% st5.tex Statistik , Sommer 1994 % % freiwillige KLAUSUR + Loesungen ( 2 Blaetter ) % def.tex erforderlich %%%% T E X %%%% % \magnification=\magstep1 \nopagenumbers \voffset=-1.8cm \vsize=25cm \hoffset=.4cm \hsize=14.2cm \font\gr=cmbx12 scaled \magstep1 \font\mt=cmsl9 \font\kl=cmbx6 \baselineskip 14.3pt \input def \def\ruck{ \vskip -.48cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 } \def\rruck{ \vskip -.48cm \nz \hangindent=.8cm \hangafter=-2 } \def\rrz{\par \noindent \rightskip=5cm} \def\rz{\par \noindent \rightskip=.5cm} \def\llz{\par \noindent \leftskip=3.4cm \rightskip=.5cm} \def\dis{\displaystyle} \def\?{$\,$?$\;$} \def\:{$\,$:} \def\fr{\vphantom{o}_\frown} \def\L{ \buildrel \fr \over \Lambda } \def\pu#1{\vskip -.6cm \rightskip=0pt \nz\vbox{\hsize 14.1cm \rightline{$(\!\!\>\!\!\!\;\matrix{ \frown \cr \smile \cr}\!\! )\!\!\!\!\!\!\!\>$#1}}\vskip .28cm} %-----------% %-----------% %-----------% \phantom{o} \nz \raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}} \hbox{{\mt \qquad 2. Juli 1994 }} } \hskip 8.3cm {\mt Statistische Physik } \vskip -.5cm \nz \hskip 4.7cm freiwillige {\gr \ KLAUSUR } \vskip .4cm \nz \hrule \bigskip \rz 1) \ruck Auf $M$ Gitterpl\"atze verteilen sich $N\,$ H-Atome. Von diesen wurden $P$ St\"uck ionisiert. Bei Vernachl\"assigung aller Energieunterschiede\: welche (kombinatorische) Entropie $S$ hat nun das System\? Welchen extensiven Anteil $S_{\rm ex}$ hat sie\? Zu speziell $M=4P$ \nz und $N=2P$ vereinfache man $S_{\rm ex}\,$. \ ( Zur Kontrolle\: $S_{\rm ex} = 6 P \ln (2)$ ) \pu 4 \nz \rightskip=4.5cm 2) \ruck Zu einem Spinstrahl mit bekanntem statistischen Operator [ wobei $c \gll \cos (\varphi )$ und $s \gll \sin (\varphi )$ ] \ interessieren die Mittelwerte $\, \overline{\sigma^z} = \; ?\, $ und $\, \overline{\sigma^x} = \; ?\, $ sowie die Schwankung $\, \Delta \sigma^z = \; ? $ \rz \vskip -2.1cm $$ \hskip 9.8cm \rho = \left( \matrix{ c^2 + {1\02}s^2 & {1\02} s^2 \vphantom{\int_{\int}} \cr {1\02} s^2 & {1\02} s^2 \cr} \right) $$ \vskip -.1cm \rz Wir setzen nun zum einen $\varphi =0$ ($\Rightarrow$ Entropie $S=\; ?\;$) und zum anderen $\varphi=\pi /2$ ($\Rightarrow$ $S=\; ?\;$) und k\"onnen erraten, welche Problemstellung zu obiger Matrix $\rho$ gef\"uhrt hatte. \pu 5 \rz 3) \ruck An einen Kreisring ($R$) ist ein Elektron ($m$) gebunden (''echtes'' Elektron, d.h. mit Spin-${1\02}$-Freiheitsgrad). Die kanonische Zustandssumme $Z$ soll in Strenge aufgeschrie\-ben und sodann auf ihren asymptotisch f\"uhrenden Term ($T\rightarrow \infty$) reduziert werden. $E(T)$ in diesem limes\? Fangfrage$\,$: wieviele $T$ hat denn nun der diskrete Spin-Freiheitsgrad$\,$? \pu 4 \def\rrrz{\par \noindent \rightskip=7.7cm} \rrrz 4) \ruck Zur Energie der akustischen Phononen