%  tf1.tex      Gluon-Hohlraumstrahlung , WS 98/99
%
%  Beta - Periodizitaet 

%  def.tex  erforderlich

%%%  L A T E X   %%%
\documentstyle{article}[12pt]
\pagestyle{empty}
\voffset -3.6cm \textheight 26.4cm
\hoffset -.8cm  \textwidth  15cm
\input def
   \def\under#1{$\lower 0.1pt\hbox{$\;
   \underline{\vphantom{\o}\hbox{#1}}\;$}$}
   \def\ende{\nz\hskip 6cm \vrule depth -2pt width 3cm
             height 2.1pt \hskip -1.55cm $\bullet$ \nz }

\begin{document}     \large      \rl{\today}
\vskip .4cm
\hspace*{3cm} {\Huge $\b$--Periodizit\"at}

\vskip .6cm \nz
Die thermischen Greensfunktionen $ G_n$ sind definiert als 
thermischer Mittel\-wert von $n$ Heisenberg--zeitabh\"angigen 
Feldoperatoren $\hat \phi^H (x)$, zeitgeordnet l\"angs einer
Kontur $\cl C $ in der komplexen $t$--Ebene
$$ G_n \;\gll\; \Sp \Big( \; \rho \; \cl T_{\cl C} \;
   \hat \phi^H (x_1) \ldots \hat \phi^H (x_n) \Big) 
   \quad . \hskip 2cm $$
$n$ sei gerade Zahl. Eine etwaige Einschr\"ankung an die 
Kontur \nz
wird sich ergeben. Kanonisches Ensemble$\,$: 
$\rho = e^{-\b H} /Z\,$.
\unitlength 1cm 
\vskip -3.5cm
\hspace*{13.3cm}\begin{picture}(1,2)
   \put(-1,0){\line(1,0){2}}   \put(0,.5){\vector(0,-1){3.4}} 
   \put(.3,.2){\under{$\,t\,$}}
   \put(-.07,-.2){$_\bullet$}   \put(-.07,-.5){$_\bullet$}
   \put(-.07,-.7){$_\bullet$}   \put(-.07,-1.0){$_\bullet$}
   \put(-.07,-1.2){$_\bullet$}  \put(-.07,-1.4){$_\bullet$}
   \put(-.07,-1.7){$_\bullet$}  \put(-.07,-1.9){$_\bullet$}
   \put(-.3,-2.16){\line(1,0){.6}}   \put(.38,-2.3){$\b$}
   \put(.06,-3){$\,\tau$}   \put(.1,-1.88){\line(2,1){.5}}
   \put(.64,-1.7){\scriptsize $j$--tes $\tau$}
\end{picture}
\vskip 1.6cm \nz
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   A  %%%%%
{\bf (A)} 
Matsubara--Kontur. Alle $n$ $\tau$--Werte m\"ogen
auf der skizzierten  \par
\ \ $\tau$--Achse in $(0,\b)$ liegen. 
$\tau_j$ sei die gr\"o\ss te negativ--imagin\"are Zeit. 
\vskip .07cm \nz 
Also wird $\cl T_\tau$ den Klumpen 
$\;\dis (j) \gll e^{H\tau_j} \phi^S (\vc r_j ) e^{-H\tau_j}\;$
nach links ordnen$\,$:
\bean
 G_n ( \;\; \tau_j \;\; ) &=& Z^{-1} \Sp \(\,
     e^{-\b H} \; \cl T_{\tau} \; 
     \lb \hbox{\scriptsize $j-1$ Klumpen}\rb
     \; (j) \; \lb \hbox{\scriptsize $n-j$ Klumpen} \rb\;\)
     \nonu \\
   &=&  Z^{-1} \eta^{j-1} \Sp \(\, e^{-\b H} \; (j) 
      \; \cl T_{\tau} 
      \;\lb \hbox{\scriptsize $n-1$ Klumpen}\rb \;\) 
      \;\; , \;\; \eta = 
      \Big\{ \matrix{ +1 &\hbox{\small (Bose) \ } \cr 
                      -1 &\hbox{\small (Fermi)} \cr}
      \nonu \\
   &=&  Z^{-1} \eta^{j-1} \Sp \(\, e^{H(\tau_j -\b)} 
       \hat \phi^S_j e^{-H(\tau_j -\b)} e^{-\b H}
      \; \cl T_{\tau} 
      \;\lb \hbox{\scriptsize $n-1$ Klumpen}\rb \;\) 
      \nonu \\
   &=&  Z^{-1} \eta^{j-1} \Sp \(\, e^{-\b H}
      \; \Big[ \cl T_{\tau} 
      \;\lb \hbox{\scriptsize $n-1$ Klumpen}\rb \Big] \;
      e^{H(\tau_j -\b)} 
       \hat \phi^S_j e^{-H(\tau_j -\b)} \;\) 
      \nonu \\
   &=&  Z^{-1} \eta^{j-1} \Sp \(\, e^{-\b H}
      \; \cl T_{\tau} 
      \;\lb \hbox{\scriptsize $n-1$ Klumpen}\rb \,
      e^{H(\tau_j -\b)} 
       \hat \phi^S_j e^{-H(\tau_j -\b)} \;\) 
      \nonu \\
   &=& Z^{-1} \eta^{j-1}  \eta^{n-j} \Sp \(\,
     e^{-\b H} \; \cl T_{\tau} \; 
