% tf5.tex 46 Seiten , Herbst 1997 % % Von Pauli-Villars bis Callan-Symanzik %%% L A T E X %%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % makro : \font\frm=cmr10 % f. captions \font\gital=cmti10 scaled \magstep4 % f. \Vau \font\sf=cmss12 % f. \MA to \MD ( use cmss10 in TEX ) \font\sm=cmbx5 % fonts dick, duenn s. Wurzel etc. \font\lsl=cmbxsl10 scaled \magstep2 \def\ft{\footnotesize} % Klammern : \def\({\left(} \def\){\right)} \def\lk{\,\left[ \,} \def\rk{\,\right] \,} \def\rki{\,\right]} \def\lb{\left\{} \def\rb{\right\}} \def\lw{\left\langle} \def\rw{\right\rangle} % Wurzel etc. : \def\tcount{\count10} \ifnum\tcount=25 % TEX \def\wu#1{\sqrt{{#1} \,}^{ \hbox to0.2pt{\hss$ \vrule height 2pt width 0.6pt depth 0pt $} \;\! }} \font\dick=cmbx10 \font\duenn=cmbx8 % f. \p \gll \def\dop{\duenn \raise0.7pt\hbox to 0.2pt{: \hss}} \def\dep{\duenn \raise0.7pt\hbox to 0.3pt{\hss :}} \else % LATEX \def\wu#1{\sqrt{{#1} \,}^{ \hbox to0.2pt{\hss$ \vrule height 2.5pt width 0.6pt depth -.5pt $} \;\! }} \font\dick=cmbx12 \font\duenn=cmbx10 \def\dop{\duenn \raise0.6pt\hbox to 0.2pt{: \hss}} \def\dep{\duenn \raise0.6pt\hbox to 0.3pt{\hss :}} \fi \def\cl#1{{\cal #1}} \def\ct#1{\nz\centerline{#1}} \def\schl#1{\widetilde{#1}} \def\ov#1{\overline{#1}} \def\nz{\par \noindent} \def\dis{\displaystyle} \def\0{\over } \def\6{\partial } \def\lsim{\,\lower 4pt\hbox{$\sim\!\!\!\!\!$}\raise 2pt\hbox{$<$}\,} \def\gsim{\,\lower 4pt\hbox{$\sim\!\!\!\!\!$}\raise 2pt\hbox{$>$}\,} \def\ueb#1#2{{\buildrel{#1}\over{#2}}} % =: , := und Frage-Gl.zeichen \def\gdw{\leftharpoonup \hbox to-1pt{\hss $\rightharpoondown$}\;} \def\gll{\; {\dop} =} \def\glr{= {\dep} \;} \def\fr{\,\buildrel {?!} \over = \,} \def\folg{\curvearrowright} % Normaltext : \def\ln{{\rm ln}} \def\Tr{{\rm Tr}} \def\sgn{{\rm sgn}} \def\det{{\rm det}} \def\sh{{\rm sh}} \def\ch{{\rm ch}} \def\th{{\rm th}} % Schlitzohr : \def\sinh{{\rm sh}} \def\cosh{{\rm ch}} \def\tanh{{\rm th}} \def\cotanh{{\rm cth}} \def\coth{{\rm cth}} % Schraeg-Buchstaben : \def\P{ {\mit\Pi} } \def\X{ {\mit\Xi} } % Griechen : \let\a=\alpha \let\b=\beta \let\d=\delta \let\g=\gamma \let\l=\lambda \let\o=\omega \let\s=\sigma \let\z=\zeta \let\e=\varepsilon \let\ph=\varphi \let\ta=\vartheta \let\D=\Delta \let\G=\Gamma \let\L=\Lambda \let\O=\Omega \def\mn{_{\mu\nu}} \def\omn{^{\mu\nu}} % Exoten : \def\Y{\Upsilon} \def\anke{\ --- \ } % Latex papers : \def\eq#1{(\ref{#1})} \def\nonu{\nonumber} \def\be#1{\begin{equation} \label{#1}} \def\ben{\begin{equation}} \def\ee{\end{equation}} \def\bea#1{\begin{eqnarray} \label{#1}} \def\bean{\begin{eqnarray}} \def\eea{\end{eqnarray}} \let\thq=\theequation \def\parag#1{ \vspace{1.5cm} \hspace{.08cm} \parbox{14cm}{{\bf #1} \vspace{.9cm} } \nopagebreak[4] \indent } % \vc \def\pfeil{_\rightharpoonup} \def\leer{\phantom{a}} \def\opf{\buildrel \pfeil \over \leer} \def\jvv{j \lower0.4pt\hbox to 2pt{\hss $\opf$}} \def\jv{j \lower0.2pt\hbox to 1.4pt{\hss $\opf$}} \def\ivv{i \lower0.4pt\hbox to 2pt{\hss $\opf$}} \def\iv{i \lower0.2pt\hbox to 1.4pt{\hss $\opf$}} \def\hq{h \raise0.2pt\hbox to 0.4pt{\hss $^-$}} \def\vk#1{\hbox{$\buildrel \pfeil \over #1$}} \def\vkk#1{\hbox{$\buildrel \; \pfeil \over #1$}} \def\vkkk#1{\hbox{$\buildrel \, \; \pfeil \over #1$}} \def\grpf{\displaystyle _\rightharpoonup} \def\vg#1{\hbox{$\buildrel \grpf \over #1$}} \def\vgg#1{\hbox{$\buildrel \; \grpf \over #1$}} \def\fzz{f} \def\bzz{b} \def\dzz{d} \def\gzz{g} \def\hzz{h} \def\jzz{j} \def\kzz{k} \def\lzz{l} \def\mzz{m} \def\wzz{w} \def\tzz{t} \def\izz{i} \def\bezz{\beta} \def\dezz{\delta} \def\xizz{\xi} \def\pszz{\psi} \def\vthzz{\vartheta} \def\uph{ \! \mathop{\vphantom{a}} } \def\dph{ \vphantom{a} } \def\vc#1{\def\tast{\noexpand#1} \def\test{#1} \ifcat\tast\bzz \ifx\test\fzz \vkkk f \uph \else \ifx\test\bzz \vkk b \uph \else \ifx\test\dzz \vkkk d \uph \else \ifx\test\gzz \vkk g \dph \else \ifx\test\hzz \vkk h \uph \else \ifx\test\izz \ivv \dph \else \ifx\test\jzz \jvv \dph \else \ifx\test\kzz \vkk k \uph \else \ifx\test\lzz \vkk l \uph \else \ifx\test\tzz \vkk t \uph \else \ifx\test\mzz \vg m \dph \else \ifx\test\wzz \vg w \dph \else \ifnum \lq#1<91 \vgg #1 \uph \else \vk #1 \dph \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \else \ifx\test\bezz \vkk \beta \uph \else \ifx\test\pszz \vkk \psi \dph \else \ifx\test\dezz \vkk \delta \uph \else \ifx\test\xizz \vkk \xi \uph \else \ifx\test\vthzz \vkk \vartheta \uph \else \vk #1 \dph \fi \fi \fi \fi \fi \fi } \def\abst#1{\def\tast{\noexpand#1} \ifcat\tast\bzz \ifnum \lq#1<91 \; \else \, \fi \else \, \fi} \def\absv#1{\def\tast{\noexpand#1} \def\test{#1} \ifcat\tast\bzz \ifx\test\fzz \, \; \else \ifx\test\dzz \, \; \else \ifx\test\bzz \, \else \ifx\test\gzz \, \else \ifx\test\hzz \, \else \ifx\test\kzz \, \else \ifx\test\lzz \, \else \ifx\test\tzz \, \else \ifnum \lq#1<91 \; \else \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \else \ifx\test\bezz \, \else \ifx\test\pszz \, \else \ifx\test\dezz \, \else \ifx\test\xizz \, \else \ifx\test\vthzz \, \else \fi \fi \fi \fi \fi \fi } \def\vphan#1{\def\tast{\noexpand#1} \def\test{#1} \ifcat\tast\bzz \ifx\test\fzz \uph \else \ifx\test\bzz \uph \else \ifx\test\dzz \uph \else \ifx\test\hzz \uph \else \ifx\test\kzz \uph \else \ifx\test\lzz \uph \else \ifx\test\tzz \uph \else \ifnum \lq#1<91 \uph \else \dph \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \fi \else \ifx\test\bezz \uph \else \ifx\test\dezz \uph \else \ifx\test\xizz \uph \else \ifx\test\vthzz \uph \else \dph \fi \fi \fi \fi \fi } % \p \pp \def\pubox{\dick _{\raise 1pt\hbox{.}} } \def\ppubox{\dick _{\raise 1pt\hbox{..}} } \def\p#1{{\buildrel \abst #1 \pubox \over #1} \vphan #1 } % \vcsm \vcts \vctl \def\vcsm#1{ \def\sm{\raise 1.6pt\hbox to 5pt{\hss $_#1$}} {\buildrel \pfeil \over \sm} \>\!\! } \def\vcts#1{\buildrel \absv #1 \pfeil \over {\schl #1} } \def\vctl#1{\buildrel \absv #1 \grpf \over {\schl #1} } % specials : \def\gps{ \; \lower 2.6pt\hbox{$^\vert$} \raise 1.4pt\hbox to 1.6pt{\hss $\cup$} \,} \def\klint{ \; \circ \hskip -.28cm \int } \def\grint{ \; \raise 2pt\hbox{$_\bigcirc$} \hskip -.36cm {\int \,} } \def\biga{ \raise 2pt\hbox{$ \bigcap \!\!\!\!\!\!\> $} \hbox{$-$} } \def\smala{ \hbox{$ \cap \!\!\!\!\!\!\; $} \lower 0.7pt\hbox{$-$} } \def\Vau{\hbox{{\gital v$$}}} \font\dunh=cmdunh10 scaled \magstephalf \def\bel{\mbox{\dunh bel.$\,$}} \def\under#1{$\lower 0.2pt\hbox{$\; \underline{\vphantom{\int}\hbox{#1}}\;$}$} \def\cross{\hbox{\hspace{.05cm} \vrule depth -2.5pt height 3pt width .1cm \hspace{-.04cm}\hbox{\boldmath $\bigotimes$} \hspace{-.32cm} \vrule depth -2.5pt height 3pt width .1cm}} \def\ocross{\hbox{\boldmath $\bigotimes$}} \def\scross{\hbox{\tiny\boldmath$\otimes$}} \def\boll{\hbox{\hspace{.05cm}{{\large$ \times$}}\hspace{-.3cm}\raise .7pt\hbox{$ \bullet$}\hspace{.1cm}}} \def\eu{\hbox{\boldmath $\dis\int\!\!$}} \def\basket{\hbox{$\bigcirc\hspace{-.26cm}\bigcirc\;$}} \def\Wau{\hbox{{\gital w$$}}} \def\pic{\unitlength1cm \begin{picture}(1.8,1) \put(.66,.6){$\vee$} \put(.66,-.64){$\wedge$} \put(.02,0){$>$} \put(1.26,0){$<$} \put(.8,.1){\oval(1,1)[t]} \put(.8,.1){\oval(1,1)[bl]} \put(1.25,-.09){\circle*{0.05}} \put(1.15,-.26){\circle*{0.05}} \put(.98,-.36){\circle*{0.05}} \end{picture}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% S T A R T %%%%%%%%%% \documentclass[12pt]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{ngerman} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} \parskip .3cm \renewcommand{\footnoterule}{\noindent\rule{8cm}{.1pt} \vspace{.2cm}} \voffset -2.8cm \hoffset -5mm \textwidth 16cm \textheight 25.1cm \begin{document} %%% 0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % $ $ \\[-1.6cm] \leftline{ITP--UH 36/97 \hspace{7cm} \hfill {\sl completed in 2007}} \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{0.\dq} \vskip 9mm \hspace*{1.8cm} {\large\bf Von Pauli--Villars bis Callan--Symanzik\,\footnote{\ {\ft hschulz@itp.uni-hannover.de}}\hspace{1cm}} \vskip 6mm \begin{center} Renormieren lernen am konkreten Beispiel einer beobachtbaren Gr\"o\ss e$\,$, \\ dem Druck $p$ des masselosen $\phi^4$--Systems in 3--Loop--Ordnung \end{center} \vskip 3mm \hspace*{14mm} \vbox{\ft \hbox{Zum Gebrauch} \hbox{neben Lehrb\"uchern}} \hspace{5cm} \vbox{\hbox{1. Pauli--Villars } \hbox{2. Counterterms } \hbox{3. Der Druck $p$ bis mit $g^4$ } \hbox{4. Basketball--Diagramm } \hbox{5. Unabh\"angigkeit von $M$} \hbox{6. Callan--Symanzik } \hbox{Anhang A bis G\,: Integrale} \hbox{Anhang H\,: Zeta-Funktion} } \vskip 2mm Vor langer Zeit, im Sommer 1997, war eine Vorlesung \"uber \glqq Quantenfelder am W\"armebad\grqq\ in arge Schwierigkeiten geraten. Gegen Ende sollte noch der Druck $p$ des masselosen $\phi^4$--Systems bis Ordnung $g^4$ (3--loop) an die Tafel. Die Stimmigkeit der Renormierungs--Prozedur sollte sich an diesem Beispiel erweisen. Die folgenden Notizen (samt Anh\"angen, nachtr\"aglich entstanden) zeigen, wie utopisch dieses Ansinnen war. \"Uber z.B. Lehrb\"ucher wie etwa \cite{IZ,PS} sei der Leser einigerma\ss en mit Feldtheorie vertraut. Er wei\ss\ von Green'schen Funktionen (kurz: Greensfunktion), welche in Diagrammen die Linien sind, und da\ss\ aus $n$--Punkt--Funktionen jegliche Physik folgt. Wenn ihn sodann bei der Rezeptur, mit der aus der (divergenten) Theorie me\ss bare Gr\"o\ss en destilliert werden, ein geh\"origes Unbehagen verblieben ist und ihm ein \glqq schade\grqq\ auf den Lippen liegt, dann ist er hier herzlich willkommen. Die me\ss bare Gr\"o\ss e, an welcher das Rezept illustriert werden soll (wenigstens das), ist eine thermodynamische$\,$: $p=-\6_V F\,$. Das Spektrum des Systems beginne bei Energie Null, so da\ss\ mit $T\to 0$ ($\b \to \infty$) die Freie Energie $F=-T\,\ln (Z)$ verschwindet, weil dann $Z = {\rm Sp} \( e^{-\b H} \) \to 1\,$. Ohne Anregungen kein Druck. Der extensive Anteil $F^{\rm ex}$ von $F$ ist proportional zu $V\,$ \cite{ST}. Meist l\"a\ss t man den Index \glqq ex\grqq\ klammheimlich wieder entschwinden. Lebend mit dieser Unsitte, schreiben wir $p= -F/V\,$ nieder. Die St\"orungsentwicklung von $F$ besteht aus beinlosen Diagrammen ($F$ ist die Null--Punkt--Funktion). Alsbald wird der Druck $p$ als asymp\-to\-ti\-sche Entwicklung hinsichtlich kleiner $g$ vorliegen (einschlie\ss lich $g^4$-Term)\,\footnote{\ Dieser scheinbar etwas exaltierten Sprechweise geben wir hier den Vorzug, weil es sich im allgemeinen nicht um eine Potenzreihe zu handeln braucht. Bei QCD hat $p$ unter anderem einen Term $g^4\,\ln(g)\,$.}. \hbox{ J e d e r } Term der asymp\-to\-ti\-schen Entwicklung ist Me\ss gr\"o\ss e. Also bekommen wir sogar mehrere beobachtbare Gr\"o\ss en in die Hand. Quantenfeldtheorie braucht zuallererst eine Einbettung, d.h. eine Abwandlung zur physikalischen Seite hin mit Parametern, welche die sp\"atere R\"uckkehr zur urspr\"unglichen Theorie erm\"oglichen. Kein Schritt weiter, bevor eine solche Regularisierung nicht bedacht ist. Die Lagrange--Dichte der masselosen $\phi^4$--Theorie \be{0.1} \cl L \,=\, - {1\02} \,\phi \; \6^2\,\phi \,-\, {g^2\024} \;\phi^4 \quad \ee % 0.1 ist zwar h\"ubsch kurz und zeigt Feld--Inhalt und Wechselwirkung an, aber ansonsten ist \eq{0.1} nur ein plakatives, undurchf\"uhrbares Etwas. Die eingebettete Theorie verordnet beobachtbaren Gr\"o\ss en ein hartes Le\-ben. Diesen Gr\"o\ss en ist auferlegt, endlich zu sein und einen angebbaren Zahlenwert zu haben. Sie d\"urfen folglich \hbox{ n i c h t } abh\"angen \vspace*{-4mm} \begin{itemize} \item von der Art der Einbettung (Regularisierung), nach Renormierung \,{\sl in}\, ihr und \\ sodann R\"uck\-g\"an\-gig\-machen \,{\sl von}\, ihr$\,$, \item von den cutoff's der Regularisierung, und zwar weder von $\ln(\L)$ noch $\L^2$ o. \"a.$\,$, \item von etwaigen endlichen Parametern einer Regularisierung (wie etwa $\L_1 / \L_2\,$)$\,$, \item von der Skala $M$ (Renormierungspunkt), an welcher die Kopplung definiert wird$\,$, \item von ggf. Eichfixierungsparametern$\,$, \item von der Art der Resummation der St\"orungsreihe. Beispielsweise erfordert ein \glqq fal\-scher\grqq\ = ungeschickter IR--Regulator lediglich, die St\"orungsreihe so weit zu treiben ($\infty$ weit$\,$?), da\ss\ sich alle Beitr\"age zu einem gew\"unschten Term der asymptotischen Entwicklung aufsammeln lassen$\,$. \end{itemize} Im folgenden werden nur Resultate produziert, welche l\"angst wohlbekannt sind, speziell jene in \cite{AZ}. Ein gewisser Wert liegt vielleicht darin, da\ss\ die Bekanntheiten auf ungewohnten Wegen (insbesondere mittels Pauli--Villars--Regularisierung) erneut herauskommen. \anke Es schafft allemal Vertrauen, wenn ein paar Zweifel zerstreut werden k\"onnen. \vfill \newpage % <--------------- %%% 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{1.\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Pauli--Villars} Die auf Pauli und Villars \cite{PV} (kurz PV) zur\"uckgehende Regularisierung ist eine sehr an\-st\"an\-di\-ge Einbettung. Dem\-ge\-gen\"uber mu\ss\ sich die dimensionale Regularisierung (Dim.Reg.) die folgenden Anw\"urfe gefallen lassen\,: \\[1mm] {\bf (a)\,} \parbox[t]{15.2cm}{ sie erfa\ss t nur die logarithmischen Singularit\"aten und ordnet quadratischen ($\sim \L^2$) eine Null (!) zu. Mit anderen Worten, Dim.Reg. ist eine fragw\"urdige Einbettung weil mit Spr\"ungen behaftet, unendlichen sogar. Nur jemand, der auf {\sl anderem} Wege bereits {\sl wei\ss }, da\ss\ die Spr\"unge an den physikalisch relevanten Stellen (gen\"ugend rasch) verschwindende Faktoren erhalten werden, darf Dim.Reg. benutzen. Furchtbar, nicht wahr ?!} \\[2.6mm] {\bf (b)\,} \parbox[t]{15.2cm}{ sie \glqq verst\"ummelt die Bose--Funktion\grqq \,: $(3-2\e )$--dimensionale Integrale \"uber $n(p)$ geben $\cl O(\e )$--Zus\"atze (siehe (c)) und auch Endliches. Demgegen\"uber f\"uhren die Korrelatorterme bei PV nur zu vernachl\"assigbaren $n(\b \L )$'s. Allerlei (aber nicht alle) Eulerkonstanten, log's und zeta's werden sich als Dim.Reg. Kunstprodukte erweisen.} \\[2.6mm] {\bf (c)\,} \parbox[t]{15.2cm}{ sie verlangt gro\ss e Sorgfalt bei Faktoren $(1 + \cl O(\e ) )$, deren $\cl O(\e )$ via ${1\0\e}\cdot (1 + \cl O(\e ))$ noch zum Leben erweckt werden k\"onnte (und kann). Bei {\sl momentum cutoff} Regularisierung k\"onnte das Analogon $ \L^2 \cdot (1 + 1/\L^2)$ lauten. Dies wird jedoch nicht eintreten \ --- \ wir achten darauf.} \\[2.6mm] {\bf (d)\,} \parbox[t]{15.2cm}{ sie erschwert (gegen\"uber PV) die nat\"urliche {\sl cutoff}--Anschauung zum Verhalten einzelner Betr\"age zu $p$.} \\[2.6mm] {\bf (e)\,} \parbox[t]{15.2cm}{ sie verletzt (sagt Flurnachbar Prof.~N.~Dragon) die Lokalit\"at der Theorie (Lokalit\"at$\,\approx\, $Mikro\-kau\-sa\-li\-t\"at). Man ahnt, wie das gemeint ist. M\"oglicherweise kann {\bf (b)} als Beispiel dienen.} \\[4mm] \noindent Die etwaige Kritik an PV, sie verletze Eichsymmetrie und Ward--Identit\"aten trifft nicht\,: Itzykson und Zuber \cite{IZ} sind mal wieder besser als man glaubt, insbesondere in \S ~8-4-2$\,$. Pauli--Villars--Regularisierung hei\ss t zun\"achst, zur Greensfunktion Propagatoren gro\ss er Masse(n) derart zu addieren, da\ss\ das Resultat ($\glr G_0$) bei $P^2 \gg$ Masse(n) mit hinreichend hoher Potenz von $1/P^2$ abf\"allt. Um zur $\phi^4$--Theorie den Terminus \glqq hinreichend\grqq\ zu ergr\"unden, blicke man auf $\sum G_0 \sim P^4 G_0\,$ (power counting). Hierf\"ur (und auch im folgenden) gen\"ugt es offenbar, $G_0 \to 1/P^6$ bei $P\to\infty$ zu fordern$\,$: \be{1.1} G_0 \;\; =\;\; {1\0 P^2}\; - \; {A \0 P^2 + \L^2} \; + \; {B \0 P^2 + \G^2} \quad . \ee % 1.1 OBdA sei $\G > \L$. Unverz\"uglich bringen wir \eq{1.1} auf Hauptnenner und erkennen der Forderung wegen den Zwang zu \be{1.2} A \; = \; {\G^2 \0 \G^2 - \L^2} \quad , \quad B \; = \; {\L^2 \0 \G^2 - \L^2} \quad , \ee % 1.2 woraufhin \be{1.3} G_0 \;\; = \;\; { 1 \0 \; P^2 \,\( 1 + {P^2\0\L^2} \) \,\( 1 + {P^2\0\G^2} \) \; } \quad \ee % 1.3 wird. $A$ und $B$ erf\"ullen die Relationen \be{1.4} A-B=1 \quad , \quad A\L^2 = B\G^2 \quad , \quad A\G^2 - B \L^2 = \G^2 + \L^2 \quad. \ee % 1.4 \eq{1.1} wurde mit Euklidischen Impulsen ($P^2 = P_0^2 + \vc p^2\,$, alle reell) formuliert. Der Zusammenhang mit Minkowski--Impulsen ist $P^2_{\rm Minko} = (i\o_n)^2 - \vc p^2 = - P^2\,$. Unter $\6^2$ wird im folgenden $-\6_0^2 - \D$ verstanden. Obiges Festmachen einer Regularisierung am Propagator ist etwas arg technisch und somit ein wenig gef\"ahrlich. Lagrange--Dichte bitte\,! \,Jene zu Propagator $1/P^2$ ist ${1\02} (\6 \phi )^2=-{1\02} \phi \6^2 \phi$. Und welches ist jene zu \eq{1.1} ?? \ Es gibt zwei m\"ogliche Antworten (zweite Antwort am Ende des Abschnittes). Wir werden der folgenden ersten M\"oglichkeit den Vorzug geben\,: \bea{1.5} \cl L &\ueb{??}{=}& - {1\02} \phi \,(G_0^{-1} \phi ) - {g^2\0 24} \phi^4 \,= \, - {1\02} \,\phi \!\int {d^4 P\0 (2\pi)^4} e^{iPX}\, P^2 \,\Big( 1 + {P^2\0\L^2} \Big) \,\Big( 1 + {P^2\0\G^2}\Big) \,\schl \phi (P) - {g^2\0 24} \phi^4 \nonu \\[1mm] &=& - {1\02} \;\phi \; \6^2\, \Big( 1 + {\6^2\0\L^2}\Big)\, \Big( 1 + {\6^2\0\G^2} \Big)\; \phi \; - \; {g^2\0 24} \phi^4 \quad . \eea % 1.5 Die runde Klammer nach erstem Gleichheitszeichen ist wie in \cite{RS} gemeint, Fourier--isch n\"amlich. Aber bei \eq{1.5} k\"onnen wir nicht bleiben (darum das $\ueb{??}{=}\,$). In der \glqq nackten\grqq\ Theorie mu\ss\ ein Massenterm angef\"ugt werden, \,d\,a\,m\,i\,t\, am Ende zur tats\"achlich masselosen $\phi^4$--Theorie \"ubergegangen werden kann. Die urspr\"ungliche (Index \glqq ur\grqq , nackte, unrenormierte) Lagrangian \,h\,a\,t\, Masse\,\footnote{ \ Der bereits regularisierten Lagrangian einen Massenterm anzuf\"ugen, ist ersichtlich nicht dasselbe wie etwa in jedem der Nenner von \eq{1.1} ein $m_{\rm ur}^2$ zu addieren. Es d\"urfte eine Vielzahl von PV--Versionen geben. Unsere wird sich jedenfalls als recht gescheit erweisen (man denke an Add-- und Subtraktion eines IR--Regulators).}. Wir werden sehen. Also starten wir mit \be{1.6} \cl L \;\;\ueb{?}{=}\;\; - {1\02} \,\phi \, \6^2 \( 1 + {\6^2\0\L^2}\) \( 1 + {\6^2\0\G^2} \) \phi \; - \; {1\02} \, m_{\rm ur}^2\, \phi^2 \; - \; {g^2\0 24} \,\phi^4 \quad . \quad, \ee % 1.6 Die zu \eq{1.6} geh\"orige nackte Greensfunktion verallgemeinert \eq{1.3} und ist \be{1.7} G_{\rm m} (P) \;\; \ueb{?}{=} \;\; { 1 \0 \, m_{\rm ur}^2 \; + \; P^2\, \( 1 + {P^2\0\L^2} \) \, \( 1 + {P^2\0\G^2} \) } \quad . \qquad \ee % 1.7 Die obigen Fragezeichen \"uber Gleichheitszeichen sollen andeuten, da\ss\ selbst \eq{1.6} und \eq{1.7} noch unzureichende Plagiate sind. Der Blick voraus auf \eq{2.9} und \eq{2.2} zeigt es. %-------------------- Wie angek\"undigt, sei auch noch kurz die zweite M\"oglichkeit (Index $(b)\,$) bedacht, eine Lagrangian zu konstruieren. Sie besteht darin, separat jedem \eq{1.1}--Term ein Feld $\phi_j \; (\,j=0,1,2\,)\,$ zuzuordnen\,: \be{1.8} \cl L_{\rm (b)} = {1\02} (\6 \phi_0 )^2 - {1\02A} \lk (\6 \phi_1 )^2 - \L^2 \phi_1^2 \rk + {1\02B} \lk (\6 \phi_2 )^2 - \G^2 \phi_2^2 \rk \; - \; {g^2\0 24} \( \sum_{j=0}^2 \phi_j \)^4 \;\; . \ee % 1.8 Am Vertex verknoten sich vier Dreifach--Linien--Propagatoren. Wir f\"ugen einen Massenterm hinzu, lassen aber den hierbei uninteressanten $\phi^{4}$--Term weg (darum der Index Null am $\cl L\,$). Das gibt\,: {\footnotesize %\small \be{1.9} \cl L_{{\rm (b)}, 0 } \,=\, {1\02} \( \matrix{\phi_0 \cr \phi_1 \cr \phi_2 \cr} \) \Bigg[ - \(\matrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & {-1\0A} & 0 \cr 0 & 0 & {1\0B} \cr} \) \6^2 + \(\matrix{ 0 & 0 & 0 \cr 0 & {\L^2\0A} & 0 \cr 0 & 0 & {-\G^2\0B} \cr} \) - m_{\rm ur}^2 \(\matrix{ 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 \cr} \) \Bigg] \( \matrix{\phi_0 \cr \phi_1 \cr \phi_2 \cr} \) \;\; . \;\; \rule[-7mm]{0pt}{0pt} \ee % 1.9 }Die zugeh\"orige nackte Greensfunktion ist Matrix$\,$: \be{1.10} G_{{\rm (b)}}^{-1} (P) \;\; = \;\;\(\matrix{ m_{\rm ur}^2 + P^2 & m_{\rm ur}^2 & m_{\rm ur}^2 \cr m_{\rm ur}^2 & m_{\rm ur}^2 - {\L^2+P^2 \0A} & m_{\rm ur}^2 \cr m_{\rm ur}^2 & m_{\rm ur}^2 & m_{\rm ur}^2 + {\G^2+P^2\0B} \cr} \) \quad . \qquad \ee % 1.10 Ob sich \eq{1.7} aus dieser Matrixversion erhalten l\"a\ss t\,? \,Eine Dreifachlinie kommt stets nur in der Kombination $\sum_{i,j} \( G_{\rm (b)} \)_{i\, j}\,$ vor, weil sie am Linien--neutralem 4--Vertex enden k\"onnen mu\ss $\,$: \\[-.8cm] \be{1.11} \hspace{1cm} \sum_{i,j} \( G_{\rm (b)} \)_{i\, j} = \hbox{\footnotesize $\( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$} \; G_{\rm (b)} (P) \; \hbox{\footnotesize $\( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$} \; = \; \ldots \; = \; G_{\rm m} (P) \quad . \ee % 1.11 Rechts steht bereits die Antwort. Um die Rechnung an der punktierten Stelle zu leisten, kann man sich den Vektor $\vc b \gll G_{\rm (b)}${\scriptsize $\( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$} aus dem Gleichungssystem $G_{\rm (b)}^{-1} \vc b = ${\scriptsize $ \( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$} bestimmen und sodann \eq{1.11}. bilden. %%% 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{2.