Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Ergänzungen zur klassischen Physik Wintersemester 2019/20

Übungen

1. (Freitag 25.10.) (pdf):
   • Effektive und transitive Aktionen Abel'scher Gruppen sind einfach-transitiv.
   • Allgemeine Definition des semi-direkten Produktes und einige seiner Eigenschaften.
   • Spezielle semi-direkte Produkte mit Abel'schen Normalteilern.
   • Beispiele der interierten (semi)-direkten Produktstruktur der inhomogenen (eigentlich orthochronen) Galilei-Gruppe mit Abel'schen Normalteilern: IGal_+↑≅R⁴⋊(R³⋊SO(3)) und IGal_+↑≅(R³×R³)⋊ (R×SO(3)).
    
   
2. (Freitag 8.11.) (pdf):
   • Exponential der ad-Darstellung der Lie-Algebra (R³,×).
   • Semi-direkte Summe von Lie-Algebren.
   • Einfachheit der Lie-Algebra sl(2,R).
   • Verhalten der Strukturkonstanten und Killing-Form unter der C-Erweiterung L↦L':=C⊗L einer reellen Lie-Algebra L zu einer doppelt-dimensionalen reellen Lie-Algebra L'.
   • Inäquivalente reelle Formen: C⊗sl(2,R) ≅ C⊗so(3).
   • Eindeutigkeit der Zerlegung einer halbeinfachen Lie-Algebra in die direkte Summe einfacher Ideale.
    
   
3. (Freitag 22.11.) (pdf):
   • Das lokal Inverse des Projektionshomomorphismus von SU(2) auf SO(3).
   • Bestimmung der Projektions-Urbilder in SU(2) einer räumlichen Drehung mit gegebener (orientierter) Achse und gegebenem Winkel.
   • SL(2,R) und SL(2,C) besitzen keine nicht-trivialen endlichdimensionalen unitären Darstellungen.
   • Die adjungierte Darstellung des semi-direkten Produkts V⋊G, mit G⊆GL(V), und seiner Lie-Algebra.
   • Die koadjungierte Darstellung des semi-direkten Produkts V⋊G, mit G⊆GL(V).
    
   
4. (Freitag 06.12.) (pdf):
   • Polarzerlegung einer allgemeinen Lorentz-Transformation: Ablesen des Drehwinkels.
   • Komposition zweier allgemeiner Lorentz-Transformationen ausgedrückt durch die beiden Funktionen der Einstein'schen Geschwindigkeitsaddition und der Thomas-Drehung. Äquivarianzeigenschaften dieser Funktionen unter Drehungen.
   • Komposition zweier Boosts. Bestimmung des Thomas-Drehwinkels und seines maximalen Wertes in Abhängigkeit des Winkels zwischen den Boosts.
   • Geometrische Interpretation der Einstein'schen Geschwindigkeitsaddition.
   • Thomas-Drehung als Obstruktion zur Kommutativität und Assoziativität der Einstein'schen Geschwindigkeitsaddition.
   • Kontraktion der Lie-Algebra von SO(3) über einer eindimensionalen Unteralgebra.
    
   
5. (Freitag 20.12.) (pdf):
   • Die Lie-Algebren V⋊O(V,η) (inhomogene, verallgemeinert-orthogonale Gruppen) sind perfekt.
   • Darstellung der Lie-Algebren von V⋊O(V,η) durch Differentialoperatoren.
   • Die Lie Algebren von O(1,4) und O(2,3) (de Sitter und anti - de Sitter) und einige ihrer (iterierten) Kontraktionen. Diskussion (physikalisch bedeutsamer) diskreter Automorphismen.
    
   
6. (Freitag 17.01.) (pdf):
   • Irreduzible kompexe Darstellungen von Lie(SO(3)) allgemein.
   • Irreduzible kompexe Darstellungen von Lie(SO(3)) auf C^∞(S²,C) durch Differentialoperatoren.
   • Zerlegung von symmetrischen SL(2,C)-Spinoren in das symmetrisierte Tensorprodukt von Hauptspinoren.
   • Natürliche reelle Strukturen auf der direkten Summe bzw. dem Tensorprodukt eines komplexen Vektorraums mit seinem komplex-konjugierten Vektorraum.
   • Polarzerlegung zweier Boosts in SL(2,C).
   • Jedes L in O(V,η) ist Produkt von höchstens 2n-1 Spiegelungen an Hyperebenen (n=dim(V)).
   • Das "Boost-Link-Problem" und seine Lösung durch Kombination zweier Spiegelungen.
   • Auswertung des Boost-Links im allgemeinen Fall. Bestimmung der zu ihm gehörigen Boost-Geschwindigkeit. Diskussion weiterer Eigenschaften seiner Rapidität bzw. seines γ-Faktors.
   • Die Basis-Darstellung der Lie-Algebra Lie(V⋊O(V,η)) der Poincaré-Gruppe und deren Unabh"angigkeit von der Wahl des affinen Ursprungs.
   • Darstellung von Lie(V⋊O(V,η)) auf Phasenräumen. Definition der "Schwerpunkts-Weltlinie" (oder "Zentrumslinie") des Systems und deren kanonische Poisson-Relationen.
    
   
7. (Freitag 31.01.2020) (pdf):
   • Semi-direkte Produktstruktur der Standgruppe eines Spinors in SL(2,C). Semi-direkte Produktstruktur der Standgruppe eines Lichstrahls bzw. lichtartigen Vektors in der eigentlich orthochronen Lorentzgruppe.
   • Ein symmetrischer Spinor-Tensor hat vollständig entartete Hauptspinoren (speziellste Petrov-Klasse), wenn er von einem Spinor annihiliert wird.
   • Maxwell-Gleichungen durch Faraday-Tensor und sein Duales ausgedrückt.
   • Das Spinor Äquivalent des Faraday-Tensors ausgedrückt durch elektrisches und magnetisches Feld. Nachrechnen der quellenlosen Maxwell-Gleichungen in Spinor-Form.
   • Der Energie-Impulstensor des elektromagnetischen Feldes in spinorieller Form und damit Beweis der Rainich-Identität.

Ergänzungen

• Skript (pdf).
  

  Zusammenfasung und Hintergründe zu folgenden Themen:
  

  1. Vektorräme mit innerem Produkt (nicht ausgeartet aber nicht notwendig positiv definit oder symmetrisch).
  2. Die Gruppen der linearen Isometrien dieser inneren Produkte und ihrer Lie-Algebren.
  3. Die Exponentialabbildung.

• Originalarbeiten
  
  1. Henri Bacry und Jean-Marc Lévy-Leblond: ''Possible Kinematics''. Journal of Mathematical Physics, Vol. 9, Num. 10 (1967), pp. 1605-1614. Hier als pdf