% tf4.tex Quantenfelder am Waermebad , SS 1997 % % Frequenzsummen ( 2 Seiten ) % def.tex erforderlich %%%% T E X %%%% % \magnification = \magstep1 \voffset = -1.8cm \vsize = 23cm \hoffset -.1cm \hsize = 14.7cm \nopagenumbers \font\gr=cmbx10 scaled \magstep1 \input def \def\eq#1{\eqno{(\klint . \, #1 \, )}} \def\gl#1{$(\klint . \, $#1$\, )$} \def\ou{\raise.02cm\vbox{\hbox{$ _{_0}\!$}\vskip-.26cm\hbox{$_{_1}\!$}}} % Gefahrenzeichen : \def\gef{\lower.5pt\hbox{$^\angle\hskip -.245cm $\raise .7pt\hbox{${}_{^\swarrow}$}}} \def\under#1{$\lower 0.2pt\hbox{$\; \underline{\vphantom{\int}\hbox{#1}}\;$}$} \rightline{Sommer 1997 \quad \raise 1pt\hbox{$\klint$} {\gr 1}} \medskip \ct{{\gr Frequenzsummen \qquad \qquad}} \vskip .4cm \nz Auswertung einer unendlichen Summe ? \ --- \ Konturintegral ! \ Kaum wird es konkret mit einer Statistik von Systemen aus Bosonen ($\o_n\gll\pi\, 2n\, T\, ,\;\eta = + 1$) oder Fermionen ($\o_n\gll\pi\, (2n+1)\, T\,$, $\eta = - 1$), schon hat man sich mit Ausdr\"ucken der Form $T\sum_n F( i\o_n )$ herumzuschlagen. Hierin l\"auft $n$ von $-\infty$ bis $\infty$, und $F(z)$ sei eine analytische Funktion, welche keine Pole auf der imagin\"aren Achse hat. F\"unf Schritte. Der erste Schritt verkompliziert nur, $F(i\o_n) = (2\pi i)^{-1}$ $\klint_n\! dz\; F(z) / (z-i\o_n )$, aber er ist jedenfalls richtig: Das Integral umrunde die Stelle $z=i\o_n$ mathematisch positiv und infinitesimal eng. Der zweite Schritt nutzt diese \anfu Enge\anfo aus, $$ { T \0 z-i\o_n } = {1 \0 e^{\b ( z -i\o_n )} -1 } = {1 \0 \eta e^{\b z} - 1 } = \eta \; n(z) \qquad \hbox{mit} \qquad n(z) \gll {1 \0 e^{\b z} - \eta } \quad , \eq 1 $$ und der dritte (oben schon getan), da\ss\ $e^{-i\b\o_n} = e^{-i \pi (2n +\{ \ou \} )} = \eta\,$ sowie $\eta^2=1\,$. Viertens schnappt sich nun $\sum_n$ die einzig verbliebene $n$--Abh\"angigkeit und addiert die $\klint_n$--Kringel auf zu $\downarrow\uparrow \gll$ zwei vertikale Geraden nahe links/rechts der $i$--Achse$\,$: $$ T\sum_n F( i\o_n ) \; = \; {\eta \0 2\pi i} \int_{\downarrow\uparrow}\!\!\! dz \; F(z)\; n(z) \;\;\;\; \ueb{\;\gef}{=} \;\;\;\; { - \eta \0 2\pi i } \lk \grint dz\; F(z)\; n(z) \rki_{\rm ohne \; n-Pole} \;\; . \eq 2 $$ Das geschlossene Integral rechts soll schlicht die komplexe Ebene weit au\ss en (mathematisch positiv) umrunden. Der gef\"ahrliche letzte Schritt braucht folglich (a) einen gen\"ugend raschen Abfall von $F$ nach au\ss en (so da\ss\ die beiden gro\ss en Halbkreise beitragslos hinzugef\"ugt werden k\"onnen) und (b) das Ignorieren der $n$--Pole auf der $i$--Achse (um die Vertikalen der zwei Halbebenen--Umrundungen vergessen zu d\"urfen). Kurz, da $n$ sonst keine Pole hat, darf/soll $\bigcirc$ um die $F$--Pole zusammengezogen werden (bzw. an $F$--Schnitte heran$\,$; letztere ggf. via Spektraldarstellung vermeiden$\,$?!). \medskip \nz $\!$\under{Beispiel :} \ Bosonen, $\eta=1$, $F(z) = 1/(x^2-z^2)\,$. Man denke an $x^2=m^2 + \vc p^2$ und an den Frequenzsummen--Teil von $\sum G_0$ mit $G_0 = 1 / (m^2 - P^2)\,$ ($\,\sum = T\sum_n \int d^3p \, (2\pi)^{-3} \, , \; P_0 =i\o_n\, )\; :$ \vskip .3cm \nz $$ T\sum_n {1\0 x^2 - P_0^2} \;\; = \;\; {1\0 2\pi i} \grint dz \; {n(z)_{\rm ignore\; poles} \0 z^2 - x^2 } \;\; = \;\; { 1 + 2\, n(x) \0 2x } \;\; = \;\, {1\0 2x }\; {\ch (\b x/2 )\0\sh (\b x /2 )} \quad . \eq 3 $$ \ct{\vrule width 12.6cm height .02pt depth 0pt\hskip 1.2cm} \vskip .3cm \nz Das Resultat \gl 3 hat es in sich$\,$: Folgerungen, Verallgemeinerung, R\"uckf\"uhrung auf und Fu\ss weg zu \ --- \ der Reihe nach$\,$: \bigskip \nz % ----------------------------------------------------- {\bf 1.