\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Counterterms} Wir sind bei $T=0$. Eine Lagrange--Dichte \glqq wei\ss\ nichts von Temperatur\grqq . Sie legt den Theorie--Inhalt eines Volumens $V$ fest (vor oder auch nach dessen Ankopplung an W\"armebad). Theorie--Inhalt $\to$ Spektrum. Alles \"uber Lagrangians (effektive ggf. aus\-ge\-nom\-men) ist $T=0$--Physik. Aus einer e--mail (8.~9.~97)$\,$: \\[3pt] \rightline{\footnotesize\vtop{ \hbox{As for the problems at finite temperature, I strongly encourage you to compute the counterterms} \hbox{in the zero-temperature theory and to use the same counterterms at finite temperature.} \hbox{The presence of a finite temperature will itself break scale invariance (except just at $T_c$).} \hbox{\hspace{9.2cm} Good luck!} \vspace{-.2cm} \hbox{\hspace{11.8cm} Michael Peskin }}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Reihenfolge. Wie $Z$'s ins Spiel kommen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $\bullet$ \ Regularisierung, $\cl L_{\rm ur} = \cl L$, \eq{1.6}, oder $=\cl L_{\rm (b)}\,$ (je mit Masse $m_{\rm ur}$), \nz $\bullet$ \ Divergieren--Wollendes\footnote{ \ es sind nie \glqq Divergenzen\grqq \,! Die Theorie ist ja regularisiert. Vielmehr reden wir hier von Termen, welche erst mit $\G,\,\L\to\infty$ \"uber alle Grenzen anwachsen. Ab und zu nennen wir solche Terme \glqq riesig\grqq . Alles ist endlich, manches riesig, $g^2$ winzig. Auch 1/riesig ist winzig, aber ggf. $\gg g^2\,$.} in $Z$--Faktoren (sowie $\d m^2$) verstecken, \nz $\bullet$ \ \parbox[t]{15.4cm}{ die Relationen zwischen ur--Gr\"o\ss en mit renormierten in $\cl L_{\rm ur}$ einsetzen. Es entsteht $\cl L_{\rm ur} = \cl L_r + \;\hbox{counterterms} \glr \cl L\;$ mit $\,\cl L_r \gll {1\02} (\6\phi )^2 - {1\02} m^2 \phi^2 - (g^2 / 24 ) \phi^4\,$. Kein Index hei\ss t renormierte (= me\ss bare, mit cutoff $\to \infty$ endlich bleibende) Gr\"o\ss e. } \nz $\bullet$ \ $\cl L$ per St\"orungsrechnung \ $\folg$ \ $Z$'s, $\d m^2$ \ \ a n d \ any physics. \vspace{.3cm} Tun$\,$! Regularisierung im vorigen Abschnitt erledigt. $\cl L_{\rm ur}$ \ --- \ und schon wird ein Vers\"aumnis erkennbar. Ob da nicht, wenigstens nachtr\"aglich, einige ur--Indizes anzubringen sind ?! Ja. Die gescheit eingebettete (urige) Theorie hat Lagrangian \eq{1.6}. Ihr nackter, uriger Propagator ist \eq{1.7}$\,$. Ihren vollen Propagator nennen wir $G_{\rm ur}\,$. Mit $\L$, $\G$ endlich, und $g_{\rm ur}^2$ gen\"ugend winzig, hat die Lagrangian \be{2.1} \cl L_{\rm ur} = - {1\02} \;\phi_{\rm ur} \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \) \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\; \phi_{\rm ur} \; - \; {1\02} m_{\rm ur}^2 \,\phi_{\rm ur}^2 \; - \; {g_{\rm ur}^2\0 24} \phi_{\rm ur}^4 \quad , \quad \ee % (2.1) eine St\"orungsentwicklung und insbesondere eine Selbstenergie $\P_{\rm ur} (P^2; \L ,\G )$. Via Dyson--Glei\-chung $G_{\rm ur} = G_{\rm m} - G_{\rm m} \P_{\rm ur} G_{\rm ur}$ entsteht \be{2.2} G_{\rm ur} = {1 \0 m_{\rm ur}^2 + P^2 \( 1 + {P^2\0\L^2}\) \( 1 + {P^2\0\G^2}\) + \P_{\rm ur} (P^2; \L ,\G ) } \;\;\;\;\glr\;\; {1\0 F(P^2 )} \quad . \ee % (2.2) Gefahr bemerkt$\,$? \"Ublicherweise wird der Umstand, da\ss\ eine Theorie regularisiert sei, so ganz beil\"aufig in Worten angef\"ugt. Grunds\"atzlich$\,$: wir \ m \"u s s e n \ bei Z--Produktion von \eq{2.2} ausgehen. Wie harmlos die Gefahrenstelle ist, zeigt sich, bittesehr, erst danach (n\"amlich in \eq{2.6}, \eq{2.7}\,). Wir sehen sie uns am Beispiel $\d m^2$ und $Z_\phi\,$ an. Der \"ubliche Weg. Damit \eq{2.2} nach analytischer Fortsetzung $i\o_n \to E + i\e$, d.h. mit $ P^2 = P^2_{\rm Eukli} = - P^2_{\rm Minko} = - (i\o_n)^2 + \vc p^2 \;\to\; \vc p^2 - E^2\,$, einen Pol bei $E^2 = m^2 + \vc p^2$ {\sl bekommt} (wobei $m^2$ die renormierte, me\ss bare, tats\"achliche Masse ist), mu\ss\ in der Entwicklung von $F(P^2)$ um $P^2 = -m^2\,$, \bea{2.3} F(P^2) &=& F(-m^2) + (P^2+m^2) F^\prime (-m^2) + (P^2+m^2)^2 C(P^2) \\ & & \hspace*{2cm} {\rm mit} \quad C(P^2) = {1\02} F''(-m^2) + \cl O (P^2+m^2) \quad , \quad \nonu \eea der erste Term verschwinden$\,$: \be{2.4} m^2 \( 1 - {m^2\0\L^2} \) \( 1 - {m^2\0 \G^2} \) \;\; \ueb{!}{=} \;\; m_{\rm ur}^2 + \P_{\rm ur} (-m^2;\L,\G) \ee Aaaha$\,$: mit oder ohne runde Klammern bleibt die linke Seite unter $\L,\,\G \to \infty$ endlich. Bei der Kompensation von Riesigkeiten bleiben die beiden Terme der rechten Seite unter sich. Beide runden Klammern k\"onnen entfallen. Damit geht \eq{2.4} \"uber in \be{2.5} m_{\rm ur}^2 = m^2 - \d m^2 \qquad \mbox{mit} \qquad \d m^2 \gll \P_{\rm ur} (-m^2; \L,\G) \quad . \ee % (2.5) Allerlei Vorzeichenunterschiede im Vergleich mit Literatur beruhen nur auf unserer Euklidischen Version und m\"ogen die Aufmerksamkeit erh\"ohen. Das Weglassen der runden Klammern war ein partielles Ausf\"uhren von $\L,\,\G \to \infty$. Solcherlei kommt noch \"ofter (z.B. im n\"achsten Schritt). F\"ur den zweiten Term in \eq{2.3} entnehmen wir aus \eq{2.2}, da\ss\ \be{2.6} F^\prime(-m^2) = \P_{\rm ur}^\prime (-m^2; \L ,\G ) + 1 - 2 {m^2\0 \L^2} - 2 {m^2\0 \G^2} + 3 {m^4\0 \G^2\L^2} \quad , \ee % (2.6) ist. Die Vernachl\"assigbarkeit der letzten drei Terme ist offensichtlich. Aufregung umsonst (die unter \eq{2.2} notierte). Resultat$\,$: \be{2.7} \hskip -.1cm G_{\rm ur} = {Z_\phi \0 (P^2 + m^2)\, \lk 1 + (P^2+m^2) Z_\phi C(P^2) \rk } \quad \mbox{mit} \quad Z_\phi \gll {1\0 1 + \P_{\rm ur}^\prime (-m^2; \L ,\G ) } \;\; . \ee % (2.7) Bei diesem Einstieg erscheint es wie ein notwendiges \"Ubel, ein ver\"andertes \glqq Gewicht\grqq\ (Wellenfunktionsrenormierung) des Propagator--Pols in Kauf nehmen zu m\"ussen. Es ist darum sehr sehr beruhigend, wenn man vorher (oder nachher) einmal jene Betrachtung (zum exakten Propagator mittels exakter Spektralfunktion) gesehen hat, bei welcher diese Gewichtsabnahme in Strenge zum Vorschein kommt\,: \,\S~7.1 in Peskin und Schoeder \cite{PS}. Wie man auch noch das Divergieren--Wollen vierbeiniger Greens (6--beinige sind {\sl superficially} endlich$\,$: $D=4-E$) in ein $Z_g$ abdr\"angt, und da\ss\ man aus jeder Linie artig je ein $\wu {Z_\phi}$ an $g_{\rm ur}^2$ heranholt, das sei hier getrost den Lehrb\"uchern \"uberlassen. Die unphysikali\-sche (wiewohl urige) Start--Theorie wollen wir baldigst verlassen. Einmal eingef\"uhrt, werden die Objekte $\d m^2$, $Z_\phi$, $Z_g$ (\glqq es gibt sie\grqq\ ist das Fazit der Urigkeiten) zu Bestandteil von $\cl L$ (siehe Reihenfolge und \eq{2.9}). Und mit $\cl L$, der renormierten und counterterm--best\"uckten Lagrangian, werden tunlichst alle Rechnungen angestellt, einschlie\ss lich der Bestimmung von $\d m^2$, $Z_\phi$, $Z_g\,$. Zu bewahren bleiben allein die folgenden drei Zusammenh\"ange$\,$: \be{2.8} \phi_{\rm ur} = \wu {Z_\phi} \phi \quad , \quad m^2_{\rm ur} = m^2 - \d m^2 \quad , \quad\; g^2_{\rm ur} \; = \; {Z_g \0 Z_\phi^2}\; g^2 \;\quad . \ee % (2.8) Die dritte Gleichung ist besonders wertvoll. $g_{\rm ur}^2$ h\"angt nicht von $\L$, $\G$ ab (sie \glqq wei\ss\ noch nichts\grqq\ vom sp\"ateren Menschenwerk der Einbettung). Also macht die dritte Gleichung \eq{2.8} eine Aussage \"uber die $\L$--$\G$--Abh\"angigkeit renormierter Objekte. Setzt man die Zusammenh\"ange \eq{2.8} schlicht in \eq{2.1} ein ($\cl L$ \ i s t \ $\cl L_{\rm ur}$), dann entsteht \be{2.9} \cl L = - {1\02} \, Z_\phi \;\phi \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \) \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\; \phi \; - \; {1\02} \(m^2 - \d m^2 \) Z_\phi \,\phi^2 \; - \; {g^2\0 24}\, Z_g \,\phi^4 \quad. \ee % (2.9) Es ist Pauli und Villars hoch anzurechnen, da\ss\ mit ihrer Regularisierung das Eingebettetsein einer Lagrangian auch explizit sichtbar wird. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Masselose $\phi^4$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Es ist anders als bei Eichbosonen mit ihren Ward--Identit\"aten. Wenn die Skalare der $\phi^4$ als Spielzeug f\"ur erstere herhalten sollen, dann m\"ussen wir (k\"unstlich sozusagen) f\"ur deren Masselosigkeit \ s o r g e n \ . Das geschieht durch Nullsetzen von $m^2$ in \eq{2.9}. Nur ein einziger Term entf\"allt dort. \eq{2.5} reduziert sich auf $m^2_{\rm ur} = - \d m^2$. Alsbald wird sich $\d m^2$ als \glqq riesig\grqq\ erweisen, also braucht die urige Kunst--Theorie ein minus--riesiges Startmassenquadrat $m_{\rm ur}^2$. Mit Blick auf St\"orungsrechnung sollte $\cl L$ (zu $m^2=0$) geeigneter aufgeschrieben werden. Da aus St\"orungsentwicklung entstanden (egal ob nach $g_{\rm ur}$ oder $g$), reduzieren sich bei Abschalten der Kopplung $Z_\phi$ und $Z_g$ auf Eins, und $\d m^2$ auf Null$\,$: \bea{2.10} \cl L &=& \cl L_0 + \cl L_{\rm int} \nonu \\ \cl L_0 &=& - {1\02} \; \phi \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \) \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\; \phi \nonu \\ \cl L_{\rm int} &=& {1\02} \,\phi \lk \d m^2 Z_\phi - (Z_\phi -1) \, \6^2 \, \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\G^2}$}\big)\, \rk \phi\;\; - \;\; {g^2 \0 24} Z_g \phi^4 \quad . \eea % (2.10) Dies ist noch immer $\cl L_{\rm ur}$ \ -- \ nur anders aufgeschrieben. Nichts dagegen, den zwei Wechselwirkungen nun je ein Diagramm--Symbol zu geben, etwa ein eingekreistes Kreuz \cross \ f\"ur die eckig--geklammerte Masseneinsetzung\footnote{ \ Diagrammatisch ersetzen sich in der eckigen Klammer die $\6^2$ durch $Q^2$. Sie wird dann ein $\ov{Y}(Q)$ in den Regeln bei Reinbach und Schulz \cite{RS}.}, und einen Dick--Boller--Vertex $\boll$ f\"ur den $Z_g$--verzierten 4--Vertex, siehe z.B. Peskin+Schroeder \cite{PS}, Figure 10.3. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Renormierungsbedingungen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dies ist deshalb eine schwierige Materie, weil sich der Sinn der Einstiegs--Gleichungen \eq{2.11} bis \eq{2.13} erst enth\"ullt, wenn man {\sl mit ihnen} ein St\"uck weit gerechnet hat. Die (vorerst also nur verbal motivierbaren) Renormierungsbedingungen werden es erlauben, die counterterms $Z_\phi$, $Z_g$, $\d m^2$ eindeutig als Reihe in $g^2$ Term f\"ur Term zu bestimmen. Erst danach ist $\cl L$ ausreichend \glqq best\"uckt\grqq\ und bereit f\"ur Herausmelken von physics aller Art, einschlie\ss lich thermischer. Counterterm--Bestimmung ist St\"orungsrechnung an $\cl L$ und Physik aus $\cl L$ zu holen ebenfalls. An den eigenen Haaren aus dem Sumpf$\,$? Langsam. Um des Himmels willen wollen wir nicht mehr zur urigen Theorie zur\"uck. Die counters sind riesig werdende Zahlen (besser$\,$: Funktionen von $g$ und $\L$, $\G$), und einige Integrale bei Diagramm--Auswertung ebenfalls, und zwar zus\"atzlich. Die Riesigkeiten haben sich zu kompensieren, wobei es ausreicht, nur die anwachsenden Terme der gro\ss --$\L$--Asymptotik sich wegfressen zu lassen. Na also, wir wissen ja etwas. Um diese Philosophie ins Konkrete zu \"ubersetzen (und zwar eindeutig), gen\"ugen drei Forderungen. Die Theorie soll Ordnung f\"ur Ordnung masselos bleiben (siehe \eq{2.11}). Wir d\"urfen auch ruhig verlangen, da\ss\ der Propagator $G$ Ordnung f\"ur Ordnung Residuum 1 hat und beh\"alt (siehe \eq{2.12}). Wir bestimmen einfach die counters so, da\ss\ dem so ist (man hat einige Freiheit in der tats\"achlichen Durchf\"uhrung, vgl. Resummierung). Und dann ist da die Kopplung $g^2$. Was soll das sein$\,$? Die mu\ss\ man messen (siehe \eq{2.13}). Soso. Aber nun wirds kriminell. Die Leute, welche mit bestimmten Ein-- und Ausgangsimpulsen (etwa alle vier von Gr\"o\-\ss en\-ord\-nung $M^2$) einen Zweiersto\ss\ verfolgen, die reden von einer anderen Kopplung als jene, die das Experiment bei ${M^{\prime}}^2$ ausf\"uhren. Die Zeiten der absoluten \glqq Elektronenladung\grqq\ die sind vorbei, weil die Zeiten eines Lebens ohne Dirac--See vorbei sind. Abschirmeffekte (\cite{PS}, Figure 7.8) lassen sich aus einer solchen Welt nicht wegschaffen (Elektronen nicht aus dem Welt--Halbleiter herausholen). Ist da Kopplung, ist da auch See--Effekt. Gott w\"urfelt nicht (QM), er bastelt nicht (STM), er wurzelt nicht (Allg.Rel.), sehr erstaunlich, wenn er besondere Vorliebe f\"ur Hosen h\"atte (Strings), er renormiert wohl auch nicht, aber er l\"a\ss t uns armselige Menschlein h\"angen in einer \glqq effektiven Theorie\grqq , in einer mittleren Skala, und baumelt mit der Planckschen in gro\ss er Ferne. Schiebt sie mal sch\"on dort hin, eure cutoffs. Tschja, Demut, nicht wahr, wird uns auferlegt, wohl weil wir gegen diese im t\"aglichen Leben so sehr versto\ss en. Rein technisch gilt es vorauszuahnen, da\ss\ es genau die Selbstenergie--Ableitung und der amputierte 4--Vertex sein werden, welche einen $\ln (Q^2)$ enthalten. Und das kann nicht sein$\,$: er braucht eine Skala, einen weiteren $\ln\,$. Zun\"achst wird das ein $\ln (\L^2 )$ sein. Aber nach Abdr\"angen solcher Riesigkeit in counters mu\ss\ etwas bleiben$\,$: $\ln (M^2)\,$. Ansonsten lassen wir uns von Adam Riese beruhigen$\,$: drei unbekannte counters \ --- \ drei Bedingungen. Die drei Renormierungsbedingungen sind dem Buch von Zinn--Justin \cite{ZJ} ent\-nom\-men$\,$: Gln. (10.58--60) und (25.37). Das dortige $\G^{(2)}$ ist $\P + P^2$, und $\P$ nat\"urlich die Selbstenergie (1PI), zu ermitteln per St\"orungsrechnung an \eq{2.10}. Die drei Bedingungen lauten \bea{2.11} & & \mbox{\rule[-3pt]{0pt}{1cm}} \\ \label{2.12} & & \mbox{\rule[-3pt]{0pt}{1cm}} \\ \label{2.13} & & \mbox{\rule[-3pt]{0pt}{1cm}} \hspace{7cm} . \eea % (2.11), (2.12), (2.13) \vspace{-3.92cm} \hspace*{2.2cm} \fbox{\rule[-16pt]{0pt}{3.6cm}\quad\qquad \vbox{ \hbox{$\dis \P (\; Q^2=0 \; )\; =\; 0$} \vspace{.5cm} \hbox{$\dis \P^{\,\prime} (\; Q^2=M^2 \; )\; =\; 0 $} \vspace{.3cm} \hbox{$\dis \G^{(4)} (\; s=t=u=M^2 \; )\; =\; - {g^2 \0 24}$} }\quad\qquad } \\[16pt] Der Strich steht f\"ur Differentiation nach $Q^2$ (Euklidisch). $\G^{(4)}$ ist die beinamputierte 4--Punkt--Funktion, und $s=(\vc Q_1+\vc Q_2)^2$, $t=(\vc Q_1+\vc Q_3)^2$, $u=(\vc Q_1+\vc Q_4)^2$ sind die Mandelstam--Variablen (alle $\vc Q_j$ einlaufend). Zur Notation: wir schreiben Gro\ss buchstabe mit Pfeil (z.B. $\vc Q\,$) f\"ur euklidische 4--Vek\-toren und meinen mit $PQ$ nur das Produkt der beiden Betr\"age. Bei $Q^2 = \vc Q \vc Q = Q_0^2 + \vc q^2$ macht dies noch keinen Unterschied zur herk\"ommlichen Bezeichnungsweise. Aber es ist nun $\vc P \vc Q = P_0 Q_0 + \vc p \vc q\,\,$ \,n\,i\,c\,h\,t\, gleich dem Produkt $P Q$ der beiden Betr\"age. \eq{2.13} \glqq definiert\grqq\ die Kopplung\footnote{ \ Speaking loosely, we say that we are \glqq defining the theory at the scale $M$\grqq , so Peskin und Schroeder, \cite{PS}, unter (12.30)$\,$. \,Nebenbei\,: \,In der ersten der 3 Bedingungen (12.30) bei \cite{PS} sollte es \glqq at $p^2 = 0$\grqq\ hei\ss en.} bei Skala $M\,$. Die Kompensation riesiger Terme wird durch \eq{2.11} -- \eq{2.13} implizit erzwungen. Dies einzusehen, lernt man durch Spielen$\,$: \\[5pt] \under{Beispiel 1} (billig) : \ \ $f(x,\L ) = g(x,\L ) - Z(\L )\;$. \ Die Bedingung $f(M,\L ) \;\ueb{!}{=}\; 0$ liefert $Z(\L )=g(M,\L )$ und somit $f(x,\L ) = g(x,\L ) - g(M,\L )\,$. Sind die riesigen Anteile in $g$ unabh\"angig von $x$, so bleibt $f$ endlich, wenn $\L\to\infty$. Die Konstante $Z$ scrollt den Bildschirm bis der Funktionsverlauf zu sehen ist. \\[6pt] \under{Beispiel 2} (bereits recht gute Simulation f\"ur den n\"achsten subsection, $Z_1 \widehat{=} \d m^2$) : \\[2pt] $ \P (x^2 ) = 2 \int_0^\L \! dy {y^3 \0 y^2 + x^2} + x^2 Z_2 - Z_1 \; = \; \L^2 + x^2 \,\ln (x^2 / \L^2 ) + x^2 Z_2 - Z_1 - x^2 \,\ln (1 + x^2 / \L^2 )\;$, \\ und der letzte Term kann nat\"urlich im Vorwegausf\"uhrungs--Sinne entfallen. \\ \eq{2.11} : \ $Z_1 = \L^2 \;$ , \quad \eq{2.12} : \ $ Z_2 = - 1 - \ln (M^2 / \L^2 )\;$. \quad Soweit conditions \ --- \ nun physics : \ \ $ \P (x^2 ) \; = \; - x^2 + x^2 \,\ln (x^2 / M^2 ) \;\; =$ \ endlich (d.h. beschr\"ankt bei $\L\to\infty$). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Counterterms als Reihen in $g^2$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der nackte Propagator $G_0$ zu \eq{2.10} ist \eq{1.1}. Die counters setzen wir als Potenzreihen an$\,$: $\d m^2 = \d_2 + \d_4$ (Index = $g$--Potenz). Im Sinne einer Annahme, deren Konsistenz sich alsbald erweisen wird, gehen wir von $Z_g - 1 \sim g^2$ und $Z_\phi -1 \sim g^4$ aus. Damit ist klar, welche Diagramme (bei $T=0$) zu studieren sind$\,$: \bea{2.14} \P \; &=& \; - 2 \,\cross \hspace{.3cm} - 12 \hspace{.2cm} \vrule depth .2pt height .1pt width .45cm \hspace{-.33cm}\lower 1.8pt\hbox{$ \bullet$}\hspace{-.32cm}\raise 4pt\hbox{$ \bigcirc$}\hspace{.4cm} - 24 \hspace{.3cm} \vrule depth .3pt height 0pt width .45cm \hspace{-.44cm}\raise 2.5pt\hbox{$ \bigcirc$} \hspace{-.32cm}\raise 9.5pt\scross\hspace{.4cm} - 144 \hspace{.4cm} \vrule depth .3pt height 0pt width .5cm \hspace{-.46cm}\raise 2.4pt\hbox{$ \bigcirc$}\hspace{-.42cm} \raise 13.4pt\hbox{$ \bigcirc$}\hspace{.4cm} - 96 \hspace{.3cm} \vrule depth -2.4pt height 2.7pt width .6cm \hspace{-.6cm}\bigcirc \hspace{.3cm} + \, \cl O(g^6 ) \;\; , \;\; \\[10pt] \label{2.15} \G^{(4)} \; &=& \; \,\boll \hspace{.3cm} + 12 \hspace{.23cm} \raise 1pt\hbox{$ \cup$}\hspace{-.28cm}\lower 1pt\hbox{$ \cap$}\hspace{.4cm} + 12 \hspace{.3cm} \raise 1pt\hbox{$ \subset\hspace{-.38cm}\supset$}\hspace{.4cm} + 12 \hspace{.3cm} \raise 1pt\hbox{$ \subset\hspace{-.38cm}\supset \hspace{-.13cm}\raise2pt\hbox{\tiny $ \backslash$}\hspace{-.13cm}\raise 1pt\hbox{\tiny /}$} \hspace{.4cm} + \, \cl O(g^6 ) \quad . \hspace{3.6cm} \eea % (2.14), (2.15) Die IR--Divergenzen (diesesmal echte) im dritten und vierten $\P$--Beitrag werden sich alsbald kompensieren und somit keine IR--Regularisierung notwendig werden lassen. Von den Beinen, wiewohl amputiert, mu\ss\ man noch wissen, da\ss\ jene an $\G^{(4)}$ einliefen und im mathematisch positivem Sinne $\vc Q_1$ bis $\vc Q_4$ trugen (links oben $\vc Q_1$). Die $\P$--Beine liefen durch (links ein, rechts aus). Kombinatorische Faktoren sind in \eq{2.14}, \eq{2.15} so angegeben, da\ss\ der Rest den \cite{RS}--Regeln folgt. Auf da\ss\ man (zu $\P\,$) diese Regeln noch am Werke sehe$\,$: \bea{2.16} \P (Q) &=& - \,\bigg[ \;\d_2 + \d_4 - (Z_\phi -1 ) Q^2 \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\G^2}$}\big)\; \bigg] - 12 \( - {g^2 Z_g \0 24} \) b_0 \nonu \\ & & \hspace{-1.3cm} - 24 \( - {g^2 \0 24} \) \( {1\0 2} \big[ \,\d_2\, \big] \) \eu_P G_0^2 - 144 \( - {g^2\0 24}\)^2 b_0 \eu_P G_0^2 - 96 \( - {g^2\0 24}\)^2 \chi (Q^2 ) \;\; . \quad \eea % (2.16) Hierin ist \be{2.17} b_0 \gll \!