%  tf4.tex      Quantenfelder am Waermebad , SS 1997
%
%  Frequenzsummen  ( 2 Seiten )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
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\def\eq#1{\eqno{(\klint . \, #1 \, )}}
\def\gl#1{$(\klint . \, $#1$\, )$}
\def\ou{\raise.02cm\vbox{\hbox{$
    _{_0}\!$}\vskip-.26cm\hbox{$_{_1}\!$}}}
% Gefahrenzeichen :
 \def\gef{\lower.5pt\hbox{$^\angle\hskip -.245cm
    $\raise .7pt\hbox{${}_{^\swarrow}$}}}
\def\under#1{$\lower 0.2pt\hbox{$\;
    \underline{\vphantom{\int}\hbox{#1}}\;$}$}
 
                      \rightline{Sommer 1997 \quad
                 \raise 1pt\hbox{$\klint$} {\gr 1}} 
\medskip
\ct{{\gr Frequenzsummen \qquad \qquad}}
\vskip .4cm \nz
Auswertung einer unendlichen Summe ? \ --- \ 
Konturintegral ! \ Kaum wird es konkret mit einer 
Statistik von Systemen aus Bosonen 
($\o_n\gll\pi\, 2n\, T\, ,\;\eta = + 1$) oder 
Fermionen ($\o_n\gll\pi\, (2n+1)\, T\,$, $\eta = - 1$), 
schon hat man sich mit Ausdr\"ucken der Form 
$T\sum_n F( i\o_n )$ herumzuschlagen. Hierin l\"auft 
$n$ von $-\infty$ bis $\infty$, und $F(z)$ sei eine 
analytische Funktion, welche keine Pole auf der 
imagin\"aren Achse hat. F\"unf Schritte. Der 
erste Schritt  verkompliziert nur, 
$F(i\o_n) = (2\pi i)^{-1}$ $\klint_n\! dz\; F(z)
/ (z-i\o_n )$, aber er ist jedenfalls richtig: Das
Integral umrunde die Stelle $z=i\o_n$ mathematisch 
positiv und infinitesimal eng. Der zweite Schritt
nutzt diese \anfu Enge\anfo aus,
$$ { T \0 z-i\o_n } = {1 \0 e^{\b ( z -i\o_n )} -1 }
   = {1 \0 \eta e^{\b z} - 1 } = \eta \; n(z) 
  \qquad \hbox{mit} \qquad n(z) \gll
  {1 \0 e^{\b z} - \eta } \quad , 
\eq 1 $$
und der dritte (oben schon getan), da\ss\ $e^{-i\b\o_n} =
e^{-i \pi (2n +\{ \ou \} )} = \eta\,$ sowie $\eta^2=1\,$.
Viertens schnappt sich nun $\sum_n$ die einzig verbliebene
$n$--Abh\"angigkeit und addiert die $\klint_n$--Kringel
auf zu $\downarrow\uparrow \gll$ zwei vertikale Geraden
nahe links/rechts der $i$--Achse$\,$:
$$ T\sum_n F( i\o_n ) \; = \; {\eta \0 2\pi i} 
  \int_{\downarrow\uparrow}\!\!\! dz \; F(z)\; n(z) 
  \;\;\;\; \ueb{\;\gef}{=} \;\;\;\;
   { - \eta \0 2\pi i } \lk \grint dz\; F(z)\; n(z) 
  \rki_{\rm ohne \; n-Pole} \;\; .
\eq 2 $$
Das geschlossene Integral rechts soll schlicht die komplexe
Ebene weit au\ss en (mathematisch positiv) umrunden. Der
gef\"ahrliche letzte Schritt braucht folglich (a) einen
gen\"ugend raschen Abfall von $F$ nach au\ss en (so da\ss\
 die beiden gro\ss en Halbkreise beitragslos hinzugef\"ugt
werden k\"onnen) und (b) das Ignorieren der $n$--Pole auf 
der $i$--Achse (um die Vertikalen der zwei 
Halbebenen--Umrundungen vergessen zu d\"urfen). Kurz, da 
$n$ sonst keine Pole hat, darf/soll $\bigcirc$ um die 
$F$--Pole zusammengezogen werden (bzw. an $F$--Schnitte 
heran$\,$; letztere ggf. via Spektraldarstellung 
vermeiden$\,$?!).
\medskip \nz
$\!$\under{Beispiel :} \ Bosonen, $\eta=1$, $F(z)
= 1/(x^2-z^2)\,$. Man denke an $x^2=m^2 + \vc p^2$ und an
den Frequenzsummen--Teil von $\sum G_0$ mit $G_0 = 1 /
(m^2 - P^2)\,$ ($\,\sum = T\sum_n \int d^3p \, (2\pi)^{-3}
\, , \; P_0 =i\o_n\, )\; :$
\vskip .3cm \nz 
$$ T\sum_n {1\0 x^2 - P_0^2} 
   \;\; = \;\; {1\0 2\pi i} \grint dz \; 
          {n(z)_{\rm ignore\; poles} \0 z^2 - x^2 }
   \;\; = \;\; { 1 + 2\, n(x) \0 2x } 
   \;\; = \;\, {1\0 2x }\; {\ch (\b x/2 )\0\sh (\b x /2 )}
   \quad .