erinnert sich jemand noch schwach an den Hoch-Temperatur-limes ($\, E \rightarrow 3NT \, ) \,$. \rz \vskip -1.2cm \rz $$ \hskip 6cm E(T) = 3 \, { V \0 2 \pi^2 } {T^4 \0 (\hbar c_s )^3 } \int_0^{\theta /T} \! dx \, {x^3 \0 e^x - 1} $$ \vskip .1cm \rz Das gen\"ugt ihm, um den Wert der Debye-Temperatur $\theta$ zu rekonstruieren. \pu 2 \def\rrrz{\par \noindent \rightskip=2.1cm} \rrrz 5) \ruck Ein gro\ss kanonisches Reservoir ($\mu$, $T$) bedient das skizzierte Sechs-Zust\"ande-Diagramm mit nichtwechselwirkenden (und ''spinlosen'') Fermionen \rrrz ($-\varepsilon$ und $\varepsilon$ nicht entartet, aber Energie 0 vierfach)$\, . \,$ Bei welcher Vor-- \nz \vskip -1.2cm \rightskip=0pt \hskip 11.4cm $\matrix{ - \cr - \; - \; - \; - \cr - }$ \vskip .1cm \rz gabe der mittleren Teilchenzahl $N$ ist $\mu$ Null\? (Zur Kontrolle nachpr\"ufen$\,$!$\,$) \pu 2 \rz 6) \ruck Zwei Donator-Fremdatome sitzen direkt nebeneinander, so da\ss\ Coulomb-Absto\ss ung nur {\sl ein} Elektron auf diesem Platz-Paar zul\"a\ss t. Welche modifizierte Fermi-- \nz Verteilung gibt die mittlere Anzahl Elektronen auf diesem Platz-Paar an\? \pu 3 \nz \rightskip=1cm 7) \ruck Wenn die Masse idealer Bosonen vernachl\"assigbar klein ist (''ultrarelativistischer Grenzfall''), gibt es auch dann Bose-Einstein-Kondensation\? Die \"Ubergangstem\-pe\-ra\-tur $T_E$ soll angegeben werden. \pu 4 \def\rrruck{ \vskip -.63cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 } \vskip .1cm \nz \rightskip=1cm 8) \rrruck (a) Zeige, da\ss\ $\dis {\partial (T,S) \0 \partial (p,V) \vphantom{\int_{\int}} } = 1$ \ \ (b) Schreibe die linke Seite explizit als Determinante und verifiziere die Eins anhand des ''Ideal-Gas''-Modells. \pu 6 \nz \rightskip=5cm 9) \ruck Welchen Wirkungsgrad $\eta$ hat der skizzierte Dreiecks-- Kreisproze\ss \? Zeige, da\ss\ \ $\dis {1 \0 \eta} \, - \, {1\0 \eta_{\rm c}} $ \ positiv ist. \nz Ergibt sich ein gr\"o\ss erer Wirkungsgrad, wenn man das \smallskip \nz Dreieck zu \quad\qquad \qquad umkippt\? \pu 3 % Figur zu 9. \vskip -2.7cm \nz \hskip 9.8cm \vbox{\hbox{\hskip .51cm $\uparrow \hskip .01cm T$} \vskip -.01cm \hbox{\hskip 0pt $T_2 \; -$} \vskip -.37cm \hbox{\hskip 1.22cm $\searrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip 1.51cm $\searrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip 1.81cm $\searrow$} \vskip -.365cm \hbox{\hskip 0pt $T_1 \; - \hskip .38cm \leftarrow\!\leftarrow\!\leftarrow$} \vskip -.3cm \hbox{\hskip .6cm \vrule depth 0pt height .3pt width 1.7cm \lower 2.2pt\hbox{$\!\to \, S$}} \vskip -.28cm \hbox{\hskip 1.28cm $\underbrace{\!^\vert \hskip .78cm ^\vert\!\!\!\;}$} \vskip .08cm \hbox{\hskip 1.45cm $\D S$} \vskip -2cm \hbox{\hskip 1.25cm \vrule depth 0pt height .85cm width .4pt} \vskip -1.34cm \hbox{\hskip .59cm \vrule depth 0pt height 1.6cm width .3pt} } % Mini-Dreieck \vskip -.1cm \nz \hskip 2.1cm \vbox{\hbox{$\to\!