Begleitendes Dreibein in [H11] - Visualisierung

von Stefan Seckmeyer

Die Definition der Funktionen aus der Aufgabenstellung H11:

e3 ={0,0,1};
f[t_, Ω_] := {Cos[Ω t], Sin[Ω t],0}
r[t_, R_, Ω_, ω_]:= R*e3 + R*(Sin[ω t] * f[t,Ω] - Cos[ω t] *e3);

Die drei Funktionen des begleitenden Dreibeins:

uT[t_, R_, Ω_, ω_]=Normalize[D[r[t, R, Ω, ω],t]]; 
	(*Tangente - 1. Ableitung von r*)
vN[t_, R_, Ω_, ω_]=Normalize[D[r[t, R, Ω, ω],{t,2}]]; 
	(*Normale - 2. Ableitung von r (da 1. Ableitung von t), 
	wenn am Ende ein Einheitsvektor gebildet wird, 
	ist das Äquivalent zu t'.*)
vB[t_, R_, Ω_, ω_]=Evaluate[Normalize[Cross[D[r[t, R, Ω, ω],t],D[r[t, R, Ω, ω],{t,2}]]]];
	(*Binormale - Kreuzprodukt von der Tangente und der Normale*)

Das Manipulate wird verwendet, um den Radius R und die Kreisfrequenz ω des Riesenrades sowie die Kreisfrequenz Ω des Karussels interaktiv ändern zu können. Außerdem kann tMax eingestellt werden. Dieser Parameter bestimmt bis zu welchem Zeitpunkt vom Zeitpunkt t=0 die Kurve gezeichnet und das Dreibein animiert wird.
Das Animate lässt den Parameter von 0 bis tMax in 20 Sekunden durchlaufen. Mit diesem Parameter wird festgelegt, wann das Dreibein gezeichnet wird. Die Pfeile werden mit einem Graphics3D-Element gezeichnet. Als Parameter haben die Pfeile die Position von r zum Zeitpunkt s (und den anderen Parametern) und zeigen dann auf die Position r + die Einheitsvektoren für Tangente, Normale und Binormale.
Die Tangente ist Blau, die Normale Rot und die Binormale Grün.
Das Graphics3D-Element wird mit einem ParametricPlot3D durch den Show-Befehl zu einer Grafik kombiniert.
Als PlotRange muss deutlich mehr als R verwendet werden, da die Spitzen der Pfeile sonst häufig abgeschnitten werden. Deshalb ist der PlotRange nachunten begrenzt, da er bei R<1 ansonsten zu klein für die Pfeile mit der Länge 1 werden würde.

Manipulate[
Animate[
	Show[
		ParametricPlot3D[r[t,R,ω,Ω],{t,0,tMax},PlotStyle->{Black,Thick}], 
		Graphics3D[{
		{Thick,Blue,Arrow[{r[s,R,ω,Ω],r[s,R,ω,Ω]+uT[s,R,ω,Ω]}]}, (*Tangente*)
		{Thick,Green,Arrow[{r[s,R,ω,Ω],r[s,R,ω,Ω]+vB[s,R,ω,Ω]}]}, (*Binormale*)
		{Thick,Red,Arrow[{r[s,R,ω,Ω],r[s,R,ω,Ω]+vN[s,R,ω,Ω]}]} (*Normale*)
		}
		],
		PlotRange->{{Min[-2R,-2], Max[2R, 2]},{Min[-2R,-2], Max[2R, 2]},{Min[-R,-1], Max[3R, 3]}}
	],
	{s,0,tMax},DefaultDuration->20
],

Delimiter,Style["Riesenrad",12,Bold],
{{ω,4, "Kreisfrequenz ω"},0,10},
{{R,1, "Radius R"},0,10},
Delimiter,
{{Ω,2, "Kreisfrequenz des Karussels Ω"},0,10},
Delimiter,
{{tMax,10, "Zeit tMax"},1,60}
]