%  st5.tex          Statistik ,  Sommer 1994
%
%  freiwillige  KLAUSUR  +  Loesungen  ( 2 Blaetter )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
\magnification=\magstep1  \nopagenumbers  
\voffset=-1.8cm   \vsize=25cm 
\hoffset=.4cm   \hsize=14.2cm     
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\baselineskip 14.3pt
\input def     
\def\ruck{ \vskip -.48cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 }  
\def\rruck{ \vskip -.48cm \nz \hangindent=.8cm \hangafter=-2 }  
\def\rrz{\par \noindent \rightskip=5cm}
\def\rz{\par \noindent \rightskip=.5cm}
\def\llz{\par \noindent \leftskip=3.4cm \rightskip=.5cm}
\def\dis{\displaystyle}
\def\?{$\,$?$\;$}    \def\:{$\,$:}
\def\fr{\vphantom{o}_\frown}
\def\L{ \buildrel \fr \over \Lambda }
\def\pu#1{\vskip -.6cm \rightskip=0pt \nz\vbox{\hsize 14.1cm 
    \rightline{$(\!\!\>\!\!\!\;\matrix{ \frown \cr 
          \smile \cr}\!\! )\!\!\!\!\!\!\!\>$#1}}\vskip .28cm}
%-----------% %-----------% %-----------%

\phantom{o} \nz
\raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}}
                \hbox{{\mt \qquad 2. Juli 1994 }} } 
\hskip 8.3cm {\mt Statistische Physik } \vskip -.5cm \nz
\hskip 4.7cm freiwillige {\gr \ KLAUSUR } \vskip .4cm \nz 
\hrule 
\bigskip \rz
1) \ruck Auf $M$ Gitterpl\"atze verteilen sich $N\,$ H-Atome. Von 
   diesen wurden $P$ St\"uck ionisiert. Bei Vernachl\"assigung aller
Energieunterschiede\: welche (kombinatorische) Entropie $S$
hat nun das System\? Welchen extensiven Anteil $S_{\rm ex}$ hat sie\? 
Zu speziell $M=4P$ \nz
und $N=2P$ vereinfache man $S_{\rm ex}\,$.
\ ( Zur Kontrolle\: $S_{\rm ex} = 6 P \ln (2)$ )
\pu 4
\nz \rightskip=4.5cm
2) \ruck Zu einem Spinstrahl mit bekanntem statistischen Operator 
   [ wobei $c \gll \cos (\varphi )$ und $s \gll \sin (\varphi )$ ] \
   interessieren die Mittelwerte 
   $\, \overline{\sigma^z} = \; ?\, $ und
   $\, \overline{\sigma^x} = \; ?\, $ sowie die Schwankung 
   $\, \Delta \sigma^z = \; ? $ \rz
\vskip -2.1cm  
   $$ \hskip 9.8cm \rho = \left( 
      \matrix{ c^2 + {1\02}s^2 & {1\02} s^2 \vphantom{\int_{\int}} \cr
      {1\02} s^2 & {1\02} s^2 \cr} \right) $$  
\vskip -.1cm \rz
Wir setzen nun zum einen $\varphi =0$ ($\Rightarrow$ Entropie 
$S=\; ?\;$) und zum anderen $\varphi=\pi /2$
($\Rightarrow$ $S=\; ?\;$) und k\"onnen erraten, welche
Problemstellung zu obiger Matrix $\rho$ gef\"uhrt hatte.
\pu 5
\rz
3) \ruck An einen Kreisring ($R$) ist ein Elektron ($m$) 
   gebunden (''echtes'' Elektron, d.h. mit 
   Spin-${1\02}$-Freiheitsgrad). Die kanonische Zustandssumme 
   $Z$ soll in Strenge aufgeschrie\-ben und sodann auf ihren 
   asymptotisch f\"uhrenden Term ($T\rightarrow \infty$)
   reduziert werden. $E(T)$ in diesem limes\? 
   Fangfrage$\,$: wieviele $T$ hat denn nun der 
   diskrete Spin-Freiheitsgrad$\,$?
\pu 4
\def\rrrz{\par \noindent \rightskip=7.7cm}
\rrrz
4) \ruck Zur Energie der akustischen Phononen
   erinnert sich jemand noch schwach an den 
   Hoch-Temperatur-limes ($\, E \rightarrow 3NT \, ) \,$. \rz
   \vskip -1.2cm \rz
   $$ \hskip 6cm
     E(T) = 3 \, { V \0 2 \pi^2 } {T^4 \0 (\hbar c_s )^3 } 
     \int_0^{\theta /T} \! dx \, {x^3 \0 e^x - 1} $$
   \vskip .1cm  \rz
   Das gen\"ugt ihm, um den Wert der Debye-Temperatur $\theta$ 
   zu rekonstruieren.