\eq 3 $$
\ct{\vrule width 12.6cm height .02pt depth 0pt\hskip 1.2cm}
\vskip .3cm 
\nz
Das Resultat \gl 3 hat es in sich$\,$: Folgerungen, 
Verallgemeinerung, R\"uckf\"uhrung auf und Fu\ss weg zu
\ --- \ der Reihe nach$\,$:
\bigskip
\nz % -----------------------------------------------------
{\bf 1.} \ Multipliziert man \gl 3 mit $-2x$ und integriert
\"uber $x$ von $c$ bis $y\,$, dann entsteht
$$ T \sum_n \ln \( {y^2 - P_0^2 \0 c^2 - P_0^2} \)
   \;\; = \;\; y - c + 2\, T\,\ln \( {1 - e^{-\b y} \0 1
   - e^{-\b c} } \) \quad . 
\eq 4 $$
Nun multipliziere man \gl 4 mit $\b$, setze $\b y = \o$
und lasse $\b c$ gegen Null gehen$\,$:
$$ \sum_{n=1}^\infty \ln \( 1 + { \o^2 \0 (2\pi n)^2 }\) 
   \;\; = \;\;\ln \({\sh (\o /2) \0 \o /2} \) \quad . 
\eq 5 $$
Nach Exponenzieren von \gl 5 und Erweiterung auf alle $n$
entsteht schlie\ss lich die Produkt--Weisheit
$$ {\prod_n}^{\,\prime}\, {(2\pi n)^2 \0 \o^2 +
   (2\pi n)^2 } \;\; = \;\; {\o^2 e^{-\o} \0 \( 1
  - e^{-\o} \)^2 } \;\;\quad ,
\eq 6 $$
Der Strich schlie\ss t $n=0$ aus. Man kontrolliere \gl 6
anhand $\omega\to 0$. \gl 3 ist Kapusta's Formel (2.38).
\gl 5 konnte/sollte Coleman ({\sl Aspects of symmetrie})
gebrauchen, um eine Determinante auszuwerten (Gl. (2.16)
in Lecture 7). \gl 6 findet sich in Hansen ({\sl A table
of series and products}) als (89.5.16) sowie in Kleinert
({\sl Path integrals in Q., St. and Polymer physics}) als
(2.269) und ist Zwischenschritt zur Zustandssumme
nicht--wechselwirkender geladener Bosonen {\fiverm
(Schr\"oder+Schulz, Phys.Rev D 54 ('96) 7677, App. A)} .
\vfill \eject

%%%  2  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
                      \rightline{
                 \raise 1pt\hbox{$\klint$} {\gr 2}} 
\bigskip
\nz % -----------------------------------------------------
{\bf 2.} \ Irgendwie harmloser wirkt \gl 3 , wenn man via
$x = 2\pi T a$ erst einmal \hbox{\anfu ins Normale\anfo}
\"ubersetzt und sodann ein wenig spielt
($a = ix/(2\pi)\, )\;$:
$$ \sum_n \, {1 \0 a^2 + n^2 } \; = \; {\pi\0a}\; 
   {\ch (\pi a ) \0 \sh (\pi a)} \qquad , \qquad
   \sum_n \, {2x \0 (2\pi n)^2 - x^2 } \; = \;
   {\sin (x) \0 \cos (x) - 1 } \quad .
\eq 7 $$
Auf den ersten Blick sieht die Beziehung
$$  \sum_n \, {2x \0 (2\pi n + y)^2 - x^2} \;\; = \;\;
    {\sin (x) \0 \cos (x) - \cos (y)} \quad
\eq 8 $$
wie eine echte Verallgemeinerung von \gl 7 aus. Jedoch
kann \gl 8 schlicht aus \gl 7 hergeleitet werden. 
Partialbruchzerlegung liefert zun\"achst 
$\sin (x)/(\cos (x)-1) = \sum_n \, [\, 1/(2\pi n-x) 
- 1/(2\pi n+x)\, ]\,$. Dies nehme man nun einmal bei 
$x\to x-y$ und einmal bei $x\to x+y$, addiere die
Resultate und bem\"uhe ein wenig Trigonometrie. 
Fertig. 
\smallskip \nz
\gl 8 ist eine feine Formel. Sie macht sich in der Quantenmechanik
n\"utzlich, wenn man zum Dirac--Kamm den (un\"ublichen,
aber) logischen L\"osungsweg w\"ahlt$\,$: Bloch--Theorem,
Bloch--Faktoren als Fourier--Reihe, station\"are
Schr\"odinger--Gleichung f\"ur die Fourier--Koeffizienten
und deren L\"osung mittels \gl 8 \hbox{{\fiverm
(\anfu Lehrerscript\anfo Seite Q 22)}}$\,$.
