Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Die kanonische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie Sommersemester 2015

Übungen

1. (Mittwoch 22.04.) (pdf):
   • Interpretation des Einsteintensors als Mittel von Schnittkrümmungen.
   • Lagrange'sche und Hamilton'sche Beschreibung von Systemen mit Eichredundanzen.
   • Geometrische Theorie der Hamilton'schen Systeme mit Constraints. Constraints sind "first class" wenn sie ko-isotropen Untermannigfaltigkeiten entsprechen.
    
   
2. (Mittwoch 29.04.) (pdf):
   • Eichfixierung in der Elektrodynamik.
   • Hamilton'sche Elektrodynamik: Die Geometrie des Konfigurationsraumes als Hauptfaserbündel.
   • (3+1)-Zerlegung allgemeiner Tensorfelder mit Projektoren.
   • Beweis einiger Identitäten für normierte, zeitartige und hyperflächenorthogonale Vektorfelder.
 

3. (Mittwoch 06.05.) (pdf):
   • Hamilton'sche Formulierung der Dynamik des freien, speziell-relativistischen Punktteilchens.
   • Reparametrisierungsinvariante Hamilton'sche Formulierung eines Teilchens in der Newton'schen Mechanik.
   • Ortsobservable für das freie, speziell-relativistische Punktteilchen.
 

4. (Mittwoch 13.05.) (pdf):
   • Differenz der Krümmungstensoren zweier verschiedener Metriken.
   • Die Weyl-Projektion auf Tensoren mit Riemann-Symmetrie.
   • Konforme Transformation des Riemann- und Weyl-Tensors .
   • Konforme Transformation der skalaren Krümmung. Der konform-kovariante Laplace-Operator.
   • Die verallgemeinerte Wheeler-DeWitt-Metrik auf dem Raum der symmetrischen Tensoren 2. Stufe.
    
   
5. (Mittwoch 03.06.) (pdf):
   • Randterme des Einstein-Hilbert-Funktionals.
   • Erzeuger räumlicher Diffeomorphismen als Phasenraumfunktionen.
   • Nicht singuläre "warped-product" Metriken auf ℝ_≥0×M.
   • Die verallgemeinerte Kinetische-Energie-Metrik der ART (konform äquivalent zur Wheeler-DeWitt-Metrik).
    
   
6. (Mittwoch 17.06.) (pdf):
   • Verallgemeinerung des "Vektorproduktes" (Lie-Algebra Struktur) auf 3-dimensionale Vektorräume mit symmetrischer, nicht-ausgearteter Bilinearform (nicht notwendigerweise positiv definit).
   • Modifikation des linearen Zusammenhangs 3-dimensionaler Riemann'scher Mannigfaltigkeiten durch symmetrische Endomorphismenfelder. Ashtekar- und Ashtekar-Barbero Zusammenhang.
   • Charakterisierung von Impulsen π^mn mit negativem Wheeler-DeWitt Quadrat ("kinetischer Energie").
   • Geometrische Grundlagen der Methode der Spiegelladungen.
    
   
7. (Mittwoch 24.06. + 01.07.) (pdf):
   • Verhalten von Pol-Funktionen unter Inversionen an Sphären.
   • Konstruktion konform-flacher 3-dimensionaler Riemann'scher Metriken die unter Inversionen an zwei Sphären gleichen Radius' invariant sind.
   • Existenz scheinbarer Horizonte im zeitsymmetrischen Anfangswertproblem eines sphärisch-symmetrischen Sterns konstanter Dichte.
   • Inversionssymmetrie und Randbedingungen.
   • Verhalten des radialen Normalenfeldes, konstanter Vektorfelder und des Maßes unter Inversionsabbildungen.
    
   
8. (Freitag 11.07.) (pdf):
   • Transformation der Bowen-York-Daten unter Inversionen.
   • Erhalt der Transversalität und Spurfreiheit unter modifizierten Inversionen.
   • Konstruktion inversionsinvarianter Analoga der Bowen-York-Daten.
    
   
9. (Mittwoch 15.07.) (pdf):
   • Selbstenergie einer geladenen Kugelschale mit Eigengravitation (pseudo Newton'sch).
   • (3+1)-Zerlegung und Hamilton'sche Bewegungsgleichungen des massiven reellen Skalarfeldes.
    
   
10. (Mittwoch 22.07.) (pdf):
    • Quantenmechanik auf gekrümmten Konfigurationsräumen.
    • Diffeomorphismen die einen Punkt und dort den Tangentialraum fixieren wirken frei auf der Menge der Riemann'schen Metriken.

Ergänzungen

1. Hodge Dualität (in Englisch) (pdf):