\pu 2
\def\rrrz{\par \noindent \rightskip=2.1cm}
\rrrz
5) \ruck Ein gro\ss kanonisches Reservoir ($\mu$, $T$) bedient das
   skizzierte Sechs-Zust\"ande-Diagramm mit nichtwechselwirkenden
   (und ''spinlosen'')
   Fermionen \rrrz
   ($-\varepsilon$ und $\varepsilon$ nicht entartet, aber 
   Energie 0 vierfach)$\, . \,$  Bei welcher Vor-- \nz
   \vskip -1.2cm \rightskip=0pt \hskip 11.4cm 
   $\matrix{  - \cr - \; - \; - \; - \cr - }$ \vskip .1cm \rz
   gabe der mittleren Teilchenzahl $N$ ist $\mu$ Null\?
   (Zur Kontrolle nachpr\"ufen$\,$!$\,$)  
\pu 2
\rz
6) \ruck Zwei Donator-Fremdatome sitzen direkt nebeneinander, so da\ss\
   Coulomb-Absto\ss ung nur {\sl ein} Elektron auf diesem Platz-Paar
   zul\"a\ss t. Welche modifizierte Fermi-- \nz
   Verteilung gibt die mittlere Anzahl Elektronen auf diesem 
   Platz-Paar an\?
\pu 3
\nz \rightskip=1cm
7) \ruck  Wenn die Masse idealer Bosonen vernachl\"assigbar klein 
   ist (''ultrarelativistischer Grenzfall''), gibt es auch dann
   Bose-Einstein-Kondensation\? Die \"Ubergangstem\-pe\-ra\-tur 
   $T_E$ soll angegeben werden.
\pu 4
\def\rrruck{ \vskip -.63cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 }  
\vskip .1cm \nz \rightskip=1cm 
8) \rrruck (a) Zeige, da\ss\ 
    $\dis {\partial (T,S) \0 \partial (p,V) \vphantom{\int_{\int}} } 
    = 1$  \ \ (b) Schreibe 
    die linke Seite explizit als Determinante und
    verifiziere die Eins anhand des ''Ideal-Gas''-Modells.
\pu 6
\nz \rightskip=5cm
9) \ruck  Welchen Wirkungsgrad $\eta$ hat der skizzierte 
   Dreiecks-- 
   Kreisproze\ss \?  Zeige, da\ss\  \
   $\dis {1 \0 \eta} \, - \, {1\0 \eta_{\rm c}} $ \ 
   positiv ist. \nz
   Ergibt sich ein gr\"o\ss erer Wirkungsgrad, wenn 
   man das \smallskip \nz 
   Dreieck zu \quad\qquad \qquad umkippt\?
\pu 3
         % Figur zu 9.
\vskip -2.7cm \nz \hskip 9.8cm \vbox{\hbox{\hskip
.51cm $\uparrow \hskip .01cm T$} \vskip -.01cm \hbox{\hskip
0pt $T_2 \; -$}    \vskip -.37cm \hbox{\hskip
1.22cm $\searrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
1.51cm $\searrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
1.81cm $\searrow$} \vskip -.365cm \hbox{\hskip
0pt $T_1 \; - \hskip .38cm \leftarrow\!\leftarrow\!\leftarrow$}
  \vskip -.3cm \hbox{\hskip
.6cm \vrule depth 0pt height .3pt width 1.7cm 
  \lower 2.2pt\hbox{$\!\to \, S$}} \vskip -.28cm \hbox{\hskip 
1.28cm $\underbrace{\!^\vert \hskip .78cm ^\vert\!\!\!\;}$}
  \vskip .08cm \hbox{\hskip 
1.45cm $\D S$} \vskip -2cm \hbox{\hskip 
1.25cm \vrule depth 0pt height .85cm width .4pt} 
  \vskip -1.34cm \hbox{\hskip 
.59cm \vrule depth 0pt height 1.6cm width .3pt} }
         % Mini-Dreieck
\vskip -.1cm \nz \hskip 2.1cm 
\vbox{\hbox{$\to\!\to\!\to$} \vskip -.37cm  \hbox{\hskip
.6cm $\swarrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