\eu_P G_0 \; , \;\eu_P \!\gll {1\0 (2\pi)^4} \!\int\!\! d^4 P \; , \; \chi (Q^2 ) = \!\eu_P \eu_K G_0 (\vc Q -\vc P ) \, G_0 (\vc P -\vc K )\, G_0(K) \; . \; \ee % (2.17) Bei $T\to 0$ geht die thermische Summe $\sum_P \gll T\sum_n {1\0 (2\pi)^3} \int\!\! d^3 p$ direkt in $\eu_P$ \"uber ($\o_n = P_0$, euklidisch). Also ist $b_0$ der $T\! = 0 $--Anteil von $b \gll \sum G_0\,$. Da\ss\ $\,b_0$ \glqq quadratisch divergent\grqq\ ist, zeigt der Blick voraus auf \eq{2.22}\,. Die Bedingung \eq{2.11} ist Ordnung f\"ur Ordnung zu erf\"ullen (hier in $g^2$ und $g^4$). In Ordnung $g^2$ h\"angt $\P$ gar nicht von $Q^2$ ab. Also ist \eq{2.12} in dieser Ordnung trivial erf\"ullt. \eq{2.11} besagt \be{2.18} \P^{\rm in\; g^2} \;\;\ueb{!}{=}\;\; 0 \;\;\qquad \folg \qquad \d_2 = {1\02}\, g^2\, b_0 \quad . \ee % 2.18 Und das ist fein, denn mit diesem $\d_2$--Wert werden die beiden IR--Teufel, 24--er und 144--er Term, entgegengesetzt gleich (Vorhersage eingetroffen). Es bleibt \be{2.19} \P^{\rm in\; g^4} = - \d_4 + {1\02}\, g^2 (Z_g -1) b_0 + Q^2 (Z_\phi -1) \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\G^2}$}\big)\, - {1\06} \, g^4 \chi (Q^2) \quad \ee % 2.19 und ist diesesmal beiden $\P$--Bedingungen zu unterwefen$\,$: 2 Gleichungen f\"ur die 2 Unbekannten $\d_4$ und $Z_\phi$, denn $Z_g$ wird sich aus der dritten Bedingung \eq{2.13} ergeben. Man ahnt, da\ss\ die drei Bedingungen in h\"oheren Ordnungen wild verkoppelt und nichtlinear werden k\"onnen. Hier bleibt die Sache jedoch einfach. Wir werfen zuerst \eq{2.19} in die Ableitungs--Bedingung \eq{2.12}\,, $$ \( Z_\phi -1 \) \( 1 + 2{M^2\0 \L^2} + 2{M^2\0 \G^2} + 3{M^4\0 \L^2\G^2} \) - {1\06} g^4 \chi^\prime (M^2 ) \;\;\ueb{!}{=} \;\; 0 \quad , $$ vernachl\"assigen Winzigkeiten und erhalten \be{2.20} Z_\phi \; = \; 1 \; + \; {1\06}\, g^4\, \chi^\prime (M^2 ) \quad \ee % 2.20 (Start--Annahme zu $Z_\phi$ erf\"ullt). Schlie\ss lich f\"uhrt \eq{2.11} in Ordnung $g^4$ auf \be{2.21} \d_4 \; = \; {1\02}\, g^2 \( Z_g - 1 \) \, b_0 \; - \; {1\06}\, g^4 \, \chi (0) \quad . \ee % 2.21 Die Dinge warten nun ersichtlich auf $Z_g$ und auf Auswertung von $b_0$ und $\chi (Q^2)\,$. Wir beginnen mit $b_0$, weil es nur einen Zweizeiler braucht und die PV--Einbettung illustriert$\,$: \bea{2.22} b_0 &=& \eu_P G_0 = {1\016 \pi^4} \O_4 \int_0^\infty\! dP \; P^3 \( {1\0 P^2} - {A\0 P^2+\L^2} + {B\0 P^2+\G^2} \) \hspace{2cm} \nonu \\ &=& {1\0 16 \pi^2} \int_0^\infty \! dr \; \( {A\L^2 \0 r + \L^2} - {B\G^2 \0 r + \G^2} \) \;\; = \;\; {1\0 16 \pi^2} {\G^2\,\L^2 \0 \G^2 -\L^2}\; \ln \( {\G^2 \0 \L^2} \) \quad . \eea % 2.22 Um die zweite Zeile zu erhalten, wurde aus \eq{A5} die 4D Kugeloberfl\"ache $\O_4 = 2\pi^2$ eingesetzt (allgemein: $\O_n=2 \pi^{n/2}/\G(n/2)\,$), $P^2=r$ substituiert, ein $r$ in die runde Klammer geholt und diese mittels $A-B=1$ vereinfacht. Die Gleichheit von $A\L^2$ mit $B\G^2\,$, s.~\eq{1.4}, enth\"ullt sodann die UV--Konvergenz des Integrals. Mit $\G \sim \L \to \infty$ w\"achst $b_0$ quadratisch an. Um zu $Z_g$ kl\"uger zu werden, ist $\G^{(4)}$ auszuwerten, d.h. die loop--Integrale von \eq{2.15}. M\"oge die untere runde Linie im Loop \raise 1pt\hbox{$\cup$}\hspace{ -.28cm}\lower 1pt\hbox{$\cap$} nach rechts laufen und Impuls $\vc P$ tragen, dann ist an der linkslaufenden oberen $\vc P-(\vc Q_1+\vc Q_2)\,$ anzubringen. Die $P$-Integration wird eine Funktion von $(\vc Q_1 + \vc Q_2)^2 \glr Q^2$ liefern$\,$: \be{2.23} w_0 (Q^2) = \eu_P G_0 (P) G_0 (\vc P - \vc Q ) \;\; \glr \;\;\; \mbox{\glqq Perle\grqq } \quad . \ee % 2.23 Solche Perlen mit ihren paarigen Enden kann man zu einer Kette aufreihen \ --- \ Perlenketten, W\"urstchenringe, der Appetit auf letztere hat einmal zum Buchstaben $w$ gef\"uhrt. $\G^{(4)}$ h\"angt offenbar tats\"achlich nur von den Mandelstam--Variablen ab$\,$: \be{2.24} \G^{(4)} (\vc Q_1, \vc Q_2, \vc Q_3, \vc Q_4) = - {g^2 \0 24}\, Z_g + 12 \({g^2\024}\)^2 \;\bigg( w_0 ( s ) + w_0 ( t ) + w_0 ( u ) \bigg) \quad . \ee % 2.24 Bitte jetzt keine Unterbrechung durch l\"angliches Integrieren. Also entwenden wir kurzerhand $w_0$ (in der relevanten Version) aus dem n\"achsten Abschnitt\,: $$ \qquad w_0 (Q^2) = {1\0 16 \pi^2} \, \( {\rm LN} - \ln (Q^2 ) \,\) \;\; + \;\; \cl O\( {Q^2 \0\L^2} \) \hbox{\hspace*{16mm} $\equiv \;\;$ \eq{2.44} siehe unten} $$ (wobei LN eine Bildung aus $\L$, $\G$ ist, welche bei $\G \sim \L \to \infty$ logarithmisch anw\"achst, s. \eq{2.46}), setzen $w_0$ in obiges $\G^{(4)}$ ein und sodann dieses in die dritte Bedingung \eq{2.13}$\,$, $$ - {g^2\024}\, Z_g + {g^4\024}\, {3\0 32\pi^2} \( {\rm LN} - \ln (M^2) \) \;\;\;\ueb{!}{=}\;\; - {g^2\024} \quad , $$ und erhalten $Z_g$ zu \be{2.25} Z_g \; = \; 1 + {3\, g^2 \0 32 \pi^2} \( {\rm LN} - \ln (M^2) \) \; + \; \cl O (g^4) \quad . \ee % 2.25 Die drei Renormierungsbedingungen sind abgearbeitet. Nur noch Auswertung der Funktion $\chi(Q^2)$ aus \eq{2.17} steht aus. Ist nicht das zugeh\"orige {\sl setting sun} Diagramm eine Perle, von deren 4 Beinen zwei entfernte miteinander verbunden wurden$\,$?! Gewi\ss , \eq{2.17} zeigt es$\,$: \be{2.26} \chi (Q^2)\; = \;\eu_P G_0 (\vc Q - \vc P)\; w_0 ( P^2 ) \quad . \ee % 2.26 Einmal mehr wollen wir jetzt nicht in Integrationsdetails ertrinken. Sie seien im Anhang B abgelagert. Von dort stammen also die folgenden Resultate$\,$: \bea{2.27} \chi (Q^2 ) \, &=& \,\chi (0)\; + \;\chi_1 (Q^2)\; + \;\chi_2(Q^2) \qquad \mbox{mit} \\ \label{2.28} \chi_1 (Q^2) \, &=& \, \eu_P \, w_0 (P^2) \( {1\0 (\vc P - \vc Q )^2} - {1\0 P^2} \) \\ \label{2.29} &=& \; {2 \0 (32\pi^2)^2 }\, \( \, Q^2 \,\ln \( Q^2 \) \, - \, Q^2\, \lk {\rm LN} + {3\02} \rk \) \quad , \\ \label{2.30} \chi_2 (Q^2) \, &=& \, \eu_P \, w_0 (P^2) \, \( {A\0 P^2 +\L^2} - {B\0 P^2 +\G^2} \;\; - \;\; \mbox{dito}_{ \hbox{\footnotesize $P \to \vc P - \vc Q$}} \, \) \\ \label{2.31} &=& \; {2\0 (32 \pi^2 )^2} \; c_2 \; Q^2 \; + \; \cl O \( {Q^4 \0 \L^2} \) \quad , \quad c_2 \; = \; \cl O(1) \quad . \eea % 2.27 bis 2.31 Die drei Anteile in \eq{2.27} sind nach abnehmender Gr\"o\ss e geordnet. $\chi(0)$ divergiert quadratisch, $\chi_1$ logarithmisch und $\chi_2$ gar nicht. Mit der Auswertung von $\chi(0)$ lassen wir uns Zeit, bis dieser nur in $\d m^2$ vorkommende Term von selber stirbt (an cancellation: siehe \eq{4.22} bis \eq{4.24}\,)\,. Auch $\chi_2 (Q^2)\,$ macht Schwierigkeiten (im Anhang B)\,. Aber es gen\"ugt die Struktur \eq{2.31}. Weshalb wir den Koeffizienten $c_2$ f\"ur den Druck $p$ bis mit $g^4$ gar nicht auszuwerten brauchen, steht im Text zwischen \eq{3.8} und \eq{3.9}. In $\chi(0)$ sowie in $\chi_2$ ist die klein--$Q^2$--Version von \eq{2.44} unzureichend, weil Beitr\"age von $P^2 \sim \L^2$ wesentlich werden. Ganz anders steht es um $\chi_1(Q^2)\,$: es ist mit \eq{2.44} zufrieden und \"uberhaupt ein liebes M\"auschen. Mit \eq{2.27} bis \eq{2.31}, d.h. mit $\chi'(Q^2)= \6_{Q^2} \lk \chi_1(Q^2) + \chi_2(Q^2)\rk$ ergibt sich \be{2.32} \chi^\prime (M^2 ) = {2 \0 (32\pi^2)^2 }\, \(\; \ln (M^2 ) - {\rm LN} - {1\02} + c_2 \;\) \quad . \ee % 2.32 \noindent Die Resultate dieses l\"anglichen Abschnitts verdienen eine kurze Zusammenfassung$\,$: \vspace{.2cm} \be{2.33} \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{3.4cm}\vbox{ \hbox{$\dis \d m^2 \; = \; {1\02}\, g^2\, Z_g\, b_0 \; - \; {1\06}\, g^4\, \chi (0) \; + \; \cl O(g^6) $} \hbox{ $\;\,\dis Z_g \; = \; 1 + {3\, g^2 \0 32 \pi^2} \, \bigg( {\rm LN} - \ln (M^2) \bigg) \; + \; \cl O (g^4) $} \hbox{ $\;\,\dis Z_\phi \; = \; 1 \; + \; {1\03} \, \( {g^2 \0 32 \pi^2} \)^2 \, \( \ln (M^2) - {\rm LN} - {1\02} + c_2 \,\) \; + \; \cl O(g^6) $} }\quad} \qquad \ee % 2.33 \nz Die Riesigkeit aller drei Counterterme versteckt sich in LN (logarithmisch) und $b_0$ (quadratisch). Sp\"ater werden wir von $Z_\phi$ nur die 1 ben\"otigen \ --- \ aber hier wollten wir unbedingt wissen, wie die erste Korrektur aussieht und wie sie \glqq divergiert\grqq . Es ist der Wechselwirkungsterm $\cl L_{\rm int}$ in der Lagrangian \eq{2.10}\,, welcher auf die eingerahmten Bestimmungsst\"ucke gewartet hatte. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Eine Perle bei $\, T=0$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die \"Uberschrift verweist schlicht auf $w_0 (Q^2)\,$. Wir haben das Integral \eq{2.23} auszuwerten und mindestens die Klein--$Q^2$--Asymptotik \eq{2.44} herzuleiten (um das geheimnisvolle LN endlich kennenzulernen). \eq{2.44} wird sogar ausreichen, wenn sp\"ater das Basketballdiagramm \basket zu schlachten sein wird. $G_0$ enth\"alt 3 Terme, $w_0$ also 9. Um rentabel mit diesen umzugehen, definieren wir einen Operator $\Vau_t$ (den \glqq Villars--Einbetter\grqq )$\,$: \be{2.34} \Vau_t\; f(t) \;\gll\; f(0) - A\; f(\L^2) + B\; f(\G^2) \quad , \ee % 2.34 so da\ss\ \be{2.35} G_0 = \Vau_t\; {1\0 t + P^2} \quad \mbox{und} \quad w_0 (Q^2) = \eu_P \Vau_t\,\Vau_\tau \; {1\0 t + P^2}\; {1\0 \tau + (\vc P- \vc Q)^2 } \quad . \ee % 2.35 Es ist $\Vau_t\; 1 = 1-A+B = 0\,$. Und falls $f(t,\tau) = f(\tau,t)\,$, dann \bea{2.36} \Vau_t\,\Vau_\tau\, f(t,\tau) &=& f(0,0) - 2A\, f(\L^2,0) + 2B\, f(\G^2,0) \nonu \\ &+& A^2\, f(\L^2,\L^2) + B^2\, f(\G^2,\G^2) - 2AB\, f(\L^2,\G^2) \quad . \quad \eea % 2.36 Zu \eq{2.35} ist Winkelmittelung keine schlechte Idee. Hier aber empfiehlt sich die Feynman--Parametrisierung \be{2.37} \raise 7pt\vtop{\hbox{\small Wenn $ab$ positiv,} \vspace{-.2cm} \hbox{\qquad \ \ \small {\bf nur} dann}} \hspace{.7cm} {1\0 ab} \; = \;\int_0^1\! dx \; {1\0 \lk\, ax+b\, (1-x) \,\rki^2} \; = \;\int_0^\infty \! dv \; {1\0 \lk\, a + b\, v \,\rki^2} \quad , \ee % 2.37 und zwar ausnahmsweise die \"ubliche mittlere Version von \eq{2.37}\,: \be{2.38} w_0 (Q^2)\; = \;\int_0^1\! dx \; \eu_P \,\Vau_t\, \Vau_\tau \; {1\0 \lk\, (t+P^2) x + (\tau + (\vc P - \vc Q )^2\,(1-x) \,\rki^2 } \quad . \ee % 2.38 Verschiebung $\vc P \to \vc P + (1-x)\vc Q$ unter dem $P$--Integral tilgt aus der eckigen Klammer die Skalarprodukte. Sie wird zu $\lk P^2 + tx + \tau (1-x) + Q^2 x(1-x)\rk\,$, und wir erhalten \be{2.39} w_0 (Q^2)\; = \; {1\0 16\pi^2} \int_0^1\! dx \;\Vau_t\, \Vau_\tau \, \int_0^N\! dr\; { r \0 \lk r + tx + \tau (1-x) + Q^2 x(1-x) \rki^2 } \;\; , \quad \ee % 2.39 wobei $N \to \infty$ auf $\Vau$--Anwendungen warten mu\ss . \be{2.40} w_0 (Q^2)\; = {1\0 16\pi^2} \;\Vau_t\,\Vau_\tau \,\int_0^1\! dx \lk \ln \( { N \0 tx + \tau (1-x) + Q^2 x(1-x)} \) - 1 \rk \quad . \ee % 2.40 Hieran sieht man sch\"on, wie die Regularisierung greift. Wegen $\Vau_t\, 1 = 0$ k\"onnen wir in der eckigen Klammer $\,\ln(N) \,$ weglassen, ebenso die $-1\,$, und schlie\ss lich auch noch $\,\ln (x(1-x))\,$ addieren. Es ensteht \be{2.41} w_0(Q^2) = - {1\016\pi^2} \,\Vau_t\,\Vau_\tau \, f(t,\tau) \quad \mbox{mit} \quad f(t,\tau) = \int_0^1\! dx\; \ln \( {t\0 1-x} + {\tau\0x} + Q^2 \) \;\; . \quad \ee % 2.41 Substitution $x \to 1-x$ zeigt, da\ss\ obige Funktion $f$ unter $t\!\gdw\!\tau$ symmetrisch ist, so da\ss\ wir $w_0$ mittels \eq{2.36} auswerten d\"urfen. Erstaunlicherweise werden wir $w_0(Q^2)$ nur bei kleinem Argument $Q^2$ (klein gegen $\L^2$, $\G^2\,$) explizit ben\"otigen. Im Anhang E und F zeigt sich dies. Die in \eq{2.36} vorkommenden Argumente $t$ und $\tau$ sind entweder beide Null oder wenigstens eines hat Ordnung $\cl O (\L^2)\,$. Im letzteren Falle k\"onnen wir rechts in \eq{2.41} jenes $\,+\, Q^2\,$ streichen. Fazit\,: \bea{2.42} f(0,0) &=& \,\ln\(Q^2\) \qquad {\rm und \;ansonsten} \qquad f(t,\tau) \; =\; g (t,\tau) + \cl O \( {Q^2\0 \L^2} \) \quad\qquad \nonu \\ \hspace*{-3mm}{\rm mit} \hspace*{8mm} g (t,\tau) &=& \int_0^1\! dx\; \ln \( {t\0 1-x} + {\tau \0 x} \) \,\; = \,\; { t\;\ln(t ) - \tau\;\ln(\tau ) \0 t-\tau} \, + 1 \;\; . \quad \eea % 2.42 Hieraus ergeben sich die f\"ur \eq{2.36} ben\"otigten speziellen $g$--Werte \bea{2.43} g (\L^2,0) &=& \ln (\L^2 ) + 1 \quad , \quad g (\L^2,\L^2) \;=\; \ln (\L^2) + 2 \quad , \nonu \\ g (\L^2,\G^2) &=& A\,\ln (\G^2) - B\,\ln (\L^2) + 1 \;\; . \quad \eea % 2.43 Die linke Gleichung \eq{2.41} wird mit \eq{2.36}, \eq{2.42} und \eq{2.43}, mit etwas Rechnung und Ausnutzen von $A-B=1$ schlie\ss lich zu \be{2.44} w_0 (Q^2) = {1\0 16 \pi^2} \, \(\, {\rm LN} - \ln (Q^2 ) \,\) \;\; + \;\; \cl O \( {Q^2 \0\L^2} \) \;\; , \quad. \ee % 2.44 Dabei kommt nat\"urlich auch die Konstante LN explizit heraus. Wir geben ihr drei verschiedene Gew\"ander$\,$: \bea{2.45} \!\! {\rm LN} &=& \ln (\L^2 ) \, \lk 2A - A^2 - 2 A B^2 \rk - \,\ln (\G^2 ) \, \lk 2B + B^2 - 2 A^2 B \rk - 2 AB \;\; , \qquad \\ &=& \ln\( \G \L \) - 2AB + \( A+B\) \( 2AB-1\) \ln\( {\G\0\L} \) \;\; , \nonu \\ \label{2.46} &=& {\G^4 \( \G^2 - 3 \L^2 \) \0 \( \G^2 - \L^2 \)^3 } \ln \( \L^2 \) + {\L^4 \( \L^2 - 3 \G^2 \) \0 \( \L^2 - \G^2 \)^3 } \ln \( \G^2 \) - 2 {\G^2 \L^2 \0 \( \G^2 -\L^2 \)^2 } \;\; . \qquad \eea % 2.45 und 2.46 Wie erwartet, ist LN unter $\L$--$\G$--Vertauschung invariant. LN enth\"alt sowohl logarithmisch \glqq divergente\grqq\ als auch beschr\"ankt bleibende Terme (letztere zeigt die mittlere Zeile besonders deutlich). Seine Grenzf\"alle sind \be{2.47} {\rm LN} \to \ln \( \L^2 \) \quad \big(\,\G^2 \to \infty\,\big) \qquad {\rm und} \qquad {\rm LN} \to \ln \( \L^2 \) - {5\06} \quad \big(\, \G^2 \to \L^2\,\big) \quad . \ee % 2.47 Die beiden cutoff's $\L$ und $\G$ aber lieber allgemein zu halten, das finden wir besonders sinnig$\,$: soo viel redundante \glqq Information\grqq\ hat sich aus Physik fernzuhalten$\,$! Ganz nebenbei sei angemerkt, da\ss\ $w_0(Q^2)$ in Strenge explizit ausintegriert werden kann. Hier sei nur das Detail \be{2.48} f(\L^2,\G^2) = \ln (\G\L ) \; - \; {\G^2-\L^2\0Q^2}\, \ln \( {\G\0\L}\) \; + \; {W\0 2 Q^2 } \, \ln \( { Q^2 + \G^2 + \L^2 + W \0 Q^2 + \G^2 + \L^2 - W } \) \quad \\ \ee % 2.48 notiert, wobei $ W \gll \wu { \( Q^2 + \G^2 + \L^2 \)^2 - 4\G^2\L^2 }$ ist. $\,f(\L^2,0) = \,\ln(\L^2+Q^2) + {\L^2 \0 Q^2}\,\ln( 1 + {Q^2\0\L^2} )$ folgt aus \eq{2.48} per $\G \to 0\,$, und nat\"urlich ist $f(0,0)=\ln(Q^2)\,$. F\"ur den Fall, da\ss\ das Argument $Q^2$ in der N\"ahe von $\L^2,\,\G^2$ liegt, werden wir an zwei sp"ateren Stellen nur noch die Gr\"o\ss enordnung von $w_0$ (n\"amlich 1) ben\"otigen. Dies kann man aus \eq{2.48} ergr\"unden. Aber wir gehen besser von \eq{2.41} aus, ziehen die $\Vau$--Operatoren unter das Integral, benutzen dort \eq{2.36} und schreiben \be{2.49} w_0(Q^2) = {-1\08\pi^2} \!\int_0^1 \! dx \;\, \hbox{\scriptsize Integrand\,}(x) = {-1\08\pi^2} \!\int_0^{1/2} \!\!\! dx \, \lk \hbox{\scriptsize Integrand\,}(x) + \hbox{\scriptsize Integrand\,}(1-x) \rk \; . \; \ee % 2.49 Die eckige Klammer ist eine Linearkombination von Logarithmen. Weil $1-2A+2B + (A-B)^2 =0$ ist, d\"urfen wir von jedem dieser Logarithmen ein $\ln(Q^2)$ subtrahieren. Addieren wir auch noch je ein $\ln(x)$ so bleibt \be{2.50} w_0(Q^2) = {1\08\pi^2} \!\int_0^{1/2} \!\!\! dx \;\, \ln(x) \lb -A+B + (A-B)^2 \rb + \cl O(1) \; =\; \cl O(1) \;\; , \quad \ee % 2.50 Es spielt schon keine Rolle mehr, da\ss\ die geschwungene Klammer Null ist. Abschlie\ss end interessiert uns noch, wie wohl $\,w_0(Q^2)\,$ bei gro\ss en $Q^2$ abf\"allt: $\,Q^2 \gg \L^2\,,\;\G^2\,$. Statt sich hierzu an \eq{2.48} zu qu\"alen, blicken wir besser auf \eq{2.35} zur\"uck. Im euklidischen $\vc P$--Raum sind zwei Bereiche relevant. Solange $P^2 \ll Q^2$ ist, kann der zweite Nenner zu $\,\tau+Q^2\,$ vereinfacht werden. Aber es kann auch $\vc P$ nahe $\vc Q$ liegen. Per $\,\vc P \to \vc P+\vc Q\,$ wird klar, da\ss\ sich dann der erste Nenner zu $\,t+Q^2\,$ vereinfacht. Dies erkl\"art den Faktor 2 in \be{2.51} w_0(Q^2) \;\to\; 2 \int_P \!\Vau_t {1\0t+P^2} \,\; \Vau_\tau {1\0 \tau + Q^2} \,\;=\,\; 2 \,G_0(Q^2) \int_P \! G_0(P^2) \;\; . \quad \ee % 2.51 Das $P$--Integral ist $b_0\,$, siehe \eq{2.22}. Und wie sich $\,G_0(Q^2)\,$ bei $\,Q^2\!\to\!\infty\,$ vereinfacht, ist \eq{1.3} direkt anzusehen. Der asymptotisch f\"uhrende Term ist also \be{2.52} w_0(Q^2) \;\to\; 2 \, b_0 \,\G^2 \L^2 \; {1\0 Q^6} \qquad \( \, Q^2 \to \infty\,\) \;\; . \quad \ee % 2.52 Soweit waren die Bem\"uhungen auf Temperatur Null beschr\"ankt und insofern etwas langweilig (?!). Falls hier jemand \glqq die Kunst des Integrierens\grqq\ anklingen h\"orte$\,$: das war noch gar nichts. %%% 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{3.\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Der Druck $\; p\;$ bis mit $\; g^4$} Die Thermodynamik des masselosen $\phi^4$--Systems wurde bisher, soweit bekannt, nur in dimensionaler Regularisierung behandelt, in 1994 von Arnold und Zhai \cite{AZ} bis $g^4$, sp\"ater bis $g^5$ und $g^6\ln(g)$ und schlie\ss lich neuerlich von Gynther et.~al. bis $g^6$ in \cite{GLS}. Das Resultat in \cite{AZ} enth\"alt Ableitungen der Zetafunktion sowie die Euler--Konstante. Das macht ein wenig mi\ss trauisch (es wird sich doch nicht etwa um Kunstprodukte der Methode handeln). Noch mehr irritiert der Umstand, da\ss\ in diesen Rechnungen die quadratisch divergente Startmasse $-\d m^2$ gar nicht erst in Erscheinung tritt. Wer da aber noch lernt, der sucht Vertrauen und will \ s e h e n , wie es \ \hbox{ w i r k l i c h } zugeht, wenn die Renormierungsprozedur vonstatten geht. Eine Einf\"uhrung in Feldtheorie bei Temperatur (Matsubara--Kontur) ist nicht Gegenstand dieser Notizen. Kapitel 16 in \cite{ST} kann als solche dienen. Einschl\"agige \glqq Sonderbl\"atter\grqq\ finden sich auf der {\sl home page} \,www.itp.uni-hannover.de/{\boldmath$ \tilde{\phantom{a}}$}hschulz\,. Hier bringen wir unverz\"uglich die bis mit $g^4$ relevanten Null--Beiner zu Papier und \"ubersetzen sie mit Diagramm--Regeln in Beitr\"age zum Druck $p = - F / V = \ln(Z) / (\b V)$. Aber es ist die Gr\"o\ss e $\ln(Z) = - \b F \,\glr\, f\,$, zu welcher die Diagrammregeln \cite{RS} Beitr\"age liefern. $F$ ist die Freie Energie und $T=1/\b$ die Temperatur. So wie die $\phi^4$--Theorie ihre Lagrangian hat (noch bevor sie an den Ofen gehalten wird), so hat das W\"armebad seine Temperatur (noch bevor es mit irgendeinem bekannten Spektrum Entartungsgrade austauscht). Temperatur ist der mikrokanonisch per $1/\6_E S(E, V, N)$ berechenbare Parameter des (eines) $\infty$ gro\ss en Reservoir--Systems (aber \glqq Ofen\grqq\ war auch nicht \"ubel. Bald kommt der Winter, 22.~9.