Übungen zur Vorlesung Analytische Mechanik und Spezielle Relativitätstheorie Wintersemester 2017/18

Übungen

• Blatt 1 (Abgabe der Hausübungen am 27.10.2017) (pdf):
   
  
  • P1/H1: Das Mathematische Pendel exakt; Galileis "Versuch".
  • P2/H2: Das Kepler-Problem einmal anders.
  • P3/H3: Zentralkräfte; Bestimmung aus Bahnkurven.
   
  
• Blatt 2 (Abgabe der Hausübungen am 10.11.2017) (pdf):
   
  
  • P1: Rotationssymmetrische Kraftfelder im R³.
  • P2: Aktion von Gruppen auf Abbildungsräumen.
  • P3: Die Galilei-invariante Äquivalenzrelation der Gleichzeitigkeit in Newton-Galilei Raumzeiten und die Wirkung der Galilei-Gruppe auf der "Zeit".
  • H1: Die Erzeugung der Drehungen im R³ durch die Exponentialfunktion antisymmetrischer Abbildungen.
  • H2: Verallgemeinerte Aktion von Gruppen auf Abbildungsräumen; Anwendung auf Teilchentrajektorien.
  • H3: Galileis Argument für die Massenunabhängigkeit der Fallbeschleunigung im Gravitationsfeld.
   
  
• Blatt 3 (Abgabe der Hausübungen am 21.11.2017) (pdf):
   
  
  • P1/H1: Freier Fall vom Bremer Fallturm.
  • P2: Kraftwirkungen auf Zwangsflächen.
  • H2: Autofahren auf einer Drehscheibe.
  • P3/H3: Freiheitsgrade des scharfkantig-schlupflosen Rades und die Anholonomität seiner Zwangsbedingungen.
  • Anhang (nur zur Info): Zusammenfassung der Definition des Begriffs "beschleunigtes Bezugssystem": in einer Newton-Galilei Raumzeit und der Ableitung der Newton'schen Bewegungsgleichung darin.
   
  
• Blatt 4 (Abgabe der Hausübungen am 28.11.2017) (pdf):
   
  
  • P1: Einfaches Beispiel nicht-integrabler Distribution im R³.
  • P2: Punktmasse auf Kugel.
  • P3: Punktmasse in der Ebene am verkürzenden Faden.
  • H1: Sphärisches Pendel.
  • H2: Person auf Leiter. Vorsicht: Un(m)fallgefahr!
  • H3: Das aufrecht rollende, scharfkantige Rad auf einer Ebene als Beispiel eines Systems mit anholonomen Zwangsbedingungen: Vollständige Integration der Lagrange'schen Gleichungen 2. Art und Bestrimmung der Zwangskräfte.
   
  
• Blatt 5 (Abgabe der Hausübungen am 5.12.2017) (pdf):
   
  
  • P1: Verallgemeinerte Potentiale für geschwindigkeitsabhängige Kräfte.
  • H1: Anwendung von P1 auf Lorentz-Kraft in der Elektrodynamik.
  • P2: Freie Teilchen auf Zwangsflächen (geodätische Bewegung).
  • H2: Anwendung von P2 auf Kugeloberfläche. Verallgemeinerung auf lineares Potential (sphärisches "Pendel".)
  • P3: Pendelnde Feder im Gravitationsfeld.
  • H3: Gleitendes Pendel im Gravitationsfeld.
   
  
• Blatt 6 (Abgabe der Hausübungen am 12.12.2017) (pdf):
   
  
  • CU1: Das sphärische Pendel.
  • P1: Nicht jede Symmetrie einer Euler-Langrange-Gleichung ist notwendig eine Noether-Symmetrie
  • P2: Schraubenbewegung als Noether-Symmetrie und ihr Erhaltungssatz.
  • P3: Welche Relation besteht zwischen Lagrangefunktionen mit identischen Euler-Lagrange-Gleichungen?
   
  
• Blatt 7 (Abgabe der Hausübungen am 19.12.2017) (pdf):
   
  
  • P1: Euler-Winkel und adjungierte Darstellung der SO(3).
  • H1: Komponenten der Winkelgeschwindigkeit bezüglich raumfester und körperfester Basen als Funktion der Eulerwinkel.
  • P2: Zerlegung der kinetischen Energie bezüglich Schwerpunkt in translatorischen und rotatorischen Anteil; Besonderheiten davon. Konstante Größen im raum- und körperfesten System. Geometrischer Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls (Poinsot).
  • H2: Rotatorische kinetische Energie in Falle einfach entarteter Hauptträgheitsmomente als Funktion der Eulerwinkel. Langrange Funktion und erhaltene Größen.
  • H3: Trägheitsmomente des dreiachsigen homogenen Ellipsoids; Anwendung auf Polschwankungen der Erde.
   