} \ Multipliziert man \gl 3 mit $-2x$ und integriert \"uber $x$ von $c$ bis $y\,$, dann entsteht $$ T \sum_n \ln \( {y^2 - P_0^2 \0 c^2 - P_0^2} \) \;\; = \;\; y - c + 2\, T\,\ln \( {1 - e^{-\b y} \0 1 - e^{-\b c} } \) \quad . \eq 4 $$ Nun multipliziere man \gl 4 mit $\b$, setze $\b y = \o$ und lasse $\b c$ gegen Null gehen$\,$: $$ \sum_{n=1}^\infty \ln \( 1 + { \o^2 \0 (2\pi n)^2 }\) \;\; = \;\;\ln \({\sh (\o /2) \0 \o /2} \) \quad . \eq 5 $$ Nach Exponenzieren von \gl 5 und Erweiterung auf alle $n$ entsteht schlie\ss lich die Produkt--Weisheit $$ {\prod_n}^{\,\prime}\, {(2\pi n)^2 \0 \o^2 + (2\pi n)^2 } \;\; = \;\; {\o^2 e^{-\o} \0 \( 1 - e^{-\o} \)^2 } \;\;\quad , \eq 6 $$ Der Strich schlie\ss t $n=0$ aus. Man kontrolliere \gl 6 anhand $\omega\to 0$. \gl 3 ist Kapusta's Formel (2.38). \gl 5 konnte/sollte Coleman ({\sl Aspects of symmetrie}) gebrauchen, um eine Determinante auszuwerten (Gl. (2.16) in Lecture 7). \gl 6 findet sich in Hansen ({\sl A table of series and products}) als (89.5.16) sowie in Kleinert ({\sl Path integrals in Q., St. and Polymer physics}) als (2.269) und ist Zwischenschritt zur Zustandssumme nicht--wechselwirkender geladener Bosonen {\fiverm (Schr\"oder+Schulz, Phys.Rev D 54 ('96) 7677, App. A)} . \vfill \eject %%% 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rightline{ \raise 1pt\hbox{$\klint$} {\gr 2}} \bigskip \nz % ----------------------------------------------------- {\bf 2.} \ Irgendwie harmloser wirkt \gl 3 , wenn man via $x = 2\pi T a$ erst einmal \hbox{\anfu ins Normale\anfo} \"ubersetzt und sodann ein wenig spielt ($a = ix/(2\pi)\, )\;$: $$ \sum_n \, {1 \0 a^2 + n^2 } \; = \; {\pi\0a}\; {\ch (\pi a ) \0 \sh (\pi a)} \qquad , \qquad \sum_n \, {2x \0 (2\pi n)^2 - x^2 } \; = \; {\sin (x) \0 \cos (x) - 1 } \quad . \eq 7 $$ Auf den ersten Blick sieht die Beziehung $$ \sum_n \, {2x \0 (2\pi n + y)^2 - x^2} \;\; = \;\; {\sin (x) \0 \cos (x) - \cos (y)} \quad \eq 8 $$ wie eine echte Verallgemeinerung von \gl 7 aus. Jedoch kann \gl 8 schlicht aus \gl 7 hergeleitet werden. Partialbruchzerlegung liefert zun\"achst $\sin (x)/(\cos (x)-1) = \sum_n \, [\, 1/(2\pi n-x) - 1/(2\pi n+x)\, ]\,$. Dies nehme man nun einmal bei $x\to x-y$ und einmal bei $x\to x+y$, addiere die Resultate und bem\"uhe ein wenig Trigonometrie. Fertig. \smallskip \nz \gl 8 ist eine feine Formel. Sie macht sich in der Quantenmechanik n\"utzlich, wenn man zum Dirac--Kamm den (un\"ublichen, aber) logischen L\"osungsweg w\"ahlt$\,$: Bloch--Theorem, Bloch--Faktoren als Fourier--Reihe, station\"are Schr\"odinger--Gleichung f\"ur die Fourier--Koeffizienten und deren L\"osung mittels \gl 8 \hbox{{\fiverm (\anfu Lehrerscript\anfo Seite Q 22)}}$\,$. \bigskip \nz % ----------------------------------------------------- {\bf 3.