~97). Um IR--Singularit\"aten zu kontrollieren, braucht die Lagrangian \eq{2.10} der masselosen $\phi^4$ einen Regulator, welcher zu $\cl L_0$ addiert und von $\cl L_{\rm int}$ wieder subtrahiert wird$\,$: Resummation der St\"orungsreihe. Der Regulator ist ein Massenterm. Bis mit $g^4$ wird sich eine konstante \glqq thermische Masse\grqq\ $m^2$ als ausreichend erweisen (zum allgemeinen Fall eines Impuls--abh\"angigen Regulators siehe \cite{RS}). $m^2$ wird in \eq{3.7} festgelegt werden. Die re\-gu\-lier\-te Lagrange--Dichte ist \bea{3.1} \cl L &=& \cl L_0 + \cl L_{\rm int} \quad , \quad \cl L_0 \; = \; - {1\02} \; \phi \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \) \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\, \phi \; - \; {1\02}\, m^2\,\phi^2 \quad , \quad \\ \label{3.2} \cl L_{\rm int} &=& {1\02} \,\phi \lk \d m^2 Z_\phi - (Z_\phi -1) \, \6^2 \, \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\G^2}$}\big)\, \, + \; m^2 \; \rk \phi\;\; - \;\; {g^2 \0 24} Z_g \phi^4 \quad . \quad \eea % 3.1 und 3.2 Vergleich von \eq{3.1} mit \eq{1.6}, \eq{1.7} zeigt, wie die nackte Greensfunktion aussieht, d.h. jene zu $\cl L_0\,$. In \eq{1.7} ist lediglich der Index \glqq ur\grqq\ zu streichen$\,$: \be{3.3} G_{\rm m} (P) \;\; = \;\; { 1 \0 \, m^2 \; + \; P^2\,\( 1 + {P^2\0\L^2} \)\,\( 1 + {P^2\0\G^2} \)} \quad . \ee % 3.3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Diagramme der Thermodynamik} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Diagramme bestehen aus Linien und Vertizes. Nat\"urlich stehen Linien im folgenden f\"ur den massiven Propagator \eq{3.3}. Wir bleiben auch bei einem Kreuzchen $\cross$ f\"ur die nun um $+\, m^2$ erweiterte eckige Klammer in $\cl L_{\rm int}\,$, \eq{3.2} (siehe auch \eq{2.14} und Text unter \eq{2.10}). In dieser Notation und mit der Konsistenz--Annahme $m^2 \sim g^2$ (sowie $Z_g-1 \sim g^2, \; Z_\phi-1 \sim g^4$ im Hinterkopf) wird klar, da\ss\ bis mit $g^4$ die folgenden Diagramme zum Druck beitragen$\,$: \be{3.4} p \; = \; p_0 + {1\0\b V} \; \( \hspace{.5cm} {\unitlength1cm \begin{picture}(10.3,2.1) % erste Zeile \put(2.9,1.4){\circle{1}} \put(3.19,1.3){\ocross} \put(4.2,1.25){$+ \;\;\; 3$} \put(5.9,1.4){\circle{1}} \put(6.9,1.4){\circle{1}} \put(6.4,1.4){\circle*{.3}} % zweite Zeile \put(-.4,-.15){$+ \;\; 36$} \put(1.3,0){\circle{1}} \put(2.3,0){\circle{1}} \put(3.3,0){\circle{1}} \put(4.2,-.15){$ + \;\; 12$} \put(5.9,0){\circle{1}} \put(6.9,0){\circle{1}} \put(7.19,-.1){\ocross} \put(8,-.15){$+$} \put(9.4,0){\circle{1}} \put(8.71,-.1){\ocross} \put(9.69,-.1){\ocross} % dritte Zeile \put(3,-1.55){$+ \;\;\; 12$} \put(5,-1.4){\circle{1}} \put(5.5,-1.4){\circle{1}} \end{picture} } \) \ee % 3.4 Verdient das Basketballdiagramm eine Zeile f\"ur sich$\,$? Nein, aber es wird ohnehin noch Seiten einnehmen (und es hat auf der Zeitachse schon Wochen verschlungen). Die drei Diagramme der mittleren Zeile sind besonders angenehm. Weil jeweils auch ein anderer $g^2$--Vertex vorhanden ist, d\"urfen ihre Kreuzchen auf ihren $g^2$--Anteil reduziert werden, d.h. auf $\d_2 + m^2 = g^2 b_0/2 + m^2\,$, siehe \eq{2.18}. Die Regeln verlangen einen Faktor 1/2 pro Kreuzchen, einen {\sl overall factor} $\,\b V$ und thermische \glqq Summation\grqq\ \"uber innere Impulse. Der am gleichen Vertex endende {\sl loop} (der \glqq einfache Loop\grqq ) ist also \be{3.5} b\gll \sum_P G_m (P) \qquad \mbox{mit} \qquad \sum_P \gll T \sum_n \int \! {d^3 p \0 (2\pi)^3} \;\;\; \vtop{\hbox{$\rightharpoonup$} \vspace{-.5cm} \hbox{$\leftharpoondown$}} \;\;\; {1\0 \b V} \sum_n \sum_{\vcsm p} \quad , \ee % 3.5 und die Diagramme \eq{3.4} der mittleren Zeile geben \bea{3.6} p_{\rm \; mittlere\; Zeile} & = & 36 \( - {g^2\0 24} \)^2 b^2 \sum G_m^2 + 12 \( - {g^2\0 24} \) \, b \, {1\02} \lk \d_2 + m^2 \rk \sum G_m^2 \nonu \\ & & {} + {1\04} \lk \d_2 + m^2 \rki^2 \sum G_m^2 \nonu \\ & = & {1\04} \( m^2 - {1\02} \, g^2 \lk b - b_0 \rk \)^{\dis 2} \; \sum_P G_m^2 (P) \quad . \eea % 3.6 Die Bildung $\sum G_m^2$ w\"urde nach Auswertung die st\"orungstheoretische Ordnung ($g^4$ in \eq{3.6}) erniedrigen (und $g^3$ geben). Genau dies ist aber verboten, sofern die St\"orungsreihe unter Auswertung direkt in die klein--$g$ asymptotische Entwicklung von $p$ \"ubergehen soll (mehr hierzu in \cite{RS}). Also treffen wir nun \ d i e \ gescheite Wahl f\"ur den bislang nicht festgelegten Spielzeugparameter $m\;$: \be{3.7} m^2 \;\; = \;\; {1\02}\; g^2 \; \lk \; b\; - \; b_0 \; \rk \;\; \glr \;\; {1\02}\; g^2 \; b_T \quad . \ee % 3.7 $b_0$ ist der $T\!\to \!0$--Limes von $b$. Also ist $m^2$ in der Tat eine rein thermische Masse. Da\ss\ sich in der eckigen Klammer auch gleich noch quadratische Riesigkeiten (von denen in Dim.Reg. nichts zu sehen ist) wegheben, das gef\"allt. Mit der Wahl \eq{3.7} entschwindet die mittlere Zeile aus \eq{3.4}. Und das gef\"allt ebenfalls. Der erste Term in \eq{3.4} ist der Druck $p_0$ des $\cl L_0$--Systems, also der Druck von freien Skalaren mit Masse $m$. Man erh\"alt ihn durch Ausintegration des Funktionalintegrals f\"ur die Zustandssumme (s.$\,$Anhang A von \cite{vari}) als $p_0 = {1\02} \sum \ln (G_m) + \mbox{\footnotesize const}\,$. Dies gen\"ugt bereits, um $\6_m p_0 = - m \, b$ einzusehen. Andererseits mu\ss\ $p_0$ bei $m\to 0$ in den Druck einer halben Hohlraumstrahlung $p_{\rm \, hohl} = \pi^2 T^4 / 90\,$ \"ubergehen. Sofern wir also $b$ als Funkton von $m$ in den Griff bekommen, ist nur noch Aufleiten angezeigt$\,$: \be{3.8} p_0 = {\pi^2 T^4 \0 90} + \( \, - \, m \, b \)^{\rm auf} \quad , \ee % 3.8 wobei mit $(-mb)^{\rm auf}$ die Stammfunktion von $-mb$ gemeint ist, welche mit $m\to0$ verschwindet. Wie jetzt die verbliebenen Druck--Beitr\"age zu Papier kommen, kann als \glqq gebremstes Verfahren\grqq\ bezeichnet werden$\,$: langsam und schrittweise. Wie sich n\"amlich die counter\-term--Riesigkeiten mopsig machen und Term f\"ur Term die per Diagramm--Aus\-wer\-tung entstehenden \glqq Divergenzen\grqq\ vertilgen \ --- \ nun, das gilt es zu genie\ss en. Die folgenden Formelzeilen m\"ogen ohne Worte verst\"andlich sein, ausgenommen der Schritt vom zweiten zum dritten Gleichheitszeichen in \eq{3.9}. Dort wird erstens $\d m^2 Z_\phi$ auf $\d m^2$ reduziert (weil Unterschied$\sim g^6$) und zweitens der Term $-{1\02}(Z_\phi -1)\sum G_m \lk P^2 (\;\; ) (\;\; ) \rk = -{1\02}(Z_\phi -1) \( - m^2 b + \sum_P 1 \)$ einfach weggelassen. Oh. $m^2 (Z_\phi -1)$ ist $\sim g^6$, und der andere Anteil enth\"alt keine Temperatur. Tats\"achlich war unsere PV--Regularisierung \eq{1.1} unzureichend. Weitere \glqq Geist\grqq$\!$--Propagatoren waren erforderlich, um auch $\sum 1$ einzubetten. Hier sei jedoch darauf verzichtet, reine $T\!=\!0$--Anteile in der Freien Energie zu studieren (Energieskala--Verschiebungen, Renormierung der kosmologischen Konstanten). Wir lassen sie einfach weg. Auf diese unh\"ofliche Weise hat sich nun $Z_\phi$ aus unseren Betrachtungen verabschiedet\,: \bea{3.9} p & = & p_0 + {1\0\b V} \; \( {\unitlength1cm \begin{picture}(9.4,0.6) \put(0.9,0.1){\circle{1}} \put(1.19,0){\ocross} \put(2.2,-0.05){$+ \;\;\; 3$} \put(3.9,0.1){\circle{1}} \put(4.9,0.1){\circle{1}} \put(4.4,0.1){\circle*{.3}} % Basket \put(6,-0.05){$+ \;\;\; 12$} \put(8,0.1){\circle{1}} \put(8.5,0.1){\circle{1}} \end{picture} } \) \quad \nonu \\ & = & {\pi^2T^4\0 90} + \( - m b \)^{\rm auf} + {1\02} \sum_P G_m(P) \lk \d m^2 Z_\phi + m^2 - (Z_\phi -1) P^2 \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\G^2}$}\big)\, \rk \nonu \\ & & {} + 3 \( - {g^2\024} \) Z_g \, b^2 + {12\0 \b V} \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc \quad \nonu \\ & = & {\pi^2T^4\0 90} \; - \;\( m b \)^{\rm auf} \; + \; {1\02} m^2 b \; + \; {1\02} \d m^2 b \; - \; {1\08} g^2 Z_g b^2 \; + \; 12 {1\0 \b V } \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc \quad \nonu \\ & = & {\pi^2T^4\0 90} \; - \; {1\02} m^2 b_0 \; - \;\( m b_T \)^{\rm auf} \; + \; {1\02} m^2 b_0 \; + \; {1\02} m^2 b_T \; + \; {1\02} \d m^2 b_0 \; \nonu \\ & &{} + \; {1\02} \lk {1\02} g^2 Z_g b_0 - {1\06} g^4 \chi (0) \rk b_T \; - {1\08} g^2 Z_g \( b_0^2 + 2 b_0 b_T + b_T^2 \) \; + \; 12 {1\0 \b V }\bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc \eea % 3.9 Ersichtlich wurde die erste Zeile von \eq{2.33} benutzt. Im n\"achsten Schritt werden nun alle restlichen $T\! =\!0$--Terme weggelassen. Die zwei Terme $\sim Z_g b_0 b_T$ in \eq{3.9} kompensieren sich, und zwar samt der in ihnen enthaltenen $\L^2 \( 1 + \cl O( \L^{-2})\)$--Gefahr$\,$! \be{3.10} \hspace{-.1cm} \fbox{$\;\;$\rule[-.1cm]{0pt}{.8cm}\vbox{\hbox{$\dis p = {\pi^2T^4\0 90} \; - \; \( m b_T \)^{\rm auf} \; + \; {1\02} m^2 b_T \; - \; {1\012} g^4 \chi (0)\, b_T - {1\08} g^2 Z_g\, b_T^2 \; + \; 12 {1\0 \b V } \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc$}}$\;\;$} \;\; \ee % 3.10 Die thermische Gr\"o\ss e $b_T$, auf welche nun alles wartet, wird einen $g^0$--Beitrag haben. Quadratische Riesigkeiten verbergen sich in $\chi(0)$ und im Basketball, logarithmische in allen Termen (au\ss er nat\"urlich dem ersten). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Der einfache Loop : \ $b_T \; = \; b-b_0$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der folgende Unterabschnitt handelt von Frequenzsummen, asymptotischer Entwicklung und Integrierkunst. Die Spezialit\"aten, welche der PV--Regularisierung eigen sind, halten wir f\"ur wichtig. Sie sind m\"oglicherweise neu und geh\"oren somit ({\sl mainly}) in den {\sl main text}. Der letzte Integral--Klumpen (er hei\ss t $c_T$) wird aber regularisierungs--unabh\"angig sein und in den Anhang B verfrachtet werden. Das Resultat dieses Unterabschnitts findet sich eingerahmt an dessen Ende. Ein paar Terme der asymptotischen Entwicklung zu produzieren, eines gegebenen Ausdrucks und hinsichtlich eines kleinen Parameters, das ist das, was die Leute immer nicht k\"onnen. Der interessierende Ausdruck ist $b_T$. Der kleine Parameter ist $m^2$. $b_0$ stand in \eq{2.22}. \bea{3.11} b_T \; &=& \; \sum_P G_m - \eu_P G_0 \; = \; \sum_P G_0 - \eu_P G_0 \; + \; \sum_P \lk G_m - G_0 \rk \nonu \\ \; &=& \; \sum_P^{\rm ohne} G_0 \; \;\; + \;\; \sum_P \lk G_m - G_0 \rk \qquad , \qquad \sum_P^{\rm ohne} \gll \sum_P -\int_P \;\; . \quad \eea % 3.11 Mit $m\to 0$ verschwindet der zweite Term. Falls es einen $m^0$--Term gibt, ist es also der erste. Generell sei eine Summe mit Index \glqq ohne\grqq\ als die Differenz rechts in \eq{3.11} definiert. Enth\"alt aber der Summand (hier $G_0$) neben $\o_n=2\pi n T$ keine weitere Temperatur $T$, so darf der Index auch als \glqq ohne $T=0$--Term\grqq\ gelesen werden. Zu Frequenzsummen gibt es ein \glqq Sonderblatt\grqq\ (ungek\"urzt im Anhang G wiedergegeben), aus welchem wir \be{3.12} T\sum_n {1\0 x^2 + \o_n^2} \;\; = \;\; {1\0 2\pi i} \grint dz \; {n(z)_{\rm ignore\; poles} \0 z^2 - x^2 } \;\; = \;\; {1\0 2x} + { n(x) \0 x } % \;\; = \;\, {1\0 2x }\; {\ch (\b x/2 )\0\sh (\b x /2 )} \quad . \quad \ee % 3.12 \"ubernehmen. $n(x) = 1 / ( e^{\b x} -1)$ ist die Bose--Funktion. Der wegzulassende $T\!=\!0$--Term ist $1/(2x)$ im dritten Ausdruck. Jenes Euklidische $P^2$ in $G_0$ ist per $P^2 = \vc p^2 + \o_n^2\,$ mit Matsubara--Frequenzen $\;\o_n = 2\pi n T\,$ zu best\"ucken. Also nimmt $x$ der Reihe nach die Werte $p=|\vc p|$, $\wu {p^2 + \L^2}$ und $\wu {p^2 + \G^2}$ an$\,$: \bea{3.13} \sum_P^{\rm ohne} G_0 &=& \; \int\! { d^3p \0 (2\pi)^3 } \(\; {\, n(p)\0 p} \; - \; A \; { \; n \(\wu {p^2+\L^2}\) \0 \wu {p^2+\L^2} } \; + \; B \; { \; n \(\wu {p^2+\G^2}\) \0 \wu {p^2+\G^2} } \; \) \nonu \\ &=& \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty\! dp \; p \, n(p) \; + \; \cl O\( e^{-\b \L } \) \; = \; {\, T^2 \0 12} \; + \; \cl O\( e^{-\b \L } \) \quad . \eea % 3.13 Da ist er, der vorhergeahnte $m^0$--Term. Bose--Funktionen von Riesenargument k\"onnen nat\"urlich im Vorwegausf\"uhrungs--Sinne wegfallen. Dies ist (wie schon irgendwo in der Einleitung bemerkt) eine sehr gesunde Eigenschaft der PV--Einbettung. Uninteressante Vorfaktoren wie $\sim \wu \L$ etc. sind \"ubrigens im Argument der obigen zwei $\cl O(\; )$ unterschlagen. Nach dem asymptotisch f\"uhrenden Term kommt ein n\"achster. Ihn pr\"aparieren zu wollen, hei\ss t einfach, nach der Asymptotik der Differenz $\, b_T - T^2/12\,$ zu fragen$\,$: \be{3.14} b_T \; - \, {T^2\012} \; = \; \sum_P \lk \; {1\0 m^2 + P^2 \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\G^2}$}\big)\, } \; - \; { 1\0 P^2 \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\L^2}$}\big)\, \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\G^2}$}\big)\, } \; \rk \quad . \ee % 3.14 F\"ur die thermische Summe w\"urden wir gern erneut \eq{3.12} benutzen und sind darum an Partialbruchzerlegung interessiert. Jene f\"ur den rechten Bruch ist \eq{1.1}. Auch f\"ur den linken Bruch gibt es eine, \be{3.15} { \G^2\, \L^2 \0 m^2 \L^2 \G^2 + P^2 \( \L^2 + P^2 \) \(\G^2 + P^2\) }\;\; = \;\; {1^\prime \0 m^{\prime\, 2} + P^2 }\; - \; { A^\prime \0 \L^{\prime\, 2 } + P^2 } \; + \; { B^\prime \0 \G^{\prime\, 2 } + P^2 } \quad , \ee % 3.15 wobei die gestrichenen Massenquadrate im Nenner die L\"osungen der kubischen Gleichung $m^2 \L^2 \G^2 - x (\L^2-x) (\G^2-x) = 0$ sind. Da\ss\ es drei reelle solche L\"osungen gibt, wird anhand einer Verlaufsskizze klar. Bringt man die rechte Seite von \eq{3.15} auf Hauptnenner, so mu\ss\ der Z\"ahler dem der linken Seite identisch gleich sein, $=\G^2 \L^2$ also. Hieraus erh\"alt man die Koeffizienten \bea{3.16} 1^\prime &=& {\G^2 \L^2 \0 \(\L^{\prime\, 2} - m^{\prime\, 2}\) \(\G^{\prime\, 2} - m^{\prime\, 2}\)} \;\; , \;\; A^\prime = {\G^2 \L^2 \0 \(\L^{\prime\, 2} - m^{\prime\, 2}\) \(\G^{\prime\, 2} - \L^{\prime\, 2}\)} \;\; , \nonu \\[6pt] B^\prime &=& {\G^2 \L^2 \0 \(\G^{\prime\, 2} - \L^{\prime\, 2}\) \(\G^{\prime\, 2} - m^{\prime\, 2}\)} \qquad \Rightarrow \qquad \raise 4pt\vtop{ \hbox{$A^\prime - B^\prime = 1^\prime$ \ \ und} \vspace{-.04cm} \hbox{$\L^{\prime\, 2} A^\prime - \G^{\prime\, 2} B^\prime = m^{\prime\, 2} 1^\prime$}} \quad . \qquad \eea % 3.16 Man mache sich irgendwie klar, da\ss\ die gestrichenen Massen gr\"o\ss enordungsm\"a\ss ig in der N\"ahe der ungestrichenen liegen. Ehe wer 12 Stunden am L\"osen einer kubischen Gleichung absitzt, rechne er besser erst einmal weiter. Vielleicht (Prinzip Hoffnung) werden die Details gar nicht ben\"otigt. Die thermische Summation $\sum_P$ in \eq{3.14} zerf\"allt wieder in ihren $T\!=\!0$--Teil {\small $\int_P$} und den Rest\,: \bea{3.17} b_T \; - \, {T^2\012} \; &=& \; c_0 \; + \; c_T \qquad \mbox{mit} \quad c_T = \sum_P^{\rm ohne} \Big[ \;\; \mbox{\footnotesize Klammer wie in \eq{3.18}} \;\; \Big] \quad \mbox{und} \quad \qquad \\ \label{3.18} c_0 \; = \; \eu_P \quad & & \hspace{-1.2cm} \lk {1^\prime \0 m^{\prime\, 2} + P^2 } - { A^\prime \0 \L^{\prime\, 2 } + P^2 } + { B^\prime \0 \G^{\prime\, 2 } + P^2 } - {1 \0 P^2 } + { A \0 \L^2 + P^2 } - { B \0 \G^2 + P^2 } \rk \; . \;\; \eea % 3.17 und 3.18 Der Blick auf diese Partialbuch--Version macht nun klar, da\ss\ der thermische Teil $c_T$ keine Regulatorterme braucht. Er w\"urde sie nur ins $e^{-\b \L}$--Jenseits verbannen. Kurz, der Summand von $c_T$ ist jener von \eq{3.14} zu $\G,\L \to\infty$. Kubischer Beigeschmack bleibt also nur an \eq{3.18} h\"angen. Und dies integrieren wir erst einmal aus, n\"amlich mittels$\,$: \be{3.19} \eu_P \; {1\0 a^2 + P^2 } \; = \; {1\0 16 \pi^2} \int_0^N\! dr \; { r \0 a^2 + r } \; = \; {1\0 16 \pi^2} \lk N - a^2 \ln \( { N \0 a^2 } \) \rk \quad . \ee % 3.19 Dank der Relationen \eq{3.16} entfallen in \eq{3.18} sowohl die $N$-- als auch die $a^2 \ln (N)$--Terme, und wir kommen an bei \bea{3.20} c_0 &=& {1\0 16 \pi^2} \, \lk \; 1^\prime\, m^{\prime\, 2}\, \ln \( m^{\prime\, 2} \) \; - \; A^\prime\,\L^{\prime\, 2}\,\ln \( \L^{\prime\, 2} \) \; + \; B^\prime\, \G^{\prime\, 2}\,\ln \( \G^{\prime\, 2} \) \qquad \right. \nonu \\ & & \hspace{4.2cm} \left. \; + \;\; A\;\, \L^2 \,\;\ln \( \L^2 \) \,\; - \,\; B\;\, \G^2 \,\;\ln \( \G^2 \) \;\; \rk \quad . \qquad\quad \eea % 3.20 Falls nun (gleich zeigt es sich) der relative Unterschied zwischen gestrichenen und ungestri\-che\-nen Massen nur $\sim \cl O( m^2 /\L^2 )$ ist, dann k\"onnen im ersten Term von \eq{3.20} die Striche entfallen. Und im zweiten sowie dritten Term braucht jedes Strichm\"annchen nur seine erste Korrektur. An der kubischen Gleichung $m^2 \L^2 \G^2 - x (\L^2-x) (\G^2-x) = 0$ St\"orungsrechnung erster Ordnung zu treiben (statt sie zu l\"osen), ist ein billiges Unterfangen. Wir bedienen sie mit den Ans\"atzen $x=m^2 + \eta$, $x=\L^2 + \eta$, $x=\G^2 + \eta$, unterstellen je (Konsistenzannahme), da\ss\ $\eta$ eine Ordnung kleiner als der f\"uhrende Term ist, und erhalten \be{3.21} m^{\prime\, 2} = m^2 \,\lk 1 + \cl O\( {m^2\0 \L^2}\)\rk \quad , \quad \L^{\prime\, 2} = \L^2 \; - \; m^2 \, A \quad , \quad \G^{\prime\, 2} = \G^2 \; + \; m^2 \, B \quad . \ee % 3.21 Die Koeffizienten \eq{3.16} lassen sich nun zu \be{3.22} 1^\prime = 1 + \cl O\( {m^2\0 \L^2} \) \;\;\; , \;\;\; A^\prime = A + m^2 \, {2A\0 \L^2}\, (1 - B^2 ) \;\;\; , \;\;\; B^\prime = B + m^2 \, {2B\0 \G^2}\, (1 - A^2 ) \quad \ee % 3.22 vereinfachen. Mit diesen Ausdr\"ucken in \eq{3.20} zu gehen (also dort alles wegzulassen, was $\sim 1/\L^2$ abf\"allt), erscheint gef\"ahrlich, weil ja $c_0$ nicht Resultat ist sondern nur Bestandteil des Faktors $b_T$. Die Frage, ob im Druck \eq{3.10} endliche Reste aus $\L^2 \cdot \cl O(1/\L^2)$ entstehen k\"onnen, bekommt jedoch eine klar abschl\"agige Antwort. Entweder hat dort $b_T$ keinen $\L^2$--Vorfaktor oder es reduziert sich wegen voranstehendem $g^4$ auf $T^2/12\,$. Gefahr hinwegdiskutiert. Resultat$\,$: \be{3.23} c_0 \; = \; {m^2 \0 16 \pi^2} \; \( \;\; 2\; \ln \( m \) \; + \; 1 \; - \; {\rm LN} \;\; \) \quad . \ee % 3.23 Jaja, nach allerlei Kleinarbeit an \eq{3.20} mittels \eq{3.21}, \eq{3.22} kommt tats\"achlich das be\-reits be\-kann\-te LN--Gespenst erneut zum Vorschein (aber wir k\"onnen doch hier nicht aus jedem traumatischen Erlebnis eine bunte Illustrierte machen). Noch ist der Loop $b_T$ nicht komplett, denn es fehlt der Beitrag $c_T$, siehe \eq{3.17} und Text unter \eq{3.18}. Mittels \eq{3.12} ist die Frequenzsumme kein Problem$\,$: \be{3.24} \! c_T = \sum_P^{\rm ohne} \!\lk { 1 \0 m^2 + P^2 } \, - \, { 1\0 P^2 } \!\rk\! \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \!\! dp \, p^2 \, \(\, {\, n \( \wu {m^2+p^2} \) \0 \wu {m^2+p^2} } \, - \, {n(p)\0 p} \,\) \,\; . \quad \ee % 3.24 An genau dieser Stelle zweigen wir ab in den Anhang C (und wiederholen \eq{3.24} dort). $c_T$ enth\"alt keine UV--cutoff's mehr. Aber einfach gestaltet sich die Auswertung keineswegs. Sie liefert $c_T$ bis mit $g^2\,$. Das Resultat ist \eq{C17}, n\"amlich \be{3.25} c_T \; = \; - \, {m\, T\04\,\pi} + {m^2\016\,\pi^2} \, \lk 1 - 2\,\g + 2\,\ln \( { 4\,\pi\, T \0 m } \) \rk \quad . \quad \ee % 3.25 Nun sind nur noch $c_0$ und $c_T$ in \eq{3.17} einzusetzen$\,$: \be{3.26} \fbox{\quad\rule[-.3cm]{0pt}{1cm}\vbox{ \hbox{$\dis b_T \; = \; {\, T^2 \0 12} \; - \; { m\, T\0 4\, \pi} \; + \; {m^2 \0 16 \pi^2 } \; \(\; 2 \,\ln \Big( 4\,\pi\, T \) \; - \; {\rm LN} \; + \; 2 \; - \; 2\, \g \;\Big)$} }\quad} \quad \ee % 3.26 Zwischen $c_0 $ und $c_T$ hatten sich zuletzt zwei $\ln (m)$--Terme kompensiert. Die klein--$m$ Asymptotik von $b_T$ besteht also nur aus Potenzen (es mu\ss te keineswegs so ausgehen). Obiger $\ln \( T \)$ sucht nach einer Dimensionskorrektur und findet sie in LN. Irgendwie ist es am\"usant, nun einmal nachzusehen, wie wohl der thermische Loop bei den Dim.Reg.--Leuten zu Papier kommt. Gleichung (2.12) bei \cite{AZ} (Terme zu Ver\-gleichs\-zwecken leicht umgestellt) sieht so aus$\,$: \be{3.27} {\sum_P}^{\,\e} {1\0 m^2 + P^2} \; = \; {T^2\0 12} \( 1 + \e \iota_\e \) - {m T\0 4\pi} + {m^2 \0 16\pi^2 } \lk 2\,\ln \( 4\pi T \) - {1\0\e} - 2 \ln\(\ov{\mu}\) - 2 \g \rk \ee % 3.27 ${\sum_P}^{\!\!\!\e}$ steht hier f\"ur die thermische Summe in $1+(3-2\e)$ Dimensionen. Die linke Seite ist $b$ (nicht $b_T$). Also \ f e h l t \ rechts der quadratische Riese $b_0\,$. $\iota_\e$ ist ein bekannter endlicher Zusatz, welcher wegen sp\"aterem ${1\0\e}(1 + \e \iota_\e)$ nicht vergessen werden darf (\cite{AZ} betonen das, danke). Arnold und Zhai's $\cl O$--Angabe braucht Vieles$\,$: $\cl O\({m^4/T^2}\, ,\, \e m T \, ,\e^2 T^2\)\,$. Statt des LN in \eq{3.26} steht ${1\0\e} + ${\footnotesize Endliches} in \eq{3.27}$\,$. Naja, wenigstens sind logarithmische Riesen keine Nullen. Mit \eq{3.26} ist auch die thermische Masse $m$ spezifiziert. Vorsicht$\,$! $\, b_T$ ist Funktion von $m^2\,$, und somit ist $m^2 = g^2 b_T/2$ eine f\"ur $m$ zu l\"osende Gleichung. Allerdings zeigt sich alsbald im n\"achsten Unterabschnitt, da\ss\ bereits der erste Term in \be{3.28} m^2 \;\; = \;\; { g^2\, T^2 \0 24 } \;\; + \;\; \cl O(g^3 ) \quad \ee % 3.28 \vspace{-1.1cm} \nz v\"ollig ausreicht. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.3cm} \subsection{Zwischenbilanz} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der vorige Unterabschnitt hat uns mit $b_T$ die eine von zwei Gr\"o\ss en beschert, welche im vorl\"aufigen Resultat \eq{3.10} f\"ur den Druck ben\"otigt werden. Auch ohne die zweite Gr\"o\ss e, den Basketball ($\sim g^4$), kommen wir mit $b_T$--Kenntnis ein gutes St\"uck weiter, n\"amlich bis $g^3\,$. In Ordung $g^4$ bekommen wir eine Vorstellung davon, was der Basketball \glqq zu leisten haben wird\grqq , ein Wahrnehmungsraster sozusagen. Erst einmal schreiben wir uns \eq{3.10} erneut auf$\,$: \be{3.29} p = {\pi^2T^4\0 90} - \( m b_T \)^{\rm auf} + {m^2\02} b_T - {g^2\08} b_T^2 - {g^4\012} \chi (0)\, b_T - {g^2\08} (Z_g - 1)\, b_T^2 + {g^4\0 48} I_{\rm ball} \;\;\; . \ee % 3.29 Lediglich wurde $Z_g$ in $1 + (Z_g -1)$ aufgespalten und f\"ur den Basketball die Notation \be{3.30} 12\, {1\0 \b V } \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc \;\; \glr \;\; 12\;\( - {g^2\0 24}\)^2\; I_{\rm ball} \;\; = \;\; {g^4\0 48} \; I_{\rm ball} \ee % 3.30 aus \cite{AZ} \"ubernommen. Die letzten drei Druck--Terme haben $g^4$--Faktoren, so da\ss\ dort nur $b_T = T^2/12$ eingeht. Variiert man $m$, so sp\"uren das nur drei Terme$\,$: \bea{3.31} p(m^2) &=& - \( m b_T \)^{\rm auf} + {1\02} m^2 b_T - {1\08} g^2\, b_T^2 \; + \; \mbox{const}_m \qquad\quad \nonu \\ \Rightarrow \qquad\quad p^\prime (m^2) &=& {1\02m} \( m^2 - {g^2\02} b_T \) {1\02} \6_m b_T \quad . \eea % 3.31 Diese Variation ist k\"unstlich, denn nach dem bisherigen Gang der Dinge ist $p$ nur dann der (richtige) Druck, wenn in \eq{3.29} die L\"osung von $m^2 = g^2 b_T/2$ eingesetzt wird. \eq{3.31} hilft aber bei der Frage, ob die N\"aherung $m^2 \approx m_0^2 \gll g^2 T^2 /24$ ausreicht. Die Funktion $p(m^2)$ hat laut \eq{3.31} an der \glqq wahren\grqq\ Stelle $m^2 = g^2 b_T/2$ ein Extremum. Folglich gibt es in der Entwicklung \be{3.32} p(m_0^2) \; = \; p(m^2) + (m_0^2 - m^2)\, p^\prime (m^2) + \cl O(g^6 ) \; = \; p(m^2 ) \; + \; \cl O(g^6) \quad \ee % 3.32 keinen linearen Term. Man sieht es nun$\,$: im Druck bis mit $g^4$ darf $m^2 = g^2 T^2/24$ gesetzt werden. Im n\"achsten Teilschritt setzen wir $b_T$ aus \eq{3.26} und \be{3.33} \( m\, b_T \)^{\rm auf} = {m^2 T^2 \0 24} - {m^3 T \0 12\pi} + {m^4 \0 64 \pi^2} \cl K \quad , \;\;\; \cl K \gll \, 2\,\ln \( 4\pi T\) - {\rm LN} + 2 - 2\g \quad \ee % 3.33 in \eq{3.29} ein und sortieren nach $g$--Potenzen. $m^2$ \ i s t \ jetzt $g^2T^2/24$, so da\ss\ sich ein $m^3T$-- gegen einen $g^2mT^3$--Term k\"urzt, und ein $m^4 \cl K$ gegen einen $g^2 m^2 T^2 \cl K\;$: \bea{3.34} p &=& {\pi^2T^4\0 90} - {g^2\0 8} \({T^2\012}\)^2 + {m^3 T \0 12\pi } \; + \; p_4 \qquad \qquad \mbox{mit} \\ \label{3.35} p_4 &=& - {g^2\08} \({mT\04\pi}\)^2 - {m^4 \0 64 \pi^2} \cl K - {g^2\0 8} (Z_g - 1) \( {T^2\012} \)^2 - {g^4\012} \chi(0) {T^2\012} + \, {g^4 \0 48}\, I_{\rm ball} \;\; . \quad \eea % 3.34 und 3.35 Nie wei\ss\ man, wie man es aufschreiben soll. Ohne $p_4$ macht jedenfalls \eq{3.34} den Druck bis mit $g^3$ explizit. Darin ist der zweite Term das Resultat erster Ordnung St\"orungsrechnung \ --- \ welche oft qualitativ recht gute Aussagen macht. Man spekuliere, da\ss\ bei einer gewissen st\"arkeren Kopplung das System \glqq klumpt\grqq. Druck $\to 0$ signalisiert einen Phasen\"ubergang. Der Druck hat bis mit $g^3$ ersichtlich keine Erinnerung mehr an Regularisierungsdetails (siehe Einleitung). \eq{3.34} ist auch unabh\"angig von der Wahl des Renormierungspunktes, aber in einer arg trivialen Weise. Diese Abh\"angigkeit wird n\"amlich (wie wir noch sehen werden) im Sinne $g^2 \to g^2 + g^4\, f(M^2) $ erst in Ordnung $g^4$ sichtbar. Kein Wunder. In $p_4$ hingegen, da tummelt sich in der Tat das ganze Gelichter$\,$: LN--Gespenst, $\ln (T)$, $M^2$--Skala und ein ganz falscher Hund, der vorletzte Term ($\sim \L^2 T^2)\,$. Wir setzen in \eq{3.35} zuerst $m^2 = g^2 T^2/24$ ein, dann $\cl K$ und schlie\ss lich $(Z_g -1)$ aus der zweiten Zeile von \eq{2.33}. Sodann spalten wir aus den ersten drei Termen einen gemeinsamen Faktor $\mho$ ab (er steht unten mit im eingerahmten Block \eq{3.36})$\,$: erster Term $= - \mho\cdot 36$, zweiter Term $= - \mho \cdot3\cl K $, dritter Term $= -\mho\cdot 9\lk {\rm LN} - \ln (M^2)\rk\,$. Der $\chi(0)$--Term $\sim \L^2$ hat Kompensation ganz besonders n\"otig, also schreiben wir ihn besonders nahe an $I_{\rm ball}$. Damit bekommt der $g^4$--Anteil des Druckes die folgende vorl\"aufige Gestalt$\,$: \pagebreak[3] \be{3.36} \parbox{14cm}{ \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{4.2cm} \vbox{ \hbox{$\dis p_4 \,\; = \,\; \mho \;\bigg( \, - 6\,\ln \( 4 \pi T \) + 3\,\ln \( M^2 \) $} \vspace{.2cm} \hbox{$\dis \hspace{2.1cm} + \; 6\,\ln \( M^2 \) - 6\,{\rm LN} - 42 + 6\,\g \; \bigg) \;\; + \; {g^4 \0 48} \; \bigg( \; I_{\rm ball} - {T^2\03}\, \chi(0) \; \bigg) $} \vspace{.4cm} \hbox{$\dis {\rm mit} \;\qquad \mho \; \gll\; {g^4\0 48} \; \( {1\04\pi}\, {T^2\012} \)^2 \quad .$} }\quad} } \ee % 3.36 Einen Rahmen verdient dieses Zwischenresultat wohl kaum, aber vielleicht freut es sich dar\"uber. Die Logarithmen wurden so in Zeilen verteilt, da\ss\ die dimensionsm\"a\ss ige Kompensation sichtbar wird. Die zweite Klammer mit $I_{\rm ball}$ mu\ss\ also separat dimensionsm\"a\ss ig in Ordnung sein. Sie sollte einen Faktor so absondern, da\ss\ sich auch dort ein $\mho$ bildet. Sodann mu\ss\ sie $+\, 6\,$LN liefern (auf da\ss\ sich Divergenzen wegfressen), sowie $ - \, 12\,\ln \( 4 \pi T \)$, damit alle bereits vorhandenen $\ln (M^2)$'s wieder ein Zuhause finden. Das war das Wahr\-neh\-mungs\-ras\-ter. Wegen $D=4-E = 4$ f\"ur Null--Beiner, wird $I_{\rm ball}$ sogar einen $\L^4$--Term enthalten, der sich aber (erwartungsgem\"a\ss ) als $T$--unabh\"angig (somit wegla\ss bar) herausstellen wird. Irgendwann in der Anfangsphase der Bem\"uhungen gab es einmal ein Dilemma. Die Eigenschaften des Basketballs waren aus Grob\"uberlegungen klar, aber kein kompensierender $g^4 \L^2 T^2$ fand sich in den einfacheren Beitr\"agen. Messerscharf war dimensionsm\"a\ss ig zu schlie\ss en gewesen, da\ss\ dieser in $\d m^2$ zu stecken habe$\,$: alle $\d m^2$--Beitr\"age sind $\sim \L^2$, und andere counters nicht. Der Fehler$\,$: das {\sl setting sun} Diagramm sa\ss\ in der falschen $\ln (\L )$--Schublade. Anf\"anger sind schwankende Gestalten. \glqq Anf\"anger\grqq\ oder {\sl fishing for compliments}$\,$? In Sachen Feldtheorie bei Temperatur gibt es am Ort einen ganzen Sack Erfahrung \cite{amort}. Jedoch wurde fast ausschlie\ss lich die thermische Selbstenergie $\P$ (Polarisationsfunktion) untersucht, eine dynamische Gr\"o\ss e also. \"Uber Ordnung $g^3$ (der asymptotischen Entwicklung von $\P$) sind diese Rechnungen nicht nennenswert hinausgekommen. Aber bis zu dieser Ordnung ist die Renormierungsprozedur trivial \ --- \ doch Anf\"anger. %%% 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{4.\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Basketball--Diagramm} Der Basketball ist eine Kette aus zwei Perlen. Der erste Schritt, der diagrammatische, ist mit Blick auf \be{4.1} \parbox{3cm}{ \vbox{\vspace{.1cm} \hbox{\footnotesize Wie ein 4--Vektor $Q$} \vspace{-.15cm} \hbox{\footnotesize im Uhrzeigersinn} \vspace{-.15cm} \hbox{\footnotesize durch eine Perlenkette l\"auft}}} \hspace{1cm} \parbox{7cm}{ {\unitlength.5cm \begin{picture}(10,4.5) % Halbkreise \put(5.5,2.5){\oval(.98,.98)[l]} \put(6.5,2.5){\oval(.98,.98)[r]} \put(5.5,2.5){\oval(3,3)[l]} \put(6.5,2.5){\oval(3,3)[r]} \put(5.5,1.5){\oval(.98,.98)[r]} \put(6.5,1.5){\oval(.98,.98)[l]} \put(5.5,3.5){\oval(.98,.98)[r]} \put(6.5,3.5){\oval(.98,.98)[l]} % Q Richtung \put(5.0,.2){\Large $\longleftarrow$} \put(5.8,0){\scriptsize $Q$} % Beschriftung \put(1.8,2.26){\footnotesize $P-Q$} \put(5.2,2.26){\footnotesize $P$} \put(6.2,2.26){\footnotesize $K$} \put(8.2,2.26){\footnotesize $K-Q$} % arrows \put(4.0,2.3){\footnotesize $\downarrow$} \put(4.6,2.3){\footnotesize $\uparrow$} \put(7.0,2.3){\footnotesize $\downarrow$} \put(7.6,2.3){\footnotesize $\uparrow$} \end{picture}}} \ee % 4.1 sehr einfach$\,$: \"uber das $Q$--Argument zweier Funktionen $w(Q^2)$ ist thermisch zu summieren. Mit \eq{3.30} und den Diagrammregeln entsteht direkt \be{4.2} I_{\rm ball} \;\; = \;\; \sum_Q \; w(Q^2)\; w(Q^2) \quad . \ee % 4.2 Im Unterschied zu \eq{2.23} befinden wir uns aber jetzt in einem wohltemperierten $\phi^4$--Ba\-de\-was\-ser, und die \glqq Perle bei $T\neq 0$\grqq\ ist \be{4.3} w(Q^2) \; = \;\sum_P G_0 (P) G_0 (\vc P - \vc Q ) \; = \; w_0 (Q^2) \; + \; w_T (Q^2) \qquad \ee % 4.3 \be{4.4} \mbox{mit} \qquad w_T (Q^2) \; = \; \sum_P^{\rm ohne} G_0 (P) G_0 (\vc P - \vc Q ) \quad . \ee % 4.4 Damit zerf\"allt $I_{\rm ball}$ in drei Anteile \be{4.5} I_{\rm ball} \;\; = \;\; I_{00} \;\; + \;\; I_{0T} \;\; + \;\; I_{TT} \qquad , \ee % 4.5 \be{4.6} I_{00} \; = \; \sum_Q w_0^2 \qquad , \qquad I_{0T} \; = \; 2 \sum_Q w_0 \, w_T \qquad , \qquad I_{TT} \; = \; \sum_Q w_T^2 \quad . \ee % 4.6 Man kann jetzt sehen, was zu tun sein wird. Zuerst m\"ussen wir die Integranden kennen. $w_0 (Q^2)$ ist aus \S~2.5 bekannt, aber die Funktion $w_T (Q^2)$ wird noch zu studieren sein (s.~\S~4.1). Jede der drei $Q$--Summen in \eq{4.6} werden wir dann gem\"a\ss\ \be{4.7} \sum_Q \,\; = \,\;\eu_Q \,\; + \,\;\sum_Q^{\rm ohne} \qquad {\rm in} \qquad I_{\ldots}\, = \, I^{^{\int}}_{\ldots} \, + \, I^{^{\rm ohne}}_{\ldots} \quad \ee % 4.7 zerlegen. Man blicke voraus auf \eq{4.18}, \eq{4.22} und \eq{4.28}. Die oberen $I$--Indices $\int$ und \glqq ohne\grqq\ beziehen sich auf die abschlie\ss enden $Q$--Summationen in \eq{4.6}. Wegen $T$--Abh\"angigkeit der Summanden von $I_{0T}$ und $I_{TT}$ hat hier der $I$--Index $\int$ nichts mehr mit Pr\"aparieren eines $T\!=\!0$--Anteils zu tun. Mit der Aufspaltung \eq{4.7} weichen wir hier bereits ein wenig von Arnold und Zhai's Vorgehen \cite{AZ} ab (dort wird z.B. einmal der Term $Q_0=0$ aus der Frequenzsumme abgespalten, hier nicht). Nichtsdestoweniger war der Umstand au\ss erordentlich hilfreich (z.B. bei IR--Gefahr--Erkennung), da\ss\ \cite{AZ}'s Basketball--Auswertung in Dim.Reg. bereits vorlag. Auch wird neidlos anerkannt, da\ss\ das, was die Br\"uder da an manchen Stellen ($I_{TT}$) machen, verdammt gut ist. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.5cm} \subsection{Eine Perle in der S\"udsee : \ $w_T(Q^2)$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die S\"udsee ist ein W\"armebad bei Temperatur $T\,$. Nach Blick auf \eq{2.35} und \eq{4.4} schreiben wir den Ausgangspunkt in der Form \be{4.8} w_T (Q^2) = \sum_P^{\rm ohne} \Vau_t\,\Vau_\tau \; {1\0 t + P^2}\; {1\0 \tau + (\vc P- \vc Q)^2 } \quad . \quad \ee % 4.8 auf. Die generelle \glqq ohne\grqq\--Definition $\sum_P^{\rm ohne} = \sum_P - \int_P$ ist nun ernst zu nehmen, denn der Summand h\"angt auch \"uber $Q_0 = \o^Q_n = 2\pi n^Q T\,$ von $T$ ab. Unter $\sum_P$ ist $P_0=\o_n$, aber unter $\int_P$ wird $P_0$ zur Integrationsvariablen, die wir $p_0$ nennen. % Ferner sei $\kappa \gll |\vc p - \vc q |\,$. Das gibt \bea{4.9} w_T (Q^2) &=& {1\0 (2\pi)^3}\!\int \! d^3p \,\Vau_t\,\Vau_\tau \; \Bigg[ \; T\sum_n \;\, {1\0 t- (i\o_n)^2 + \vc p^2} \;\; {1\0 \tau - (i\o_n - i\o_n^Q )^2 + \kappa^2} \nonu \\ & & \hspace*{-3mm} - {1\0 2\pi} \int \! dp_0 \; {1\0 t + p_0^2 + \vc p^2} \;\; {1\0 \tau + ( p_0 - \o_n^Q )^2 + \kappa^2} \;\Bigg] \quad , \quad \kappa \gll |\vc p - \vc q | \quad . \quad \eea % 4.9 Im ersten Term der eckigen Klammer lesen wir das Produkt der beiden Br\"uche als $F(i\o_n)$ und ziehen f\"ur die Summe \eq{G2} mit $\eta=1$ zu Rate\,: \bea{4.10} \hbox{1. Term} &=& {-1 \0 2\pi i} \lk \grint dz\; F(z)\; n(z) \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}} \quad , \hspace*{8mm} \unitlength 1cm \begin{picture}(4,.2) \put(0,.2){\circle{.6}} \put(.6,.1){$=$} \put(1.6,.2){\oval(.6,.6)[l]} \put(1.6,-.1){\line(0,1){.6}} \put(1.9,.1){$+$} \put(2.5,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(2.5,-.1){\line(0,1){.6}} \put(.02,.48){\vector(-1,0){.1}} \put(1.6,.2){\vector(0,1){.1}} \put(2.5,.2){\vector(0,-1){.1}} \end{picture} \nonu \\ &=& {-1 \0 2\pi i} \lk \int_{\; \unitlength .8cm \begin{picture}(.3,.8) \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}} \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}} \end{picture} } dz\; \Big( F(z)\; n(z) - F(-z)\;n(-z) \Big) \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}} \nonu \\ & & \hspace*{-17mm} = \;\, {-1 \0 2\pi i} \lk \int_{\; \unitlength .8cm \begin{picture}(.3,.8) \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}} \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}} \end{picture} } dz\; \Big( F(z) + F(-z) \Big) \; n(z) \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}} \!\!\!\! - \, {1\02\pi i} \int_{\; \unitlength .8cm \begin{picture}(.3,.8) \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}} \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}} \end{picture} } dz\; F(-z) \;\; . \qquad \eea % 4.10 Der Halbkreis im letzten Integral hat Null--Beitrag. Substitution $z=-ip_0$ l\"a\ss t dieses Integral zu ${1\02\pi} \int \! dp_0 \; F(ip_0)$ werden. Und nun sieht man, da\ss\ es den zweiten Term in der eckigen Klammer von \eq{4.9} perfekt kompensiert. Aus \eq{4.9} wird damit \bea{4.11} w_T (Q^2) &=& {1\0 (2\pi)^3}\!\int \! d^3p \,\Vau_t\,\Vau_\tau \; {-1\02\pi i} \int_{\; \unitlength .8cm \begin{picture}(.3,.8) \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}} \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}} \end{picture} } dz\; n(z)_{{\rm ohne \; Pole}} \; \cdot \nonu \\ & & \cdot \; {1\0 t+p^2 -z^2} \; \Bigg( \; {1\0 \tau + \kappa^2 - (z-i\o_n^Q)^2 } \; + \; {\rm dito}_{\o_n^Q \to -\,\o_n^Q} \Bigg) \quad . \quad \eea % 4.11 Was hier soeben in \eq{4.10} und \eq{4.11} passierte, hatte nur wenig mit der konkreten Funktion $F(z)$ zu tun. Die Verallgemeinerung lautet \be{4.12} \sum_P^{\rm ohne} f(P_0,\vc p ) \, = \int \! {d^3p\0(2\pi)^3} \;\({-1\02\pi i}\) \lk \int_{\; \unitlength .8cm \begin{picture}(.3,.8) \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}} \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}} \end{picture} } dz\; \Big( F(z) + F(-z) \Big) \; n(z) \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}}^{\lower 1mm\hbox{\small $F(z) = f(-iz,\vc p)$}} \hspace*{-12mm} . \;\; \ee % 4.12 Die $z$--Integration in \eq{4.11} erledigt nun der Residuensatz. Per $\vc p \to \vc q - \vc p$ unter $\int \! d^3p$ kann in einzelnen Termen des Resultates $p$ in $\kappa$ (und zugleich $\kappa$ in $p$) verwandelt werden. Ebenso sind $t$ und $\tau$ austauschbar. Ferner ist $n(i\o_n^Q + \ldots ) = n(\ldots )\,$. Und schlie\ss lich hat man \bea{4.13} w_T (Q^2) \!\!&=&\!\! {1\0 (2\pi)^3}\!\int \!\! d^3p \;\Vau_t\,\Vau_\tau \; \Bigg( {n( \wu{\tau+p^2} ) \0 \wu{\tau+p^2} }\; {1\0 t + \kappa^2 - (\wu{\tau+p^2} -i\o_n^Q )^2 } \; + \; {\rm dito}_{\o_n^Q \to -\,\o_n^Q} \Bigg) \nonu \\[3mm] \!\!&=&\!\! {1\0 (2\pi)^3}\!\int \! d^3p \; {n(p)\0p} \;\Vau_t\: \Bigg( {1\0 t + q^2 - 2\vc p \vc q - (i\o_n^Q)^2 +2p\, i \o_n^Q } \; + \; {\rm dito}_{\hbox{$\ldots$} } \Bigg) \quad . \quad \eea % 4.13 auf dem Papier. Die zweite Zeile entsteht, weil bei Anwenden von $\Vau_\tau$ \"uber zweiten und dritten Term von \eq{2.34} Regulatoren in das Argument der Bose--Funktion gelangen und dadurch vernachl\"assigbar nur $\cl O(e^{-\b \L})$ beitragen\,: $\Vau_\tau$ anzuwenden hei\ss t hier also $\tau=0$ zu setzen. Die in $\int\! d^3p$ enthaltene Winkelintegration wird Logarithmen geben. Aber eine gescheite Integraldarstellung w\"are uns lieber. Wir substituieren $-2\vc p \vc q = 2pqu\,$, k\"urzen den Rest im obigen Nenner mit $x$ ab und nutzen \bea{4.14} 2pq \int_{-1}^1 \! du \; f(2pqu + x) &=& \int_{-2pq}^{2pq} \!\! du \; f(u+x) \; = \; \( \int_{-2pq}^\infty - \int_{2pq}^\infty \) du\, f(x+u) \hspace{1.7cm} \nonu \\ & & \hspace{-5cm} \; = \; \int_0^\infty\! du \; \big[ f(u+x-2pq) - f(u+x+2pq) \big] \; = \; \cl A_q \, \int_0^\infty \! du \; f(u+x-2pq) \quad , \eea % 4.14 aus, wobei der Operator $\cl A_q$ bez\"uglich $q$ antisymmetrisiert$\,$: \bea{4.15} \cl A_q \; f(q) \; &\gll& \; f(q)\; -\; f(-q) \quad , \\ \cl A_q \;\cl A_p\; f(q,p) &=& f(q,p) - f(-q,p) - f(q,-p) + f(-q,-p) \quad . \nonu \eea % 4.15 Die beiden Integrale bis $\infty$ in der ersten Zeile von \eq{4.14} m\"ussen separat existieren (sonst w\"are der Schritt zur dritten verboten). Im vorliegenden Falle sichert dies der Villars--Operator $\Vau_t$ ab. Mit \eq{4.14}, \eq{4.15} nimmt $w_T$ die Form \be{4.16} w_T(Q^2) = {1\0 8 \pi^2\, q } \int_0^\infty \! dp \; n(p) \; \;\cl A_q \,\cl A_p \int_0^\infty \! du \;\Vau_t \; {1\0 u + t - (i \o_n^Q - p )^2 + (p-q)^2 } \quad \ee % 4.16 an. Nicht klagen bitte$\,$: das ist einfach. Man ahnt nun recht gut, wie $w_T$ bei gro\ss em Argument $Q^2$ faktorisieren wird. Dann m\"ochten n\"amlich die \glqq festgehaltenen\grqq\ $p$'s im Nenner entfallen. Aber Vorsicht, es ist $\cl A_p\, 1 = 0\,$, so da\ss\ zuvor $\cl A_p$ anzuwenden und auf Hauptnenner zu bringen ist. Letzterer erlaubt $p\to 0$, aber der Z\"ahler ist $\sim p\,$. Wird auch noch $\cl A_q$ angewendet und das $u$--Integral ausgef\"uhrt, so entsteht schlie\ss lich \be{4.17} w_T (Q^2) \; \to \; w_T^{\rm as} (Q^2) \qquad {\rm mit} \qquad w_T^{\rm as} (Q^2) \; = \; {\, T^2\0 6}\; G_0 (Q^2) \;\; .\quad \ee % 4.17 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.5cm} \subsection{\boldmath$\dis I_{TT} = \sum_Q \, w_T \, w_T$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der \"Ubersicht halber und, um rasch zum Ball--Resultat zu gelangen, bleiben die folgenden drei Abschnitte von Detailrechnungen verschont. Die teils anstrengende Integrierarbeit ist in den Anh\"angen D, E und F expliziert. Hier findet sich, was die \"Uberschriften versprechen, jeweils alsbald weiter unten eingerahmt. \be{4.18} I_{TT} = I^{^{\int}}_{TT} + I^{^{\rm ohne}}_{TT} \;\; , \;\; I^{^{\int}}_{TT} = \eu_Q w_T w_T \quad , \quad I^{^{\rm ohne}}_{TT} = \sum_Q^{\rm ohne} w_T w_T \quad . \ee % 4.18 Der erste Anteil enth\"alt die Pauli--Villars--Regulatoren und divergiert mit diesen logarithmisch. \eq{D23}\,: \be{4.19} I^{^{\int}}_{TT} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2\; \lk\; 4\; {\rm LN} - 8 \;\ln(4\pi T)\, + 8\, z_3 + {76\0 15} \rk \quad {\rm mit} \quad z_3 \; \gll \; {\zeta^\prime (-3) \0 \zeta (-3)} \;\; , \quad \ee % 4.19 Bez\"uglich \glqq LN\grqq\ sei an \eq{2.45} und \eq{2.46} erinnert. Wie bei Arnold-Zhai \cite{AZ} braucht der Anteil $I^{^{\rm ohne}}_{TT}$ keine Regulatorterme. Bei seiner Auswertung gehen wir im Anhang D eigene Wege (u.a. ohne den $Q_0\!=\!0$--Terms aus Frequenzsumme abzuspalten). Das Resultat ist nat\"urlich mit jenem in \cite{AZ} identisch. \eq{D56}\,: \be{4.20} I^{^{\rm ohne}}_{TT} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk\; 24\, z_1 - 24\, z_3 - {168\0 15} \;\rk \qquad {\rm mit} \qquad z_1 \; \gll \; {\zeta^\prime (-1) \0 \zeta (-1)} \;\; . \quad \ee % 4.20 Resultat : \be{4.21} \parbox{14cm}{\hspace*{1cm} \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{1.5cm} \hbox{$\dis I_{TT} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk 4\; {\rm LN} - 8\;\ln(4\pi T)\, + 24\, z_1 - 16\, z_3 - {92\0 15} \;\rk \quad $}}\quad .} \ee % 4.21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.5cm} \subsection{\boldmath$\dis I_{0T} = 2\,\sum_Q \, w_0 \, w_T$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \be{4.22} I_{0T} = I^{^{\int}}_{0T} + I^{^{\rm ohne}}_{0T} \quad , \quad I^{^{\int}}_{0T} = 2\, \eu_Q w_0 w_T \quad , \quad I^{^{\rm ohne}}_{0T} = 2\,\sum_Q^{\rm ohne} w_0 w_T \quad . \ee % 4.22 W\"ahrend sich hierin $I^{^{\rm ohne}}_{0T}$ durchaus anst\"andig verh\"alt, siehe \eq{4.26}, spaltet $I^{^{\int}}_{0T}$ auf in einen $T^4$--Term (anst\"andig) und einen $\L^2 T^2$--Term, und dieser ist genau so unanst\"andig wie der in \eq{3.36} subtrahierte ${T^2\0 3} \chi (0)$--Term. Was treiben die beiden miteinander$\,$? \,{\sl cancellation}\,! \,Dieses Detail ist erstaunlich einfach einzusehen, n\"amlich indem man bez\"uglich $\L \to \infty$ den asymptotisch f\"uhrenden Anteil von $I^{^{\int}}_{0T}$ pr\"apariert. Dazu skalieren wir per $Q\to \L Q$ und blicken auf $I^{^{\int}}_{0T} = 2\,\L^4 \int_Q \! w_0(\L^2 Q^2 ) \,w_T (\L^2 Q^2)\,$. Im relevanten $Q^2$--Bereich ist hierin nach \eq{2.50} $w_0(\L^2Q^2)=\cl O(1)\,$, w\"ahrend gem\"a\ss\ \eq{4.17} $w_T(\L^2Q^2)$ asymptotisch das gew\"unschte $1/\L^2$ vorzeigt. Es ist also \be{4.23} I^{^{\int\;,\;\L^2{\rm Term}}}_{0T} = 2 \!