  
• Blatt 8 (Abgabe der Hausübungen am 9.1.2018) (pdf):
   
  
  • P1: Abhängigkeit des Trägheitstensors vom Bezugspunkt; Beweis des Steiner'schen Satzes.
  • H1: Beweis des Satzes, dass der Trägheitstensor (als symmetrische Bilinearform) bezogen auf den Schwerpunkt minimal ist. Darüberhinaus: Beweis eines Satzes von Lagrange über die Spur der Trägheitsabbildung.
  • P2: Linearisierte Eulergleichungen.
  • H2: Untersuchung der Stabilität der Bewegung des unsymmetrischen Kreisels bei Bewegung um die Achsen mit kleinstem, mittleren und größtem Hauptträgheitsmoment.
  • H3: Beweis des Satzes, dass die Bewegungen eines Kreisels mit zeitunabhägigen Komponenten der Winkelgeschwindigkeit bezüglich des körperfesten Systems genau die um die Hauptträgheitsachsen sind.
   
  
• Blatt 9 (Abgabe der Hausübungen am 16.1.2018) (pdf):
   
  
  • P1: Hamilton'sche Gleichungen mit Hilfe von Poisson-Klammern; kanonische Koordinaten.
  • H1: Spezielle Phasenraumfunktionen und ihre Poisson-Realtionen. Spezielle kanonische Transormationen.
  • P2: Teilchen im Zentralkraftfeld; Lagrange-Funktion und kanonische Impulse in kartesischen und shpärischen Polarkoordinaten.
  • H2: Fortsetzung von P2; Aufstellung der Hamiltonfunktion und der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen. Nachweis, dass Drehimpuls Konstante der Hamilton'schen Dynamik ist.
  • H3: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld; Energiefunktion, kanonische Impulse, Hamiltonfunktion und Nachweis, dass Hamilton'sche Bewegungsgleichungen äquivalent den Newton'schen Bewegungsgleichungen mit Lorentzkraft sind.
  • B1 (Bonuspunkte): Anwendung eines Variationsprinzips auf das Problem der "Kettenlinie"; Bestimmung der Kurve, die ein im homogenen Gravitationsfeld häangendes Seil beschreibt.
  • B2 (Bonuspunkte): Anwendung eines Variationsprinzips auf das Problem der "Brachistochrone"; Bestimmung der Kurve, auf der ein reibungsfrei gleitender Massenpunkt im homogenen Gravitationsfeld in kürzester Zeit zwischen zwei gegebenen Raumpunkten fällt.
  • B3 (Bonuspunkte): Beweis der Aussage, dass die Spur des auf den Schwerpunkt bezogenen Trägheitstensors eines Systems von N Teilchen eine konvexe Funktion der Zeit ist, sofern die Energie positiv und die Potentialfunktion homogen vom Grade k>-2 ist. Damit Beweis des Satzes, dass unter den genannten Bedingungen die Teilchen in keinem beschränktem Gebiet für alle Zeiten verweilen können.
  • B4 (Bonuspunkte): Die Jacobi'sche Form des Wirkungsprinzips und die Definition der "Zeitdauer" zwischen zwei Konfigurationen entlang der Lösungskurve.
  • B5 (Bonuspunkte): Reziprozitätsgesetz für Zentralkraftfelder mit identischen Bahnen.
   
  
• Blatt 10 (Abgabe 23.01.2018) (pdf):
   
  
  • P1/H1: Hamilton-Jacobi-Theorie des 1-dimensionalen harmonischen Oszillators.
  • P2/H2: Hamilton-Jacobi-Theorie eines Teilchens im Zentralkraftfeld.
  • H3: Involutive Erhaltungsgrößen einiger einfacher integrabler Systeme.
   
  
• Blatt 11 (Abgabe 30.01.2018) (pdf):
   
  
  • P1: Poisson-Relationen der 7 Erhaltungsgrößen im Kepler-Problem; die SO(4) Symmetrie gebundener Zustände.
  • CU2: MIR außer Kontrolle; Supernova remnant.
   
  
• Blatt 12 (letzte Plenarübung am 29.01.2018) (pdf):
   
  
  • Das speziell-relativistische Kepler-Problem: Die Existenz unterer Schranken an den Drehimpuls für die Existenz stabiler gebundener Orbits.
   
  
• Blatt 13 (6 Hausübungen mit Bonuspunkten; Abgabe Freitag 02.02.2018) (pdf):
   
  
  • H1: Modifizierte Cauchy-Schwarz Ungleichungen im Minkowski-Raum.
  • H2: Schnitte zeitartiger Geraden mit Lichtkegel.
  • H3: Satz von Robb; eine erstaunliche Verallgemeinerung des Höhensatzes der Euklidischen Geometrie im Minkowski Raum.
  • H4: Einstein'sche Synchronisationsvorschrift allgemein geometrisch formuliert.
  • H5: Charakterisierung von Bewegungen konstanter Beschleunigung im Minkowski-Raum.
  • H6: Das Beste zum Schluss. Möglichkeit und Unmöglichkeit von Reisen zu fernen Sternen und Galaxien im Universum.