.3cm $\swarrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip
0cm $\swarrow$}  \vskip -.93cm \hbox{\hskip 
.015cm \vrule depth 0pt height .88cm width .4pt} }
         % Figuren-Ende
\medskip 
\nz \rightskip=0pt \nz \hrule \medskip \nz 
\hskip .4cm 
$\int_0^\infty \! dx \, {x^2 \0 e^x - 1} \approx 2,4 $
\hskip 3.6cm \ limit \ 9 \ Punkte 
\hskip 3.6cm $\Sigma \; : \;\, 33 \ $ \smallskip

\nz  {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\vfill \eject

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%%%%%
%%%%%%%%%%%   L O E S U G E N   zur Klausur  
%%%%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\baselineskip 14.5pt
\def\Sp{{\rm Sp}}
\def\no#1{\nz \leftskip=0pt \nz 
          \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm \smallskip
          \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm \leftskip=.8cm \nz$\!\!$}
\def\nono#1{\bigskip \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm 
            \leftskip=.8cm \nz$\!\!$}
\def\ko{\; , \,\;}

\phantom{o} \nz
\raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}}
                \hbox{{\mt \qquad 2. Juli 1994 }} } 
\hskip 8.4cm {\mt Statistische Physik } \vskip -.7cm \nz
\hskip 4.8cm Klausur  $-$ \ {\gr L\"OSUNGEN } \vskip .4cm \nz 
\hrule 
\nono 1
$ \# {\rm Konfigurationen} = \(\matrix{ M \cr N \cr} \)
  \(\matrix{ N \cr P \cr} \) \ko S = \ln \( { M! \0 
  (M-N)!\; P!\; (N-P)! } \) = - M + (M-N) + P + ( N-P)
  + M \,\ln (M) - (M-N) \,\ln (M-N) - P \,\ln (P) 
  - (N-P) \,\ln (N-P) \ko $ \nz
Speziell$\,$: $ S = 4P\,\ln (4) + 4P\,\ln (P) 
 - 2P\,\ln (2) - 2P\,\ln (P) - P\,\ln (P) - P\,\ln (P) 
 = 6P\,\ln (2) \;\; .$
\no 2
$ \overline{\s^z} = \Sp \( \rho \(\matrix{1 & 0 \cr 
                                        0 & -1 \cr} \) \)
= \Sp \(\matrix{ c^2 + {1\0 2} s^2 & \ldots \cr
                          \ldots & -{1\02} s^2 \cr} \)
= c^2 \ko
\overline{\s^x} = \Sp \( \rho \(\matrix{ 0 & 1 \cr 
                                         1 & 0 \cr} \) \)
= \Sp \(\matrix{ {1\02} s^2 & \ldots \cr
                    \ldots & {1\02} s^2 \cr} \)
= s^2 \ko
\overline{ (\s^z )^2 } = \Sp \( \rho {\bf 1} \) = 1 \ko
\D \s^z = \wu { 1 - c^4 } \ko $ \nz
$ \ph = 0 \, : \; \overline{\s^z} = 1 \ko \rho =
             \(\matrix{ 1 & 0 \cr 0 & 0 \cr} \) 
  \ko {\rm Eigenwerte}\; 1,\, 0 \ko S=0 $ \nz
$ \ph = {\pi \0 2} \, : \; \overline{\s^x} = 1 \ko \rho =
             \(\matrix{ 1/2 & 1/2 \cr 1/2 & 1/2 \cr}  \)
  \ko {\rm Eigenwerte}\; {1\02} \pm {1\02} \ko S=0 $ 
\vskip -1.65cm \nz \hskip 10.3cm 
\vrule depth 0pt height 1.5cm width .02pt
\hskip .4cm \raise 5pt\vbox{
\hbox{{\fiverm Problemstellung$\,$: }}
\hbox{$\vert \uparrow \;\rangle$ mit W. $c^2$}
\smallskip
\hbox{$\vert \to \rangle$ mit W. $s^2$} } \vskip -.1cm
\no 3