\int_Q \! w_0(Q^2) \,w_T^{\rm as} (Q^2) = 2 \!\int_Q w_0 (Q^2) \, {T^2\0 6} G_0 (Q^2) \; = \; {T^2 \0 3} \, \chi (0) \;\; , \quad \ee % 4.23 wobei wir zur Identifizierung ganz rechts lediglich \eq{2.26} bei $\vc Q=0$ angesehen haben. Es zeigt sich, da\ss\ keiner der anderen $I$--Anteile einen $\L^2$--Term hat. In \eq{3.36} geh\"oren also die folgenden beiden zusammen\,: \be{4.24} I^{^{\int}}_{0T} - {\, T^2\0 3} \chi (0) \; = \; 2 \eu_Q w_0 (Q^2) \,\lk w_T (Q^2) - w_T^{\rm as} (Q^2) \rk \,\glr \;\D^{^{\int}} \quad . \quad \ee % 4.24 Die Auswertung von $\D^{^{\int}}$ f\"uhrt im Anhang E auf \be{4.25} I^{^{\int}}_{0T} - {\, T^2\0 3} \chi(0) = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk\; - {12\0 5}\; {\rm LN} + {24\0 5}\;\ln(4\pi T)\, - {24\0 5}\, z_3 - {18\0 5} \;\rk \;\; . \quad \ee % 4.25 F\"ur den \glqq anst\"andigen\grqq\ Anteil $I^{^{\rm ohne}}_{0T}$ wird im Anhang E \be{4.26} I^{^{\rm ohne}}_{0T} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk\; 4\; {\rm LN} - 8\;\ln(4\pi T)\, + 8\, z_3 + {136\0 15} \;\rk \quad , \ee % 4.26 erhalten, s.~\eq{E14}. Zusammen mit \eq{4.25} kommen wir an beim Resultat \be{4.27} \parbox{14cm}{ \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{1.5cm} \hbox{$\dis {I_{0T}} - {\, T^2 \0 3} \chi (0) \; = \; \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk\; {8\0 5}\; {\rm LN} - {16\0 5}\;\ln(4\pi T)\, + {16\0 5}\, z_3 + {82\0 15} \;\rk \quad $}}\quad .} \ee % 4.27 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.5cm} \subsection{\boldmath$\dis I_{00} = \sum_Q \, w_0 \, w_0$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \be{4.28} I_{00} = I^{^{\int}}_{00} + I^{^{\rm ohne}}_{00} \quad , \quad I^{^{\int}}_{00} = \eu_Q w_0 w_0 \quad , \quad I^{^{\rm ohne}}_{00} = \sum_Q^{\rm ohne} w_0 w_0 \quad . \ee % 4.28 Wie schon einmal erw\"ahnt, enth\"alt der Anteil $I^{^{\int}}_{00}$ keine Temperatur mehr. Er entf\"allt also (siehe Kommentare vor \eq{3.9}). Wie der verbleibende Beitrag aussieht, zeigt \be{4.29} \parbox{14cm}{ \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{1.5cm} \hbox{$\dis I_{00} = \;\(\lower 4pt\vbox{ \hbox{\scriptsize Temperatur--} \vspace{-.2cm} \hbox{\scriptsize unabh\"angiges}}\) \; + \; \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk\; {2\0 5}\; {\rm LN} - {4\0 5}\;\ln(4\pi T)\, + {4\0 5}\, z_3 + {16\0 15} \;\rk \quad $}}\quad . } \ee % 4.29 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.5cm} \subsection{Ball--Resultat und Vergleich mit Dim.Reg.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die erste Erfreulichkeit, welche wir in den drei eingerahmten Zwischenresultaten erkennen, ist der Vorfaktor. Zusammen mit $g^4/48$ in \eq{3.36} gibt er den Eimer--Faktor $\mho$, s.~\eq{3.36}. Aber wirklich spannend wird die Angelegenheit bei Erinnerung der anderen Details des unter \eq{3.36} beschworenen Wahrnehmungsrasters. Addieren wir also die drei $I$--Beitr\"age mit Gem\"ut$\,$: \bea{4.30} {g^4\0 49} \; I_{TT} & = & \mho \; \lk 4\; {\rm LN} - 8\;\ln(4\pi T)\, + 24\, z_1 - 16\, z_3 - {92\0 15} \;\rk \quad , \quad \nonu \\ {g^4\0 48} \; \(\, I_{0T} - {\, T^2 \0 3} \chi (0) \,\) & = & \mho \; \lk\; {8\0 5}\; {\rm LN} - {16\0 5}\;\ln(4\pi T)\, + {16\0 5}\, z_3 + {82\0 15} \;\rk \quad , \quad \nonu \\ {g^4\0 48} \; I_{00} & = & \mho \; \lk\; {2\0 5}\; {\rm LN} - {4\0 5}\;\ln(4\pi T)\, + {4\0 5}\, z_3 + {16\0 15} \;\rk \quad , \quad \nonu \\ & & \hspace{-5.3cm} \vrule depth 0pt height .3pt width 15.3cm \nonu \\[6pt] {g^4\0 48} \; \(\, I_{\rm ball} \; - \; {T^3\0 3} \chi(0) \,\) & = & \mho \; \lk\; 6 \; {\rm LN} - 12\;\ln(4\pi T)\, + 24\, z_1 - 12\, z_3 + {2\0 5} \;\rk \quad . \quad \eea % 4.30 Die richtige Anzahl Divergenzenfresser ($6\, {\rm LN}$) ist ebenso herausgekommen, wie die richtige Anzahl von $\ln(4\pi T)$--Termen. Was braucht man (vorerst) mehr zum Gl\"uck. Mit \eq{3.36} und \eq{4.30} liegt das Endresultat f\"ur den Druck jetzt nat\"urlich vor. Wir geben ihm zu Beginn des n\"achsten Abschnitts einen w\"urdigen Rahmen. Wie der Mensch ist, schielt er nun auf anderer Leute Resultate. Andere Leute haben ausschlie\ss lich dimensional regularisiert. Folglich wissen sie nichts von einem Term $\chi (0) \sim \L^2\,$. Ferner haben sie ihre Skala $\ov{\mu}$, welche $\ln (T)$ braucht, auf etwas andere Weise ins Spiel gebracht. Die Anzahlen ihrer $1/\e$ Divergenzen sollten allerdings perfekt mit unseren Anzahlen von LN's \"ubereinstimmen. Die Diskrepanzen liegen im Endlichen. Last not least, erst in me\ss baren physikalischen Gr\"o\ss en (d.h. Term f\"ur Term der asymptotischen Entwicklung f\"ur den Druck) haben sich solche endlichen Diskrepanzen gef\"alligst (auf wundersame Weise) in Nichts aufzul\"osen. Mal sehen. Die Basketball--Resultate finden sich bei \cite{AZ} in den Gleichungen (2.35), (D.20), (D.21) und (2.36), wobei (D.20) zum Vergleich einen Faktor 2 braucht$\,$: \bea{4.31} {g^4\0 48} \; I^{^{\rm dim.reg.}}_{TT} & = & \mho \; \lk 4\; {1\0 \e} + 24\, {\bf L} + 40\, z_1 - 16\, z_3 + {268\0 15} \;\rk \nonu \\ {g^4\0 48} \; I^{^{\rm dim.reg.}}_{0T} & = & \mho \; \lk\; {8\0 5}\; {1\0 \e} + {48\0 5}\, {\bf L} + 8\, z_1 + {8\0 5}\, z_3 + {206\0 15} \;\rk \quad \nonu \\ {g^4\0 48} \; I^{^{\rm dim.reg.}}_{00} & = & \mho \; \lk\; {2\0 5}\; {1\0 \e} + {12\0 5}\, {\bf L} + {12\0 5}\, z_3 + {72\0 15} \;\rk \hspace{1.2cm} , \quad {\bf L} \gll \ln \( {\ov{\mu} \0 4\pi T} \) \nonu \\ & & \hspace{-3cm} \vrule depth 0pt height .3pt width 14.8cm \nonu \\[6pt] {g^4\0 48} \; I^{^{\rm dim.reg.}}_{\rm ball} & = & \mho \; \lk\; 6 \; {1\0 \e} + 36\, {\bf L} + 48\, z_1 - 12\, z_3 + {182\0 5} \;\rk \quad , \quad \eea % 4.31 Es steht bestens um die Anzahlen von ${1\0\e}$'s \ --- \ wie erforderlich sogar termweise. Aber ansonsten sehen wir uns einer Zahlenmystik ausgeliefert. Besonders beunruhigen k\"onnte der Unterschied 36$\neq$12 in den Logarithmen von $4\pi T\,$. Tats\"achlich (private Historie) lag im PV--Fall zuerst \eq{4.30} vor, noch bevor klar wurde, da\ss\ dies \ a u c h \ stimmt. Aus dieser Historie stammt die ph\"anomenologische Gleichung \hbox{\glqq LN}$ - 2\,\ln(4\pi T) \; \gdw \; {1\0\e} + 6\,{\bf L} + 4 \, z_1 + 6\;$\hbox{\grqq }$\!$, welche \eq{4.31} in \eq{4.30} \"ubersetzt, Dim.Reg. in PV also. Sie \"ubersetzt auch separat $I_{TT}$, \eq{4.21}, in Arnodl-Zhai's (2.35). Diese \glqq Regel\grqq\ hat m\"oglicherweise keinen tieferen Sinn, es sei denn man kriecht (was wir hier nicht tun wollen) in technische Details hinein, um die Entstehung des Unterschieds zwischen den beiden Regularisierungen genauer zu begreifen. Grob$\,$: Dim.Reg. hat Bose--Funktion kaputt gemacht. Zur Dimensionalen Regularisierung ist das zugeh\"orige \glqq Wahrnehmungsraster\grqq\ nachzutragen. Arnold-Zhai's $b$ hatten wir schon in \eq{3.27} zum Vergleich angesehen. F\"ur das dortige Subjekt $\iota_\e$ haben wir inzwischen die geeignete Notation beieinander$\,$: $\iota_\e = 2 {\bf L} + 2\, z_1 + 2\,$. Die Terme bis mit $g^3$ stimmen mit jenen in \eq{3.34} \"uberein. Und das \"Aquivalent von \eq{3.36} lautet$\,$: \be{4.32} p_4^{\rm dim.reg.} = \mho \, \lk - 6 {1\0\e} - 18\, {\bf L} - 24\, z_1 + 6\,\g - 60 \rk + {g^4\0 48}\, I_{\rm ball} \quad . \ee % 4.32 Es hat nat\"urlich die richtige ${1\0\e}$--Anzahl, zum Gefressen--Werden durch \eq{4.31}. {\bf L} ist bereits inclusive Skala $\ov{\mu}$ definiert. Woher $z_1$ ? \ --- \ ausschlie\ss lich \"uber das Subjekt $\iota_\e$, und dieses vom Bose--Kaputtmachen. Bose in $I_{\rm ball}$ kaputt und \glqq entsprechend kaputt\grqq\ in den anderen Termen. \"Ubrigens bleibt $\iota_\e$ ausschlie\ss lich via ${1\0\e} \( 1 + \e \iota_\e \)$ am Leben. Die oben im Text genannte \glqq Regel\grqq\ ist f\"ur das Gesamtresultat nun falsch. Wenn denn also \ --- \ wie sich gleich zeigt \ --- \ der Druck zu beiden Einbettungsarten gar schlicht der selbe ist, dann sollte (wird) sich ein Zusammenhang zwischen Skala $M$ und Subjekt Nummer zwei, $\ov{\mu}$, dingfest machen lassen. Man blicke ruhig nach unten auf \eq{5.3}. Selbstverst\"andlich kann die $M$--$\ov{\mu}$--Beziehung auch dadurch erhalten werden, da\ss\ man mit dimensional gerechneten $T\!=\!0$--Gr\"o\ss en die Renormierungsbedingungen \eq{2.11}--\eq{2.13} bedient. Der Test wurde durchgef\"uhrt, \eq{5.3} stimmt. %%% 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{5.\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Unabh\"angigkeit vom Renormierungspunkt $M$} Das Endresultat f\"ur den Druck, gerechnet in Pauli--Villars--Regularisierung bis mit $g^4$, war im vorigen Abschnitt mit \eq{4.30} bereits erreicht. Lediglich der letzte Schritt fehlte, n\"amlich die Druck--Gleichung \eq{3.36} mit $I_{\rm ball}$ auch wirklich zu best\"ucken. Eine gewisse Feierlichkeit ist jetzt angezeigt$\,$: \bea{5.1} \parbox{14.3cm}{ \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{2.7cm} \vbox{ \hbox{ \ $\ \dis p \; = \; {\pi^2T^4\0 90} \; - \; {g^2\0 8} \({T^2\012}\)^2 \; + \; {m^3 T \0 12\pi}$} \vspace{.2cm} \hbox{ \ $\dis \qquad + \; \mho \, \lk \; 18\;\ln \( {M \0 4\pi T}\) \; - \; 18 \; + \; 6\,\g \; + \; 24\, z_1 \; - \; 12 z_3 \; - \; {118\0 5} \;\rk \qquad $}}}\quad .} \eea % 5.1 In der Einleitung war das schwere Leben von Me\ss gr\"o\ss en beschrieben worden. Zweites und drittes Erfordernis (Unabh\"angigkeit von cutoffs und von endlichen Details der Einbettung) sind bereits erf\"ullt. Der Druck darf auch nicht (erstes Erfordernis) bei PV oder Dim.Reg. verschieden herauskommen. Also stellen wir \eq{5.1} Arnold und Zhai's Resultat gegen\"uber. Es folgt per Einsetzen von \eq{4.31} in \eq{4.32}$\,$: \bea{5.2} p^{\rm dim.reg.} \; &=& \; {\pi^2T^4\0 90} \; - \; {g^2\0 8} \({T^2\012}\)^2 + {m^3 T \0 12\pi } \; + \; \nonu \\ & & {} + \; \mho \, \lk \; 18\, \ln \( {\ov{\mu} \0 4\pi T}\) + 6\,\g + 24\, z_1 - 12 z_3 - {118\0 5} \;\rk \;\;\; . \eea % 5.2 Genau hinsehen, bitte. In \eq{5.1} scheint eine $- 18$ \"uberz\"ahlig zu sein. Und \eq{5.2} hat im Logarithmus einen anderen Skalenparameter stehen. Die \"Ubereinstimmung wird also perfekt, wenn man identifiziert \be{5.3} M \; = \; \ov{\mu} \; \cdot \; e \qquad. \ee % 5.3 Und das wars dann, siehe Komentar am Ende des vorigen Abschnitts. Der Druck ist unabh\"angig von der Art der Einbettung bei Durchf\"uhrung der Feldtheorie. Ein wenig darf allerdings erstaunen, da\ss\ mit all ihren M\"angeln (siehe \S~1) sogar auch die Dim.Reg. etwas Richtiges geliefert hat. Mit \eq{5.1} ist im \"ubrigen klar, da\ss\ auch bei Pauli-Villars Euler--Konstante und logarithmische Zetafunktions--Ableitungen im Endresultat stehen bleiben (in irgendeinem Lehrbuch stand Gegenteiliges zu lesen) und nicht etwa nur Dim.Reg.--Kunstprodukte sind. Die \"Uberschrift dieses Abschnitts verweist nat\"urlich auf das vierte Erfordernis. Der Druck $p$ (Term f\"ur Term seiner asymptotischen Entwicklung) darf auch nicht von der Skala $M$ abh\"angen, an welcher in \S~2.3 \glqq die Theorie definiert\grqq\ wurde. Im Resultat \eq{5.1} erscheint dieser Parameter $M$ explizit (\glqq welches $M$ ??!\grqq$\!$) \ --- \ aber auch die Kopplung $g$ h\"angt von ihrer \glqq Definition\grqq\ bei $M$ ab. Gr\"o\ss en, welche vom \glqq Theorie--Definieren\grqq\ noch \ n i c h t s \ wissen, fanden sich zuletzt in \S~2.1$\,$. $g_{\rm ur}^2$ wu\ss te nichts. Die interessante dritte Gleichung in \eq{2.8} lautet mit \eq{2.33} \be{5.4} g_{\rm ur}^2 \; = \; {Z_g \0 Z_\phi^2}\; g^2 \; = \; { 1 + {3\, g^2 \0 32 \pi^2} \, \bigg( {\rm LN} - \ln (M^2) \bigg) \; + \; \cl O (g^4) \; \0 1 \; + \; \cl O(g^4) } \; g^2(M) \quad . \ee % 5.4 Nun ist hierin $g_{\rm ur}$ unbekannt, wiewohl $M$--unabh\"angig. Und das gen\"ugt. Wir wollen ja nur sehen, da\ss\ jedes \ U m s t e i g e n \ von der einen $g$--Definition (bei $M$) zu einer anderen (bei $M^\prime$) keinen Einflu\ss\ auf Me\ss gr\"o\ss en hat. Die $M$--Unabh\"angigkeit von $g_{\rm ur}$ ist also als \be{5.5} { 1 + {3\, g^2(M) \0 32 \pi^2} \, \bigg( {\rm LN} - \,\ln (M^2) \bigg) \0 1 \; + \; \cl O(g^4) } \,\; g^2(M) \;\;\; \ueb{!}{=} \;\;\; { 1 + {3\, g^2(M^\prime ) \0 32 \pi^2} \, \bigg( {\rm LN} - \,\ln ( M^{\prime\, 2} )\bigg) \0 1 \; + \; \cl O(g^4) } \,\; g^2(M^\prime ) \quad . \ee % 5.5 zu formulieren. \eq{5.5} l\"a\ss t sich bequem aufl\"osen nach \be{5.6} g^2 (M^\prime ) \; = g^2 (M) + {3 \0 32 \pi^2} \; g^4 (M) \;\ln \( { M^{\prime \,2} \0 M^2} \) \; + \; \cl O \( g^6 (M) \) \quad , \ee % 5.6 wobei sich (wie erhofft) die LN--Riesigkeiten davongestohlen haben (in $\cl O(g^6)$ verfl\"uchtigt). Letzteres geschah im Iterationssinne per \bean g^4 - g^{\prime\; 4} &=& \( g^2 - g^{\prime\; 2} \)\; \(g^2 + g^{\prime\; 2} \) \; = \; \cl O(g^6) \qquad , \quad \mbox{aber} \quad \nonu \\ g^4 \ell - g^{\prime\; 4} \ell^\prime &=& {g^4 + g^{\prime\; 4}\0 2} \(\ell - \ell^\prime \) \; + \; {g^4 - g^{\prime\; 4}\0 2} \(\ell + \ell^\prime \) \; = \; g^4 \( \ell - \ell^\prime \) \; + \; \cl O(g^6) \quad . \nonu \eea mit $\ell=\ln(M^2)$, $\ell'=\ln(M'^2)\,$. Die Aufl\"osung von \eq{5.6} nach $g^2(M)$ gibt nat\"urlich erneut \eq{5.6}, aber zu $M \gdw M^\prime\,$. Und in $g^4$ ist das $M$--Argument irrelevant. Irgendwelche Leute aus Thailand werfen nun ein paper auf den Markt (zum Druck des $\phi^4$--Systems), welches von einer ganz anderen Theorie--Definition ausgeht. Sie haben n\"amlich die Bedingungen (2.11--13) mit einem Parameter $M^\prime$ best\"uckt. Da die Leute rechnen k\"onnen, sind sie bei \glqq fast\grqq\ \eq{5.1} angekommen. Die beiden relevanten Terme von \eq{5.1} lauten bei ihnen n\"amlich \\[-5mm] \be{5.7} \hspace*{2cm} - \; {g^2 (M^\prime ) \0 8} \({T^2\012}\)^2 \; + \; 9 \;\mho \;\ln \( M^{\prime\; 2}\) \quad . \ee % 5.7 Der dritte Term $\sim m^3$ ist bereits uninteressant, weil er unter \eq{5.6} wegen $$ g^3 \; = \; \lk g^2 + \cl O(g^4) \rki^{3/2} \; = \; g^3 \big( 1 + \cl O(g^2) \big) \; = \; g^3 + \cl O(g^5) $$ bis mit $g^4$ keine \"Anderung produziert. Um nun mit \glqq unserer\grqq\ Druckformel \eq{5.1} zu vergleichen, rechnen wir \eq{5.7} mittels \eq{5.6} auf $M$--Abh\"angigkeit um. Dabei kommt der Eimer-Faktor per ${1\08} \({T^2\0 12}\)^2 {3\0 32\pi^2}\; g^4 = 9\,\mho$ ins Spiel. Resultat \be{5.8} \mbox{(5.7)} \; = \; - \, {g^2(M) \0 8} \( {T^2 \0 12} \)^2 + \, 9 \;\mho\, \lk - \,\ln (M^{\prime\; 2}) + \,\ln (M^2) \rk \; + \, 9 \;\mho\,\;\ln (M^{\prime\; 2}) \quad . \ee % 5.8 Ist es \"uberdeutlich zu erkennen ?! \eq{5.7} (zuz\"uglich der unver\"anderten Terme) \ i s t \ \eq{5.1} ! \ An welcher Stelle $M$ auch immer man seine Theorie definiert, man erh\"alt das \ \hbox{g l e i c h e} \ Resultat. Das ist sch\"on$\,$: \qquad \lower 1.6mm\hbox{{\lsl Feldtheorie funktioniert\,.}} \\[2.2mm] Die im \S~2.3 noch etwas willk\"urliche erscheinende Prozedur bekommt ihren vollen Sinn. Umsteigen von einer Skala der Theorie--Definition zu einer anderen ist Gegenstand der Renormierungsgruppe. Der Anhang \glqq gruppe\grqq\ klingt irgendwie arg hochtrabend. Selbst\-ver\-st\"andlich kann man mehrere solche Umsteigereien hintereinander ausf\"uhren, ebenso wie Drehungen oder Lorentz--Transformationen. F\"ur die Experten scheint Obiges zu den Trivialit\"aten zu geh\"oren. Jedenfalls meinen Arnold und Zhai in ihren Schlu\ss kommentaren nicht mehr dieses sch\"one Tats\"achlich--Funktionieren von Feldtheorie. Sie spielen vielmehr nur herum mit Fragen, wie gut etwa Einzelterme der asymptotischen Entwicklung bereits zu wie--guten numerischen Resultaten f\"uhren. Aber das interessiert die wahren Theoretiker in Hannover eigentlich kaum noch. Eine restliche Frage k\"onnte offen geblieben sein. Irgendwer mu\ss\ irgendwie einmal aus Experiment auf \ e i n \ $g^2(M)$ geschlossen haben, mit Zahlenwert und unter Angabe von $M$. Wie mag das zu tun sein\,? \,In \eq{2.13} (der dritten Bedingung) waren Quadrate von Summen Euklidischer Impulse auf $M^2 \; >\; 0\,$ gesetzt wurden. Bei realen masselosen Teilchen (on shell) w\"are hingegen $ (Q_1^{\rm eu} + Q_2^{\rm eu})^2 = (\vc q_1 + \vc q_2)^2 - (E_1+E_2)^2 = (\vc q_1 + \vc q_2)^2 - (q_1 +q_2)^2 = 2\vc q_1 \vc q_2 - 2q_1q_2 \le 0\,$. \,\glqq {\sl on shell (but unphysical)}\grqq\ steht bei Itzykson und Zuber \cite{IZ} vor Gleichung (8-35), und diese ist \eq{2.13}. Die Antwort\footnote{ \ Dankenswerterweise hat Prof. N. Dragon mit der Antwort ausgeholfen.} f\"allt umwerfend einfach aus$\,$: Man gebe sich einen Wert $M$ vor, woraufhin die counters \eq{2.33} als Funktionen von $g^2$ festliegen. Nun rechne man mit Lagrangian \eq{2.10} eine geeignete Me\ss gr\"o\ss e aus und entnehme $g^2$ aus Vergleich mit Experiment. Dies \ i s t \ $g^2(M)$. Punkt. %%% 6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{6.\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Callan--Symanzik} Die \"Uberschrift \cite{CS} f\"uhrt in eine Materie voller Eigenartigkeiten und voller Wortgeklingel. Wir n\"ahern uns mit gro\ss er Skepsis. Was man zu einer Physik per St\"orungsrechnung in Erfahrung bringen kann, d\"urfte in den vorangegangenen Abschnitten bereits stehen. Was denn noch$\,$??! Die Koeffizienten in der Callan--Symanzik--Gleichung gewinnt man aus Bisherigem. Und bei L\"osen der CS--Gleichung, kommen Dinge heraus, die wir schon kennen. Im Kreise herum$\,$? Als erstes setzen wir $g^2 \glr \l$ (reine Notation), um besser mit Literatur vergleichen zu k\"onnen. Die Lagranian $\cl L$ (nichts wissend von Temperatur) ist \eq{2.10}, best\"uckt mit bekannten counterterms (nicht enthaltend die Temperatur). Den amputierten $n$--beinigen Vertex nennen wir $\G^{(n)}$. Bei $T=0$ h\"angt $\G^{(n)}$ \ --- \ ausgewertet zu $\cl L$ bis zu einer bestimmten Ordnung in $\l$ \ --- \ ab von einem Satz $\lb Q_i \rb$ einlaufender Impulse, von $M$ (via counters) und von $\l$ (bei $T\neq 0$ \"uberdies von $T$). $\G^{(n)}$ ist endlich ($\gll$ nicht--riesig). Dieser $n$--st\"umpfige Klumpen hat sein Gegenst\"uck $\G^{(n)}_{\rm ur}$ in der urigen Theorie. Letzteres ist riesig, unme\ss bar und unphysikalisch, aber eines hat es$\,$: Unkenntnis von $M$. Stattdessen enth\"alt es cutoffs $\L$. Vor Amputation hatte es keine $\wu {Z_{\phi}}$--Faktoren aus den $n$ Beinen abbekommen. Bei $T=0$ gilt also \be{6.1} \G^{(n)}_{\rm ur} \( \lb Q_i \rb ,\L ,\l_{\rm ur}\) \; = \; Z_\phi^{-n/2} \( \L / M , \l \) \; \cdot \G^{(n)} \( \lb Q_i \rb , M , \l \) \quad . \ee % 6.1 OK, das ist vielleicht recht schlau. $Z_\phi$ ist dimensionslos, weshalb die Abh\"angigkeit von $\L$ und $M$ als Verh\"altnis geschrieben werden durfte. Nat\"urlich l\"auft der Index $i$ von 1 bis $n$. Gibt es mehrere cutoffs, so stehe $\L$ f\"ur den Satz derselben. Vielleicht ist eine R\"uckerinnerung angezeigt, wie wir in den Abschnitten 2 (Counters) und 3 (Druck) gearbeitet hatten. Zun\"achst erscheinen die Einbettungsparameter $\G$, $\L$ an allen Ecken und Enden. Viel von diesen Abh\"angigkeiten wurde dann im Limes--Vorwegausf\"uhrungs--Sinne unterdr\"uckt. Nur Divergieren--Wollendes war zu pr\"aparieren (in den $Z$'s) beziehungsweise zu kompensieren im Druck. Statt Druck stehen in \eq{6.1} die ebenfalls endlich--zu--bleiben--habenden $\G^{(n)}\,$. Enth\"alt eine Gr\"o\ss e keine $\L$'s mehr (Druck, $\G^{(n)}\,$, CS--Gleichung \eq{6.5}), so ist der Limes \ a u s g e f \"u h r t. In \eq{6.1} haben wir zun\"achst an $n \ge 4$ Bein--St\"umpfe gedacht. Die Frage, was denn $\G^{(2)}$ zu sein habe, \ d a m i t \ \eq{6.1} auch zu $n=2$ gilt, ist durchaus etwas nervig und f\"uhrt in \S~2.1 zur\"uck$\,$: \eq{2.2} $=$ \eq{2.7}. Bei Abschalten der Kopplung reduziert sich \eq{2.7} auf $G_0 = 1/\lk P^2 (\;\; )\; (\;\; ) \rk$ (jetzt vorsichtshalber wieder mit den regulierenden Klammern). Mit Wieder--Einschalten der Kopplung nimmt einerseits $Z_\phi$ Terme auf. Unabh\"angig davon (!) generiert andererseits die St\"orungsrechnung an \eq{2.10} additive Zus\"atze im $G_0$--Nenner. Diese Zus\"atze bilden $\P$ (die Dyson--Gleichung lautet $G = G_0 - G_0 \P G$). Also haben wir zu setzen \bea{6.2} G_{\rm ur} &=& {1 \0 m_{\rm ur}^2 + P^2 \( 1 + {P^2\0\L^2}\) \( 1 + {P^2\0\G^2}\) + \P_{\rm ur} (P^2; \L ,\G , \l_{\rm ur} ) } \nonu \\[4pt] & & \hspace{1.5cm} = \;\; { Z_\phi \( \L / M , \G / M , \l \) \0 P^2 \( 1 + {P^2\0\L^2}\) \( 1 + {P^2\0\G^2}\) + \P (P^2, M , \l ) } \; = \; Z_\phi \; G \quad , \eea % 6.2 Der Vergleich mit \eq{6.1} zu $n=2$ zeigt, da\ss\ die obigen beiden \ N e n n e r \ mit $\G^{(2)}_{\rm ur}$ bzw. $\G^{(2)}$ zu identifizieren sind. \"Ubrigens kennt man solche $\G^{(2)}$ auch als jene, die das 1PI--erzeugende Funktional produziert (aber wer wagte denn, vorweg zu behaupten, da\ss\ es die selben seien). