} }
\vskip -1.35cm \nz
\rightskip=3.5cm \nz
Hilfsproblem I.$\,$: Ein {\sl ganzes} Elektron ($\bigcap$), 
$\varphi_\I (\vc r ,0) = \varphi_0 (\vc r ) e^{ikx}$, 
fliegt nach rechts und beschleunigt die (negative)
Probeladung. \smallskip \nz
Einige Zeit $t_1$ nach dem \anfu Sto\ss\anfo fliegt die
Probeladung nach oben$\,$:
\nz \rightskip=0pt \nz
$\psi_\I (\vc r , \vc R , t_1) \approx $ 
$ \varphi_r(\vc r ,t_1) e^{ikx} \chi_\I (\vc R , t_1 )$. 
Wem dabei das Elektron allzusehr zu zerflie\ss en scheint, der 
sperre es von vornherein in den genannten DeBroglie-Halb-Kasten,
d.h.~er baue ein starkes, sich auseinander--ziehendes
Zwei-Mulden-Potential $V(\vc r , t)$ in (1) ein.
\vskip .6cm \nz
\hskip 10.3cm \vbox{\hbox{\hskip
2.5cm \vrule depth 0pt height 2pt width .723cm} 
  \vskip -.38cm \hbox{\hskip
2.5cm \vrule depth 5pt height 2pt width 2pt \lower 4pt\hbox{$
      \,\; -\!\;$}    \vrule depth 5pt height 2pt width 2pt }
  \vskip -.18cm \hbox{\hskip
2.5cm \vrule depth 0pt height 2pt width .723cm} 
  \vskip .1cm \hbox{\hskip
0.5cm $\leftarrow\!\!\bigcap$}  \vskip -.34cm \hbox{\hskip
.1pt \vrule depth 0pt height .02pt width 3.5cm}
  \vskip -1cm \hbox{\hskip
1.4cm \vrule depth 0pt height 1.1cm width .02pt} }
\vskip -1.6cm \nz
\rightskip=4.4cm \nz
Hilfsproblem II.$\,$: Wie oben, aber das ganze Elektron
fliege nach links (oder im linken Teil der 
Potential-Doppelmulde). Wegen der gro\ss en Entfernung zum 
Probeteilchen beschleunigt sich nun dieses so gut wie gar 
nicht. 
\smallskip \rightskip=0pt \nz
Superposition$\,$:  \vskip -.1cm \nz
$$  \psi (\vc r , \vc R , t ) 
    = {1 \over \wu 2 } \left( \psi_\I (\vc r \vc R , t ) 
      + \psi_\J (\vc r , \vc R , t ) \right) \;\; .
      \eqno{(5)} $$
\nz
(5) erf\"ullt in der Tat die gew\"unschte Anfangsbedingung
$$ \psi (\vc r , \vc R , 0 ) = {1 \over \wu 2 } 
   \left( \varphi_0 (\vc r ) e^{ikx} + \varphi_0 (\vc r )
   e^{-ikx} \right) \chi_0 (\vc R ) \;\; .
   \eqno{(6)} $$
Die L\"osung der Schr\"odinger-Gleichung ist eindeutig.
Einige 
Zeit nach dem Sto\ss\ liegt somit die folgende Situation
vor$\,$:
\smallskip \nz
$$ \psi (\vc r , \vc R , t_1) \approx {1 \over \wu 2 }
   \left( \varphi_\I (\vc r , t_1 ) \cdot \chi_\I
   (\vc R , t_1 ) + \varphi_\J (\vc r , t_1 ) \cdot
   \chi_\J (\vc R , t_1 ) \right)  \;\; ,
   \eqno{(7)} $$
\vskip -.1cm \nz
$$  \vert \psi (t_1) \vert ^2 \;\; \approx  \;\;
    {1 \over 2} \vert \varphi_\I (t_1 ) \vert ^2 
                \vert \chi_\I (t_1 ) \vert ^2 +
    {1 \over 2} \vert \varphi_\J (t_1 ) \vert ^2 
                \vert \chi_\J (t_1 ) \vert ^2 \;\; .
    \eqno{(8)}  $$
Wird der beschleunigte Teil der Probeladung zu Ja-Antwort
gezwungen, dann ist die rechte Elektron-H\"alfte \anfu
gesehen\anfo worden (Feynman Lectures III) und kann nicht
mehr mit der auf-Null-zustandsreduzierten linken H\"alfte
interferieren. 
\medskip \nz
{\mt Fazit}$\,$:
\nz \vskip -.4cm \leftskip=1.3cm \nz
Das Probeteilchen spaltet auf. Jenes schwere \anfu klassische
Teilchen\anfo , mit welchem manche Quantiker so gern
argumentieren, {\mt das gibt es nicht}, selbst wenn es der
einfach-ionisierte Mond w\"are ! \quad $(\!(\!($ Besteht
etwa jemand weiter auf der Existenz eines \anfu klassischen
Me\ss apparates\anfo ? $)\!)\!)$
\medskip \nz \smallskip \leftskip=0pt \nz
P.S.$\,$: Probeteilchen mit einem $U(\vc R )$ beieinander
halten? Nun, dann kann man mit sp\"aterer Messung an diesem
\anfu Punkt\anfo nichts lernen. Binden, per
$U(\vc R - \vc \rho )$, an eine schwere Masse? Nichts
Neues$\,$: siehe ionisierter Mond.

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end