$ \dis Z = 2 + 4 \sum_{n=1}^\infty e^{-\b {\hbar^2 \0 
  2mR^2 } n^2 } \, \to \, 4 \int_0^\infty \! dn \; 
  e^{-\b {\hbar^2 \0 2mR^2 } n^2 }$ \nz
$ E= - \6_\b \ln (Z) = - \6_\b \ln \( \wu {1/\b} \cdot \ldots \)
= {1\02 } T $ \ . \ \ Null mal $T$ ! {\fiverm denn der Vorfaktor 
4 fiel heraus} \nz
{\fiverm ( auch zu lokalisiertem Spin im Magnetfeld und am 
W\"armebad $\,T\,$ w\"achst ja die Energie mit $\,T \to \infty\,$ 
nicht an ) .}
\no 4
Integrand $\dis \to x^2 \;\;\; \Rightarrow \;\; E \;\to\; 
{V\0 2 \pi^2 } \, { T \theta^3 \0 (\hbar c_s )^3 } \;\; 
{\buildrel ! \over = } \; 3 N T \ko \;\theta 
= \hbar c_s \( 6 \pi^2 {N\0 V} \)^{1/3} \;\; .$
\no 5
$\mu$ ist bekanntlich die Stelle auf $E$--Achse, an der die 
Fermi--Verteilung $p_\l$ den Wert 1/2 annimmt$\,$. Also
vermuten wir $N= 4 \, {1\02} + 1 = 3 \ko $ Probe$\,$:
$ {1 \0 e^{-\b \e} + 1 } + {4 \0 1+1} + {1 \0 e^{\b \e} + 1 } = 3 \;\; .$
\no 6
$ \dis p_{\rm gr} = {1 \0 Z_{\rm gr}} \, e^{-\b (E-\mu N)} \; \ko$
  $N=0$ hat $E=0\,$. Und $N=1$ mit $E=\e_d$ gibt es 4--fach$\,$. \nz
Also $\; n_d = 4 \, e^{-\b (\e_d - \mu)} / ( 1 
+ 4 e^{-\b (\e_d - \mu)} ) 
= 1 / \( {1\04} e^{-\b (\e_d - \mu)} + 1 \) \;\; .$
\no 7
$ N = {1\0 e^{-\b\mu} -1} + \sum_k^\prime \( e^{\b {\hbar^2 k^2 \0 2m} }
e^{-\b\mu} - 1 \)^{-1} $ wird zu $\dis N = N_0 + {V\0 2 \pi^2} 
\int_0^\infty \!\!\! dk \, { k^2 \0 e^{\b c \hbar k} 
e^{-\b \mu} - 1 }\,$. $N_0 = $ noch Null$\,$, $\, e^{-\b \mu} \to 1 \ko$ 
also $ N= {V\0 2 \pi^2} \, \( {T_E \0 \hbar c} \)^3 \cdot 2,4 \ko
T_E = \hbar c \( {N\0V} \, {2\pi^2 \0 2,4 } \)^{1/3} \;\; .$
\no 8
(a) $\; \dis { \6 (T,S) \0 \6 (T,V)}\, { \6 (T,V) \0 \6 (p,V)}
= { \6_V S )_T \0 \6_T p )_V } = 1 $ wegen Maxwell--Relation
zu $dF = - S \, dT - p \, dV$ \smallskip \nz
{\fiverm --- \  \"Ubrigens$\,$: die Vorlesungsmitschrift war 
bei dieser Klausur ein erlaubtes Hilfsmittel \ --- } \smallskip \nz
(b) $\; \dis\left| \matrix{ \6_p T )_V & \6_V T )_p \cr
                        \6_p S )_V & \6_V S)_p \cr} \right|
= \left| \matrix{ {V \0 N} & {p \0 N} \cr
              {3\02} \, {N \0 p} & {5\02} \, {N\0 V} \cr} \right| 
\;\; \matrix{ \longleftarrow  & T = pV/N \hfill \cr 
              \longleftarrow  & S = N \lk {5\02} 
      + \ln \( {N\0 V} \) + {3\02} \ln \( {p V \0 N} \) 
      + \ldots \rk \cr } $
\smallskip
\no 9
$ \dis W_{\rm gesamt} = {1\02} \D S \( T_2 - T_1 \) \ko 
Q_{\rm positiv} = W_{\rm gesamt} + T_1 \D S = {1\02} 
\D S \( T_2 + T_1 \) \ko $\nz
$ \dis \eta = { T_2 - T_1 \0 T_2 + T_1 }
\ko {1\0 \eta} - {1\0 \eta_c } = { T_2 + T_1 \0 T_2 - T_1 }
- { T_2  \0 T_2 - T_1 } = { T_1 \0 T_2 - T_1 } \;\; .$ \medskip \nz
Oh nein ! \ denn dies macht ja $Q_{\rm positiv}$ gr\"o\ss er .
\nz \leftskip=0pt \nz 
\vrule depth 0pt height .02pt width 4cm 

\nz  {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