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.4cm} \subsection{Herleitung der CS--Gleichung \ ($T=0$) } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der erste Schritt in Richtung Nutzen von \eq{6.1} ist ganz klar. Keine der Gr\"o\ss en auf der linken Seite von \eq{6.1} (auch $\l_{\rm ur}$ nicht) \glqq wei\ss\ von $M$\grqq . Was wir wissen ist, da\ss\ sich diese $M$--Unabh\"angigkeit auf der rechten Seite von \eq{6.1} erst dadurch ergibt, da\ss\ auch $\l$ mit $M$ variiert$ \,$: \glqq implizite \hbox{Abh\"angigkeit\grqq $\!$.} Um bei Differentiation nach $M$ links eine Null aufschreiben zu d\"urfen, mu\ss\ also die \hbox{\glqq totale} Ableitung\grqq\ $d_M$ genommen werden ($\gll$ jene, welche auch die $M$--Abh\"angigkeit von $\l$ \hbox{\glqq sieht\grqq\ $\!\,$)}\footnote{ $ $ Ein Dankesch\"on an den Herrn Collins \cite{colli}, \S~7.3.1\,. Der CS--Paragraph 12.2 bei Peskin und Schroeder \cite{PS} w\"are mittels $d_M$ viel klarer ausgefallen. }. Es ist auch sicherlich gescheit, die Gleichung $0=d_M $\eq{6.1} mit einem Faktor so zu multiplizieren, da\ss\ sich $f^{-\a} \6 f^\a = \a \6 \,\ln (f)$ ausnutzen l\"a\ss t$\,$: \be{6.3} 0 \, = \, Z_\phi^{n/2} \, M \, d_M \;\eq{6.1} \, = \, \lk \, M \6_M + \lb M d_M \l \rb \, \6_\l - n \lb {1\02} M d_M\;\ln \( Z_\phi\)\rb \,\rk \G^{(n)} \quad . \ee % 6.3 Die beiden geschwungenen Klammern bekommen nun erst einmal ihre \"ublichen Namen, \be{6.4} M d_M \l \;\; \glr \;\; \b (\l ) \;\;\quad , \;\;\quad {1\02} M d_M\;\ln \( Z_\phi\) \;\; \glr \;\; \g (\l) \quad , \ee % 6.4 und die CS--Gleichung ihre elegante Form \be{6.5} \bigg[\; M \6_M \; + \; \b (\l) \,\6_\l \; - \; n \g (\l ) \;\bigg] \;\G^{(n)} \;\; = \;\; 0 \quad . \ee % 6.5 Vielleicht hat es keiner bemerkt \ --- \ wo hierbei geschummelt wurde$\,$: bei Verf\"ugen der nur--von--$\l$--Abh\"angigkeit der Koeffizienten in \eq{6.4}. Ein Problem bereitet $\b(\l)$ dann nicht, wenn man darauf vertraut, da\ss\ es in beliebig hohen Ordnungen ebenso zugeht wie in \eq{5.6}$\,$: $\l (M)$ enth\"alt keine cutoffs mehr, sondern neben $M$ nur noch endliche Parameter, welche f\"ur Dimensionslosigkeit sorgen. Dies ist letztlich das Resultat des Renormierbarkeits-proofs, siehe Literatur. Wenn die dimensionslose, endliche Funktion $\l =\l (M)$ nach $M$ aufgel\"ost werden kann, dann k\"onnen wir die dimensionslose, endliche Bildung $M d_M \l$ als Funktion von $\l$ auffassen. Jetzt blicken wir auf die CS--Gleichung \eq{6.5}. Auch die L\"osung $\G^{(n)}$ ist mit obigem gut--geh--Argument endlich (niemand hatte protestiert, als rechts in \eq{6.1} kein Argument $\L$ mehr erschien). Aber nun gibt es in \eq{6.5} bis auf $\g\,\G^{(n)}$ nur noch endliche Terme. Folglich gibt es kein $\L$ in $\g$, und ergo kann es nur von $\l$ abh\"angen. Punkt. Mit den Geschichten in \cite{PS} (Ende von \S~12.2) kann jetzt wer vielleicht etwas anfangen. Immerhin, $Z_\phi$ enth\"alt Riesigkeiten, aber $\g(\l)$ nicht mehr. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.4cm} \subsection{F\"uhrende Terme der Koeffizienten } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Um $\b (\l)$ und $\g (\l)$ ein paar $\l$--Ordnungen weit auszuwerten, greifen wir nat\"urlich (!) nach ihren Definitionen \eq{6.4}\footnote{ $ $ Es erstaunt ein wenig, da\ss\ in \cite{PS} etwas anderes getan wird und da\ss\ dies tats\"achlich \ a u c h \ geht. Peskin und Schroeder \cite{PS} schreiben erneut Diagramme der 2-- und 4--Beiner auf, lassen die CS--Operation \eq{6.5} auf sie los und erhalten Gleichungen f\"ur $\b$ und $\g$. OK. Vorteil$\,$: eine nicht--\glqq ur\grqq ige Methode, Nachteil$\,$: erneute Diagrammatik.}. Um $\b(\l)$ per $Md_M\l$ zu erhalten, wenden wir $Md_M$ auf \eq{5.4} an, d.h. auf $\l_{\rm ur} = \l Z_g /Z_\phi^2\,$. Das gibt drei Terme, \be{6.6} 0 \;\; = \;\; \b \, {Z_g \0 Z_\phi^2} \; + \; {\l \0 Z_\phi^2} \, M d_M Z_g \; - \; 2\, {\l Z_g \0 Z_\phi^3} \, M d_M Z_\phi \quad , \ee % 6.6 und aus unserer $Z$--Kenntnis \eq{2.33} erg\"anzen wir dies um \bea{6.7} M d_M Z_g & = & Md_M \( {3 \, \l \0 32 \pi^2} \lk {\rm LN} - 2\,\ln (M) \rk \; + \; \cl O(\l^2 ) \) \nonu\\ & = & {3 \, \b \0 32 \pi^2 } \lk {\rm LN} - 2\,\ln (M) \rk \; - \; { 3 \, \l \0 16 \pi^2} \; + \; \cl O (\l^2 ) \\[6pt] \label{6.8} M d_M Z_\phi & = & M d_M \, \cl O(\l^2) \; = \; \cl O(\l^2) \eea % 6.7 und 6.8 Ersichtlich kann $Md_M$--Operation die $\l$--Ordnung aufrechterhalten (if $\ln(M)$ behind), so da\ss\ wir in \eq{6.8} sehr kurz bleiben konnten. Wir wollten wissen, ob unser Informationsstand mehr als den f\"uhrenden $\b$--Term zu bestimmen erlaubt $$ \bigg( \;\; \mbox{\eq{6.7}, \eq{6.8} in \eq{6.6} gibt} \quad 0 = {\b\, Z_g\0 Z_\phi^2} - { 3\,\l^2 \0 16\pi^2 Z_\phi^2} + { 3\,\b\,\l \0 32 \pi^2 Z_\phi^2} \lk {\rm LN} - 2 \ln(M) \rk \; + \; \cl O(\l^3) \;\; \bigg) \; , $$ aber die Antwort ist Nein$\,$: \be{6.9} \b(\l) \;\; = \;\; { 3 \0 16 \pi^2} \; \l^2 \;\; + \;\; \cl O(\l^3) \;\; = \;\; { 3 \0 16 \pi^2} \; g^4 \;\; + \;\; \cl O(g^6) \quad . \ee % 6.9 \eq{6.4} verkn\"upft $\g(\l) = {1\02} M d_M \ln (Z_\phi )$ direkt mit $Z_\phi$, \eq{2.33}, und wir wissen nun schon, wie sich die $\l$--Ordnung aufrecht erh\"alt$\,$: \bea{6.10} \g(\l) &=& {1\0 2 Z_\phi} \, M d_M \, \( \; {1\03} \({\l \0 32\pi^2}\)^2 \, \lk \ln(M^2) - {\rm LN} - {1\02} + c_2 \rk \; + \; \cl O(\l^3) \) \nonu \\ &=& {1\03} \({\l \0 32 \pi^2}\)^2 \;\; + \;\; \cl O (\l^3 ) \;\; = \;\; {1\03} \({g^2 \0 32 \pi^2}\)^2 \;\; + \;\; \cl O (g^6) \quad . \eea % 6.10 $Z_\phi$ war riesig, $\g(\l)$ ist es nicht mehr. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.4cm} \subsection{L\"osung der CS--Gleichung \ ($T=0$) } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $\big[\; M \6_M + \b (\l) \6_\l - n \g (\l ) \big] \, \G^{(n)} = 0$ ist eine homogene\footnote{ $ $ Zu massiver $\phi^4$--Theorie ist sie inhomogen, siehe z.B. Cheng and Li \cite{cl}, Gleichung (3.51), wird aber homogen {\sl in the deep Euclidean region}$\,$: ibid. Gl. (3.57)} lineare (!) partielle Dgl in zwei Dimensionen. Der Koeffizient an $\6_\l$ h\"angt nur von $\l$ ab, jener an $\6_M$ nur von $M$. Ist das aber einfach$\,$! Wer in Hannover durch die \glqq Rechenmethoden\grqq\ gegangen ist, der l\"ost so etwas zu Fu\ss . Der genannte Fu\ss g\"anger hat die folgenden drei Ideen$\,$: \\[3pt] 1. {\scriptsize\bf ( neue Variable )} \ Sicherlich kann man eine neue Variable (die Stammfunktion von $1/M$ ist $t=\ln(M)$ ) so einf\"uhren, da\ss\ die erste Operation ein $\6_t$ wird. Dann entsteht eine spezielle zeitabh\"angige Schr\"odinger--Gleichung mit $t$--unabh\"angigem Hamiltonian. Anfangswert--Problem abstrakt l\"osbar per $e$--Funktion. \\[3pt] 2. {\scriptsize\bf ( neue Funktion ) } \ Der Zusatzterm $\g\,\G^{(n)}$ (man denke an $i\p \psi= (H+ {\rm const}\,)\psi$) re--skaliert nur und kann mit Abspalten einer $e$--Funktion beseitigt werden. \\[3pt] 3. {\scriptsize\bf ( schwingende Saite )} \ Auch der $\6_\l$--Term mu\ss\ sich irgendwie in ein $\6_x$ verwandeln lassen (Stammfunktion von $1/\b(\l)\, $?!). Also entsteht\footnote{ $ $ Das ist bereits nur noch ein Halbschritt zur schwingenden Saite$\,$ $\lk \6_t + \6_x \rk \lk \6_t - \6_x \rk y(t,x)=0\,$.} $\lk \6_t + \6_x \rk f(t,x)=0$. Und hiervon ist die allgemeine L\"osung $f(t,x)=\,$eine beliebige Funktion von $(t-x) \glr \bel \, (x-t)$. Fein. Alles im Griff. Aber soweit nur \glqq ideell\grqq\ $\!$. Der Variablensatz $\lb Q_i \rb$ spielt nicht mit in der CS--Gleichung (ist nur Parameter), also$\,$: $\G^{(n)}(M,\l)$. Die Assoziationen mit Schr\"odinger--Gleichung lassen wir wieder beiseite (es lohnt nicht). Konkret beginnen wir mit der \glqq Beseitigung\grqq\ des $-n\g$--Terms. Da $\g(\l)$, sollte dies der $\6_\l$ Term bewerkstelligen. Wir brauchen die Stammfunktion nicht nur von $1/\b$ sondern auch von $\g/\b$ und schreiben solcherlei salopp als \be{6.11} \int_{\l_0}^\l \! d\l^\prime \;\, {\g(\l^\prime)\0 \b(\l^\prime) } \;\;\;\; \glr \;\;\;\int^\l {\g\0 \b} \qquad \mbox{und} \qquad \int_{\l_0}^\l \! d\l^\prime \; {1 \0 \b(\l^\prime) } \;\;\;\; \glr \;\;\;\int^\l { 1 \0 \b} \quad . \ee % 6.11 Die Rest--Funktion $f$ nach Abspalten des geeigneten Exponenten (siehe unten) definieren wir nun gleich als abh\"angend von \ d e n \ geeigneten neuen Variablen $t$ und $x\,$: \be{6.12} \G^{(n)}(M,\l) \,\; = \,\; e^{ n \int^\l {\g \0 \b }} \,\;\; f \Big( \; t = \,\ln (M)\; ,\; x = \int^\l {1\0 \b} \,\;\Big) \quad . \ee % 6.12 Anwenden des CS--Operators auf \eq{6.12} gibt nun in der Tat $(\6_t + \6_x) f(t,x)=0$. Somit ist $f(t,x)=\bel \, (x-t)$, und \be{6.13} \G^{(n)}(M,\l) \; = \; e^{ n \int^\l {\g \0 \b } } \,\;\; \bel \; \Big( \;\;\int^\l \, {1\0 \b} - \;\ln \( M \) \,\;\Big) \quad \ee % 6.13 ist die allgemeine L\"osung der Callan--Symanzik--Gleichung (der masselosen $\phi^4$--Theorie bei Temperatur Null). Bei \eq{6.13} sind wir ohne besondere M\"uhen angekommen. Aber nun h\"aufen sich Fragen. Was all das soll, ist wohl die schlimmste. Mit einer beliebigen Funktion kann man nicht leben. K\"onnten wir $\G^{(n)}$ exakt ausrechnen, gut, dann w\"are auch \bel bekannt. Aber dann w\"urde sich niemand mehr f\"ur letztere interessieren. Die einzige Weisheit in \eq{6.13} scheint in dem speziellen Argument von \bel zu liegen. Wir k\"onnen das Variablen--Paar $M, \, \l$, so ver\"anderen, da\ss\ sich \bel$\,$ gerade \ n i c h t \ \"andert. Wir gehen dann auf einer Linie im $\l$ \"uber $M$ Diagramm spazieren, auf einer \"Aqui--\bel--Linie sozusagen. Die Linie beginne an jener Stelle $M$ zu welcher der zugeh\"orige Wert $\l$ irgendwie experimentell ermittelt sei. Andere Punkte $\ov{\l}$, $\ov{M}$ auf der Linie folgen dann aus \be{6.14} \int^\l \, {1\0 \b} - \;\ln \( M \) \; = \; \int^{\ov{\l} ( \ov{M}, M, \l )} \, {1\0 \b} - \;\ln \( \ov{M} \) \quad . \ee % 6.14 Ersichtlich kann \eq{6.14} unverz\"uglich umgeschrieben werden auf \be{6.15} \int_\l^{\ov{\l} ( \ov{M}, M, \l )} {1\0 \b} \; = \;\,\ln \( {\ov{M} \0 M} \) \quad , \ee % 6.15 woraufhin nun wohl in das \"ubliche Geplapper einzustimmen ist, $\ov{\l}$ sei die \glqq {\sl running coup\-ling}\grqq . Soso. Da runnt sie also dahin auf der \"Aqui--\bel--Linie. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.4cm} \subsection{\glqq running coupling\grqq \ = \ bei $\ov{M}$ definierte Kopplung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Bei aller seelischer Zerrissenheit um das Thema dieses Callan--Symanzik--Abschnitts, {\sl einen} besonderen Reiz mag es wohl haben. Es handelt von der verzweifelten Bem\"uhung um Aussagen jenseits der St\"orungsrechnung, um die Struktur der exakten Theorie. Wir beginnen mit der rechten H\"alfte der \"Uberschrift und rekapitulieren, was wir \"uber eine bei $M^\prime$ definierte Kopplung $\l(M^\prime)\glr \l^\prime$ wissen. Die Renormierungsbedingungen \eq{2.11}--\eq{2.13} liefern $Z_g$ und $Z_\phi$ als Funktionen von $M$, $\l\,$. Mit diesen Funktionen $Z$ konnten wir die Beziehung zu $\l_{\rm ur}$ best\"ucken, so geschehen in \eq{5.4}. Der Abbruch der St\"orungsreihe konnte dort nat\"urlich auch weit oberhalb $\l^2$ liegen. Sodann hatten wir, in \eq{5.5}, $M$--Unabh\"angigkeit von $\l_{\rm ur}$ ausgenutzt. In irgendeiner beliebig hohen Abbruchordnung hei\ss t das \be{6.16} \l_{\rm ur} \,\; = \,\; { Z_g \( \L, M, \l \) \0 Z_\phi^2 \(\L, M, \l\) } \; \l \,\; = \,\; { Z_g \( \L, M^\prime, \l^\prime \) \0 Z_\phi^2 \(\L, M^\prime , \l^\prime \) } \; \l^\prime \quad . \ee % 6.16 Ist {\sl ein} $\l$ bei $M$ experimentell bekannt, so gibt das rechte Gleichheitszeichen $\l^\prime\,$. Das linke Gleichheitszeichen hatten wir ein weiteres mal benutzt (in \eq{6.6} im Abschnitt 6.2), um uns die $\b$--Funktion zu verschaffen. Auch diese Prozedur h\"angt nat\"urlich nicht an der Abbruchordnung. Auch die Information \"uber $\b(\l)$ ist also in \eq{6.16} enthalten. Na gut, wiederholen wir auch noch die Definition \eq{6.4} der $\b$--Funktion$\,$: \be{6.17} \b(\l) \; \gll \; M\, d_M\, \l (M) \; = \; d_{\ln(M)} \, \l (M) \quad . \ee % 6.17 Es ist augenf\"allig, da\ss\ \eq{6.17} durch Trennung der Variablen aufintegriert werden kann$\,$: \be{6.18} {dM \0 M} \; = \; { d \l \0 \b(\l) } \qquad \Rightarrow \qquad \int_M^{M^\prime} \!\! dM \; {1\0 M} \; = \; \ln \( {M^\prime \0 M} \) \; = \; \int_\l^{\l^\prime} {1\0 \b} \quad . \ee % 6.18 Das war, was wir schon wu\ss ten$\,$: alter Tee. Und nun blicken wir auf \eq{6.15} zur\"uck, wie dort eigentlich das Objekt $\ov{\l}$ definiert war. Sieh einer Kuckuck, \eq{6.18} und \eq{6.15} sind identische Gleichungen ($\ov{M}$ ist $M^\prime$). Zwischen $\l^\prime$ und $\ov{\l}$ gibt es {\sl keinen Unterschied}. Verdammt noch mal, ihr elenden Schreiberlinge mit eurem nebul\"osen Wortgeklingel$\,$! Vielleicht ist hierbei auch klar geworden, da\ss\ wir uns von den Herren C und S h\"ubsch im Kreis herum haben f\"uhren lassen \ --- \ allerdings nur in bezug auf $\l(M)\,$. Wie sich $\l$ mit $M$ \"andert, das steht schon im \glqq alten Tee\grqq\ \eq{6.16}. Und eine Abk\"urzung f\"ur die Ableitung $M d_M \l(M)$ h\"atte uns schon im \S~2 in den Sinn kommen k\"onnen. Aber mit Bezeichnungen soll man sparen (sagt irgendwer in Wien). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{.4cm} \subsection{Skalierung der Eingangs--Impulse} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Wir kehren zu \eq{6.13} zur\"uck, um etwas aus der allgemeinen L\"osung zu lernen, etwas immerhin \"uber den Satz der $\infty$ vielen $\G^{(n)}$. \"Ubergang von $\l,\, M$ zum Variablenpaar $\ov{\l},\, \ov{M}$ \"andert \bel genau dann nicht, wenn \eq{6.15} erf\"ullt ist (w\"ahle z.B. $\ov{M}$, bestimme zugeh\"origes $\ov{\l}\,$). Mit solcher Begleitmusik ist also \be{6.19} e^{-n\int^\l {\g\0\b}} \; \G^{(n)} (M,\l) \; = \; e^{-n\int^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; \G^{(n)} (\ov{M},\ov{\l}) \quad , \ee % 6.19 oder unter Hinzunahme der bislang nur parametrischen Abh\"angigkeit von den $n$ Bein\-im\-pul\-sen $Q_j$ \be{6.20} \G^{(n)} (\lb Q_j \rb, M,\l) \; = \; e^{-n\int_\l^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; \G^{(n)} (\lb Q_j \rb,\ov{M},\ov{\l}) \quad . \ee % 6.20 Sie sind gef\"ahrlich, diese scheinbar billigen Umformungen; darum die Ausf\"uhrlichkeit. Die $\G^{(n)}$ haben Dimension. Um selbige zu ergr\"unden, gen\"ugt es, {\sl ein} Diagramm exemplarisch anzusehen ($n$ Beine, $n/2$ Propagatoren)$\,$: \be{6.21} \Bigg[\; \G^{(n)} \;\Bigg] \; = \; \Bigg[\; \hspace{.2cm} \pic \;\Bigg] \; = \; \Bigg[\; \eu_P \( {1\0 P^2} \)^{n/2} \;\Bigg] \; = \; \Bigg[\; { P^4 \0 P^n } \;\Bigg] \; = \; \Bigg[\; M^{4-n} \;\Bigg] \quad . \ee % 6.21 Mit einer dimensionslosen Funktion $f_n ( x,y)$ k\"onnen wir nun \eq{6.20} auch schreiben als \be{6.22} M^{n-4} f_n \( \lb \hbox{${Q_j \0 M }$} \rb, \l \) \; = \; e^{-n\int_\l^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; \ov{M}^{n-4} f_n \( \lb \hbox{${Q_j \0 \ov{M}}$}\rb, \ov{\l} \) \quad . \ee % 6.22 Wir m\"ochten gern einen Zusammenhang herstellen zwischen $\G^{(n)}$ bei gro\ss en Impulsen und z.B. kleiner Kopplung mit $\G^{(n)}$ bei entsprechend umgekehrten Daten. Dazu multiplizieren wir alle $Q$'s mit dem gleichen Faktor $\ov{M}/M\,$, auf beiden Seiten von \eq{6.22} nat\"urlich. Rechts erscheint dann $f_n$ mit den Argumenten $\lb Q_j /M\rb$ und $\ov{\l}\,$. Schlie\ss lich kehren wir von $f_n$ zu $\G^{(n)}$ zur\"uck. Damit das rechts geht, ist zuvor mit $M^{n-4}$ zu erweitern$\,$: \be{6.23} \G^{(n)} \( \lb \hbox{${\ov{M} \0 M}$} Q_j \rb , M,\l \) \; = \; \( \hbox{${\ov{M} \0 M}$} \)^{4-n} e^{-n\int_\l^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; \G^{(n)} \(\lb Q_j \rb , M, \ov{\l} \) \quad . \ee % 6.23 Cheng + Li \cite{cl} handeln die gesamte Thematik auf wenigen Seiten ab ({\sl chapter 3, Renormalization group})\footnote{ $ $ Warum nur ist dieses sch\"one Buch so weitgehend unbekannt geblieben. Vielleicht waren Itzykson und Zuber \cite{IZ} eine zu starke Konkurrenz.}. \eq{6.23} ist dort Gleichung (3.68). Im Vergleich dieser beiden fehlt jedoch noch eine Kleinigkeit, n\"amlich eine m\"ogliche Umformung des Exponenten in \eq{6.23}, d.h. von $ \int_\l^{\ov{\l}} \! d\l^\prime \;\g(\l^\prime ) / \b (\l^\prime )\,$. Dazu ersetzen wir in \eq{6.15} $\ov{\l},\, \ov{M}$ durch $\l^\prime ,\, M^\prime$ und benutzen diesen Zusammenhang, um von $\l^\prime$ zur neuen Integrationsvariablen $M^\prime$ \"uberzugehen$\,$: \be{6.24} \int_\l^{\l^\prime} {1\0 \b} \; = \;\,\ln \( {M^\prime \0 M} \) \quad \Rightarrow \quad d\l^\prime = {1\0 M^\prime} \, \b ( \l^\prime ) \quad , \quad \lower 7pt\vbox{ \hbox{\footnotesize bei $\l^\prime = \l$ wird $M^\prime = M\,$, } \vspace{-.14cm} \hbox{\footnotesize bei $\l^\prime = \ov{\l}$ wird $M^\prime = \ov{M}\;$.}} \ee % 6.24 Ergo k\"urzt sich $\b(\l^\prime )$, und wir bekommen \be{6.25} \int_\l^{\ov{\l}} \! d\l^\prime \; {\g (\l^\prime ) \0 \b (\l^\prime )} \; = \; \int_M^{\ov{M}} \! d M^\prime \, {1\0 M^\prime} \; \g \( \l^\prime ( M^\prime ) \) \; = \; \int_0^{\ln\({\ov{M}\0M}\)} \! dt \; \g \( \l^\prime ( M e^t ) \) \quad . \ee % 6.25 wobei $t = \ln (M^\prime / M )\,$. Es war ungeheuer anstrengend (Alterserscheinung denkbar). Lassen wir doch abschlie\ss end einfach Cheng und Li zu Wort kommen \cite{cl}. Das Ver\-h\"alt\-nis $M^\prime/M$ hei\ss t dort $\s$. Ferner bezieht sich der Kommentar (er folgt unmittelbar auf \eq{6.23}) auf massive Theorie, welche erst in einem asymptotischen Sinne ($\s\to\infty$) in die hiesige masselose einm\"undet$\,$: {\footnotesize In this form the asymptotic solution $\G_{\rm as}^{(n)}$ has a simple interpretaion. The effect of rescaling the momenta in the Greensfunction $\G^{(n)}$ is equivalent to replacing the coupling constant $\l$ by the effective coupling $\ov{\l}$, apart from some multiplicative factors. The first factor $\s^{4-n}$ in \eq{6.23} is the canonical dimension coming from the fact that $\G^{(n)}$ has dimension $4-n$ in units of mass. The exponential factor in \eq{6.23} is the anomalous dimension term which is the result of summing up the leading logarithms in perturbation theory. This factor is controlled by the $\g$--function. Thus $\g$ is often called the anomalous dimension (Wilson 1971).