\bigskip
\nz % -----------------------------------------------------
{\bf 3.} \ Statistische Physik f\"uhrt gern auf die
folgenden beiden Integrale. Wenn man beispielsweise
zu $\sum G_0$ (siehe Text vor \gl 3) auch die 
Integration \"uber $\vc p$ ausf\"uhrt, entsteht das
erste. Und die Energie $E = 2 \sum_{\vcsm p} p\, n(p)$ 
der Hohlraumstrahlung braucht das zweite. Behauptung$\,$:
% {\bf 3.} \ Alsbald, wenn man zu $\sum G_0$ auch die
% Integration \"uber $\vc k$ ausf\"uhrt, wird (u.a.)
% das folgende erste Integral ben\"otigt. Die Energie
% $E = 2 \sum_{\vcsm k} k\, n(k)$ der Hohlraumstrahlung
% braucht das zweite$\,$:
$$ \int_0^\infty\! dx \; {x \0 e^x - 1 } \;\; 
   = \;\; {\pi^2 \0 6} \qquad , \qquad
   \int_0^\infty\! dx \; {x^3 \0 e^x - 1 } \;\; 
   = \;\; {\pi^4 \0 15} \quad .
\eq 9 $$
Hm. Das ist eben so. Im Bronstein stehts ja auch. Alles
L\"ugen$\,$? \ Die geometrische Reihe jedenfalls
nicht$\,$:
$$ \int_0^\infty\! dx \; {x \0 e^x - 1 } \;\; = \;\;
   \int_0^\infty\! dx \, x \, \sum_{n=1}^\infty e^{-nx}
   \;\; = \;\;\sum_{n=1}^\infty \, {1\0n^2}
   \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6 } \quad .
\eq{10} $$
Stop$\,$! Ganz rechts, woher kam das$\,$? \ --- \ aus 
Bronstein, aaaha. Elende Schummler$\,$! $\,$Es folgt
vielmehr aus \gl 7 (linke Gleichung) im limes $a\to 0\;$:  
$$ \sum_{n=1}^\infty \, {1 \0 a^2 + n^2 } \;\; = \;\;
   - {1\0 2 a^2} + {\pi \0 2a} \; {\ch (\pi a) \0 
   \sh (\pi a) } \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6} \; - \; 
   {\pi^4 \0 90}\, a^2 \; + \; \cl O ( a^4 ) \quad .
\eq{11} $$
Rechts wurde der $a^2$--Term noch mit angegeben, weil 
$\6_a$ von \gl{11} ben\"otigt wird, wenn man (auf gleiche 
Weise) das rechte Integral in \gl 9 schlachtet (ohne zu
l\"ugen).
\bigskip
\nz % -----------------------------------------------------
{\bf 4.} \ \anfu Ich kann aber keine Funktionentheorie
(gerade 2. Semester absolviert)\anfo $\,$bzw. traue ihr 
nicht \"uber den Weg. Irgendwie mu\ss\ doch
$\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ auch \anfu zu Fu\ss \anfo zu
erhalten sein. Gewi\ss . Allerdings f\"uhrt der Trick 
$\, f(x)\gll \sum_{n=1}^\infty x^n /n^2\,$, Dgl f\"ur $f$ 
etc. alsbald auf das Integral \gl{10} zur\"uck, im Kreise 
herum also. Eine kl\"ugere Funktion bitte (Idee 
Fourier--Reihe). Es ist $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = {1\02} 
g(0)$, wenn man $g(x)$ wie folgt definiert und somit
vorweg wei\ss , da\ss\ $g$ gerade und $2\pi$--periodisch
ist und verschwindenden Mittelwert $\,\ov{g}=0$ hat$\,$:
$$ g(x) \gll {\sum_n}^{\, \prime}\, {\cos (nx) \0 n^2 }
   \quad \Rightarrow\quad g^{\prime\prime}(x)\; =\;
   1 - \sum_n \cos (nx)\; =\; 1 - 2\,\pi\,
   \d_{\rm periodisch}(x) \quad .
\eq{12} $$
Die Dgl l\"ost sich im Kopf (nachtr\"aglich jedenfalls), 
und die Integrationskonstante folgt aus $\,\ov{g}=0\,$:
$$ g(x) \; = \; - {1\06}\pi^2 + {1\02} (x-\pi )^2
   \qquad \hbox{f\"ur} \;\; 0 \le x < 2\pi
   \quad \hbox{und $2\pi$--periodisch sonst} \quad .
\eq{13} $$
Und schon ist $g(0)=\pi^2/3$ herausgekommen, aus einem
Standardbeispiel zur Fourier--Reihe also (periodische
Parabeln$\,$. \"Ubung$\,$: der Fu\ss weg zu \gl 7 sieht
ganz \"ahnlich aus). Jene aus dem 2. Semester wissen das,
\"altere H\"asinnen und Hasen kaum noch. Und ich wei\ss\
nicht, warum es so gern 13 Gleichungen werden.

\medskip \nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