} \ Statistische Physik f\"uhrt gern auf die folgenden beiden Integrale. Wenn man beispielsweise zu $\sum G_0$ (siehe Text vor \gl 3) auch die Integration \"uber $\vc p$ ausf\"uhrt, entsteht das erste. Und die Energie $E = 2 \sum_{\vcsm p} p\, n(p)$ der Hohlraumstrahlung braucht das zweite. Behauptung$\,$: % {\bf 3.} \ Alsbald, wenn man zu $\sum G_0$ auch die % Integration \"uber $\vc k$ ausf\"uhrt, wird (u.a.) % das folgende erste Integral ben\"otigt. Die Energie % $E = 2 \sum_{\vcsm k} k\, n(k)$ der Hohlraumstrahlung % braucht das zweite$\,$: $$ \int_0^\infty\! dx \; {x \0 e^x - 1 } \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6} \qquad , \qquad \int_0^\infty\! dx \; {x^3 \0 e^x - 1 } \;\; = \;\; {\pi^4 \0 15} \quad . \eq 9 $$ Hm. Das ist eben so. Im Bronstein stehts ja auch. Alles L\"ugen$\,$? \ Die geometrische Reihe jedenfalls nicht$\,$: $$ \int_0^\infty\! dx \; {x \0 e^x - 1 } \;\; = \;\; \int_0^\infty\! dx \, x \, \sum_{n=1}^\infty e^{-nx} \;\; = \;\;\sum_{n=1}^\infty \, {1\0n^2} \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6 } \quad . \eq{10} $$ Stop$\,$! Ganz rechts, woher kam das$\,$? \ --- \ aus Bronstein, aaaha. Elende Schummler$\,$! $\,$Es folgt vielmehr aus \gl 7 (linke Gleichung) im limes $a\to 0\;$: $$ \sum_{n=1}^\infty \, {1 \0 a^2 + n^2 } \;\; = \;\; - {1\0 2 a^2} + {\pi \0 2a} \; {\ch (\pi a) \0 \sh (\pi a) } \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6} \; - \; {\pi^4 \0 90}\, a^2 \; + \; \cl O ( a^4 ) \quad . \eq{11} $$ Rechts wurde der $a^2$--Term noch mit angegeben, weil $\6_a$ von \gl{11} ben\"otigt wird, wenn man (auf gleiche Weise) das rechte Integral in \gl 9 schlachtet (ohne zu l\"ugen). \bigskip \nz % ----------------------------------------------------- {\bf 4.} \ \anfu Ich kann aber keine Funktionentheorie (gerade 2. Semester absolviert)\anfo $\,$bzw. traue ihr nicht \"uber den Weg. Irgendwie mu\ss\ doch $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ auch \anfu zu Fu\ss \anfo zu erhalten sein. Gewi\ss . Allerdings f\"uhrt der Trick $\, f(x)\gll \sum_{n=1}^\infty x^n /n^2\,$, Dgl f\"ur $f$ etc. alsbald auf das Integral \gl{10} zur\"uck, im Kreise herum also. Eine kl\"ugere Funktion bitte (Idee Fourier--Reihe). Es ist $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = {1\02} g(0)$, wenn man $g(x)$ wie folgt definiert und somit vorweg wei\ss , da\ss\ $g$ gerade und $2\pi$--periodisch ist und verschwindenden Mittelwert $\,\ov{g}=0$ hat$\,$: $$ g(x) \gll {\sum_n}^{\, \prime}\, {\cos (nx) \0 n^2 } \quad \Rightarrow\quad g^{\prime\prime}(x)\; =\; 1 - \sum_n \cos (nx)\; =\; 1 - 2\,\pi\, \d_{\rm periodisch}(x) \quad . \eq{12} $$ Die Dgl l\"ost sich im Kopf (nachtr\"aglich jedenfalls), und die Integrationskonstante folgt aus $\,\ov{g}=0\,$: $$ g(x) \; = \; - {1\06}\pi^2 + {1\02} (x-\pi )^2 \qquad \hbox{f\"ur} \;\; 0 \le x < 2\pi \quad \hbox{und $2\pi$--periodisch sonst} \quad . \eq{13} $$ Und schon ist $g(0)=\pi^2/3$ herausgekommen, aus einem Standardbeispiel zur Fourier--Reihe also (periodische Parabeln$\,$. \"Ubung$\,$: der Fu\ss weg zu \gl 7 sieht ganz \"ahnlich aus). Jene aus dem 2. Semester wissen das, \"altere H\"asinnen und Hasen kaum noch. Und ich wei\ss\ nicht, warum es so gern 13 Gleichungen werden. \medskip \nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) } \end