} {\footnotesize The result in this section may be viewed as follows. The expectation that in the large--momentum limit masses become negligible and theory should be scale--incvariant is too simple. Even without phy\-sical masses the renormalizable theory still has an energy scale as we must always impose normalization conditions at some mass scale. Thus naive dimension analysis is generally inadequate and scale invariance is broken. However the dependence of the theory on this normalization mass scale is given by the renormalization--group equation which expresses the effect of a small change of scale. In favourable cases when the inhomogeneous term in the Callan--Symanzik equation may be dropped the solution indicates that the asymptotic behaviour displays a certain universal character with operators being assigned anomalous dimensions. } \centerline{ \vrule width 2cm depth 0pt height .3pt \qquad} \vspace{.3cm} Renormierung ist eine Thematik, welche bez\"uglich Weisheit, Detailvielfalt und Arbeitsaufwand weit weit \"uber den Rahmen hinausgeht, welchen Lehrb\"ucher \cite{IZ,PS,ZJ,cl,kaku} \"ublicherweise stecken (m\"ussen). Wer einmal diesen Rahmen zu \"uberschreiten hat, dem hilft viel\-leicht ein kritischer \"Ubersichtsartikel von Guy Bonneau \cite{bonn} weiter\footnote{ $ $ Diesen Hinweis gab dankenswerterweise Dr. H. Skarke (Wien).}. Insbesondere findet sich dort ein stattliches Literaturverzeichnis. \vspace{.4cm} \ct{\parbox{1.2cm}{\unitlength1cm \begin{picture}(1,.5) \put(.5,.5){\circle*{1}} \end{picture}}} \vspace{.7cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{appendix} % Anhang A : 4D Winkelei \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{A$\,$.$\,$\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.6cm} \section{Kugelwinkel in 4D} \be{A1} \vc r = \( \, x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3 \, , \, x_0 \, \) \quad , \quad r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_0^2 \quad .\quad \ee % A1 Setzen wir $x_0 = r \cos (\ta )$, so ist mit $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2 \sin^2 (\ta )$ auf 3D Kugelkoordinaten mit radialer Koordinate $r_{\rm 3D} = r \sin (\ta )\;$ zur\"uckgef\"uhrt$\,$: \bea{A2} x_1 &=& r \,\sin (\ta )\,\sin (\ph )\,\cos(\rho ) \qquad \nonu \\ x_2 &=& r \,\sin (\ta )\,\sin (\ph )\,\sin(\rho ) \nonu \\ x_3 &=& r \,\sin (\ta )\,\cos (\ph ) \nonu \\ x_0 &=& r \,\cos (\ta ) \qquad . \eea % A2 Die Funktionaldeterminante kann man (in 4D) von Hand ausf\"uhren und \be{A3} \left| \;\; { \6 \( x_1, x_2, x_3, x_0 \) \0 \6 \( r, \ta , \ph , \rho \) } \;\;\right| \; = \; r^3 \, \sin^2 (\ta )\, \sin (\ph ) \quad \ee % A3 erhalten. Eine 4D Integration l\"a\ss t sich also schreiben als \def\ldo{\hbox{\huge .\hspace{-.07cm}.\hspace{-.07cm}.}} \be{A4} \int \! d^4x \;\; \ldo \;\; = \,\int_0^\infty \! dr \; r^3 \int_0^{2\pi} \! d\rho \int_0^\pi \! d\ph \; \sin (\ph ) \int_0^\pi \! d\ta \; \sin^2 (\ta ) \;\; \ldo \quad . \ee % A4 Zur Kontrolle sei die 4D Kugeloberfl\"ache ausgerechnet$\,$: \be{A5} \O_4 = \int d\O = \int_0^{2\pi} \! d\rho \int_0^\pi \! d\ph \; \sin (\ph ) \int_0^\pi \! d\ta \; \sin^2 (\ta ) \; = \; 2\pi \; \cdot \; 2 \; \cdot \; {1\02} \pi \; = \; 2\pi^2 \quad . \ee % A5 In welchem Lehrbuch mag so etwas Sch\"ones stehen$\,$: in Kaku's QFT \cite{kaku}, \S ~7.5. H\"aufig wird der Integrand nur vom Kugelwinkel $\ta$ abh\"angen, n\"amlich wenn er das Skalarprodukt $\vc P \vc Q$ enth\"alt. Die Winkel k\"onnen dann auf die $\vc Q$--Achse bezogen werden, $\vc Q = (Q,0,0,0)$, so da\ss\ $\vc P \vc Q = P_0 Q = P Q \, \cos (\ta ) \glr PQ\, c$ gilt\,: \be{A6} \int\! d^4P \; f \Big(\, P\, , \,\vc P \vc Q \,\Big) \; = \; \int_0^\infty \! dP P^3 \; \int\! d\O \; f \; = \; \O_4 \int_0^\infty \! dP P^3 \; \lw\; f \;\rw \quad . \ee % A6 Die Winkelmittelung kann nun teilweise ausgef\"uhrt werden$\,$: \be{A7} \lw\; f\;\rw \gll {1\0{\O_4}} \int\! d\O \; f\(\, P\, , \, PQc\,\) \; = \; {2\0\pi} \int_0^\pi\! d\ta \; s^2 \; f\(\, P\, , \, PQc\,\) \quad . \ee % A7 Hierin steht nat\"urlich $s$ f\"ur $\sin (\ta )\,$. Im Text interessieren folgende Spezialf\"alle von \eq{A7}$\,$: \be{A8} \lw\; 1 \;\rw = 1 \qquad , \qquad \lw\; \vc p ^2 \; \rw \; = \; P^2 \lw\; 1-c^2\;\rw \; = \; {3\04}\; P^2 \quad , \qquad \ee % A8 \be{A9} \lw {1\0 a-c} \rw \;\; = \;\; 2\, \( a - \wu {a^2 - 1 } \) \qquad \big(\,a^2 \geqslant 1\,\big) \quad , \ee % A9 \be{A10} \lw \; { 1 \0 a^2 - s^2 } \; \rw \;\; = \;\; 2 \, \( \, {a \0 \wu {a^2 - 1} } - 1 \, \) \qquad \big(\,a^2 \geqslant 1\,\big) \quad , \ee % A10 \be{A11} \lw \; {1\0 2\, s}\;\ln \( { a + s \0 a - s } \) \; \rw \;\; = \;\; 2\, \( a - \wu {a^2 - 1 } \) \qquad \big(\,a^2 \geqslant 1\,\big) \quad , \rule[-6mm]{0pt}{2mm} \ee % A11 Die $\ta$--Integrale f\"ur \eq{A9} und \eq{A10} gelingen mittels Bronstein. \eq{A11} l\"a\ss t sich aus \eq{A10} herleiten. Die beiden Seiten von \eq{A10} sind n\"amlich (negative) Ableitungen der \eq{A11}--Seiten nach $a\,$. Da\ss\ beim Aufleiten von \eq{A10} bez\"uglich $a$ keine Konstante entsteht, zeigt \eq{A11} im limes $a \to \infty\,$. Das folgende Mittel \"uber zwei Logarithmen l\"a\ss t sich leider nicht voll ausintegrieren aber f\"ur Gebrauch im Anhang D geeignet formulieren\,: \bea{A12} {\cal J}(a,b) &\gll& \lw \; {1\0s^2}\; \ln \( {a+s \0 a-s} \)\; \ln \( {b+s \0 b-s} \)\; \rw \hspace*{5cm} \nonu \\[2mm] &=& 8 \int_0^{(a-\wu{a^2-1})\,(b-\wu{b^2-1})} \! dx \; {1\0x} \; \ln\( {1+x \0 1+x} \) \quad \big(\,a^2,\,b^2 \geqslant 1\,\big) \;\; . \;\; \eea % A12 Die auf \eq{A12} f\"uhrende Integrierkunst verdient Detail. Ersichtlich geht ${\cal J}(a,b)$ mit $a \to \infty$ oder $b \to \infty$ gegen Null. Auch die Ableitung von ${\cal J}$ nach $a$ hat diese Eigenschaft. Ins\-besondere wird \be{A13} \6_a \,{\cal J}(a,b) \; = \; {4\0\pi} \int_0^{\pi/2} \!\! d\ta \; {-2\,s \0 a^2-s^2} \; \ln \( {b+s \0 b-s} \) \;\; \longrightarrow \; 0 \qquad \big(\,b \to \infty\,\big) \;\; , \;\; \ee % A13 so ben\"otigt beim Aufleiten von \bea{A14} \6_a \6_b \,{\cal J}(a,b) &=& {4\0\pi} \int_0^{\pi/2} \!\! d\ta \; {-2\,s \0 a^2-s^2} \; {-2\,s \0 b^2-s^2} \; \nonu \\ &=& {4 \0 b^2-a^2 } \;\lw {1\0 a^2-s^2}\, - \,{1\0 b^2-s^2} \rw \nonu \\ &=& {8\0 b^2-a^2} \( {a \0 \wu {a^2 - 1 } } - {b \0 \wu {b^2 - 1 } } \) \qquad \eea % A14 bez\"uglich $b\,$: \be{A15} \6_a \,{\cal J}(a,b) \; = \; {4\0 \wu {a^2 - 1 }} \; \ln \( \; { \wu {a^2 - 1 } + \wu {b^2 - 1 } \0 \wu {a^2 - 1 } - \wu {b^2 - 1 } } \;\cdot\; {a-b \0 a+b } \;\) \;\; . \qquad \ee % A15 Bei Aufleiten von \eq{A15} bez\"uglich $a$ bleibt zun\"achst \be{A16} {\cal J} (a,b) = 4 \int_a^\infty \!\!dx\; {1 \0 \wu{x^2-1}} \; \ln \( \; { \wu {x^2 - 1 } - \wu {b^2 - 1 } \0 \wu {x^2 - 1 } + \wu {b^2 - 1 } } \;\cdot\; {x+b \0 x-b } \;\) \;\; \qquad \ee % A16 stehen. Es ist erstaunlich, wie sich dieses Integral vereinfachen l\"a\ss t. Wir substituieren $x=\ch(t)$ \,$\big(\,t=\ln(x+\wu{x^2-1}), \;dx=dt\,\sh(t)\,\big)$ und setzen $b=\ch(u)$. Das gibt \bea{A17} {\cal J} (a,b) &=& 4 \int_{{\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty \!dt\; \ln\(\,{\ch(t) + \ch(u) \0 \ch(t)-\ch(u)} \, \cdot\, {\sh(t) - \sh(u) \0 \sh(t)+\sh(u)}\,\) \nonu \\ &=& 8 \int_{{\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty \! dt \; \ln \( { \ch\({t+u\02}\) \0 \sh\({t+u\02}\) } \) \nonu \\ &=& 8 \int_{ u + {\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty \! dt \; \ln \( { \ch\({t\02}\) \0 \sh\({t\02}\) } \) \nonu \\ &=& 8 \int_{ {\rm ln}(b+\wu{b^2-1}) + {\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty \! dt \; \ln \( { 1 + e^{-t} \0 1 - e^{-t} } \) \;\; , \quad \eea % A17 wobei $u= b + \wu{b^2-1}$ bedacht wurde. Es ist \"ubrigens $a + \wu{a^2-1} = 1/(a - \wu{a^2-1})\,$ (f\"ur $b$ entsprechend). Substitution $e^{-t} = x$ liefert nun das in \eq{A12} angegebene Resultat. % Anhang B c_T \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{B$\,$.$\,$\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.4cm} \section{$\chi(Q^2)$ : \ Auswertung } Hier werden f\"ur \S~2.4 zwei Terme der Funktion $\chi (Q^2) = \chi(0) + \chi_1 (Q^2) + \chi_2(Q^2)$ untersucht, n\"amlich der zweite und der dritte. Das Argument $Q^2$ liegt im Endlichen ($Q^2 \ll \L^2$). Unter diesen beiden Beitr\"agen ist \eq{2.28}, d.h. \be{B1} \chi_1 (Q^2) \, = \, \eu_P \, w_0 (P^2) \( {1\0 ( \vc P - \vc Q )^2} - {1\0 P^2} \) \ee % B1 ein rundum angenehmes Integral. Nach Blick in Anhang A ziehen wir die 4D Winkelmittelung $\lw \;\; \rw$ nach rechts und sehen alsbald, da\ss\ f\"ur $w_0$ die klein--$P^2$--Version \eq{2.44}, n\"amlich $w_0 (P^2) = {1\016\pi^2} \( {\rm LN} - \ln (P^2) \) \, +\, \cl O(P^2/\L^2)\,$, ausreicht$\,$: \bea{B2} \chi_1 (Q^2) &=& {1\0 16\pi^4}\, \O_4 \int_0^\infty\!\! dP \; P^3 \, w_0 (P^2) \( \; \lw {1\0 (\vc P - \vc Q )^2} \rw - {1\0P^2} \) \nonu \\ & & \quad \lw {1\0 (\vc P - \vc Q )^2} \rw \; = \; \lw {1\0 P^2 + Q^2 - 2 P Q \cos(\ta ) } \rw \; = \; {1\02PQ} \lw {1\0 a-c} \rw \nonu \\ & & \phantom{a\hspace{2.4cm}a} =\; { a - \wu {a^2 - 1 } \0 PQ} \qquad \Big(\hbox{$\, a \gll {P^2 + Q^2\0 2PQ}$ und $c \gll \cos (\ta )\,$}\Big) \nonu \\ \chi_1 (Q^2)\; &=& \; {1\0 8\pi^2} \int_0^\infty \!\! dP \; P^3 \,w_0 (P^2) \( { P^2 + Q^2 - | P^2 - Q^2 | \0 2 P^2 Q^2 } \, - \, {1\0 P^2} \) \\ \label{B3} &=& \; {1\0 8\pi^2} \int_0^\infty\!\! dP \; P^3 \,w_0 (P^2) \( {1\0Q^2} - {1\0 P^2} \) \theta \( Q^2 - P^2 \) \nonu \\ &=& \; \({1\0 16\pi^2}\)^2 \int_0^{Q^2}\!\! dr \; \( {r\0 Q^2} - 1 \) \, \bigg( {\rm LN} - \ln (r) \bigg) \nonu \\ \chi_1 (Q^2)\; &=& \; {2 \0 (32\pi^2)^2 }\, \( \, Q^2 \,\ln \( Q^2 \) \; - \; Q^2\, \lk {\rm LN} + {3\02} \rk \) \quad . \eea % B2 und B3 Es war die Stufenfunktion in der drittletzten Zeile, welche $P^2$ bei $P^2 < Q^2 \ll \L^2$ festh\"alt. In der dritten Zeile haben wir die Weisheit \eq{A9} aus Anhang A geholt. \eq{B3} steht als \eq{2.29} wieder im Haupttext. Dem Term \be{B4} \chi_2 (Q^2) \, = \, \eu_P \, w_0 (P^2) \, \( {A\0 P^2 +\L^2} - {B\0 P^2 +\G^2} \;\; - \;\; \mbox{dito}_{ \hbox{\footnotesize $P\to\vc P -\vc Q$}} \,\) \ee % B4 wurde schon im Text unter \eq{2.30} \"Ubles nachgesagt. Bald wird zu sehen sein, da\ss\ die runde Klammer, das Gewicht an $w_0(P^2)$ also, erst bei Impulsen $P^2 \sim \L^2$ abzunehmen beginnt. Nichtsdestotrotz kann die Winkelmittelung herein gezogen und \eq{A9} benutzt werden. Wir substituieren $P^2=r\,$, schreiben \be{B5} \chi_2 (Q^2) = {1\0 16\pi^2} \; \int_0^\infty \! dr \; r\, w_0 (r) \bigg(\; A\, \ell_\L - B\, \ell_\G \;\bigg) \quad \ee und haben \bea{B6} \ell_\L \; &=& \; {1\0 r + \L^2 } \; - \; \lw {1\0 r + Q^2 + \L^2 - 2\wu r Qc} \rw \nonu \\ &=& \; { 1\0 r + \L^2 } \; - \; { r + \L^2 + Q^2 - \wu { \( r + \L^2 + Q^2 \)^2 - 4 r Q^2 } \0 2 \, r \, Q^2 } \quad . \eea % B6 In $\ell_\L $ gibt es den kleinen Parameter $Q^2 \ll r \sim \L^2\,$. Nach etwas m\"uhseliger Entwicklung (man nutze $(a- \wu {\phantom{\smile}}) = (a^2 - {\wu {\phantom{\smile}}}^2) \, / \, ( a + \wu {\phantom{\smile}})$ aus) ergibt sich \be{B7} \ell_\L = Q^2 \; { \L^2 \0 (r+\L^2 )^3} \; \( 1 \; + \; \cl O \( {Q^2 \0 \L^2} \) \, \) \quad . \ee % B7 In der $r\sim \L^2$--Region hat $w_0(r)$ nach \eq{2.50} die Gr\"o\ss enordnung 1. Es ist mehr eine Art Zwischenergebnis, wenn wir nun \be{B8} \chi_2 (Q^2) \; = \; {2\0 (32 \pi^2 )^2} \; c_2 \; Q^2 \; + \; \cl O \( {Q^4 \0 \L^2} \) \quad \ee schreiben und den Koeffizienten $c_2$ als Integral stehen lassen$\,$: \be{B9} c_2 \; = \; 2 \, {\G^2 \L^2 \0 \G^2-\L^2} \int_0^\infty \! dr \;\, \Big[ \, 16 \pi^2 \, w_0 (r) \, \Big] \; \( {r \0 ( r+\L^2)^3 } - {r \0 ( r+\G^2)^3 } \) \;\; = \;\; \cl O(1) \quad . \ee Jenes grobe $\cl O(1)$ rechts in \eq{B9} folgt, wenn man die eckige Klammer $=1$ setzt. Strenge Auswertung des Integrals erscheint aussichtslos. Mit \eq{B8} und \eq{B9} haben wir jedenfalls die Behauptungen in \eq{2.31} beieinander. % Anhang C c_T \let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{C$\,$.$\,$\dq} \setcounter{equation}{0} \vspace{.2cm} \section{$c_T$ : \ Asymptotik bis $g^2$ } Hier wird ein mehr technisches Detail zu \S~3.2 nachgetragen, n\"amlich die Auswertung des Beitrags $c_T$ zum einfachen thermischen Loop $b_T\,$. Dieser Anhang mausert sich alsbald zu einem Lehrst\"uckchen in Sachen asymptotische Entwicklung. Ausgangspunkt ist der Ausdruck \eq{3.24}\,, d.h. \be{C1} c_T = \sum_P^{\rm ohne} \lk { 1 \0 m^2 + P^2 } \; - \; { 1\0 P^2 } \rk \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \! dp \, p^2 \, \(\, {\, n \( \wu {m^2+p^2} \) \0 \wu {m^2+p^2} } \, - \, {n(p)\0 p} \,\) \quad \ee % C1 aus dem Haupttext. Man male eine $p$-Halbachse und bringe die Marken $m$ und $T$ darauf an. In der Region $T$ (Breite $\sim T$) hat der Integrand die Gr\"o\ss enordnung $m^2/T\,$ (nicht faul sein$\,$: $p=T$ setzen und ein wenig entwickeln), und der Integralbeitrag ist $\sim m^2$. Von der Region um $m$ kommt jedoch ein Integralbeitrag $\sim T *$(Reichweite$\,m$). In diesem {\sl soft}--Bereich kann die Bose--Funktion durch $T/$Argument gen\"ahert werden. Also spalten wir versuchsweise\footnote{ Es ist typisch f\"ur die M\"uhen um asymptotische Entwicklungen, da\ss\ man zu probieren hat, zu spielen, und mit Konsistenzannahmen zu arbeiten. Gescheit abspalten ist ein gutes Stichwort. Es geht nicht \hbox{\glqq von} selber\grqq . Das Stricken von Begleitphilosophie ist die Kunst.} wie folgt auf, \be{C2} c_T \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \! dp \, p^2 \, \( {T\0 m^2+p^2} - {T\0 p^2} \) \; + \; \d c_T = - { m T \0 4\pi} \; + \; \d c_T \quad , \ee % C2 freuen uns, da\ss\ der f\"uhrende Term der $c_T$--Asymptotik so einfach war, und st\"urzen uns auf den Rest \be{C3} \d c_T \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \! dp\, p^2\, \( \; {\, n \( \wu {m^2+p^2} \) \0 \wu {m^2+p^2} } \, - \, {n(p) \0 p} \, - \, {T\0 m^2+p^2} \, + \, {T\0 p^2} \; \) \quad . \ee % C3 Dies lesen wir als drei Integrale, weil die beiden letzten Terme einander brauchen, um Konvergenz abzusichern. Im ersten Integral substituieren wir $\wu {m^2+p^2} = x$ ($x$ von $m$ nach $\infty$). Im zweiten benennen wir nur $p$ in $x$ um ($x$ von 0 bis $\infty$). Auch mit den beiden Anteilen des dritten Integrals m\"ochten wir gern dieserart verschieden verfahren, weil sie offensichtlich je einem der ersten zugeordnet sind. Stichwort, obere Grenze kontrollieren$\,$: \bea{C4} \int_0^N \!\! dp \;\( T - {T \, p^2 \0 m^2+p^2} \) \; &=& \; \int_0^N \!\! dx \; T - \int_m^{\wu {N^2+m^2}} \!\! dx \; T \,{ \wu {x^2 - p^2} \0 x } \nonu \\ & = & \int_0^m \! dx\; T + \int_m^\infty \! dx \; \( T - T \,{ \wu {x^2 - p^2} \0 x } \) \quad , \eea % C4 denn die Differenz in den oberen Grenzen (mittlerer Ausdruck) ist wegen $\wu {N^2+m^2} = N + \cl O(m^2/N)$ unerheblich. Die gew\"unschte Zuordung ist nun m\"oglich und liefert \be{C5} \d c_T = {1\02\pi^2} \lk \int_m^\infty \!\!\! dx \; \( \wu {x^2-m^2} - x \) \( n(x) - {T\0x} \) - \int_0^m \!\!\! dx \; x \,\( n(x) - {T\0x} \) \rk \; . \ee % C5 Nach Skalierung $x\to mx$ und mit dem kleinem Parameter $\b m \glr \s \,$, \be{C6} \d c_T = {m^2 \0 2\pi^2} \lk \int_1^\infty \!\! dx \, \( \wu {x^2-1} - x \) \Y - \int_0^1\! dx \, x \Y \rk \;\; , \;\; \Y \gll {1\0 e^{\s x} - 1 } - {1\0 \s x} \;\; , \ee % C6 wird deutlich, worauf es jetzt ankommt. Die noch einzubeziehende Ordnung $g^2 \sim m^2$ ist erreicht, und in der eckigen Klammer ist alles mitzunehmen, was unter $\s\to 0$ endlich bleibt oder anw\"achst. Im ersten Integral verbirgt sich ein $\ln (\s )\,$, herr\"uhrend von gro\ss en $x$. Um dies zu sehen, helfen Abspaltungen von gro\ss --$x$-Asymptotik$\,$: erstens $\wu {x^2 -1} -x = -1/(2x) + \lk \wu {x^2 -1} -x + 1/(2x) \rk\,$, und zweitens \be{C7} \Y = \Y_0 + \Y_1 \quad\mbox{mit}\quad \Y_0 = {-1 \0 2+\s x} \quad\mbox{und}\quad \Y_1 = {1\0 e^{\s x} - 1} - {2\0\s x (2+\s x)} \quad . \ee % C7 $\Y_0$ kontrolliert gro\ss e $x$ am schw\"achsten. Zu $\s\to0$ geht $\Y_0$ gegen $-1/2$, aber $\Y_1$ gegen Null. $\d c_T$ kann nun wie folgt zerlegt werden$\,$: \bea{C8} \d c_T &=& {m^2 \0 2\pi^2} \bigg[ \; J_1 + J_2 + J_3 + J_4 \; \bigg] \qquad \mbox{mit} \quad \\ J_1 &=& - \int_1^\infty \! dx \; {1\0 2x} \Y_0 \quad , \quad J_2 = \int_1^\infty \! dx \; \( \wu {x^2-1} - x + {1\02x} \) \,\Y_0 \quad , \nonu \\ \label{C9} J_3 &=& \int_1^\infty \! dx \; \( \wu {x^2-1} - x \) \Y_1 \quad , \quad J_4 = - \int_0^1 \! dx \; x \,\Y \quad . \eea % C8 und C9 $J_3$ ist ein unangenehmer Geselle, den wir uns als letzten vorkn\"opfen. In $J_1$ ist $\ln (\s )$ das Interessante, w\"ahrend die anderen drei den Limes $\s\to 0$ aushalten werden. In $J_2$ und $J_4$ ersetzt dieser Limes $\Y_0$ bzw. $\Y$ durch $-1/2$. Asymptotik--Kunst beendet, Integrieren k\"onnen die Leute schon eher$\,$: \be{C10} J_1 = - {1\04} \,\ln \( {\s \0 2} \) \quad , \quad J_2 = - {1\08} + {1\04} \,\ln \( 2\) \quad , \quad J_4 = {1\04} \quad . \ee % C10 Zu $J_3$ wollen wir zuerst $\s\to0$ ausf\"uhren, wobei die Skalierung $x\to x/\s$ hilfreich ist$\,$: \be{C11} J_3 = {1\0\s} \int_\s^\infty \! dx \; \( \wu {{x^2\0\s^2}-1} - {x\0\s} \) \; \( {1\0 e^x - 1} - {2\0 2x + x^2} \) \quad . \ee % C11 Man sieht nun, da\ss\ die erste Klammer schlicht in $-\s /(2x)$ \"ubergeht. Die untere Grenze kann getrost auf Null geschoben werden\footnote{ Interessieren weitere Terme der Asymptotik, so ist nat\"urlich die Differenz zu addieren und zu untersuchen.}, und wir haben damit \be{C12} J_3 = - {1\02} \int_0^\infty \!\! dx \; {1\0x} \( {1\0 e^x - 1} - {2\0 2x + x^2} \) \;\; = \;\; - {1\02}\, I(0) \quad , \ee % C12 wobei der rechte Ausdruck darauf verweist, da\ss\ das Integral im Limes $s\to +0$ aus \be{C13} I(s) = \int_0^\infty \!\! dx \; \( { x^{s-1} \0 e^x - 1} - { 2\, x^{s-2} \0 2 + x} \) \quad \ee % C13 erhalten werden kann. Es gibt einen sch\"onen Trick, um mit $I(s)$ in $\,0 \;\; , \qquad \ee % D7 wobei \be{D8} \ln_{\,p} \gll \ln \( {r^2+4p^2+4prs \0 r^2+4p^2-4prs} \) \quad {\rm und} \quad C(r) \gll {A\0\L^2+r^2} - {B\0\G^2+r^2} \quad ({\rm kurz}\;C) \;\; . \quad \ee % D8 \eq{D7} spalten wir nun per ${\cl W = \cl W_1+\cl W_2}$ auf in einen \glqq interessanten\grqq\ Term $\cl W_1\,$, welcher die Pauli--Villars--Regulatoren enth\"alt, und in $\cl W_2$ mit dem restlichen Produkt zweier Logarithmen. Dessen Gro\ss --$r$--Asymptotik wird (f\"ur Konvergenz sorgend) in $\cl W_2$ subtrahiert und in $\cl W_1$ addiert\,: \bea{D9} \cl W_1 &=& 2 \!\int_{\!\wu \e}^\infty \!\! dr \; r \, \( {64 p k\0 r^2} + 64 pk r^2 C^2 - 8pr C \lw {1\0s} \,\ln_{\,k} \rw - 8kr C \lw {1\0s} \,\ln_{\,p} \rw \) \;\; , \quad \\ \label{D10} \cl W_2 &=& 2 \!\int_{\!\wu \e}^\infty \!\! dr \; r \, \( \Bigl<\, {1\0s^2}\, \ln_{\,p}\,\ln_{\,k}\;\Bigr> - {64 p k\0 r^2} \) \;\; . \quad \eea % D9 , D10 Die Kontrolle der unteren $r$--Grenzen ist nur erforderlich, solange $\cl W_1$, $\cl W_2$ separat behandelt werden, Bei den Mittelungen in \eq{D9} kommen wir mittels \eq{A11} weiter und erhalten \be{D11} \Bigl< {1\0s} \,\ln_{\,k} \Bigr> \;= \;{1\0 kr} \( r^2 +4k^2 - | r^2-4k^2 | \) \;\; \to \;\; {8 k \0 r} \;\; . \quad \ee % D11 Die rechts stehende Vereinfachung ist erlaubt, weil $r$--Werte in der Gr\"o\ss enordnung von $k$ oder $p$ ersichtlich nur in $\cl O (1/\L^2)$ bei $\cl W_1$ zu Buche schlagen. Nach Substitution $r^2=t$ entsteht \be{D12} \cl W_1 = 64\,p\,k \!\int_\e^\infty \!\! dt \; \( {1\0t} + t\,C^2 -2\,C \) \; , \;\; C={A\0t+\L^2} - {B\0t+\G^2} \quad . \quad \ee % 12 Die $t$-Integrationen sind elementar. Resultat\,: \be{D13} \cl W_1 = 64\,p\,k \; \Big( -\ln(\e) - 1 + {\rm LN} \,\Big) + \cl O (\L^{-2}) \;\; \quad \ee % D13 mit LN siehe \eq{2.45}. Es bleibt $\cl W_2$ auszuwerten. Das Winkelmittel in \eq{D10} haben wir ($a,\,b$ geeignet w\"ahlend) in \eq{A12} stehen. \eq{D10} erh\"alt damit die Gestalt \be{D14} \cl W_2 = 2 \!\int_{\!\wu \e}^{\wu N} \!\! dr \; r \; \lk \cl J \( a={r^2+4p^2\0 4pr} \,,\, b= {r^2+4k^2)\0 4kr} \) - {64pk\0r^2} \rk \Bigg|_{\,N\to\infty} \;\; . \quad \ee % D14 F\"ur die obere $x$--Integrationsgrenze ($\glr\,$upper, $r^2 \glr y$) in \eq{A12} ergibt sich \be{D15} (a-\wu{a^2-1})\,(b-\wu{b^2-1}) = { (y+4p^2-|y-4p^2|)\, (y+4k^2-|y-4k^2|) \0 16\,p\,k\,y } \;\; , \quad \ee % D15 so da\ss\ $\cl J = 8 \int_0^{\rm upper} \! dx \;{1\0x} \,\ln ({1+x \0 1-x} )$ entsteht. Das Doppelintegral \"uber $r$ und $x$ sieht nur im ersten Moment \"ubel aus. Via Vertauschung dieser Integrale sird sich $\cl W_2$ alsbald exakt auswerten lassen. Sei oBdA $k