Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Ergänzungen zur klassischen Physik Wintersemester 2016/17

Übungen

1. (Freitag 28.10.) (pdf):
   • Effektive und transitive Aktionen Abel'scher Gruppen sind einfach-transitiv.
   • Allgemeine Definition des semi-direkten Produktes und einige seiner Eigenschaften.
   • Spezielle semi-direkte Produkte mit Abel'schen Normalteilern.
   • Beispiele der interierten (semi)-direkten Produktstruktur der inhomogenen (eigentlich orthochronen) Galilei-Gruppe mit Abel'schen Normalteilern: IGal_+↑≅R⁴⋊(R³⋊SO(3)) und IGal_+↑≅(R³×R³)⋊ (R×SO(3)).
    
   
2. (Freitag 11.11.) (pdf):
   • Exponential der ad-Darstellung der Lie-Algebra (R³,×).
   • Einfachheit der Lie-Algebra sl(2,R).
   • Verhalten der Strukturkonstanten und Killing-Form unter der C-Erweiterung L↦L':=C⊗L einer reellen Lie-Algebra L zu einer doppelt-dimensionalen reellen Lie-Algebra L'.
   • Inäquivalente reelle Formen: C⊗sl(2,R) ≅ C⊗so(3).
   • Eindeutigkeit der Zerlegung einer halbeinfachen Lie-Algebra in die direkte Summe einfacher Ideale.
    
   
3. (Freitag 25.11.) (pdf):
   • Das lokal Inverse des Projektionshomomorphismus von SU(2) auf SO(3).
   • SL(2,R) und SL(2,C) besitzen keine endlichdimensionalen unitären Darstellungen.
   • Die adjungierte Darstellung des semi-direkten Produkts V⋊G, mit G⊆GL(V), und seiner Lie-Algebra.
    
   
4. (Freitag 9.12.) (pdf):
   • Polarzerlegung einer allgemeinen Lorentz-Transformation: Ablesen des Drehwinkels.
   • Komposition zweier allgemeiner Lorentz-Transformationen ausgedrückt durch die beiden Funktionen der Einstein'schen Geschwindigkeitsaddition und der Thomas-Drehung. Äquivarianzeigenschaften dieser Funktionen unter Drehungen.
   • Komposition zweier Boosts. Bestimmung des Thomas-Drehwinkels und seines maximalen Wertes in Abhängigkeit des Winkels zwischen den Boosts.
   • Geometrische Interpretation der Einstein'schen Geschwindigkeitsaddition.
   • Thomas-Drehung als Obstruktion zur Kommutativität und Assoziativität der Einstein'schen Geschwindigkeitsaddition.
   • Kontraktion der Lie-Algebra von SO(3) über einer eindimensionalen Unteralgebra.
    
   
5. (Freitag 23.12.) (pdf):
   • Die Lie-Algebren der inhomogenen orthogonalen Gruppen V⋊O(V,η) sind perfekt.
   • Darstellung der Lie-Algebra von V⋊O(V,η) durch Differentialoperatoren auf C^∞(V).
   • Duale oder Ko-Darstellungen.
   • Die ko-adjungierte Darstellung von V⋊O(V,η).
    
   
6. (Freitag 27.01.) (pdf):
   • Zur Konstruktion der irreduziblen Darstellungsräume der SU(2).
   • Konstruktion der Kugelflächenfunktionen durch Ausreduktion der SO(3) Darstellung auf C^∞(S²,C).
   • Zerlegung eines symmetrischen Spinor-Tensors in Hauptspinoren: Existenz und Eindeutigkeit.
   • Reelle Strukturen auf Tensorprodukten und direkten Summen komplexer Vektorräume.
    
   

Ergänzungen

Skript (pdf). Hier erfahren Sie einige Hintergründe zu folgenden Themen

1. Vektorräme mit innerem Produkt (nicht ausgeartet aber nicht notwendig positiv definit oder symmetrisch).
2. Die Gruppen der linearen Isometrien dieser inneren Produkte und ihrer Lie-Algebren.
3. Die Exponentialabbildung.