     \lb \hbox{\scriptsize $j-1$ Klumpen}\rb \; (j)_{\rm neu} 
     \; \lb \hbox{\scriptsize $n-j$ Klumpen} \rb\;\)
     \quad . \nonu 
\eea
In der drittletzten Zeile durfte die eckige Klammer 
(den Wirkungsbereich von $\cl T_\tau$ einschr\"ankend) in 
dem Moment entfallen, wo der rechts von ihr stehende Apparat
($\,\glr (j)_{\rm neu}$) der kleinsten Zeitmarke zugeordnet 
werden durfte$\,$: genau so w\"urde man ja $\hat \phi^H 
(\tau_j-\b)$ zu Papier bringen. Zuletzt ist lediglich 
$(j)_{\rm neu}$ an die ehemalige $(j)$--Position 
geschoben worden. Resultat$\,$:
$$  G_n ( \qquad \tau_j \qquad ) = \eta^{n - 1} \;
    G_n ( \qquad \tau_j - \beta \qquad ) \; = \;
     \pm \; G_n ( \qquad \tau_j - \beta \qquad ) 
    \quad , $$
weil $n$ gerade.
Auf der Kontur sitzt jetzt die Zeitmarke von $(j)$
\anfu unterhalb\anfo des Intervalls $(0,\b)$.
Bei $t$--Unabh\"angigkeit von $H$ haben thermische Mittel
Zeit--Translations--Invarianz. Die $G_n$ h\"angen also
nur von $\tau$--Differenzen ab. Alle $\tau_i$ d\"urfen um
die gleiche Zeit verschoben werden \ --- \ bis $(j)$ wieder
in $(0,\b)$ liegt$\,$: \nz
\unitlength .94cm
\hspace*{3cm} \parbox[t]{3.3cm}{ 
   \begin{picture}(3,.8)
   \put(-1,0){\line(1,0){2}}   \put(0,.4){\vector(0,-1){1.9}} 
   \put(-.07,-.2){$_\bullet$}  \put(-.07,-.4){$_\bullet$}
   \put(-.07,-.6){$_\bullet$}  \put(-.07,-1){$_\bullet$}
   \put(-.3,-1.2){\line(1,0){.6}}  \put(.1,-1){\line(2,1){.5}}
   \put(.67,-.78){\scriptsize $j$}
   \end{picture} }
\hspace*{.5cm} \parbox[t]{3.3cm}{ 
   \begin{picture}(3,.8)
   \put(-1,0){\line(1,0){2}}   \put(0,.4){\vector(0,-1){1.9}} 
   \put(-.07,-.2){$_\bullet$}  \put(-.07,-.4){$_\bullet$}
   \put(-.07,-.6){$_\bullet$}  \put(-.07,.2){$_\bullet$}
   \put(-.3,-1.2){\line(1,0){.6}}  \put(.1,.2){\line(1,0){.5}}
   \put(.66,.14){\scriptsize $j$}
   \end{picture} }
\hspace*{.5cm} \parbox[t]{3.3cm}{ 
   \begin{picture}(3,.8)
   \put(-1,0){\line(1,0){2}}   \put(0,.4){\vector(0,-1){1.9}} 
   \put(-.07,-.6){$_\bullet$}  \put(-.07,-.8){$_\bullet$}
   \put(-.07,-1){$_\bullet$}  \put(-.07,-.2){$_\bullet$}
   \put(-.3,-1.2){\line(1,0){.6}}  \put(.1,-.2){\line(2,-1){.5}}
   \put(.66,-.54){\scriptsize $j$}
   \end{picture} }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   B  %%%%%
\vskip 1.7cm \nz
{\bf (B)} Die betrachtete Zeitmarke von $(j)$ liege irgendwo
zwischen den anderen. \par \ \ \
Um zu dieser die $G_n$--Eigenschaft
zu ergr\"unden, vergr\"o\ss ern wir $\tau_j$ erst einmal
bis es die gr\"o\ss te Marke ist. Dann folgt obige 
Manipulation. Kurz, $G_n$ ist $\b$--periodisch in jedem 
$\tau$--Argument.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   C  %%%%%
\vskip .3cm \nz
{\bf (C)} Andere Konturen m\"ussen sich au\ss erhalb des 
  $(0,\b)$--Streifens wiederholen. \par \ \
Das ist der Grund, weshalb \anfu real time\anfo$\!$--Konturen 
allesamt einen Endpunkt haben, welcher genau um $\b$ unter 
dem Anfangspunkt liegt.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   D  %%%%%
\vskip .3cm \nz
{\bf (D)} Die Physik (thermisch ist sie grunds\"atzlich
immer) speziell von Bosonen ($\eta=1$) \par \ $\,$
findet auf einer R\"ohre mit Umfang $\b$ statt.

\medskip \nz {\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}