\to\!\to$} \vskip -.37cm \hbox{\hskip .6cm $\swarrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip .3cm $\swarrow$} \vskip -.2cm \hbox{\hskip 0cm $\swarrow$} \vskip -.93cm \hbox{\hskip .015cm \vrule depth 0pt height .88cm width .4pt} } % Figuren-Ende \medskip \nz \rightskip=0pt \nz \hrule \medskip \nz \hskip .4cm $\int_0^\infty \! dx \, {x^2 \0 e^x - 1} \approx 2,4 $ \hskip 3.6cm \ limit \ 9 \ Punkte \hskip 3.6cm $\Sigma \; : \;\, 33 \ $ \smallskip \nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) } \vfill \eject %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %%%%% %%%%%%%%%%% L O E S U G E N zur Klausur %%%%% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \baselineskip 14.5pt \def\Sp{{\rm Sp}} \def\no#1{\nz \leftskip=0pt \nz \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm \smallskip \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm \leftskip=.8cm \nz$\!\!$} \def\nono#1{\bigskip \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm \leftskip=.8cm \nz$\!\!$} \def\ko{\; , \,\;} \phantom{o} \nz \raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}} \hbox{{\mt \qquad 2. Juli 1994 }} } \hskip 8.4cm {\mt Statistische Physik } \vskip -.7cm \nz \hskip 4.8cm Klausur $-$ \ {\gr L\"OSUNGEN } \vskip .4cm \nz \hrule \nono 1 $ \# {\rm Konfigurationen} = \(\matrix{ M \cr N \cr} \) \(\matrix{ N \cr P \cr} \) \ko S = \ln \( { M! \0 (M-N)!\; P!\; (N-P)! } \) = - M + (M-N) + P + ( N-P) + M \,\ln (M) - (M-N) \,\ln (M-N) - P \,\ln (P) - (N-P) \,\ln (N-P) \ko $ \nz Speziell$\,$: $ S = 4P\,\ln (4) + 4P\,\ln (P) - 2P\,\ln (2) - 2P\,\ln (P) - P\,\ln (P) - P\,\ln (P) = 6P\,\ln (2) \;\; .$ \no 2 $ \overline{\s^z} = \Sp \( \rho \(\matrix{1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} \) \) = \Sp \(\matrix{ c^2 + {1\0 2} s^2 & \ldots \cr \ldots & -{1\02} s^2 \cr} \) = c^2 \ko \overline{\s^x} = \Sp \( \rho \(\matrix{ 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr} \) \) = \Sp \(\matrix{ {1\02} s^2 & \ldots \cr \ldots & {1\02} s^2 \cr} \) = s^2 \ko \overline{ (\s^z )^2 } = \Sp \( \rho {\bf 1} \) = 1 \ko \D \s^z = \wu { 1 - c^4 } \ko $ \nz $ \ph = 0 \, : \; \overline{\s^z} = 1 \ko \rho = \(\matrix{ 1 & 0 \cr 0 & 0 \cr} \) \ko {\rm Eigenwerte}\; 1,\, 0 \ko S=0 $ \nz $ \ph = {\pi \0 2} \, : \; \overline{\s^x} = 1 \ko \rho = \(\matrix{ 1/2 & 1/2 \cr 1/2 & 1/2 \cr} \) \ko {\rm Eigenwerte}\; {1\02} \pm {1\02} \ko S=0 $ \vskip -1.65cm \nz \hskip 10.3cm \vrule depth 0pt height 1.5cm width .02pt \hskip .4cm \raise 5pt\vbox{ \hbox{{\fiverm Problemstellung$\,$: }} \hbox{$\vert \uparrow \;\rangle$ mit W. $c^2$} \smallskip \hbox{$\vert \to \rangle$ mit W. $s^2$} } \vskip -.1cm \no 3 $ \dis Z = 2 + 4 \sum_{n=1}^\infty e^{-\b {\hbar^2 \0 2mR^2 } n^2 } \, \to \, 4 \int_0^\infty \! dn \; e^{-\b {\hbar^2 \0 2mR^2 } n^2 }$ \nz $ E= - \6_\b \ln (Z) = - \6_\b \ln \( \wu {1/\b} \cdot \ldots \) = {1\02 } T $ \ . \ \ Null mal $T$ ! {\fiverm denn der Vorfaktor 4 fiel heraus} \nz {\fiverm ( auch zu lokalisiertem Spin im Magnetfeld und am W\"armebad $\,T\,$ w\"achst ja die Energie mit $\,T \to \infty\,$ nicht an ) .} \no 4 Integrand $\dis \to x^2 \;\;\; \Rightarrow \;\; E \;\to\; {V\0 2 \pi^2 } \, { T \theta^3 \0 (\hbar c_s )^3 } \;\; {\buildrel ! \over = } \; 3 N T \ko \;\theta = \hbar c_s \( 6 \pi^2 {N\0 V} \)^{1/3} \;\; .$ \no 5 $\mu$ ist bekanntlich die Stelle auf $E$--Achse, an der die Fermi--Verteilung $p_\l$ den Wert 1/2 annimmt$\,$. Also vermuten wir $N= 4 \, {1\02} + 1 = 3 \ko $ Probe$\,$: $ {1 \0 e^{-\b \e} + 1 } + {4 \0 1+1} + {1 \0 e^{\b \e} + 1 } = 3 \;\; .$ \no 6 $ \dis p_{\rm gr} = {1 \0 Z_{\rm gr}} \, e^{-\b (E-\mu N)} \; \ko$ $N=0$ hat $E=0\,$. Und $N=1$ mit $E=\e_d$ gibt es 4--fach$\,$. \nz Also $\; n_d = 4 \, e^{-\b (\e_d - \mu)} / ( 1 + 4 e^{-\b (\e_d - \mu)} ) = 1 / \( {1\04} e^{-\b (\e_d - \mu)} + 1 \) \;\; .$ \no 7 $ N = {1\0 e^{-\b\mu} -1} + \sum_k^\prime \( e^{\b {\hbar^2 k^2 \0 2m} } e^{-\b\mu} - 1 \)^{-1} $ wird zu $\dis N = N_0 + {V\0 2 \pi^2} \int_0^\infty \!\!\! dk \, { k^2 \0 e^{\b c \hbar k} e^{-\b \mu} - 1 }\,$. $N_0 = $ noch Null$\,$, $\, e^{-\b \mu} \to 1 \ko$ also $ N= {V\0 2 \pi^2} \, \( {T_E \0 \hbar c} \)^3 \cdot 2,4 \ko T_E = \hbar c \( {N\0V} \, {2\pi^2 \0 2,4 } \)^{1/3} \;\; .$ \no 8 (a) $\; \dis { \6 (T,S) \0 \6 (T,V)}\, { \6 (T,V) \0 \6 (p,V)} = { \6_V S )_T \0 \6_T p )_V } = 1 $ wegen Maxwell--Relation zu $dF = - S \, dT - p \, dV$ \smallskip \nz {\fiverm --- \ \"Ubrigens$\,$: die Vorlesungsmitschrift war bei dieser Klausur ein erlaubtes Hilfsmittel \ --- } \smallskip \nz (b) $\; \dis\left| \matrix{ \6_p T )_V & \6_V T )_p \cr \6_p S )_V & \6_V S)_p \cr} \right| = \left| \matrix{ {V \0 N} & {p \0 N} \cr {3\02} \, {N \0 p} & {5\02} \, {N\0 V} \cr} \right| \;\; \matrix{ \longleftarrow & T = pV/N \hfill \cr \longleftarrow & S = N \lk {5\02} + \ln \( {N\0 V} \) + {3\02} \ln \( {p V \0 N} \) + \ldots \rk \cr } $ \smallskip \no 9 $ \dis W_{\rm gesamt} = {1\02} \D S \( T_2 - T_1 \) \ko Q_{\rm positiv} = W_{\rm gesamt} + T_1 \D S = {1\02} \D S \( T_2 + T_1 \) \ko $\nz $ \dis \eta = { T_2 - T_1 \0 T_2 + T_1 } \ko {1\0 \eta} - {1\0 \eta_c } = { T_2 + T_1 \0 T_2 - T_1 } - { T_2 \0 T_2 - T_1 } = { T_1 \0 T_2 - T_1 } \;\; .$ \medskip \nz Oh nein ! \ denn dies macht ja $Q_{\rm positiv}$ gr\"o\ss er . \nz \leftskip=0pt \nz \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm \nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) } \end